Что такое действительные числа в алгебре 9 класс

Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Смотреть фото Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Смотреть картинку Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Картинка про Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Фото Что такое действительные числа в алгебре 9 класс

Общие сведения

Результатом математических операций (деления, произведения, сложения, вычитания, возведением в степень и т. д. ) могут быть действительные числа. Примерами являются любые значения. Действительное число — совокупность рациональных и иррациональных величин. Международное обозначение — литера «R».

Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Смотреть фото Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Смотреть картинку Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Картинка про Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Фото Что такое действительные числа в алгебре 9 класс

Следует отметить, что рациональные величины представляются в виде десятичной (конечной) или бесконечной периодической десятичной дроби. В первом случае число имеет определенное количество знаков после запятой, результат которого получен при делении двух значений. Например, 8/5 = 1,6. Последняя величина ограничена десятыми долями.

Бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой вещественную величину с бесконечным количеством знаков после запятой. Например, при делении 5 на 3 получается результат, равный 1,(6). Запись читается таким образом: одна целая и 6 в периоде.

В случае иррациональных чисел — бесконечные непериодические дроби, т. е. после запятой идет бесконечная запись, которая не повторяется вообще. Например, 1,213456789523648 и так до бесконечности.

На основании этой информации можно получить другое определение: действительные — это числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной десятичной дроби. Кроме того, нуль принадлежит также множеству R. Он является единственным значением, которое не является положительным и отрицательным. В некоторых источниках можно также встретить другое название действительных чисел — вещественные.

Координатная прямая

Для представления положения любого R применяется координатная прямая, являющаяся их геометрическим смыслом. Величины на ней отмечаются в порядке возрастания. Перед построением следует начертить произвольную прямую, а затем отметить на ней точку 0 (нулевую отметку). После этого можно приступить к откладыванию числовых значений. Слева от нулевой координаты расположены отрицательные, а справа — положительные числа.

Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Смотреть фото Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Смотреть картинку Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Картинка про Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Фото Что такое действительные числа в алгебре 9 класс

Из курса геометрии 5 класса можно вспомнить следующее определение: прямой называется произвольное геометрическое место точек, расположенных в один ряд до бесконечности. Иными словами, прямая — линия, не имеющая начала и конца, т. е. она не ограничена в пространстве.

Координатную прямую используют при решении дифференциальных уравнений, неравенств, поиска области значения функции и т. д.

Представление действительных чисел

Для представления действительных чисел следует разобрать значения, которые к ним относятся. Эта классификация рекомендована математиками. Она имеет такой вид:

Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Смотреть фото Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Смотреть картинку Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Картинка про Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Фото Что такое действительные числа в алгебре 9 класс

К первой группе относятся числа, которые изобрели древние греки. Их еще называют природными. Они применяются при сложных вычислениях на рынках, магазинах и других разнообразных расчетах. Во вторую категорию входят все целые (положительные и отрицательные) и 0. Дробные состоят из десятичных и обыкновенных дробей. К первым относятся значения, состоящие из целой и дробной частей. Последние отделяются посредством запятой. Например, 0,75. Обыкновенная — дробь, компонентами которой являются числитель (вверху) и знаменатель (внизу). Например, 2/3.

Смешанные дроби записываются в виде целого числа и обыкновенной дроби. Например, 5 2/3. Эта форма записи применяется для приведения результата вычислений к нормальному виду. Например, при расчете некоторой величины получилась неправильная дробь 8/3. Ее можно записать в виде смешанной: 2 2/3. Чтобы опять привести ее к исходному значению, необходимо:

Компонентами рациональных чисел являются целые, натуральные, дробные и смешанные дроби. К иррациональным принадлежат любые значения, не входящие в состав рациональных. Следует отметить, что R представляются в виде степеней, радикалов (корней), тригонометрических функций и логарифмов.

Таким образом, все числа, используемые при расчетах и решения задач в различных дисциплинах с физико-математическим уклоном, называются действительными.

Источник

Действительные числа

Что такое действительные числа

Действительное число — математический объект, возникший из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких вычислительных операций, как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений, исследование поведения функций.

Схематически понятие действительных значений можно представить совокупностью, образованной рациональными и иррациональными членами. Для наглядности этой совокупности прибегают к числовой прямой.

Стандартным условным обозначением является буква R, выполненная полужирным шрифтом.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Обозначение не случайное, оно взято из английского слова realis (в переводе — действительный).

С позиции конструктивизма вещественные величины для математики не являются строгими понятиями. Их вводят для арифметических операций или определения отношений в каком-либо порядке, а также для доказательства проявляемых свойств.

По своей сути действительное число является бесконечной десятичной дробью. Его можно записать следующим образом:

Как обычно, значение до первой запятой — целое. Если в каком-либо сегменте после запятой образуются нули, они не пишутся.

Если захотеть представить, между какими рациональными величинами находится выражаемое значение, то это будет выглядеть так:

ао, а1, а2….. аn и ао, а1, а2….. аn+10-n

Где n — значение натурального числа.

История термина

Введение в обиход термина «вещественное число» произошло еще в Древней Греции. Школа Пифагора обратила внимание, что, кроме целых значений и их соотношений, существует несоизмеримое множество. С точки зрения современных классификаций, это — числа, не являющиеся рациональными.

Позднее Евдокс Книдский пытался создать общую теорию, которая бы включала также несоизмеримые величины. Однако в практику эти попытки в то время не вошли. Прошло более двух тысяч лет, пока возникла истинная необходимость введения такого понятия. Толчком послужил математический анализ, развиваемый Р.Дедекиндом, Г.Кантором, Э.Гейне и их коллегами. Периодом создания теории вещественных (или действительных) чисел считается вторая половина XIX века.

Для современных математиков то множество, которое объединяет рациональные и иррациональные величины, является непрерывным упорядоченным полем. С позиции изоморфизма оно является единственным.

Представления действительных чисел

Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Смотреть фото Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Смотреть картинку Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Картинка про Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Фото Что такое действительные числа в алгебре 9 класс

Как видно из рисунка из действительных выделяют рациональные и иррациональные величины.

Рациональные (Q), в свою очередь, подразделяются на целые (Z) и дробные. В совокупность целых входят ноль, натуральные значения (N) и им противоположные.

Самое простое, что можно представить в математике — это натуральное число. Это то, что мы перечисляем при простом счете. Именно с этих чисел дети начинают учиться решать элементарные примеры. Они же используются в сложнейших математических задачах. Если выстроить натуральные единицы в порядке возрастания, получится натуральный ряд. Он является бесконечным, поскольку после n всегда существует n+1.

Отрицательные числа не относятся к натуральным, ими не получится объективно считать.

Существует две теории определения группы натуральных чисел. Согласно первой, они появляются, когда человек что-либо нумерует. Например: первый, второй, третий и последующий участник. Согласно второй, в них есть необходимость в ситуациях, когда нужно определиться с количеством чего-либо. Например, 1 стул, 0 стульев, 100 стульев. Казалось бы, оба подхода определяют натуральные числа, однако явно заметна разница: в первом случае ноль исключен, во втором — без него не обойтись.

Поэтому сегодня существует два условных обозначения для этой группы:

Характеризуя натуральные числа, обращают внимание на их свойства:

Целые числа

Взяв натуральное множество, включающее нуль и добавив к нему отрицательные значения, получим новую единицу классификации — целые числа. При этом возникает резонный вопрос: зачем нужно дополнительное понятие? Продиктована эта необходимость тем, что, работая с натуральными числами, вычесть из меньшего большее нереально. С целыми это сделать можно.

Действительное значение можно сделать целым при сокращении его дробной части. Так, 7,5 или 124,85 не являются целыми, 2, 8, 12, 154 — являются.

Для обозначения множества целых чисел применяется Z. В математике существует раздел «Теория чисел», который занимается изучением их характеристик.

Структуру множества целых можно представить тремя составляющими:

Натуральные заметны при счете, например, 1, 2, 3 и т.д. Отрицательные имеют впереди знак «-». Для всех целых чисел существует противоположное значение со знаком минус. При этом абсолютная величина числа не содержит минуса. Ее правильным обозначением является ׀a׀.

В решениях задач для целых величин предусматриваются такие действия:

При этом деление может осуществляться с остатком. Целые могут сравниваться друг с другом, при этом Z — это линейно упорядоченное, бесконечное множество. Его мощность идентична мощности натуральных чисел. Оба они применяются для счета.

Десятичные дроби

Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Смотреть фото Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Смотреть картинку Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Картинка про Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Фото Что такое действительные числа в алгебре 9 класс

Не всякую величину можно измерить целыми единицами. Если, кроме него, в значении включена дополнительно ее часть, то такая величина является дробной.

Десятичные дроби записываются так: 5,6; 7,88; 9,2568. Разрядность после запятой может быть различной, но в любом случае десятичная дробь не может иметь знаменателя. Другими словами, он равен 0 целых и 0 десятых.

После запятой могут стоять абсолютно разные цифры. Их значение определяется местом, на котором они расположены после запятой. Так, в десятичной дроби 5,123 цифра 1 соответствует десятым, 2 — сотым, 3 — тысячным и так далее. Если какой-либо ранг пропущен, вместо него обязательно ставится нуль. Так, в числе 5,208 десятым соответствует 2, а тысячным — 8. Сотые в данном примере отсутствуют.

Десятичная дробь может быть конечной либо бесконечной. Схематическая запись конечной выглядит так: ao,a1, a2…an. Число цифр после запятой четко определено.

Примером бесконечной является число π. Его значение равняется 3,1415926535897…Из примера видно, что количество цифр после запятой не определено, т.е. ao, a1, a2…

Бесконечная десятичная дробь может характеризоваться периодичностью. В таком случае в цифрах после запятой наблюдается периодически повторяющаяся группа цифр.

В таком случае цифры 456 называются периодом дроби, а количество цифр в группе (3 цифры) — длина периода.

Появлением десятичных дробей мы обязаны Китаю, когда там, в III веке н.э. считали на счетных досках. Позднее, трактат «Ключи арифметики», от имени Дж. Гияс-ад-дин-аль-Каши (математик и астроном) объявил об их официальном открытии. В Европе первым объявил об их существовании И. Бонфис (1350 год), а пользоваться ими стали в 1585 году, по мере выхода труда Стевина «Десятая».

Обыкновенные дроби

Говоря о дроби, математики имеют ввиду число, которое состоит из одной, двух либо нескольких одинаковых по величине частей от единицы. Эти части называются долями.

Кроме рассмотренных выше десятичных дробей, существуют обыкновенные, схематически выражаемые формулой m/n. Они могут иметь знак «-» либо «+». Значение цифр в обыкновенной дроби следующее: над чертой — числитель (показывает сколько раз взята выбранная доля), под чертой — знаменатель (то, насколько частей разделили первоначальное число).

Дробь, в которой целый числитель и знаменатель отличный от нуля, относится к рациональным числам.

Обыкновенные дроби представлены правильными и неправильными вариантами. Если числитель меньше (по модулю), чем знаменатель, то эта дробь правильная Если наоборот — неправильная (тогда она — рациональное число, которое по модулю превышает либо равно единице).

Различают также смешанные дроби. В их записи присутствует целое число и правильная дробь. Простым языком можно сказать, что смешанная дробь по своему значению равна сумме целого числа и дроби.

Более сложной модификацией является дробь составная, т.е. «многоэтажная». В ней числитель и знаменатель (либо только один из них) также представлены обыкновенными дробями.

С обыкновенными дробями можно производить следующие действия:

То, как обозначаются обыкновенные дроби сегодня, пришло из Древней Индии. Вначале разделительная черта не использовалась, но цифры писались одна под другой. Черта появилась лишь 300 лет назад, с подачи итальянского купца Фибоначчи. Уверенное пользование такими цифрами началось после выхода труда Стевина «Десятая».

Координатная прямая и действительные числа

Для решения многих математических задач удобно построить схему, на которой отразить месторасположение какого-либо тела с известными координатами. Если действие можно произвести по одной прямой линии, действительные числа располагаются на ней через равные промежутки, принятые за единицу измерения. Такое изображение называется числовой прямой. На ней обязательно существует 0 (точка отсчета) и единицы измерения — действительные числа — расположенные в порядке возрастания либо убывания (как на рисунке).

Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Смотреть фото Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Смотреть картинку Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Картинка про Что такое действительные числа в алгебре 9 класс. Фото Что такое действительные числа в алгебре 9 класс

Прямая с нанесенными на ней началом отсчета, направлением отсчета и отрезками равной длины называется осью координат. При этом вправо от 0 всегда направлена положительная координатная полуось, а влево — отрицательная.

Координата — число, которое определяет нахождение точки (либо тела) на координатной оси.

С помощью координатной прямой и действительных чисел, нанесенных на ней, можно определять не только местоположение точки, но и сравнивать ее с другими точками, отображать ее координаты в процессе движения.

Координатную прямую часто называют геометрической моделью всего множества действительных чисел. Второе ее название — числовая прямая.

Правила вычисления с действительными числами, формулы

Действительные значения могут участвовать как в простых математических задачах, так и сложных, преобразовательных и упрощаемых заданиях.

Для них действуют формулы типа: a больше (либо меньше) числа b, если при вычитании b из a получается положительная (либо отрицательная) величина.

Кроме того в работе с действительными числами пользуются правилами:

Существуют и правила для сравнения действительных чисел:

Иногда для простоты расчетов прибегают к округлению действительных чисел. При большой разрядности исходного в условии обычно оговаривается до каких единиц произвести округление. Если последующая цифра за заданным рангом 5 и больше, то округление происходит с увеличением, если меньше — с уменьшением.

Источник

Что такое действительные числа в алгебре 9 класс

Ранее мы убедились в том, что, кроме рациональных чисел, существуют числа другой природы — к ним часто приводит операция извлечения квадратного корня (и не только она, просто мы с вами этого пока не знаем). Значит, нам нужно более обстоятельно познакомиться с новыми числами. Но сначала попробуем систематизировать наши знания о «старых», т. е. о рациональных, числах.

1. Некоторые символы математического языка

Вам хорошо известны натуральные числа:

1,2, 3, 4.

Множество всех натуральных чисел обычно обозначают буквой N.

Используя введенные обозначения N, Z, Q, условимся о следующем:

1. Вместо фразы «n — натуральное число» можно писать n ∈ N (читается: «элемент n принадлежит множеству N»). Математический символ называют знаком принадлежности.

2. Вместо фразы «m — целое число» можно писать m ∈ Z,

3. Вместо фразы «r — рациональное число» можно писать r ∈ Q.

Понятно, что N — часть множества Z, а Z — часть множества Q. Для описания этой ситуации в математике также имеется специальное обозначение:

Математический символ называют знаком включения (одного множества в другое).

Вообще, в математике запись х ∈ X означает, что х — один из элементов множества X. Запись А ⊂ В означает, что множество А представляет собой часть множества В. Математики чаще говорят так: Аподмножество множества В.

Обратите внимание: множества в математике обычно обозначают прописными буквами, а элементы множества — строчными буквами.

И еще на один момент обратите внимание: знаки принадлежности (элемент принадлежит множеству) и включения (одно множество содержится в другом) — различные, соответственно и .

Приведем несколько примеров использования введенных математических символов для сокращения записи верных математических утверждений — их называют также истинными высказываниями.

2. Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби

К рациональным числам, как мы уже не раз подчеркивали, относятся все те числа, с которыми вы успешно оперировали до тех пор, пока не встретились с квадратными корнями. Это были целые числа, обыкновенные дроби, десятичные дроби. Для всех этих чисел можно использовать один и тот же способ записи, который мы сейчас и обсудим.

Рассмотрим, например, целое число 5, обыкновенную дробь и десятичную дробь 8,377. Целое число 5 можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: 5,0000. Десятичную дробь 8,377 также можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: 8,377000... Для числа воспользуемся методом
«деления углом»:

Между прочим, и число 5 можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Для этого надо в периоде записать число 0:

Так же обстоит дело и с числом 8,377:

Чтобы все было аккуратно, говорят так: 8,377 — конечная десятичная дробь, а 8,377000. — бесконечная десятичная дробь.

Вообще, любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Замечание. Этот вывод удобен для теории, но не очень удобен для практики. Ведь если дана конечная десятичная дробь 8,377, то зачем нужна ее запись в виде 8,377(0)? Поэтому обычно говорят так:

любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Выше мы показали, как обыкновенную дробь представляют в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Верно и обратное: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Это значит, что любая бесконечная десятичная периодическая дробь есть рациональное число.

Покажем на примере, как бесконечную десятичную периодическую дробь превращают в обыкновенную дробь.

Пример. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь: а) 1,(23); б) 1,5(23).

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

которые не являются рациональными?

Прежде всего заметим, что в математике не принято говорить «нерациональное число», обычно используют термин иррациональное число. Термины «рациональное число», «иррациональное число» происходят от латинского слова ratio — «разум» (буквальный перевод: «рациональное число — разумное число», «иррациональное число — неразумное число»; впрочем, так говорят и в реальной жизни: «он поступил рационально» — это значит, что он поступил разумно; «так действовать нерационально» — это значит, что так действовать неразумно).

В ранее мы отмечали, что оно заключено между числами 2 и 3; если точнее, то между числами 2,2 и 2,3; если еще точнее, — то между числами 2,23 и 2,24. Можно продолжить уточнения оценок числа и определить границы для третьего десятичного знака после запятой. Имеем 2,236 2 = 4,999696, что меньше 5; 2,237 2 = = 5,004167, что больше 5. Итак, 2,236 МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Если множество рациональных чисел дополнить множеством иррациональных чисел, то вместе они составят множество действительных чисел. Множество действительных чисел обычно обозначают буквой R; используют также символическую запись (-∞, +∞) или (-∞, ∞).

Множество действительных чисел можно описать так: это множество конечных и бесконечных десятичных дробей, конечные десятичные дроби и бесконечные десятичные периодические дроби — рациональные числа, а бесконечные десятичные непериодические дроби — иррациональные числа.

Каждое действительное число можно изобразить точкой на координатной прямой. Верно и обратное: каждая точка координатной прямой имеет действительную координату. Математики обычно говорят так: между множеством R действительных чисел и множеством точек координатной прямой установлено взаимно однозначное соответствие. Координатная прямая есть геометрическая модель множества действительных чисел; по этой причине для координатной прямой часто используют термин числовая прямая.

Вдумайтесь в этот термин: не кажется ли он вам противоестественным? Ведь число — объект алгебры, а прямая объект геометрии. Нет ли тут «смешения жанров»? Нет, все логично, все продумано. Этот термин в очередной раз подчеркивает единство различных областей математики, дает возможность отождествления понятий «действительное число» и «точка на координатной (числовой) прямой».

Обратите внимание: координатной прямой вы пользовались начиная с 5-го класса. Но, оказывается, в ваших знаниях был вполне оправданный пробел: не для любой точки координатной прямой вы сумели бы найти координату — просто учитель оберегал вас от такой неприятности.

Рассмотрим пример. Дана координатная прямая, на ее единичном отрезке построен квадрат (рис. 100), диагональ квадрата ОВ отложена на координатной прямой от точки О вправо, получилась точка D. Чему равна координата точки D? Она равна длине диагонали

Заметим, что был еще один оправданный пробел в ваших знаниях по алгебре. Рассматривая выражения с переменными, мы всегда подразумевали, что переменные могут принимать любые допустимые значения, но только рациональные, ведь других-то не было. На самом деле переменные могут принимать любые допустимые действительные значения. Например, в тождестве

в роли а и b могут выступать любые числа, не обязательно рациональные. Для действительных чисел а, b, с выполняются привычные законы:

Выполняются и привычные правила:

произведение (частное) двух положительных чисел положительное число;

произведение (частное) двух отрицательных чисел положительное число;

произведение (частное) положительного и отрицательного числа — отрицательное число.

Действительные числа можно сравнивать друг с другом, используя следующее определение.

Определение. Говорят, что действительное число а больше (меньше) действительного числа Ъ, если их разность а — Ъ положительное (отрицательное) число. Пишут а > b (а

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *