Бинарные операции, их свойства
В данном параграфе главной целью является изучение основ теории групп. Группа – это множество, на котором задана некоторая бинарная (зависящая от двух аргументов) алгебраическая операция, удовлетворяющая определенным условиям. Понятие бинарной алгебраической операции лежит, следовательно, в основе всего задания теории групп.
Каждому ученику средней школы, известно слово «операция» и, одним из первых его значений, приходящих в голову, являются понятия арифметических операций – сложения, умножения, вычитания или деления. Операции можно производить не только над числами, но и над другими объектами: дизъюнкции и конъюнкции высказываний, композиции преобразований и т.д.
Во всех названых примерах операций мы имеем дело с некоторым множеством А (множество чисел, высказываний, преобразований и т.д.). При выполнении операции по двум элементам этого множества находят третий элемент того же множества (по двум заданным числам находят их сумму, по двум заданным высказываниям их конъюнкцию и т.д.). При этом ответ, зависит от порядка этих элементов (например, при вычитании чисел).
Дадим определение бинарной алгебраической операции.
Определение 1. 1. 1. Пусть А – непустое множество, тогда всякое отображение φ: A × A → A называют бинарной алгебраической операцией, заданной на множестве А.
Другими словами, бинарной операцией на А является правило или закон, согласно которому каждой упорядоченной паре элементов a и b из А ставится в соответствие однозначно определенный элемент d из A (φ: (a, b)→ d). Следуя арифметической традиции, результат применения бинарной операции φ к элементам a и b обозначают a φ b и называют композицией элементов a и b. В каждом конкретном случае композиция элементов получает свое название – сумма, произведение и т.п.
Нетрудно заметить, что вычитание на множестве N не является бинарной операцией. Действительно, по определению бинарной алгебраической операции должно выполнятся условие: ( 
(а, b) 
N 2 ) ( 
d N 2 ) d = a – b. Составим отрицание: (а, b) N 2 ( d є N) d ≠ a – b. При a = 2, b = 3 отрицание истинно, значит исходно утверждение – ложное. Следовательно, можно утверждать, что вычитание не является бинарной операцией на множестве Nи не является группоидом.
| * | a1 | a 2 | … | an |
| a 1 | a1 *a1 | a1 *a2 | … | a1 *an |
| a 2 | a2 *a1 | a2 *a2 | … | a2 *an |
| … | … | … | … | … |
| an | an *a1 | an | … | an *an |
| * | a | b |
| a | b | a |
| b | b | b |
Причем a * a = b* b= b* a= b и a* b= b. Поскольку результаты операции
Свойства операций. Полугруппы
Известны свойства арифметических действий – переместительный (коммутативный) и сочетательный (ассоциативный) законы сложения и умножения действительных чисел. Сформулируем эти свойства для произвольной бинарной алгебраической операции. Поскольку мы рассматриваем, в определении группоида, операции на определенном множестве, то, чтобы не вводить дополнительных определений, и группоидом будем называть в соответствии с названием свойства операции.
Определение 1. 1. 3. Группоид называется коммутативным (а сама операция коммутативной), если для любых двух элементов из A выполняется условие: ( a, b А) а * b = b * а.
Определение 1. 1. 4. Группоид называется ассоциативным или полугруппой (а сама операция ассоциативной), если выполняется условие:
( а, b, с А) а * (b * с) = (а* b) *с
3. Если полугруппа коммутативна, то имеет место обобщённый коммутативный закон: произведение любого конечного числа элементов из А не зависит от порядка сомножителей.
элементы для операции сложения и умножения в R.
Определение 1. 1. 5. Элемент е А группоида называется нейтральным элементом, если для любого элемента a A a* e= e* a= a.
Теорема 1. 1. 1. Каждый группоид содержит не более одного нейтрального элемента.
Поэтому, если в группоиде существует нейтральный элемент, то он единственный.
Чтобы установить, имеет ли группоид нейтральный элемент, надо выяснить, является ли группоид коммутативным, если да, то достаточно проверить одно условие: ( е А) ( а А) а * е = а. Если же нет, то надо проверять два условия: а * е = а и е * а = а.
Пример. На множестве R операция * задана правилом: a * b = a + b – 1. Покажем, что является группоидом, содержащим нейтральныйэлемент.
2. ( a, b 
R) a *b=a+b-1= b * а в силу коммутативности сложения в R;
Определение 1. 1. 6. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом.
