Что такое базовый элемент в математике 5 класс учебник

Элемент (математика)

Мно́жество — один из ключевых объектов математики, в частности, теории множеств. «Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» (Г. Кантор). Это не является в полном смысле логическим определением понятия множество, а всего лишь пояснением (ибо определить понятие — значит найти такое родовое понятие, в которое данное понятие входит в качестве вида, но множество — это, пожалуй, самое широкое понятие математики и логики).

Содержание

Теории

Существует два основных подхода к понятию множества — наивная и аксиоматическая теория множеств.

«Наивная теория множеств»

Дать определение какому-нибудь понятию — это значит описать это понятие через понятия, определённые ранее. Если число определений в теории конечно, то первое определение должно быть основано на понятиях, которые являются аксиоматическими, то есть изначально неопределёнными. Множество — как раз одно из таких аксиоматических понятий. В рамках наивной теории множеств множеством считается любой чётко определённый набор объектов (элементов множества). Вольное использование наивной теории множеств приводит к некоторым парадоксам, возникающим из-за того, что интуитивное понятие «чётко определённый» на самом деле само не определено чётко. Так как теория множеств, фактически, используется как основание и язык всех современных математических теорий, становится очевидной необходимость её строгой аксиоматизации.

Наивная теория множеств была создана Кантором в конце XIX века.

История определения

До XIX века считалось, что точного определения множества нет. Множеством считалось любое скопление предметов.

Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.

Аксиоматическая теория множеств

На сегодняшний день множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

Элемент множества

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают большими буквами латинского алфавита, его элементы — маленькими. Если а — элемент множества А, то записывают а ∈ А (а принадлежит А). Если а не является элементом множества А, то записывают а∉А(а не принадлежит А).

Некоторые виды множеств

Множество множеств Подмножество Надмножество

Источник

Определения и формулы метематика 5 класс Виленкин

Краткий курс математики 5 класс Виленкин.Поможет быстро повторить весь курс метематики 5 класса.

Просмотр содержимого документа
«Определения и формулы метематика 5 класс Виленкин»

Натуральные числа и шкалы.

Для счета применяют натуральные числа.

Последовательность всех натуральных чисел называют натуральным рядом.

Число можно записать с помощью десяти цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.Такую запись чисел называют десятичной.

Если запись натурального числа состоит из одного знака – одной цифры, то его называют однозначным.

Двузначные, трехзначные и т.д. числа называют многозначными.

Отрезок. Длина отрезка. Треугольник.

Прямая не имеет ни начала ни конца.

Через две точки можно провести только одну прямую.

Часть прямой ограниченная двумя точками называетя отрезком.

Луч- часть прямой ограниченная с одной стороны.

Числа соответствующие точкам на координатном луче называют координатами этих точек.

Точка с меньшей координатой лежит левее точки с больше координатой.

Сложение и вычитание натуральных чисел.

Сумма чисел не изменится при перестановке слагаемых.Это свойство сложения называют переместительным.

От прибавления нуля число не изменяется.

Сумму длин сторон многоугольника называют периметром этого многоугольника.

Числовые и буквенные выражения.

Буквенная запись свойств сложения и вычитания.

Переместительное свойство сложения записывают так: а+б=б+а. В этом равенстве буквы а и б могут принимать любые натуральные значения и значение 0.

Свойство нуля при сложении можно записать так: а+0=0+а=а. Здесь буква а может иметь любое значение.

Свойство вычитания суммы из числа записывают с помощью букв следующим образом: а- ( б+с)=а-б-с. Здесь б+с ≤ а.

Свойство вычитания числа из суммы записывают с помощью букв так: (а+б) – с = а+ ( б – с ), если с≤ б

Свойства нуля при вычитании можно записать так: а – 0 = а ; а – а = 0.

Умножение натуральных чисел и его свойства.

Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей. Это свойство называют переместительным.С помощью букв его записывают так: а*б=б*а.

Ни одно число нельзя делить на нуль.

При делении любого числа на 1 получается это же число.

При делении числа на это же число получается 1.

При делении нуля на число получается нуль.

Порядок выполнения действий.

Сложение и вычитание чисел называют действиями первой ступени, а умножение и деление чисел – действиями второй ступени.

а*а – квадрат числа; а*а*а- куб числа.

Отрезок. Длина отрезка. Треугольник.

Прямая не имеет ни начала ни конца.

Через две точки можно провести только одну прямую.

Часть прямой ограниченная двумя точками называетя отрезком.

Луч- часть прямой ограниченная с одной стороны.

