Что такое десятичная система в математике

Десятичная система счисления

Система счисления — это способ записи (представление) чисел с помощью определённого набора письменных знаков.

Десятичная система счисления — это позиционная система счисления, в которой для записи чисел используют десять знаков:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Знаки, употребляемые для записи чисел, называются цифрами.

В десятичной системе значение одной и той же цифры зависит от её позиции в записи числа. Для примера возьмём число 777, которое состоит из трёх одинаковых цифр. В этом числе первая слева цифра означает семь сотен, вторая — семь десятков, а третья — семь единиц. Так как значение цифры зависит от её позиции в записи числа, десятичную систему счисления также называют позиционной.

Позиционной называют такую систему счисления, в которой значение цифры зависит от её позиции в записи числа.

Числа, которые записаны с помощью одной цифры, называют однозначными, записанные с помощью двух — двузначными, так же по количеству цифр в числе дают названия и другим числам:

Однозначные числа: 1, 2, 4.

Двузначные числа: 14, 77, 92.

Трёхзначные числа: 122, 345.

Шестизначные числа: 537633, 987345.

Двузначные, трёхзначные, четырёхзначные, пятизначные и т. д. числа называют многозначными.

Следует помнить, что цифра и число не одно и то же.

Цифра – это только письменный знак, используемый для записи числа. Число может быть обозначено не одной, а несколькими цифрами (например, 75) или может быть выражено словами (семьдесят пять).

Источник

Десятичная система счисления

Всего получено оценок: 202.

Всего получено оценок: 202.

Все вычисления в математике выполняются в позиционной десятичной системе счисления. Кратко об особенностях десятичной системы можно прочитать в данной статье.

Что такое десятичная система счисления

В десятичной системе для представления чисел использует десять арабских цифр от 0 до 9, соответственно основанием десятичной системы счисления является число 10.

Историки, изучающие культуру древнего востока, в Индии обнаружили плиту с начертанием числа в позиционной десятичной системе. Возраст найденного артефакта составляет порядка 1,5 тысяч лет. Здесь же в древней Индии впервые используется ноль, как самостоятельная цифра.

Развернутая форма представления десятичного числа

Важным понятием в позиционном подходе представления чисел является понятие разряда. Различают разряды единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее. Любое десятичное число можно представить, в так называемом развернутом виде, когда число записывается в виде суммы разрядных слагаемых, представленных в виде произведения значащей цифры разряда и числа десять в степени соответствующего разряда.

Например, десятичное число 46758 в развернутом виде будет выглядеть следующим образом:

46758 = 4 * 10^4 + 6 * 10^3 + 7 * 10^2 + 5 * 10^1 + 8 * 10^0

46758 = 4 * 10000 + 6 * 1000 + 7 * 100 + 5 * 10 + 8 * 1

Прямой перевод числа из десятичной системы

Перевод целого десятичного числа в какую-либо систему счисления выполняется путем поочередного деления самого числового значения, а затем полученных частных на основание системы счисления, в которую производится перевод.

Например, для перевода десятичного числа в двоичную систему выполняют деление на два, в восьмеричную – на восемь, в шестнадцатеричную – на шестнадцать. В принципе, десятичное число можно перевести и в пятеричную и семеричную системы, выполнив деление на пять или семь.

Выполнив первый шаг деления на, например, два, остаток запоминают, а полученное частное снова делят на основание. Эту операцию выполняют до тех пор, пока последнее частное не будет меньше или равно делителю.

Записывать сформированное число в новой системе счисления необходимо начиная с итогового частного и затем друг за другом выписывая остатки от деления от последнего к первому.

Например, прямой перевод числа 27 из десятичной системы в двоичную выполняют так:

27 / 2 = 13 и остаток 1

13 / 2 = 6 и остаток 1

6 / 2 = 3 и остаток 0

3 / 2 = 1 и остаток 1

Таким образом, 27 в двоичном формате это число 11011.