противоположный и обратный элементы соответственно относительно операций сложения и умножения. Эти термины есть конкретизация такого математического понятия, как симметричный элемент. Правомерны следующие вопросы: каждый ли элемент множества имеет симметричный относительно операции в группоиде? При каких условиях элемент множества имеет симметричный?
Понятие симметричного элемента
Определение 1. 1. 7. Пусть группоид имеет нейтральный элемент е, тогда элемент a A называется симметризуемым, если для него существует а’ А такой, что а* а’ = а’ * а = е. Сам элемент а’ называется в этом случае симметричным для а.
Теорема 1. 2. Если в полугруппе элемент а симметризуем, то симметричный для него элемент а’ единственный.
Доказательство. Допустим, что для а А, существуют два симметричных элемента и и v. Тогда, учитывая, что дана полугруппа, получим:
Исторически сложились и существуют два языка для выражения различных фактов, касающихся бинарных алгебраических операций: мультипликативный и аддитивный.
Формы записи бинарной операции
Далее в качестве основного языка выбран мультипликативный.
Свойства бинарной алгебраической операции
АЛГЕБРА
(ЧАСТЬ 1)
Материалы для практических занятий
и самостоятельной работы
для студентов факультета МиИТ
Кафедра: «Алгебры, геометрии и методики преподавания
(направления 010100.62 «Математика»; 050100.62)
Составили: канд. физ.-мат. наук О.Н. Шатных.
Утверждены на заседании кафедры «19» ноября 2013 г.
Рекомендованы методическим советом университета
1 Понятие бинарной алгебраической операции…………………………………. 5
2 Свойства бинарной алгебраической операции…………………………………..5
Тема 2 Поле комплексных чисел………………………………………………….10
1 Алгебраическая форма комплексного числа…………………………………. 11
2 Геометрическая форма комплексного числа…………………………………. 13
3 Тригонометрическая форма комплексного числа……………………………. 14
3.1 Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме………………………………………………………..15
3.3 Извлечение корней n-ой степени из комплексного числа…………………. 15
5 Геометрическое решение уравнений……………………………………………18
Раздел 2 Матрицы и определители………………………………. 19
Тема 1 Матрицы. Определение матрицы, виды матриц, действия над матрицами.…………………………………………………….……………………19
Тема 2 Определители. Перестановки из n элементов. Подстановки n-ой степени. Определение определителя n-го порядка. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца. Следствие из неё……………..……………………………. 23
Тема 3 Обратная матрица. Вырожденные и невырожденные матрицы. Обратная матрица и ее вычисление. Матричные уравнения……………………………….27
Раздел 3 Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений…………………………………………………………………………. 29
Тема 1 Решение системы n – линейных уравнений с n неизвестными в матричном виде…………………………………………………………………….29
Тема 3 Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса). 33
Настоящие материалы составлены в соответствии с программой дисциплины «Алгебра» и предназначены для студентов направлений «Математика» и «Педагогическое образование» профиля «Математическое образование».
Разделы «Алгебры», «Поле комплексных чисел», «Матрицы и определители», «Системы линейных уравнений» изучаются в первом семестре. В данной брошюре представлены все темы раздела, которые выносятся на практические занятия. Для каждой темы указаны основные теоретические положения, приведены образцы решения типовых задач и список задач для решения.
Раздел 1 Алгебры
Тема 1 Понятие алгебры
Понятие бинарной алгебраической операции
Определение. Бинарной алгебраической операцией на множестве М называется правило (закон), по которому любым двум элементам из М, взятым в определенном порядке (т.е. паре (а,b)), ставится в соответствие единственный элемент с из этого же множества.
Пример. 1 Операция сложения на множестве чисел N, Z, Q, R.
2 Операция умножения на множестве чисел N, Z, Q, R.
Задачи для решения
1 Какие из арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) являются бинарными операциями:
2 Является ли бинарной операцией:
а) умножение на множестве иррациональных чисел;
б) сложение на множестве четных чисел;
в) сложение на множестве нечетных чисел;
г) нахождение десятичных логарифмов на множестве 
;
д) нахождение среднего геометрического двух чисел на множестве ;
е) нахождение наибольшего общего делителя на множестве N?
3 Являются ли действия, выполняемые по формулам:
б) a ◦ b= 
в) a ◦ b = 
бинарными операциями на множестве Q, и если являются, то почему?