Числа соответствующие точкам на координатном луче называют координатами этих точек.

Точка с меньшей координатой лежит левее точки с больше координатой.

Площади равных фигур равны. Их периметры тоже равны.

Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей.

Квадрат – это прямоугольник с равными сторонами.

Для измерения площадей пользуются следующими единицами: кВ.мм., кВ.см., кВ.м., кВ. км.,

1 гектар –это площадь квадрата со стороной 100м.

1 ар ( сотка)-это квадрат со стороной 10м.

Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 прямоугольников.

Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны.

Стороны граней называют ребрами параллелепипеда, а вершины граней – вершинами параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед имеет 3 измерения – длину, ширину и высоту.

1 куб. дм. называют литром.

Замкнутая линия все точки которой лежат на одинаковом расстоянии от одной точки «О»,называется окружностью.

Точку «О» называют центром окружности и круга.

Отрезок соединяющий точку окружности с центром называют радиусом. Все радиусы одной окружности равны.

Часть окружности между двумя точками называют дугой окружности.

Доли. Обыкновенные дроби.

Две равные дроби обозначают одно и то же дробное число.

Правильная дробь меньше единицы, а неправильная больше или равна единице.

Смешанное число можно представить в виде неправильной дроби.

Равные десятичные дроби изображаются на координатном луче одной и той же точкой.

Десятичные дроби сравнивают по разрядам.

Приближенные значения чисел. Округление чисел

Замену числа ближайшим к нему натуральным числом или нулем называют округлением этого числа до целых.

Если первая отброшенная или замененная нулем цифра 5,6,7,8 или 9, то стоящую перед ней цифру увеличивают на единицу.

Если первая отброшенная или замененная нулем цифра 0,1,2,3 или 4, то стоящую перед ней цифру оставляют без изменения.

Умножение и деление десятичных дробей.

С помощью деления находят десятичную дробь, равную данной обыкновенной дроби.

Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Процентом называют одну сотую часть.

Два дополнительных друг другу луча образуют развернутый угол ( 180 гр.)

Прямым углом называют половину развернутого угла ( 90 гр.)

Градусом называют 1/180 часть развернутого угла.

Источник

ГДЗ по Математике за 5 класс Бунимович, Дорофеев. Учебник Арифметика. Геометрия (Сферы) ФГОС

Рекомендуем посмотреть

Первый год средней школы – достаточно стрессовый период, ведь ученики сбросили с себя страховочный трос в виде статуса младшеклассников и теперь находятся на том уровне, где требования значительно строже и поблажек ждать не приходится. Усложняются все дисциплины, включая, разумеется, царицу наук, которая хоть и знакома им уже не понаслышке, тем не менее вызывает трудности при попытках ее познания. Но малыши с легкостью справятся с любым домашним заданием, если прибегнут к использованию «ГДЗ по математике 5 класс Бунимович Е. А., Дорофеев Г. В., Суворова С. Б. (Просвещение)». В этом учебно-вспомогательном онлайн-пособии собраны решенные примеры с дробными и нат-ми числами и возведением в степень, а также рассмотрены различные задачи, посвященные геометрическим фигурам и поиску объема и площади.

Причины, по которым вам стоит выбрать сборник с ГДЗ по математике для 5 класса от Бунимовича

УМК ориентирован на развитие аналитического мышления, формирование математических знаний и умений. Материалы, которые приводят авторы, соответствуют федеральному государственному образовательному стандарту, разработанному для начального общего образования. Информация, представленная в сборнике, обладает исключительной достоверностью, поскольку была не раз проверена опытными методистами, которые оставили свои комментарии ко многим упражнениям. Кроме того, благодаря онлайн-формату, он обзавелся рядом доп. достоинств:

Инструкция по применению ГДЗ

Пользоваться такого рода вспомогательной литературой нужно осторожно. Ни в коем случае нельзя допускать бездумное списывание верных ответов, поскольку это не приведет к высоким результатам в учебе. Сначала вы должны попытаться завершить д/з своими силами и без подсказок, затем – сверить полученный итог с тем, что дан в онлайн-издании, и только после этого – все проанализировать и устранить недочеты. Лишь при таком добросовестном подходе к общению с «ГДЗ по математике за 5 класс Бунимович Е. А., Дорофеев Г. В. и Суроворова С. Б. (Просвещение)» вы добьетесь максимальной эффективности.