Для перевода чисел в пределах можно пользоваться таблицей соответствия десятичных и двоичных чисел

Рис. 2. Таблица соответствия двоичных и десятичных чисел.

Обратный перевод числа в десятичную систему

Для перевода чисел в десятичную систему удобно пользоваться развернутой формой. При этом числовые значения записываются в виде суммы произведений цифр разрядов на основание текущей системы счисления в степени разряда.

Например, двоичное число 11011 можно представить так:

1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 =27

Для упрощения вычислений удобно пользоваться таблицей степени двойки

Рис. 3. Степени двойки.

Что мы узнали?

В десятичной позиционной системе для представления числовых значений используются десять арабских цифр. Числа в такой системе можно представлять в развернутом виде. Перевод десятичных чисел в другую систему выполняется путем поочередного деления на основание новой системы счисления. Обратный перевод удобно выполнять с использованием развернутой формы записи числа.

Источник

Основы систем счисления

Изучая кодировки, я понял, что недостаточно хорошо понимаю системы счислений. Тем не менее, часто использовал 2-, 8-, 10-, 16-ю системы, переводил одну в другую, но делалось все на “автомате”. Прочитав множество публикаций, я был удивлен отсутствием единой, написанной простым языком, статьи по столь базовому материалу. Именно поэтому решил написать свою, в которой постарался доступно и по порядку изложить основы систем счисления.

Введение

Система счисления — это способ записи (представления) чисел.

Что под этим подразумевается? Например, вы видите перед собой несколько деревьев. Ваша задача — их посчитать. Для этого можно — загибать пальцы, делать зарубки на камне (одно дерево — один палец\зарубка) или сопоставить 10 деревьям какой-нибудь предмет, например, камень, а единичному экземпляру — палочку и выкладывать их на землю по мере подсчета. В первом случае число представляется, как строка из загнутых пальцев или зарубок, во втором — композиция камней и палочек, где слева — камни, а справа — палочки

Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные, а позиционные, в свою очередь, — на однородные и смешанные.

Непозиционная — самая древняя, в ней каждая цифра числа имеет величину, не зависящую от её позиции (разряда). То есть, если у вас 5 черточек — то число тоже равно 5, поскольку каждой черточке, независимо от её места в строке, соответствует всего 1 один предмет.

Позиционная система — значение каждой цифры зависит от её позиции (разряда) в числе. Например, привычная для нас 10-я система счисления — позиционная. Рассмотрим число 453. Цифра 4 обозначает количество сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десяток и аналогично значению 50, а 3 — единиц и значению 3. Как видим — чем больше разряд — тем значение выше. Итоговое число можно представить, как сумму 400+50+3=453.

Однородная система — для всех разрядов (позиций) числа набор допустимых символов (цифр) одинаков. В качестве примера возьмем упоминавшуюся ранее 10-ю систему. При записи числа в однородной 10-й системе вы можете использовать в каждом разряде исключительно одну цифру от 0 до 9, таким образом, допускается число 450 (1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, поскольку символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.

Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может отличаться от наборов других разрядов. Яркий пример — система измерения времени. В разряде секунд и минут возможно 60 различных символов (от «00» до «59»), в разряде часов – 24 разных символа (от «00» до «23»), в разряде суток – 365 и т. д.

Непозиционные системы

Как только люди научились считать — возникла потребность записи чисел. В начале все было просто — зарубка или черточка на какой-нибудь поверхности соответствовала одному предмету, например, одному фрукту. Так появилась первая система счисления — единичная.

Единичная система счисления

Число в этой системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек.
Но эта система обладает явными неудобствами — чем больше число — тем длиннее строка из палочек. Помимо этого, можно легко ошибиться при записи числа, добавив случайно лишнюю палочку или, наоборот, не дописав.

Для удобства, люди стали группировать палочки по 3, 5, 10 штук. При этом, каждой группе соответствовал определенный знак или предмет. Изначально для подсчета использовались пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.