4 Являются ли алгебраической системой множество чисел вида 
относительно: а) сложения; б) вычитания; в) умножения?
5 Является ли алгебраической системой множество радиусов-векторов, исходящих из начала декартовой системы координат и расположенных в первой четверти координатной плоскости, с операцией: а) сложение векторов; б) вычитание векторов?
Свойства бинарной алгебраической операции
Определение. Операция ◦ на множестве М называется коммутативной, если для любых а и b из этого множества справедливо равенство
Определение. Операция ◦ на множестве М называется ассоциативной, если для любых а, b, c 
M справедливо равенство
Определение. Пусть на М задана операция ◦. Элемент е называется нейтральным относительно операции ◦, если для любого а 
М справедливо равенство
Определение. Пусть на М задана операция ◦. Элемент аʹ называется симметричным к элементу а относительно операции ◦, если выполняется равенство
По сложению, аʹ обозначают –а и называют противоположным. По умножению, аʹ обозначают 
и называют обратным.
Определение. Пусть на М задана операция ◦. Операция ◦ называется обратимой, если для любых а, b M уравнения а ◦ x = b, y ◦ a = b имеют решение, причем единственное.
Пусть дано множество, на котором выполнимы две операции ◦ и *.
Определение. Операция ◦ называется дистрибутивной относительно операции *, если для любых a, b, c M выполняются равенства
Пример 1 Докажем, что на множестве R бинарная операция, заданная формулой a ◦ b = 
коммутативна, но не ассоциативна.
Решение. Пусть a, b, c – любые действительные числа. В силу коммутативности сложения на R получим:
a ◦ b = 
b ◦ a,
т.е. бинарная операция нахождения среднего арифметического на R коммутативна. Далее,
(a ◦ b) ◦ c = 
(1)
a ◦ (b ◦ c) = 
(2)
Из результатов (1) и (2) следует, что при а ≠ с равенство (a ◦ b) ◦ c=a◦(b ◦ c) не является справедливым. Следовательно, заданная операция не ассоциативна на R.
Пример 2 Докажем, что во множестве К, содержащем не менее двух элементов, на котором формулой a ◦ b = b задана бинарная операция, не существует нейтрального элемента.
Допустим, что в К существует нейтральный элемент е, и пусть а – любой элемент из К. По определению нейтрального элемента а◦ е = а, а из условия примера следует, что а◦ е = е, т.е. а = е. Это означает, что К состоит из одного элемента. Полученный результат противоречит условию, а потому сделанное допущение ошибочно.
Задачи для решения
1 Являются ли коммутативными и ассоциативными на множестве Z бинарные операции сложения, умножения и вычитания?
2 Докажите, что на множестве бинарная операция а ◦ b = 
нахождения среднего геометрического коммутативна, но не ассоциативна.
4 Какие из нижеприведенных бинарных операций:
а) a ◦ b = 
;
б) a ◦ b = c, где с – наибольший общий делитель чисел а и b;
в) a ◦ b = m, где m – наименьшее общее кратное чисел а и b, коммутативны и какие ассоциативны на множестве N.
5 Покажите, что действие выполняемое по правилу a ◦ b = 
, является коммутативной, но не ассоциативной бинарной операцией на множестве R.
6 Докажите, что относительно обычного умножения множество А= 
x=3k, k 
Z> не содержит нейтрального элемента. Обратима ли операция умножения на множестве А?
7 Пусть I – множество подмножеств некоторого непустого множества М. Существует ли в I нейтральный элемент (если существует, то какой) относительно операции объединения подмножеств на I; пересечения подмножеств? Какие элементы множества I имеют симметричные относительно операций объединения и пересечения? Обратимы ли указанные операции на множестве I?
8 Докажите, что на множестве Q действие, выполняемое по правилу a◦b = = 
является бинарной, коммутативной, ассоциативной, но необратимой операцией. Обладает ли алгебраическая система нейтральным элементом, и если обладает, то каким именно?
Виды алгебр
Определение. Алгеброй называется любое непустое множество А, на котором задана некоторая система операций
Обозначается (А, S), где А – множество, S – система операций.
Определение. Непустое множество М называется полугруппой, если в нем выполнима одна бинарная алгебраическая операция, которая является ассоциативной.