Вопросы и задания. Параграфы

Упражнения

Подведём итоги. Главы

Е. А. Бунимович, Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова разработали учебно-методический комплекс для младших школьников. Его подготовило к печати издательство «Просвещение», отвечающее за серию «Сфера», книги из которой используются во множестве учебных заведений Российской Федерации и регулярно переиздаются. Актуальными на 2019-2020 учебный год являются версии 2013-го г. Учебник состоит из одной части, поделенной на главы и параграфы, что также распространяется и на приведенный онлайн-решебник. Все их разделы совпадают, поэтому найти нужную информацию не составит никакого труда. Ответы на упражнения и логические задачи снабжены дополнительными пояснениями и верными алгоритмами.

Почему решебник по математике 5 класс от Бунимовича поможет повысить успеваемость

Некоторые дети испытывают трудности в изучении мат. науки с самых первых ступеней. Они вынуждены регулярно посещать репетитора или проводить долгие часы за выполнением д/з с мамой или папой, стараясь разобраться с той или иной проблемой. Однако заниматься легко и приятно на самом деле совсем несложно. Просто нужно пользоваться качественными учебно-вспомогательными материалами и понимать принципы решения предложенных упражнений. Когда все сложные темы расписаны с конкретными примерами, не составит труда освоить даже самый тяжелый для понимания блок. Авторская группа ориентирует ребенка на ответственность и самостоятельность, на достижение определенного итога. С онлайн-сборником по математике учиться удобно и интересно, ведь в нем много плюсов:

ГДЗ по математике для 5 класса Бунимович, Дорофеев, Суворова заменит наемного педагога

Частный преподаватель, вероятно, сумеет помочь ребенку, столкнувшемуся с непонятной темой, но ведь и стоит данная услуга недешево. Чтобы сэкономить драгоценное время и одновременно сберечь семейный бюджет, рекомендуется для начала попробовать позаниматься с помощью электронного онлайн-пособия, ведь в нем все задания подробно объяснены, а приведенные ответы понятно расписаны. Тем более, благодаря его доступности, учиться можно в комфортных домашних условиях. С таким справочником легко готовиться к контрольным, проверочным, диагностическим работам и выполнять тесты по разным темам. На втором году обучения детям предстоит изучить следующий тематический материал:

Пособие предназначено для ребят, которые продолжают изучать арифметику после успешного окончания четырех начальных классов. Более того, онлайн-книга будет полезна учителям для формирования авторских рабочих программ, а также при составлении поурочного и внеурочного планов и организации текущего контроля на уроках. Пригодится она и родителям, переживающим за качество образования своих чад, поскольку это отличный способ проверить их знания и правильность сделанной домашки.

Источник

Что такое базовый элемент в математике 5 класс учебник

5–6 классы. Математика

Не секрет, что 30 лет назад обучение математике в 5–6 классах было больше ориентировано на формирование навыков, на обучение по образцам. Большую роль при этом играло постоянное повторение. Но тогда было 6 недельных часов на математику, теперь 5, а учебники никак не отреагировали на это изменение. Работать по нему в новых условиях стало труднее.

Линия числа развивается запутанно. По учебнику 5 класса изучают натуральные числа (без делимости), сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, все действия с десятичными дробями, исключая «плохие» случаи (0,2:0,3). По учебнику 6 класса изучают делимость натуральных чисел, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, их умножение и деление, отрицательные числа. Текстовые задачи решаются с помощью уравнения с первых уроков.

Учебники Л.Н. Шеврина и др. — «учебник-собеседник». Это первые учебники, в которых постоянные персонажи (Клоун, Смекалкин и др.), оживляют занятия математикой. К их присутствию в учебнике, как и к самому жанру, можно относиться по-разному. Идею оживления изложения материала и включения игровых моментов в процесс обучения используют и другие авторы. По уровню обоснованности изложения материала и развитию линии числа учебники близки к учебникам Виленкина, но, в отличие от них, не застыли на месте, а совершенствуются. В них теперь интересно проработана линия «Математика событий».

Учебники под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина заложили первую «сквозную» (пока не законченную в 11 классе) линию. В учебниках принят естественный порядок изучения дробей: сначала обыкновенные, потом десятичные. Вопрос о знаке числа изучается сначала на целых числах. В учебниках особо выделяется наглядно-деятельностная геометрия, есть впервые для этого возраста реализованная линия «Анализ данных». В системе упражнений выделены уровни сложности А и Б, имеются задания для самопроверки. Но чего мы не обнаружили в учебниках, так это полезной для развития учащихся работы со свойствами арифметических действий — они рассматриваются один раз при изучении натуральных чисел, а далее даже не упоминаются. Учащиеся, таким образом, будут в дальнейшем применять законы, не осознавая необходимости обоснования возможности их применения. Текстовые задачи сначала решают арифметическими методами. За «отчетный период» в учебник вернулись пропорции и соответствующие текстовые задачи.