Древнеегипетская десятичная система

Почему она называется десятичной? Как писалось выше — люди стали группировать символы. В Египте — выбрали группировку по 10, оставив без изменений цифру “1”. В данном случае, число 10 называется основанием десятичной системы счисления, а каждый символ — представление числа 10 в какой-то степени.

Числа в древнеегипетской системе счисления записывались, как комбинация этих
символов, каждый из которых повторялся не более девяти раз. Итоговое значение равнялось сумме элементов числа. Стоит отметить, что такой способ получения значения свойственен каждой непозиционной системе счисления. Примером может служить число 345:

Вавилонская шестидесятеричная система

В отличии от египетской, в вавилонской системе использовалось всего 2 символа: “прямой” клин — для обозначения единиц и “лежачий” — для десятков. Чтобы определить значение числа необходимо изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинается с появления прямого клина после лежачего. В качестве примера возьмем число 32:

Число 60 и все его степени так же обозначаются прямым клином, что и “1”. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.
Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а большие значения — в позиционной с основанием 60. Число 92:

Запись числа была неоднозначной, поскольку не существовало цифры обозначающей ноль. Представление числа 92 могло обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа был введен специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа:

Теперь число 3632 следует записывать, как:

Шестидесятеричная вавилонская система — первая система счисления, частично основанная на позиционном принципе. Данная система счисления используется и сегодня, например, при определении времени — час состоит из 60 минут, а минута из 60 секунд.

Римская система

Римская система не сильно отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Число в римской системе счисления — это набор стоящих подряд цифр.

Позиционные системы счисления

Как упоминалось выше — первые предпосылки к появлению позиционной системы возникли в древнем Вавилоне. В Индии система приняла форму позиционной десятичной нумерации с применением нуля, а у индусов эту систему чисел заимствовали арабы, от которых её переняли европейцы. По каким-то причинам, в Европе за этой системой закрепилось название “арабская”.

Десятичная система счисления

Это одна из самых распространенных систем счисления. Именно её мы используем, когда называем цену товара и произносим номер автобуса. В каждом разряде (позиции) может использоваться только одна цифра из диапазона от 0 до 9. Основанием системы является число 10.

Для примера возьмем число 503. Если бы это число было записано в непозиционной системе, то его значение равнялось 5+0+3 = 8. Но у нас — позиционная система и значит каждую цифру числа необходимо умножить на основание системы, в данном случае число “10”, возведенное в степень, равную номеру разряда. Получается, значение равно 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Чтобы избежать путаницы при одновременной работе с несколькими системами счисления основание указывается в качестве нижнего индекса. Таким образом, 503 = 503₁₀.

Помимо десятичной системы, отдельного внимания заслуживают 2-, 8-, 16-ая системы.

Двоичная система счисления

Эта система, в основном, используется в вычислительной технике. Почему не стали использовать привычную нам 10-ю? Первую вычислительную машину создал Блез Паскаль, использовавший в ней десятичную систему, которая оказалась неудобной в современных электронных машинах, поскольку требовалось производство устройств, способных работать в 10 состояниях, что увеличивало их цену и итоговые размеры машины. Этих недостатков лишены элементы, работающие в 2-ой системе. Тем не менее, рассматриваемая система была создана за долго до изобретения вычислительных машин и уходит “корнями” в цивилизацию Инков, где использовались кипу — сложные верёвочные сплетения и узелки.

Двоичная позиционная система счисления имеет основание 2 и использует для записи числа 2 символа (цифры): 0 и 1. В каждом разряде допустима только одна цифра — либо 0, либо 1.

Примером может служить число 101. Оно аналогично числу 5 в десятичной системе счисления. Для того, чтобы перевести из 2-й в 10-ю необходимо умножить каждую цифру двоичного числа на основание “2”, возведенное в степень, равную разряду. Таким образом, число 101₂ = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5₁₀.

Хорошо, для машин 2-я система счисления удобнее, но мы ведь часто видим, используем на компьютере числа в 10-й системе. Как же тогда машина определяет какую цифру вводит пользователь? Как переводит число из одной системы в другую, ведь в её распоряжении всего 2 символа — 0 и 1?

