Что такое десятичное число

Основные сведения о десятичной системе счисления

Системы счисления. Основные понятия

Система счисления — это набор правил записи чисел посредством конечного набора цифр.

Системы счисления разделяются на:

Основание системы счисления — это количество цифр, используемых в данной системе.

Вес разряда — это отношение количественного эквивалента цифры в данном разряде к количественному эквиваленту такой же цифры в нулевом разряде:

Разряды числа нумеруются справа налево. Младший разряд имеет номер ноль. Разряды дробной части нумеруются отрицательными числами:

Что такое десятичная система счисления

Десятичная система счисления — это система счисления по целочисленному основанию 10 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 арабские цифры). Она является позиционной системой счисления и наиболее распространенной.

Ученые утверждают, что использование такой распространенной системы связана с количеством пальцев на руках у человека.

Десятичные цифры используют в двоично-десятичном кодировании в двоичных компьютерах.

Алгоритм перевода чисел из любой системы счисления в десятичную

Перевести целое число с основанием q в десятичное можно с помощью следующего алгоритма:

Также можно переводить дроби с основанием q в десятичную систему счисления. Воспользуемся следующей формулой:

Примеры решения задач

Дано число в двоичной система 10011. Перевести число в десятичную систему счисления.

10011 2 = 1 ∙ 2 4 + 0 ∙ 2 3 + 0 ∙ 2 2 + 1 ∙ 2 1 + 1 ∙ 2 0 = 1 ∙ 16 + 0 ∙ 8 + 0 ∙ 4 + 1 ∙ 2 + 1 ∙ 1 = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19 10

Перевести в десятичную систему счисления число 17 из восьмеричной системы.

17 8 = 1 ∙ 8 1 + 7 ∙ 8 0 = 1 ∙ 8 + 7 ∙ 1 = 8 + 7 = 15 10

Перевести из пятеричной системы счисления число 20341 в десятичную систему.

20341 5 = 2 ∙ 5 4 + 0 ∙ 5 3 + 3 ∙ 5 2 + 4 ∙ 5 1 + 1 ∙ 5 0 = 2 ∙ 625 + 0 ∙ 125 + 3 ∙ 25 + 4 ∙ 5 + 1 ∙ 1 = 1250 + 0 + 75 + 20 + 1 = 1346 10

Число 0,F3D0 из шестнадцатеричной системы счисления перевести в десятичную систему.

Перевести в десятичную систему счисления двоичное число 101,11.

Источник

Десятичные дроби: определения, запись, примеры, действия с десятичными дробями

Данный материал мы посвятим такой важной теме, как десятичные дроби. Сначала определимся с основными определениями, приведем примеры и остановимся на правилах десятичной записи, а также на том, что из себя представляют разряды десятичных дробей. Далее выделим основные виды: конечные и бесконечные, периодические и непериодические дроби. В финальной части мы покажем, как точки, соответствующие дробным числам, расположены на оси координат.

Что такое десятичная запись дробных чисел

Так называемая десятичная запись дробных чисел может быть использована как для натуральных, так и для дробных чисел. Она выглядит как набор из двух и более цифр, между которыми есть запятая.

Десятичная запятая нужна для того, чтобы отделять целую часть от дробной. Как правило, последняя цифра десятичной дроби не бывает нулем, за исключением случаев, когда десятичная запятая стоит сразу после первого же нуля.

Определение десятичных дробей

Основываясь на указанном выше понятии десятичной записи, мы можем сформулировать следующее определение десятичных дробей:

Десятичные дроби представляют собой дробные числа в десятичной записи.

О том, как правильно представить в десятичном виде обыкновенные дроби с десятками, сотнями, тысячами в знаменателе, будет рассказано в рамках отдельного материала.

Как правильно читать десятичные дроби

Что такое разряды в десятичных дробях

Названия разрядов, расположенных до запятой, аналогичны тем, что существуют в натуральных числах. Названия тех, что расположены после, наглядно представлены в таблице:

Любую десятичную дробь можно разложить по отдельным разрядам, то есть представить в виде суммы. Это действие выполняется так же, как и для натуральных чисел.

Что такое конечные десятичные дроби

Все дроби, о которых мы говорили выше, являются конечными десятичными дробями. Это означает, что количество цифр, расположенное у них после запятой, является конечным. Выведем определение:

Конечные десятичные дроби представляют собой вид десятичных дробей, у которых после знака запятой стоит конечное число знаков.

Основные виды бесконечных десятичных дробей: периодические и непериодические дроби

Мы указывали выше, что конечные дроби называются так потому, что после запятой у них стоит конечное число цифр. Однако оно вполне может быть и бесконечным, и в этом случае сами дроби также будут называться бесконечными.

Бесконечными десятичными дробями называются такие, у которых после запятой стоит бесконечное количество цифр.

В «хвосте» такой дроби могут стоять не только случайные на первый взгляд последовательности цифр, но постоянное повторение одного и того же знака или группы знаков. Дроби с чередованием после десятичной запятой называются периодическими.

Периодическими десятичными дробями называются такие бесконечные десятичные дроби, у которых после запятой повторяется одна цифра или группа из нескольких цифр. Повторяющаяся часть называется периодом дроби.

Во избежание ошибок введем однообразие обозначений. Условимся записывать только один период (максимально короткую последовательность цифр), который стоит ближе всего к десятичной запятой, и заключать его в круглые скобки.

Бесконечные десятичные периодические дроби относятся к рациональным числам. Иначе говоря, любую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной, и наоборот.

Существуют и дроби, у которых после запятой бесконечно повторяющаяся последовательность отсутствует. В таком случае их называют непериодическими дробями.

К непериодическим десятичным дробям относятся те бесконечные десятичные дроби, в которых после запятой не содержится периода, т.е. повторяющейся группы цифр.

Непериодические дроби относятся к иррациональным числам. В обыкновенные дроби их не переводят.

Основные действия с десятичными дробями

С десятичными дробями можно производить следующие действия: сравнение, вычитание, сложение, деление и умножение. Разберем каждое из них отдельно.

Сравнение десятичных дробей может быть сведено к сравнению обыкновенных дробей, которые соответствуют исходным десятичным. Но бесконечные непериодические дроби свести к такому виду нельзя, а перевод десятичных дробей в обыкновенные зачастую является трудоемкой задачей. Как же быстро произвести действие сравнения, если нам нужно сделать это по ходу решения задачи? Удобно сравнивать десятичные дроби по разрядам таким же образом, как мы сравниваем натуральные числа. Этому методу мы посвятим отдельную статью.

Чтобы складывать одни десятичные дроби с другими, удобно использовать метод сложения столбиком, как для натуральных чисел. Чтобы складывать периодические десятичные дроби, необходимо предварительно заменить их обыкновенными и считать по стандартной схеме. Если же по условиям задачи нам надо сложить бесконечные непериодические дроби, то нужно перед этим округлить их до некоторого разряда, а потом уже складывать. Чем меньше разряд, до которого мы округляем, тем выше будет точность вычисления. Для вычитания, умножения и деления бесконечных дробей предварительное округление также необходимо.

Нахождение разности десятичных дробей обратно действию сложения. По сути, с помощью вычитания мы можем найти такое число, сумма которого с вычитаемой дробью даст нам уменьшаемую. Подробнее об этом расскажем в рамках отдельного материала.

Умножение десятичных дробей производится так же, как и для натуральных чисел. Для этого тоже подходит метод вычисления столбиком. Это действие с периодическими дробями мы опять же сводим к умножению обыкновенных дробей по уже изученным правилам. Бесконечные дроби, как мы помним, надо округлить перед подсчетами.

Процесс деления десятичных дробей является обратным процессу умножения. При решении задач мы также пользуемся подсчетами в столбик.

Положение десятичных дробей на оси координат

Можно установить точное соответствие между конечной десятичной дробью и точкой на оси координат. Выясним, как отметить точку на оси, которая будет точно соответствовать необходимой десятичной дроби.

Если мы находим не точку на оси, а десятичную дробь, соответствующую ей, то это действие называется десятичным измерением отрезка. Посмотрим, как правильно это сделать.

Допустим, нам нужно попасть от нуля в заданную точку на оси координат (или максимально приблизиться в случае с бесконечной дробью). Для этого мы постепенно откладываем единичные отрезки от начала координат, пока не попадем в нужную точку. После целых отрезков при необходимости отмеряем десятые, сотые и более мелкие доли, чтобы соответствие было максимально точным. В итоге мы получили десятичную дробь, которая соответствует заданной точке на оси координат.

Если мы не можем попасть в точку в процессе десятичного измерения, то значит, что ей соответствует бесконечная десятичная дробь.

Источник

ru.knowledgr.com

Десятичная система счисления (также называемая базовой десятикратной системой счисления, и иногда называемая денарной или деканарной) является стандартной системой обозначения целых и не целых чисел. Является расширением на не-целые числа индуистско-арабской числовой системы. Способ обозначения чисел в десятичной системе часто называют десятичным обозначением.

Десятичное число (также часто просто десятичное или, менее, десятичное число) относится в целом к обозначению числа в десятичной числовой системе. Десятичные разряды иногда могут быть идентифицированы десятичным разделителем (обычно «». или «», как в или). Десятичные разряды могут также относиться конкретно к цифровым разрядам после десятичного разделителя, например, как в «является приближением к двум десятичным разрядам«.

Числа, которые могут быть представлены в десятичной системе, являются десятичной фрай. То есть fra формы, где является целым числом, а является неотрицательным целым числом.

Происхождение

Десятичная нотация

Для записи чисел десятичная система использует десять десятичных разрядов, десятичную метку и, для отрицательных чисел, знак минуса «−». Десятичные диджиты равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, десятичным разделителем является точка «» во многих странах, но и запятая «» в других странах.

Для представления неотрицательного числа десятичное число состоит из

Если, то есть, если первая последовательность содержит, по меньшей мере, два диджита, то обычно считается, что первый диджит не равен нулю. В некоторых случаях может быть полезно иметь один или несколько нулей слева; это не изменяет значение, представленное десятичной запятой: например,. Аналогично, если конечная цифра справа от десятичной метки равна нулю то есть, если она может быть удалена; наоборот, после десятичной метки могут быть добавлены трайлинговые нули без изменения представленного числа; например, и.

Для представления отрицательного числа перед ним ставится знак minus.

Цифра представляет число

Когда целая часть числительного равна нулю, может возникнуть, как правило, при вычислении, что целая часть не записана (например, вместо). В обычной записи, как правило, это, из-за риска путаницы между десятичной меткой и другой пунктуации.

Вкратце, вклад каждого диджита в значение числа зависит от его положения в числительном. То есть десятичная система является числовой системой.

Десятичная фра

В более общем случае десятичный знак с цифрами после разделителя представляет собой рамку со знаменателем, числитель которого представляет собой целое число, полученное путем преобразования разделителя.

Отсюда следует, что число является десятичной фрай тогда и только тогда, когда оно имеет конечное десятичное представление.

Приближение вещественного числа

Десятичные числа не допускают точного представления для всех вещественных чисел, например для вещественного числа. Тем не менее, они позволяют аппроксимировать каждое действительное число с любой желаемой точностью, например, децимал 3.14159 аппроксимирует вещественное, будучи менее 10 − 5 off; поэтому децималы широко используются в науке, инженерии и жизни everyday.

Более точно, для каждого вещественного числа и каждого положительного целого числа, есть два десятичных и с не более digits после десятичной метки, что и.

Числа очень часто получаются в результате измерения. Поскольку измерения подвергаются измерениям, не зависящим от известной верхней границы, результат измерения хорошо представляется десятичным знаком с цифрами после десятичной отметки, как только абсолютная погрешность измерения сводится сверху на. На практике результаты измерений часто даются с некоторым количеством разрядов после десятичной точки, что указывает на границы ошибок. Например, хотя 0.080 и 0.08 обозначают одно и то же число, десятичная цифра 0.080 предлагает измерение с ошибкой менее 0.001, в то время как цифра 0.08 указывает абсолютную ошибку, округленную 0.01. В обоих случаях истинное значение измеренного количества может быть, например, 0.0803 или 0.0796 (см. также значительные цифры).

Бесконечное десятичное расширение

Для вещественного числа и целого числа позвольте обозначить (конечное) десятичное расширение наибольшего числа, которое не больше, чем то, что имеет в точности digits после десятичной метки. Позвольте обозначить последний digit из. Ясно, что это может быть достигнуто путем добавления справа от. Таким образом, один имеет

и разница и составляет

которое равно 0, если, или становится арбитрически малым, так как имеет тенденцию к бесконечности. Согласно определению предела, является пределом, когда стремится к бесконечности. Это написано asor

который называется бесконечным десятичным расширением.

И наоборот, для любого целого и любой последовательности диджитов (бесконечное) выражение является бесконечным десятичным расширением вещественного числа. Это расширение уникально, если ни все не равны 9, ни все равны 0 для достаточно больших (для всех больше, чем некоторое натуральное число).

Если все для равно 9 и, предел последовательности является десятичной фрай, полученной путем последнего диджита, который не является 9, т.е. на, и всех последующих 9s на 0s (см. 0.999. ).

Любая такая десятичная фрая, т.е. для, может быть преобразована в эквивалентное ей бесконечное десятичное расширение путем и всех последующих 0 на 9 с (см. 0.999. ).

Таким образом, каждое действительное число, которое не является десятичной фрай, имеет уникальное бесконечное десятичное расширение. Каждая десятичная фра имеет ровно два бесконечных десятичных расширения, одно из которых содержит только 0 с после некоторого места, которое получается приведенным выше определением, а другое содержит только 9 с после некоторого места, которое получается путем определения как наибольшего числа, которое меньше, имея в точности диджиты после десятичной метки.

Относительные числа

Длинное деление позволяет вычислить бесконечное десятичное расширение относительного числа. Если относительное число является десятичной фрай, деление в конечном итоге останавливается, создавая десятичное число, которое может быть пролонгировано в бесконечное расширение путем сложения бесконечно большого количества нулей. Если относительное число не является десятичной фрай, деление может продолжаться неопределенно. Однако, поскольку все последовательные остатки меньше, чем дивизор, существует лишь конечное число возможных остатков, и после некоторого места одна и та же последовательность диджитов должна повторяться в частном неопределённо. То есть, один имеет повторяющийся десятичный знак. Например,

= 0. & thinsp; 012345679 & thinsp; 012. (с группой 012345679, бесконечно повторяющейся).

Обратное также верно: если в какой-то момент десятичного представления числа одна и та же строка диджитов начинает повторяться неопределённо, число является относительным.

или, как числитель, так и знаменатель на 6,.

Десятичное вычисление

Диаграмма самой ранней известной в мире таблицы lica & shy; tion из периода Воюющих Штатов

Большинство современных компьютерных аппаратных и программных систем обычно используют бинарную репрезентацию внутри себя (хотя многие ранние компьютеры, такие как ENIAC или IBM 650, использовали десятичную репрезентацию внутри себя).

Однако для большинства целей бинарные значения преобразуются в эквивалентные десятичные значения для представления людям или ввода от них; компьютерные программы по умолчанию выражают литералы в десятичных числах. (123.1, например, записывается как таковая в компьютерной программе, хотя многие компьютерные языки не могут точно кодировать это число.)

Как компьютерное оборудование, так и программное обеспечение также используют внутренние представления, которые являются фактически десятичными для хранения десятичных значений и выполнения арифметических операций. Часто эта арифметика выполняется на данных, которые закодированы с использованием некоторой варианты десятичных разрядов с бинарным кодированием, особенно в представлениях базы данных, но существуют и другие используемые десятичные представления (включая десятичную точку плавания, например, в более новых представлениях стандарта IEEE 754 для арифметики плавающей точки).

История

Египетские иератические числительные, греческие буквенно-буквенные числительные, буквенно-буквенные числовые, римские числительные, китайские числительные и ранние индийские буквенные числительные являются десятичными системами и требуют большого количества символов. Например, египетские цифры использовали различные символы для 10, 20 до 90, 100, 200 до 900, 1000, 2000, 3000, 4000, до 10 000. Самой ранней десятичной системы в мире был китайский rod calculus.

История десятичной фра

Цинь Цзюшао в своей книге » Treatise in Nine Sections» (1247) обозначил 0.96644 по

Естественные языки

Метод выражения каждого возможного натурального числа с помощью набора из десяти символов появился в Индии. Несколько индейских языков имеют прямую десятичную систему. Многие индоарийские и дравидийские языки имеют числа от 10 до 20, выраженные в регулярном порядке добавления к 10.

В хунгарском языке также используется прямая десятичная система. Все числа между 10 и 20 формируются регулярно (например, 11 выражается как «tizenegy» в буквальном смысле «один на десять&quot);, как и числа между 20 и 100 (23 как «huszonhárom» = «три на двадцать&quot);.

Прямая десятичная система ранка со словом для каждого порядка (10, 100, 1000, 10000), и в которой 11 выражается как десять-один и 23 как два-десять-три, и 89, 345 выражается как 8 (десять тысяч) 9 (тысяча) 3 (сотня) 4 (тены) 5 встречается в китайском языке, а во вьетнамском языке с несколькими иррегиями. Многие другие языки с десятичной системой имеют специальные слова для чисел от 10 до 20, и десятилетия. Например, в английском языке 11 означает «ele», а не «ten-one» или «one-teen».

Инканские языки, такие как кечуа и аймара, имеют почти прямолинейную десятичную систему, в которой 11 выражается как десять с одним и 23 как два-десять с тремя.

Некоторые психологи предполагают, что нерациональность английских названий числительных может препятствовать способности детей к подсчету.

Другие основания

Некоторые культуры используют или используют другие основы чисел.

Источник

Десятичная система счисления

Всего получено оценок: 202.

Всего получено оценок: 202.

Все вычисления в математике выполняются в позиционной десятичной системе счисления. Кратко об особенностях десятичной системы можно прочитать в данной статье.

Что такое десятичная система счисления

В десятичной системе для представления чисел использует десять арабских цифр от 0 до 9, соответственно основанием десятичной системы счисления является число 10.

Историки, изучающие культуру древнего востока, в Индии обнаружили плиту с начертанием числа в позиционной десятичной системе. Возраст найденного артефакта составляет порядка 1,5 тысяч лет. Здесь же в древней Индии впервые используется ноль, как самостоятельная цифра.

Развернутая форма представления десятичного числа

Важным понятием в позиционном подходе представления чисел является понятие разряда. Различают разряды единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее. Любое десятичное число можно представить, в так называемом развернутом виде, когда число записывается в виде суммы разрядных слагаемых, представленных в виде произведения значащей цифры разряда и числа десять в степени соответствующего разряда.

Например, десятичное число 46758 в развернутом виде будет выглядеть следующим образом:

46758 = 4 * 10^4 + 6 * 10^3 + 7 * 10^2 + 5 * 10^1 + 8 * 10^0

46758 = 4 * 10000 + 6 * 1000 + 7 * 100 + 5 * 10 + 8 * 1

Прямой перевод числа из десятичной системы

Перевод целого десятичного числа в какую-либо систему счисления выполняется путем поочередного деления самого числового значения, а затем полученных частных на основание системы счисления, в которую производится перевод.

Например, для перевода десятичного числа в двоичную систему выполняют деление на два, в восьмеричную – на восемь, в шестнадцатеричную – на шестнадцать. В принципе, десятичное число можно перевести и в пятеричную и семеричную системы, выполнив деление на пять или семь.

Выполнив первый шаг деления на, например, два, остаток запоминают, а полученное частное снова делят на основание. Эту операцию выполняют до тех пор, пока последнее частное не будет меньше или равно делителю.

Записывать сформированное число в новой системе счисления необходимо начиная с итогового частного и затем друг за другом выписывая остатки от деления от последнего к первому.

Например, прямой перевод числа 27 из десятичной системы в двоичную выполняют так:

27 / 2 = 13 и остаток 1

13 / 2 = 6 и остаток 1

6 / 2 = 3 и остаток 0

3 / 2 = 1 и остаток 1

Таким образом, 27 в двоичном формате это число 11011.

Для перевода чисел в пределах можно пользоваться таблицей соответствия десятичных и двоичных чисел

Рис. 2. Таблица соответствия двоичных и десятичных чисел.

Обратный перевод числа в десятичную систему

Для перевода чисел в десятичную систему удобно пользоваться развернутой формой. При этом числовые значения записываются в виде суммы произведений цифр разрядов на основание текущей системы счисления в степени разряда.

Например, двоичное число 11011 можно представить так:

1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 =27

Для упрощения вычислений удобно пользоваться таблицей степени двойки

Рис. 3. Степени двойки.

Что мы узнали?

В десятичной позиционной системе для представления числовых значений используются десять арабских цифр. Числа в такой системе можно представлять в развернутом виде. Перевод десятичных чисел в другую систему выполняется путем поочередного деления на основание новой системы счисления. Обратный перевод удобно выполнять с использованием развернутой формы записи числа.

Источник

Десятичное число

Десятичное число — основной тип данных ЭКВМ. Используется для хранения в десятичных регистрах как целых чисел (англ. integer), так чисел с естественной (десятичные дроби) и плавающей запятой (англ. float). При вводе и выводе десятичных чисел в качестве разделителя целой и дробной части числа используется десятичная запятая.

Десятичные числа называются десятичными, т.к. десятичная система счисления последовательно используется в ЭКВМ как для отображения этих чисел на индикаторе, так и в их машинном представлении. Арифметические операции с десятичными числами наименее противоречат интуиции человека и в большинстве случаев дают ожидаемые результаты.

Есть два формата десятичных чисел: 12+2 (используется в десятичных регистрах) и 14+2 (используется в регистрах стека). В данной статье описываются десятичные числа 12+2, как наиболее распространённые. В конце будут рассмотрены особенности формата 14+2.

Содержание

Представления десятичных чисел [ править ]

Целые числа [ править ]

Числа с естественной запятой (десятичные дроби) [ править ]

Числа с плавающей запятой [ править ]

В представлении с плавающей запятой вещественное число r представлено в виде произведения r=M×10 n и записывается комбинацией десятичной дроби M (12 значащих цифр) и целого числа n (2 значащие цифры).

Коэффициент M (англ. significand, coefficient) обычно называют мантиссой (англ. mantissa), что математически не столь точно, т.к. математический термин мантисса означает дробную часть логарифма числа.

При хранении и отображении числа с плавающей запятой число M автоматически выбирается так, чтобы 1≤M Машинное представление десятичных чисел [ править ]

В памяти ЭКВМ десятичное число занимает 8 байт во внутреннем формате.

Десятичные числа в стеке (14+2) [ править ]

Десятичные числа, хранящиеся в стеке ЭКВМ, имеют два дополнительных разряда мантиссы. Это позволяет улучшить точность вычислений, производимых «по цепочке» без использования регистров.

Источник