Учебники серии «МГУ — школе» С.М. Никольского и др. начинают завершенную «сквозную» линию учебников для 5–11 классов, написанную одним авторским коллективом. Ее отличает большое внимание к последовательности и обоснованности изложения материала, естественное развитие линии числа: сначала обыкновенные дроби, потом десятичные. Идея знака числа объясняется сначала на целых числах, потом на обыкновенных дробях, лишь после этого изучаются десятичные дроби как иная запись рациональных чисел. Учебники для 5–6 классов названы «Арифметика» не потому, что авторы ностальгируют по первым учебникам математики своей молодости. Они полагают, что арифметика — первый завершенный школьный предмет, изучение которого может дать ученику представление о математической теории и способах ее изучения.

В учебниках возрождается традиционное для классических российских учебников отношение к решению текстовых задач, работа с которыми существенно помогает развитию мышления и речи учащихся, способствует успешности их обучения. Задачи сначала решают арифметическими способами. Каждая глава заканчивается разделом «Занимательные задачи», историческими сведениями и материалами, дополняющими программу. Наряду с основательным изложением теоретического материала, это способствует обучению школьников на повышенном уровне.

Авторы учебников внимательно относятся к вопросу «почему?», при расширении множества изучаемых чисел рассматривают законы арифметических действий и их применение для рационализации вычислений (дополнительный мотив для осознанного усвоения теории, развития теоретического мышления).

Учебники Л.Г. Петерсон и Г.В. Дорофеева продолжают линию учебников начальной школы тех же авторов. В них широко используются приемы активизации учебной деятельности школьников, связанные с различными игровыми и занимательными моментами. Отношение к такому подходу разное. Одни учителя увлеченно работают, используя знакомую учащимся с начальной школы систему подачи материала. Другие скептически относятся к такой организации обучения, предпочитая опираться не на внешние стимулы к занятиям математикой, а на постепенно воспитываемый интерес к математике, к красоте и силе ее методов. О вкусах, как говорится, не спорят, но остается открытым вопрос: как долго игровые мотивы могут быть полноценным стимулом к занятиям математикой?

В результате более интенсивного изучения материала в начальной школе некоторые вопросы программы 5–6 классов оказались изученными. Например, учащимся знакомы сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Учебник 5 класса начинается с делимости натуральных чисел, при изучении которой рассматриваются такие вопросы, как математический язык и математические модели, высказывания, общие утверждения, равносильность предложений, определения. Затем изучаются обыкновенные дроби, десятичные дроби.

Учебник 6 класса начинается с раздела «Язык и логика», совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями, процентов. Далее излагается весь предусмотренный стандартами для этого возраста материал с некоторым «забеганием» в программу старших классов (график прямой и обратной пропорциональной зависимости, например).

Учебники Истоминой Н.Б. продолжают линию учебников того же автора для начальной школы и тоже начинаются с делимости натуральных чисел. Далее изучаются обыкновенные дроби, десятичные дроби. По учебнику 6 класса изучаются отрицательные числа — знак минус ставится сразу и перед натуральными числами, обыкновенными и десятичными дробями, как в учебнике Виленкина.

Учебники нацелены на формирование приемов умственной деятельности, в них реализуется авторская концепция деятельностного подхода в обучении. По нашим наблюдениям, иногда деятельность ставится выше математики. Например, в упражнении 751 учащихся просят заменить умножение сложением и вычислить произведение 3/4 и 5, хотя произведение дроби и натурального числа еще не определено. Автор ожидает, что учащиеся обобщат известный только для натуральных чисел факт 3 × 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3. Это малополезный для общего развития ученика пример деятельности с никак не определенным объектом. Прием не переносится даже на умножение двух дробей.

Большая роль в учебниках отведена диалогам Маши и Миши, ответы которых бывают и правильными, и неправильными, а учащиеся должны определить, кто из ребят прав. При этом часто учащиеся не могут прибегнуть к помощи учебника, в котором нет традиционных учебных текстов. Быть может, это и способствует активизации мышления, но создает проблемы для учителя с недостаточным опытом и при самостоятельной работе с учебником. В учебнике имеются правила, выводы, которые к концу 6 класса играют все более заметную роль. Но это не «учебник-собеседник», это, скорее, «задачник-собеседник».

В нем многие факты устанавливаются опытным путем, что мало способствует развитию теоретического мышления учащихся. Поэтому их подготовка к работе с учебными текстами в курсах алгебры и геометрии 7 класса потребует от учителя дополнительных усилий.Как нам известно, автор не планирует писать учебники алгебры и геометрии в том же ключе.

После сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями и умножения и деления обыкновенной дроби на натуральное число вводятся все действия с десятичными дробями. А в учебнике 6 класса — положительные и отрицательные числа, числовые промежутки (зачем, если ось «дырявая», на ней нет иррациональных чисел?), действия с положительными и отрицательными числами. Осталось неясным: зачем надо сначала изучать умножение и деление положительных и отрицательных чисел, исключив обыкновенные дроби, а через 15 страниц — умножение и деление обыкновенных дробей?

Далее авторы возвращаются к признакам делимости натуральных чисел и простым числам! Линия развития числа в более запутанная, чем в учебниках Виленкина. В этом мы видим «минус» учебника. Зато в нем есть элементы теории вероятностей и статистики, разнообразный геометрический материал, охвачены все типы текстовых задач, традиционные для данного школьного возраста.

Учебники Э.Г. Гельфман и др. – самые новаторские учебники в номинации «5-6 классы», уходящие далеко от учебников, названных выше классическими или современными.

Учебник 5 класса состоит из двух книг (часть 1 и часть 2). Каждая из них разбита на две части — учебник и практикум (задачник). Учебник части 1 — сказка (Муми-тролль, фрёкен Снорк, Хемуль и др.), учебник части 2 — пьеса (с другими персонажами). Есть пролог, сцена первая (и следующие за ней), есть даже игры в антрактах! Учебник 6 класса тоже состоит из двух книг (часть 1 и часть 2). Учебник части 1 написан в форме детектива с участием Шерлока Холмса и Доктора Ватсона, учебник части 2 — в форме сказки (с героями русских сказок).

Линия числа запутаннее, чем в учебнике Виленкина. Судите сами.

5 класс. Позиционные системы счисления изучаются с помощью палочек, пучков, вязанок — сказочных названий разрядов натуральных чисел, общих для систем счисления с различными основаниями (внепрограммный вопрос). Сравнение натуральных чисел, десятичные дроби (!). Сравнивают десятичные дроби, рассматривая различные единицы измерения длины. Складывают натуральные числа, потом десятичные дроби, вычитают. Умножают натуральное число (потом и десятичную дробь) на однозначное натуральное число, на 10, 100, 1000, …, на круглое число, на многозначное натуральное число. Наконец, умножают десятичные дроби. Делят натуральные числа (и десятичные дроби) на однозначное натуральное число, на многозначное натуральное число, на десятичную дробь. Изучают действия с целыми числами … Всего 558 страниц текста в двух книгах на один год обучения. Это рекорд в номинации «5–6 классы».

6 класс. Изучается делимость натуральных чисел, вводятся обыкновенные дроби, основное свойство дроби, запись обыкновенных дробей в виде десятичных и десятичных в виде обыкновенных, смешанные числа. Сравнивают обыкновенные дроби, рациональные числа (дроби любого знака), умножают обыкновенные дроби — положительные, потом отрицательные. Делят. После этого (!) складывают обыкновенные дроби, смешанные числа — положительные, отрицательные. Вычитают. Изучают пропорции, проценты, диаграммы и элементы вероятностей.

Повторив запись многозначных натуральных чисел, автор называет десятичной дробью число, у которого десятичная запись имеет разряды правее разряда единиц. Здесь же объясняет, что после запятой можно дописывать нужное число нулей. Не сказав ничего про действия с десятичными дробями, он просит выполнить эти действия с помощью калькулятора!

Далее автор доказывает, что числа 50,024 и 0050,0240 равны, но как! Цитата: «Число 50,024 может быть получено из 0050,0240 зачеркиванием двух нулей в начале и одного нуля в конце». Жаль, что он не разрешает зачеркивать нули еще и в середине! Неужели только в этом случае в Федеральном экспертном совете смогли бы понять, что автор ничего не обосновывает и ничего не доказывает?

Складывая и вычитая десятичные дроби, автор повторяет сложение и вычитание натуральных чисел, действия с которыми объясняет с помощью палочек и пучков… Автор не объясняет, почему надо действовать так, как он учит, а не иначе. Он пытается обучать умениям (так и написано в концепции), хотя при обучении математике умения принято формировать с опорой на понимание выполняемых действий. Так что с «рассуждать, обосновывать, доказывать» не получается. Учащимся останется только заучивать.

Источник