Чтобы компьютер мог работать с двоичными числами (кодами), необходимо чтобы они где-то хранились. Для хранения каждой отдельной цифры применяется триггер, представляющий собой электронную схему. Он может находится в 2-х состояниях, одно из которых соответствует нулю, другое — единице. Для запоминания отдельного числа используется регистр — группа триггеров, число которых соответствует количеству разрядов в двоичном числе. А совокупность регистров — это оперативная память. Число, содержащееся в регистре — машинное слово. Арифметические и логические операции со словами осуществляет арифметико-логическое устройство (АЛУ). Для упрощения доступа к регистрам их нумеруют. Номер называется адресом регистра. Например, если необходимо сложить 2 числа — достаточно указать номера ячеек (регистров), в которых они находятся, а не сами числа. Адреса записываются в 8- и 16-ричной системах (о них будет рассказано ниже), поскольку переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется достаточно просто. Для перевода из 2-й в 8-ю число необходимо разбить на группы по 3 разряда справа налево, а для перехода к 16-ой — по 4. Если в крайней левой группе цифр не достает разрядов, то они заполняются слева нулями, которые называются ведущими. В качестве примера возьмем число 101100₂. В восьмеричной — это 101 100 = 54₈, а в шестнадцатеричной — 0010 1100 = 2С₁₆. Отлично, но почему на экране мы видим десятичные числа и буквы? При нажатии на клавишу в компьютер передаётся определённая последовательность электрических импульсов, причём каждому символу соответствует своя последовательность электрических импульсов (нулей и единиц). Программа драйвер клавиатуры и экрана обращается к кодовой таблице символов (например, Unicode, позволяющая закодировать 65536 символов), определяет какому символу соответствует полученный код и отображает его на экране. Таким образом, тексты и числа хранятся в памяти компьютера в двоичном коде, а программным способом преобразуются в изображения на экране.

Восьмеричная система счисления

8-я система счисления, как и двоичная, часто применяется в цифровой технике. Имеет основание 8 и использует для записи числа цифры от 0 до 7.

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система широко используется в современных компьютерах, например при помощи неё указывается цвет: #FFFFFF — белый цвет. Рассматриваемая система имеет основание 16 и использует для записи числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, где буквы равны 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно.

Помимо рассмотренных позиционных систем счисления, существуют и другие, например:
1) Троичная
2) Четверичная
3) Двенадцатеричная

Позиционные системы подразделяются на однородные и смешанные.

Однородные позиционные системы счисления

Определение, данное в начале статьи, достаточно полно описывает однородные системы, поэтому уточнение — излишне.

Смешанные системы счисления

К уже приведенному определению можно добавить теорему: “если P=Q n (P,Q,n – целые положительные числа, при этом P и Q — основания), то запись любого числа в смешанной (P-Q)-ой системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием Q.”

Смешанными системами счисления также являются, например:
1) Факториальная
2) Фибоначчиева

Перевод из одной системы счисления в другую

Иногда требуется преобразовать число из одной системы счисления в другую, поэтому рассмотрим способы перевода между различными системами.

Преобразование в десятичную систему счисления

Пример: 101₂ = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5₁₀

Преобразование из десятичной системы счисления в другие

Записав все остатки снизу вверх, получаем итоговое число 17. Следовательно, 15₁₀ = 17₈.

Преобразование из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы

В качестве примера возьмем число 1001₂: 1001₂ = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ) = (0+0+1) (0+0+1) = 11₈

Для перевода в шестнадцатеричную — разбиваем двоичное число на группы по 4 цифры справа налево, затем — аналогично преобразованию из 2-й в 8-ю.

Преобразование из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную

Перевод из восьмеричной в двоичную — преобразуем каждый разряд восьмеричного числа в двоичное 3-х разрядное число делением на 2 (более подробно о делении см. выше пункт “Преобразование из десятичной системы счисления в другие”), недостающие крайние разряды заполним ведущими нулями.

Для примера рассмотрим число 45₈: 45 = (100) (101) = 100101₂

Перевод из 16-ой в 2-ю — преобразуем каждый разряд шестнадцатеричного числа в двоичное 4-х разрядное число делением на 2, недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями.

Преобразование дробной части любой системы счисления в десятичную

Преобразование осуществляется также, как и для целых частей, за исключением того, что цифры числа умножаются на основание в степени “-n”, где n начинается от 1.

Преобразование дробной части двоичной системы в 8- и 16-ую

Перевод дробной части осуществляется также, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на группы по 3 и 4 цифры идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа.

Пример: 1001,01₂ = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ), (0*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0 ) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2₈

Преобразование дробной части десятичной системы в любую другую

Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в ноль и начать умножение получившегося числа на основание системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в ноль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль.

Для примера переведем 10,625₁₀ в двоичную систему:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Записав все остатки сверху вниз, получаем 10,625₁₀ = (1010), (101) = 1010,101₂

Источник

Системы счисления в математике

Содержание:

Системы счисления в математике

Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр). Системы счисления бывают: непозиционными (в этих системах значение цифры не зависит от ее позиции — положения в записи числа).

Непозиционные системы счисления

Непозиционными называются такие системы счисления, в которых каждая цифра сохраняет своё постоянное значение независимо от того места, которое она занимает в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления, которая дошла до наших дней и иногда используется, является римская система счисления. В этой системе для записи чисел используется такие цифры: I, V, X, C, D, M и т.д., они обозначают числа один, пять, десять, пятьдесят, сто, тысяча и т.д. Запись любых других чисел производится на основе определённых правил: несколько одинаковых цифр, стоящих рядом, отображают число, равное сумме чисел, которые соответствуют этим цифрам, например III — три, XX — двадцать, пара цифр в которой младшая цифра (которая обозначает меньшее число) стоит слева от старшей (которая обозначает большее число), отображает разность соответствующих чисел, например IV — четыре, XL — сорок, пара цифр, в которой младшая цифра стоит справа от старшей, отображает сумму соответствующих чисел, например XI — одиннадцать, VI — шесть, и т.п.

Позиционные системы счисления

Позиционными называются такие системы счисления, в которых значение каждой цифры определяется не только самой цифрой, но и тем местом (позицией), которое она занимает в записи числа.

Основой позиционной системы счисления называется число , которое показывает, сколько необходимо единиц любого разряда для получения единицы старшего разряда. Систему счисления с основой будем обозначать через . Очевидно, что основой системы счисления определяется количество цифр, которые используются для записи чисел в данной системе счисления. Основой десятичной системы счисления является число десять, для записи любых чисел используется только десять разных чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В позиционной системе счисления с основой используются разных целых чисел , которые называются базой системы счисления. Различаются позиционные системы счисления с неотъемлемой и симметричной базой. В позиционных системах счисления с неотъемлемой базой цифры означают последовательные целые числа начиная с нуля; в позиционных системах счисления с симметричной базой цифры обозначают последовательные целые числа, симметрично расположенные относительно нуля и ноль. Как правило, цифры 0, 1 в позиционных системах счисления обозначают число ноль и единицу.

Числа в позиционной системе счисления с основой записывают как последовательность цифр системы , разделённых запятой на целую и дробную части. Если буквы обозначают цифры системы, то последовательность цифр означает число .

Арифметические действия над числами в любой позиции системы счисления выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе. Однако, при выполнении действий над числами системы, необходимо пользоваться таблицами сложения и умножения этой системы.

Чтобы различать в какой системе счисления записано то или другое число, договоримся обозначать через число х, записанное в системе счисления .

Рассмотрим наиболее внедрённые в ЭВМ системы счисления.

Двоичная система счисления

Эта система счисления использует две цифры 0, 1, которые обозначают числа ноль и единицу соответственно. Основой этой системы является число два.