Определение. Непустое множество G называется группой, если в этом множестве выполнима одна бинарная алгебраическая операция ◦, которая обладает свойствами:
1) 
◦ ( b ◦ c ) = ( ◦ b ) ◦ c, 
2) 
◦ e = e ◦ = 
;
3) 
◦ ʹ = ʹ ◦ = e.
Группы по сложению называются аддитивными; группы по умножению – мультипликативными.
Определение. Непустое множество G называется группой, если в этом множестве выполнима одна бинарная алгебраическая операция, которая является ассоциативной и обратимой.
Определение. Если в группе G операция коммутативна, то группа G называется абелевой.
Определение. Непустое множество К называется кольцом, если в нем выполнимы две бинарные алгебраические операции – сложение и умножение, удовлетворяющие условиям:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Примеры колец. При обычных операциях сложения и умножения кольцом является множество целых чисел, множество рациональных чисел, множество действительных чисел.
Определение. Непустое множество Р называется полем, если в нем выполнимы две бинарные алгебраические операции сложение и умножение, удовлетворяющие аксиомам:
1)
2)
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
Пример 1 Доказать, что на множество Z образует группу относительно действия, заданного формулой
◦ 
1 Рассматриваемое на Z действие сводится к сложению или вычитанию целых чисел, а т.к. сложение и вычитание элементов из Z дает в результате элемент из Z, то на множестве Z рассматриваемое действие является бинарной операцией.
2 Проанализируем возможные случаи
a) Если a, b – четные числа, а с – любое число из Z, то
◦ 
◦ 
◦ 
) ◦ 
т.е. ◦ ◦ 
◦ ) ◦ 
.
б) Если a – четное число, b – нечетное, а с – любое число из Z, то
◦ ◦ 
◦ ) ◦ 
т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .
в) Если a – нечетное число, b – четное, а с – любое число из Z, то 
нечетно и потому
◦ ◦ 
◦ ) ◦ 
т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .
г) Если a, b – нечетные числа, а с – любое число из Z, то четно и потому
◦ ◦ 
◦ ) ◦ 
т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .
Итак, во всех возможных случаях заданная на Z бинарная операция является ассоциативной.
3 Т.к. 0 – четное число, то 0 ◦ 
Кроме того, если 
, то ◦ 0 = 
если же нечетно, то ◦ 0 = 
. Итак, 0 ◦ 
◦ 0, т.е. 0 является в Z нейтральным элементом относительно заданной операции.
4 Для любого элемента 
в Z существует обратный элемент: для четного обратным будет противоположное число 
, т.к. ◦ 
= 
; для нечетного обратным будет само число , т.к. ◦ = 
.
Итак, Z является группой относительно заданной операции.
Задачи для решения
1 Является ли множество Z полугруппой относительно: а) сложения, б) вычитания?
2 Является ли множество N полугруппой относительно операции нахождения наибольшего общего делителя?
3 Почему множество R не является полугруппой относительно действия, выполняемого по правилу ◦ b = 
для любых , b 
4 Выясните, какие из нижеприведенных множеств являются группами относительно нижеуказанных операций:
а) множество Z относительно вычитания;
б) множество четных чисел относительно умножения;
в) множество целых чисел, кратных любому заданному натуральному числу n, относительно сложения;
г) множество 
относительно умножения;
д) множество Q относительно умножения;
е) множество Q \ <0>относительно умножения;
ж) множество R \ <0>относительно умножения;
з) множество трехмерных (n-мерных) арифметических векторов относительно сложения;
и) множество чисел вида а + b 
относительно сложения, если а и b – любые рациональные числа;
к) множество многочленов одной и той же степени n от одного аргумента относительно сложения;
л) множество многочленов степени не выше n относительно сложения;
м) множество многочленов от одного аргумента относительно сложения;
5 На множестве Q 
<0>определено действие ◦ b = 
. Докажите, что относительно указанного действия данное множество является группой.
6 Является ли кольцом множество L чисел вида 
относительно обычных операций сложения и умножения?
8 Докажите, что множество А чисел вида 2а + 2b 
где a, b – любые целые числа, является числовым кольцом.
9 Для каких чисел n = 2, 3, 4, 5, 6, 7 существует поле из n элементов?
10 Почему кольцо <0>не является полем?
11 На множестве М = 
и умножение 
определены следующим образом:
Выясните, обладает ли это множество нулем и единицей и является ли система полем относительно заданных бинарных операций.