Ниже дано изображения некоторых чисел в двоичной системе счисления:

При добавлении двух чисел, записанных в двоичной системе счисления, следует пользоваться таблицей сложения:

Таблица умножения в двоичной системе счисления также очень простая:

Примеры

Восьмеричная система счисления

Эта система счисления использует цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 для обозначения последовательных чисел от нуля до семи включительно. Основой этой системы является число 8. Запись произвольного числа в этой системе основывается на его разложении по степеням числа восемь с указанными выше коэффициентами.

Запишем некоторые числа в восьмеричной системе счисления:

Восьмеричные таблицы сложения и умножения имеют вид:

Примеры

Шестнадцатеричная система счисления

Эта система счисления использует шестнадцать цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, которые обозначают последовательно целые числа, начиная с нуля заканчивая числом «пятнадцать». Основой этой системы счисления является число шестнадцать.

Запишем некоторые числа в шестнадцатеричной системе счисления:

Примеры

Переведение чисел из одной системы в другую

При решении задач на ЭВМ начальные данные, как правило, задаются в десятичной системе счисления, в той же системе необходимо получить результат. Однако почти все машины работают не в десятичной системе, а в какой-нибудь другой, например в двоичной. Поэтому возникает необходимость переведения чисел из одной системы в другую. При рассмотрении правил перевода чисел из одной системы счисления в другую ограничимся только системами счисления с неотъемлемой базой. Поскольку переведение отрицательных чисел сводится к переводу абсолютных величин и приписыванием им знака минус, то достаточно рассмотреть перевод положительных чисел.

Перевод чисел системы в систему с помощью арифметики системы .

Такой перевод будем обозначать символами .

Для того, чтобы число , записанное в системе .

перевести в систему , пользуясь арифметикой системы , необходимо:

а) записать число в виде:

б) заменить основу 10 и все цифры системы их изображениями в системе ;

в) сделать вычисления, пользуясь арифметикой системы .

Примеры:

Проведя вычисления, пользуясь арифметикой десятичной системы счисления, получаем число 22,75₁₀.

б) Перевести число 27,5₁₀ из десятичной системы счисления в двоичную

то, заменив основу 10 и цифры 2, 7, 5 их изображением в двоичной системе счисления, получаем:

Сделав вычисления, пользуясь арифметикой двоичной системы счисления, получим число .

Следовательно,

в) Перевести число 634,52₈ из восьмеричной системы счисления в десятичную (8 → 10(10)).

Подав это число в виде

и заменив основу 10 — числом 8 (цифры 6, 3, 4, 5, 2 имеют тот же вид в десятичной системе счисления) получаем:

Сделав вычисления, пользуясь арифметикой десятичной системы счисления, получаем число 412,93750₁₀.

Следовательно, 634,52_{8 =} 412,93750_10.

г) Перевести число 98,6₁₀ из десятичной системы счисления в восьмеричную (10 →8(8)).

Представив это число в виде

и заменив основу числа 10 и цифры 9, 8, 6 их видом в восьмеричной системе счисления, получим:

Сделав вычисления, руководствуясь арифметикой восьмеричной системы счисления получим число 142,4₈. Следовательно, 98,6₁₀ = 142,4₈.

Перевод чисел системы в систему с помощью арифметики системы

Перевод чисел системы в систему с помощью арифметики системы .

Такой перевод будем обозначать символами . Поскольку для перевода любого числа достаточно уметь переводить его дробную и целую части, то можно рассмотреть эти оба случая отдельно.

Перевод целых чисел

Пусть целое число , записанное в системе , необходимо перевести в систему . Поскольку — целое число, то его вид в системе будет таким:

где цифры системы , которые необходимо определить, а 10 — основа системы .

Заменим цифры и основу 10 системы их видом в системе . Пусть является изображением цифры изображением основы системы в системе .

Разделив обе части полученного равенства на , получим остаток и частное

Если теперь частное разделить на , то получим остаток и частное

Повторяя этот процесс раз, мы последовательно найдём все числа , причём последнее частное Деление выполняем, пользуясь арифметикой системы .

Таким образом, при последовательном делении числа и частных, которые получаем при делении, на основу системы, записанную в системе, то есть на , получим в виде остатков от деления цифры, необходимое для изображения числа в системе , записанные в системе . Последовательное деление производится до тех пор, пока не одержим частное, меньше чем . Это последнее частное даст нам цифру числа , записанную в системе. При делении пользуются арифметикой системы .

Примеры

а) Перевести число 65₁₀ из десятичной системы счисления в двоичную (10 → 2(10)).

и десятичные цифры 0, 1 имеют тоже самое изображение в двоичной системе счисления, то 65₁₀ = 1000001₂

б) Перевести число 325₁₀ из десятичной системы счисления в восьмеричную (10 → 8(10)).

и десятичные цифры 5, 0 имеют тоже самое изображение в восьмеричной системе счисления, то 325₁₀ = 505₈.

в) Перевести число 3060₁₀ из десятичной системы в шестнадцатеричную (10→16(10)).

а десятичные цифры 15, 11 изображаются в шестнадцатеричной системе счисления как F и B, 3060₁₀ = BF4₁₆.

г) Перевести число 111011₂ из двоичной системы счисления в десятичную (2→10(2)).

Пользуясь арифметикой двоичной системы счисления, получим:

Двоичные числа 101 и 1001 в десятичной системе счисления имеют изображение 5 и 9 соответственно, 111011₂ = 59₁₀.

Переведение правильных дробей

Пусть D — правильная дробь, записанная в системе P. Допустим, что необходимо перевести дробь в систему . Пусть изображение D в системе найдём и она имеет изображение

Умножим две части полученного равенства на . Получим число, целая часть которого и дробная часть

Умножим на , получим число, целая часть которого и дробная

Повторяя умножение необходимое нам количество раз, мы найдём одну за одной цифры, необходимые нам для изображения числа D в системе . При умножении пользуемся арифметикой системы P.

Таким образом, при последовательном умножении числа D и дробных частей произведения, которые получаются при умножении на основу , записанную в системе P, то есть на , получим в виде целых частей произведений цифры, необходимые для изображения числа D в системе . Умножение выполняем, пользуясь арифметикой системы P.

Примеры:

а) Перевести число 0,5625₁₀ из десятичной системы исчисления в восьмеричную (10→8(10)).

и десятичная цифра 4 имеет то же самое изображение в восьмеричной системе счисления, то 0,5625₁₀ = 0,44₈.

б) Перевести число 0,375₁₀ из десятичной системы исчисления в двоичную (10→2(10)).

и десятичные цифры 0, 1 имеют то же самое изображение в двоичной системе счисления, то 0,375₁₀ = 0,0012.

в) Перевести число 0,5B4₁₆ из шестнадцатеричной системы исчисления в десятичную (16→10(16)).

и шестнадцатеричные цифры 5, 5, 5, 6, 0, 1, 2 имеют то же самое изображение в десятичной системе счисления, то 0,5B4₁₆ = 0,3569015625₁₀.

Замечание: Удобнее всего, при переводе чисел из системы счисления P в систему , пользоваться арифметикой системы P, если

Перевод чисел системы в систему и наоборот, если .

Пусть , где целые положительные числа. В этом случае общие правила перевода значительно упрощаются.

Для того, чтобы перевести число системы в систему при , достаточно каждую цифру этого числа заменить соответствующим -разрядным числом в системе .

Для того, чтобы перевести число системы в систему при , достаточно, двигаясь от запятой влево и вправо, разбить все цифры числа на группы по цифр в каждой (крайние группы дополняются нулями, если это необходимо) и каждую группу заменить соответствующей цифрой системы .

Примеры:

Трёхразрядное двоичное число, которое соответствует определённой восьмеричной цифре, называется триадой. Соответствие между восьмеричными цифрами и триадами такое:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник