Интегрированный урок (теория вероятностей и статистика + информатика) по теме «Отклонения. Дисперсия». 7-й класс
Класс: 7
Цель: познакомить учащихся с понятиями “отклонение” и “дисперсия” и их применением в реальных статистических исследованиях с использованием средств табличного процессора Excel.
На предыдущих уроках мы рассмотрели так называемые средние характеристики числового ряда, позволяющие оценить его поведение “в среднем”. Повторим их определения и способы нахождения.
Слайд 2 – задание на повторение (комментарии учителя, проверка ответов учеников с помощью слайда).
2. Объяснение нового материала, практикум.
Средние характеристики числового ряда (среднее арифметическое, медиана), позволяют оценить поведение ряда “в среднем”. Но это не всегда наиболее полно характеризуют выборку. Чтобы получить полное представление о поведении числового ряда, помимо средних характеристик надо знать характеристики разброса, показывающие, насколько сильно значения ряда отличаются друг от друга, как сильно они разбросаны вокруг средних.
Рассмотрим следующий пример.
Слайд 4 – задание 1 (комментарий учителя).
(Ученикам открыть файл с заданиями (приложение 2) и выбрать лист “Задание 1”).
День недели
Дневная выработка
1-й рабочий (Х)
2-й рабочий (Y)
(кол-во деталей)
(кол-во деталей)
Понедельник
Рассчитаем, сколько деталей изготовил каждый из рабочих за 5 дней.
(Ученики выполняют задание, руководствуясь п. 1 “Подсчёт итога”).
(кол-во деталей)
Понедельник
Вывод: количество деталей одинаково.
Рассчитаем, сколько деталей в день производил в среднем каждый рабочий (среднюю производительность труда). Для этого найдём среднее арифметическое числовых наборов Х и Y.
(Ученики выполняют задание, руководствуясь п. 2 “Расчёт среднего арифметического”).
День недели
Дневная выработка
1-й рабочий (Х)
2-й рабочий (Y)
(кол-во деталей)
(кол-во деталей)
Понедельник
250
Среднее арифметическое
Производительность труда за день у обоих рабочих тоже одинаковая.
Найдём медианы числовых наборов X и Y.
(Ученики выполняют задание, руководствуясь п. 3 “Расчёт медианы”).
(кол-во деталей)
Понедельник
250
Среднее арифметическое
Медианы тоже получились одинаковые.
На данном примере мы увидели, что с помощью средних характеристик сравнение выполнить не всегда возможно.
В данном случае критерием сравнения может выступать стабильность работы токарей – у какого токаря количество произведённых им деталей в день менее отличается друг от друга, тот работает стабильнее.
Если количество производимых в день деталей сильно разнится, то в какие-то дни токарь работает не в полную силу, производит меньше деталей, а в какие-то дни навёрстывает упущенное, а это всегда сказывается на качестве продукции.
Стабильность можно оценивать с помощью отклонений элементов числового набора от среднего значения (отклонение – это разность между числом из данного набора и средним арифметическим этого набора)
Слайд 5 – пример вычисления отклонений (комментарии учителя).
Логично предположить, что чем меньше будет разброс (отклонения от среднего значения) – тем стабильнее работает токарь.
Но когда набор чисел велик, рассматривать отклонения практически неудобно, нужно описать разнообразие чисел в наборе одним числом.
Попробуем найти сумму отклонений.
Слайд 5 – пример вычисления суммы отклонений (комментарии учителя, вывод).
В сумме получилось 0 (т.к. при вычислении “среднего разброса” часть отклонений входит в сумму со знаком “+”, часть со знаком “-” и в сумме всегда получается 0). Следовательно сумма отклонений не может нести информацию о разбросе.
Можно суммировать квадраты отклонений (они всегда неотрицательны).
Слайд 6 – пример вычисления квадратов отклонений (комментарии учителя)
Чем меньше сумма квадратов отклонений, тем меньше разброс чисел относительно среднего значения, тем более стабилен набор.
Итак, рассчитаем сумму квадратов отклонений для нашего примера.
(Ученики выполняют задание, руководствуясь п. 4 “Расчёт суммы квадратов отклонений”).
День недели
Дневная выработка
1-й рабочий (Х)
2-й рабочий (Y)
(кол-во деталей)
(кол-во деталей)
Понедельник
250
Среднее арифметическое
50
Сумма квадратов отклонений
Вывод: первый токарь работает более стабильно, у него меньше сумма квадратов отклонений. Вероятно, работодатель предпочтёт взять на работу его.
В данном примере рабочие работали одинаковое количество дней. А если они количество дней неодинаково?
Тогда стабильность работы каждого можно было бы оценить по величине среднего арифметического квадратов отклонений от среднего значения – дисперсии.
Слайд 7 – пример вычисления дисперсии (комментарии учителя).
Рассмотрим следующий пример.
Слайд 8 – задание 2 (комментарии учителя).
(Ученикам открыть лист “Задание 2” файла с заданиями).
День недели
Дневная выработка
1-й рабочий (Х)
2-й рабочий (Y)
(кол-во деталей)
(кол-во деталей)
Понедельник
Аналогично заданию 1 рассчитаем, сколько деталей произвёл каждый рабочий и сумму квадратов отклонений.
(Ученики выполняют задание, руководствуясь п. 1-2).
День недели
Дневная выработка
1-й рабочий (Х)
2-й рабочий (Y)
(кол-во деталей)
(кол-во деталей)
Понедельник
200
Сумма квадратов отклонений
Т.к. токари работали разное количество дней, рассчитаем и сравним дисперсии числовых наборов X и Y.
(Ученики выполняют задание, руководствуясь п. 3).
День недели
Дневная выработка
1-й рабочий (Х)
2-й рабочий (Y)
(кол-во деталей)
(кол-во деталей)
Понедельник
200
Сумма квадратов отклонений
Вывод: второй токарь работает стабильнее первого.
3. Самостоятельная практическая работа (при наличии времени).
Дисперсия свойства, формула вычисления дисперсии дискретной случайной величины, виды, правило и примеры расчетов, онлайн-калькулятор
В различных научных дисциплинах словосочетание «дисперсия это» характеризует мало схожие понятия. С латыни «dispersio» переводится как «рассеяние».
В физике, например, означает связь фазовой скорости волны с частотой. В химии описывает несмешиваемые субстанции. В биологии – многообразие признаков популяции.
В данной статье речь пойдет о математической трактовке. Рассматривается как одно из свойств случайных величин.
Что такое дисперсия в статистике
Статистика, в частности, оперирует рядами данных, характеризующих какой-либо признак, явление. Интересует их изменение.
Вариация представляет собой отличие величин одинакового показателя у разных предметов. Ее изучение позволит понять причины отклонений от нормы, анализировать их и в какой-то мере прогнозировать. Также станет возможным выявить факторы, влияющие на значения, отсеяв случайные.
Характеристики равномерного распределения представлены на картинке:
При значительном объеме статистики, средняя величина очевидно близка к нормальной. Об этом говорят и законы распределения. Отклонения от нее будут являться объективной характеристикой.
Только вот отрицательные значения этих разбросов будут сбивать с толку при расчетах, погашая положительные. А оставлять лишь модули – для математика не корректно. Напрашивается возвести в четную степень, а именно – во вторую.
Решение оказалось не только удобным. Оно открыло бо́льшие возможности в изучении отклонений. А важны именно они, поскольку сама по себе средняя мало что дает.
В качестве одного из важных показателей вариации, вводится понятие «дисперсия» – усредненный квадрат отклонений численных значений каких-либо событий от средней величины.
Никакого наглядного смысла величина не несет. Другое дело, среднее квадратическое отклонение – корень квадратный из дисперсии.
Виды дисперсии дискретной случайной величины
Для анализа данных цифр в таком виде недостаточно. Гораздо больше можно выжать из последовательности, если разбить ее на группы по определенному признаку.
Общая дисперсия
Как можно заметить, вычисленная по приведенному выше определению величина характеризует отклонения в целом. Без учета определяющих вариацию факторов. Вернее, с учетом всех, включая совершенно случайные. Поэтому и называется «общей» и рассчитывается по формулам, указанным ниже.
Простая дисперсия, без разделения на группы:
Или в несколько преобразованном виде:
Взвешенная дисперсия, для вариационного ряда:
где xi – значение из ряда;
fi – частота, количество повторений;
n – число вариантов.
Черта сверху указывает на среднюю величину.
Межгрупповая дисперсия
Характеризует систематическое отклонение, возникающее из-за фактора, по которому производилось выделение признаков в группы. Поэтому также называется «факторной».
Как найти данную дисперсию? По формуле:
где k – количество групп;
nj – элементов в группе с индексом j.
Внутригрупповая дисперсия
Возникает по хаотичной причине, не связанной с причиной сделанной выборки. Неучтенный фактор. Еще обозначается как «остаточная».
Например, рассматривается количество выпущенных деталей за месяц каждым фрезеровщиком цеха.
В качестве критерия отбора в группу выбираем возраст оборудования. Он-то и не будет влиять на производительность внутри подборки: там станки у всех практически одинаковые.
Если вычислить среднюю величину от всех групповых,
то получим характеристику случайного разброса. Иными словами, составляющую вариации, зависящую от чего угодно, кроме фактора отбора.
Взаимосвязь
В соответствии с правилом сложения, общая D[X] включает средние выражения остаточной и факторной. И это логично, поскольку учитывает и случайное изменение в группе, и систематическое в факторной.
Свойства дисперсии
Если последовательность состоит из одинаковых чисел, то D[X] будет нулевой.
Уменьшение всех значений на постоянную величину на дисперсию не влияет. Иначе говоря, рассчитать σ 2 можно по отклонениям от фиксированного числа.
Уменьшение всех цифр в k раз приведет к падению D[X] в k 2 раз. Можно, например, иметь в виду значения в метрах, а результат вычислить в футах. Достаточно учесть один раз то, на что следует умножить.
Показатели вариаций
Кроме размаха (разницы максимального и минимального значений), среднего линейного и дисперсии, изменения описываются коэффициентом вариации:
Оценить масштаб разброса проще по относительной величине. Тем более, что измеряются в одних единицах.
Пример расчета дисперсии
Компания объявила конкурсный отбор для приема сотрудников. В качестве критерия принят стаж работы по специальности. Приведем исходные данные и расчеты.
По альтернативной формуле:
Заключение
Статистика оперирует значительными объемами данных. Вариация, как одно из основных понятий – не исключение. И дисперсия в качестве основной характеристики.
Для упрощения расчетов существует масса онлайн калькуляторов. Имеется упомянутый инструмент в MS Excel.
Статистика, в частности, оперирует рядами данных, характеризующих какой-либо признак, явление. Интересует их изменение.
Вариация представляет собой отличие величин одинакового показателя у разных предметов. Ее изучение позволит понять причины отклонений от нормы, анализировать их и в какой-то мере прогнозировать. Также станет возможным выявить факторы, влияющие на значения, отсеяв случайные.
Характеристики равномерного распределения представлены на картинке:
При значительном объеме статистики, средняя величина очевидно близка к нормальной. Об этом говорят и законы распределения. Отклонения от нее будут являться объективной характеристикой.
Только вот отрицательные значения этих разбросов будут сбивать с толку при расчетах, погашая положительные. А оставлять лишь модули – для математика не корректно. Напрашивается возвести в четную степень, а именно – во вторую.
Решение оказалось не только удобным. Оно открыло бо́льшие возможности в изучении отклонений. А важны именно они, поскольку сама по себе средняя мало что дает.
В качестве одного из важных показателей вариации, вводится понятие «дисперсия» – усредненный квадрат отклонений численных значений каких-либо событий от средней величины.
Никакого наглядного смысла величина не несет. Другое дело, среднее квадратическое отклонение – корень квадратный из дисперсии.
Виды дисперсии дискретной случайной величины
Для анализа данных цифр в таком виде недостаточно. Гораздо больше можно выжать из последовательности, если разбить ее на группы по определенному признаку.
Общая дисперсия
Как можно заметить, вычисленная по приведенному выше определению величина характеризует отклонения в целом. Без учета определяющих вариацию факторов. Вернее, с учетом всех, включая совершенно случайные. Поэтому и называется «общей» и рассчитывается по формулам, указанным ниже.
Простая дисперсия, без разделения на группы:
Или в несколько преобразованном виде:
Взвешенная дисперсия, для вариационного ряда:
где xi – значение из ряда;
fi – частота, количество повторений;
n – число вариантов.
Черта сверху указывает на среднюю величину.
Межгрупповая дисперсия
Характеризует систематическое отклонение, возникающее из-за фактора, по которому производилось выделение признаков в группы. Поэтому также называется «факторной».
Как найти данную дисперсию? По формуле:
где k – количество групп;
nj – элементов в группе с индексом j.
Внутригрупповая дисперсия
Возникает по хаотичной причине, не связанной с причиной сделанной выборки. Неучтенный фактор. Еще обозначается как «остаточная».
Например, рассматривается количество выпущенных деталей за месяц каждым фрезеровщиком цеха.
В качестве критерия отбора в группу выбираем возраст оборудования. Он-то и не будет влиять на производительность внутри подборки: там станки у всех практически одинаковые.
Если вычислить среднюю величину от всех групповых,
то получим характеристику случайного разброса. Иными словами, составляющую вариации, зависящую от чего угодно, кроме фактора отбора.
Взаимосвязь
В соответствии с правилом сложения, общая D[X] включает средние выражения остаточной и факторной. И это логично, поскольку учитывает и случайное изменение в группе, и систематическое в факторной.
Свойства дисперсии
Если последовательность состоит из одинаковых чисел, то D[X] будет нулевой.
Уменьшение всех значений на постоянную величину на дисперсию не влияет. Иначе говоря, рассчитать σ 2 можно по отклонениям от фиксированного числа.
Уменьшение всех цифр в k раз приведет к падению D[X] в k 2 раз. Можно, например, иметь в виду значения в метрах, а результат вычислить в футах. Достаточно учесть один раз то, на что следует умножить.
Показатели вариаций
Кроме размаха (разницы максимального и минимального значений), среднего линейного и дисперсии, изменения описываются коэффициентом вариации:
Оценить масштаб разброса проще по относительной величине. Тем более, что измеряются в одних единицах.
Пример расчета дисперсии
Компания объявила конкурсный отбор для приема сотрудников. В качестве критерия принят стаж работы по специальности. Приведем исходные данные и расчеты.
По альтернативной формуле:
Заключение
Статистика оперирует значительными объемами данных. Вариация, как одно из основных понятий – не исключение. И дисперсия в качестве основной характеристики.
Для упрощения расчетов существует масса онлайн калькуляторов. Имеется упомянутый инструмент в MS Excel.
Дисперсия, среднеквадратичное (стандартное) отклонение, коэффициент вариации в Excel
Из предыдущей статьи мы узнали о таких показателях, как размах вариации, межквартильный размах и среднее линейное отклонение. В этой статье изучим дисперсию, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации.
Дисперсия
Дисперсия случайной величины – это один из основных показателей в статистике. Он отражает меру разброса данных вокруг средней арифметической.
Сейчас небольшой экскурс в теорию вероятностей, которая лежит в основе математической статистики. Как и матожидание, дисперсия является важной характеристикой случайной величины. Если матожидание отражает центр случайной величины, то дисперсия дает характеристику разброса данных вокруг центра.
Формула дисперсии в теории вероятностей имеет вид:
То есть дисперсия — это математическое ожидание отклонений от математического ожидания.
На практике при анализе выборок математическое ожидание, как правило, не известно. Поэтому вместо него используют оценку – среднее арифметическое. Расчет дисперсии производят по формуле:
s 2 – выборочная дисперсия, рассчитанная по данным наблюдений,
X – отдельные значения,
X̅– среднее арифметическое по выборке.
Стоит отметить, что у такого расчета дисперсии есть недостаток – она получается смещенной, т.е. ее математическое ожидание не равно истинному значению дисперсии. Подробней об этом здесь. Однако при увеличении объема выборки она все-таки приближается к своему теоретическому аналогу, т.е. является асимптотически не смещенной.
Простыми словами дисперсия – это средний квадрат отклонений. То есть вначале рассчитывается среднее значение, затем берется разница между каждым исходным и средним значением, возводится в квадрат, складывается и затем делится на количество значений в данной совокупности. Разница между отдельным значением и средней отражает меру отклонения. В квадрат возводится для того, чтобы все отклонения стали исключительно положительными числами и чтобы избежать взаимоуничтожения положительных и отрицательных отклонений при их суммировании. Затем, имея квадраты отклонений, просто рассчитываем среднюю арифметическую. Средний – квадрат – отклонений. Отклонения возводятся в квадрат, и считается средняя. Теперь вы знаете, как найти дисперсию.
Расчет дисперсии в Excel
Генеральную и выборочную дисперсии легко рассчитать в Excel. Есть специальные функции: ДИСП.Г и ДИСП.В соответственно.
В чистом виде дисперсия не используется. Это вспомогательный показатель, который нужен в других расчетах. Например, в проверке статистических гипотез или расчете коэффициентов корреляции. Отсюда неплохо бы знать математические свойства дисперсии.
Свойства дисперсии
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины A равна 0 (нулю).
Свойство 2. Если случайную величину умножить на постоянную А, то дисперсия этой случайной величины увеличится в А 2 раз. Другими словами, постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат.
Свойство 3. Если к случайной величине добавить (или отнять) постоянную А, то дисперсия останется неизменной.
Свойство 4. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.
Свойство 5. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их разницы также равна сумме дисперсий.
Среднеквадратичное (стандартное) отклонение
Если из дисперсии извлечь квадратный корень, получится среднеквадратичное (стандартное) отклонение (сокращенно СКО). Встречается название среднее квадратичное отклонение и сигма (от названия греческой буквы). Общая формула стандартного отклонения в математике следующая:
На практике формула стандартного отклонения следующая:
Как и с дисперсией, есть и немного другой вариант расчета. Но с ростом выборки разница исчезает.
Расчет cреднеквадратичного (стандартного) отклонения в Excel
Для расчета стандартного отклонения достаточно из дисперсии извлечь квадратный корень. Но в Excel есть и готовые функции: СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОН.В (по генеральной и выборочной совокупности соответственно).
Среднеквадратичное отклонение имеет те же единицы измерения, что и анализируемый показатель, поэтому является сопоставимым с исходными данными.
Коэффициент вариации
Значение стандартного отклонения зависит от масштаба самих данных, что не позволяет сравнивать вариабельность разных выборках. Чтобы устранить влияние масштаба, необходимо рассчитать коэффициент вариации по формуле:
По нему можно сравнивать однородность явлений даже с разным масштабом данных. В статистике принято, что, если значение коэффициента вариации менее 33%, то совокупность считается однородной, если больше 33%, то – неоднородной. В реальности, если коэффициент вариации превышает 33%, то специально ничего делать по этому поводу не нужно. Это информация для общего представления. В общем коэффициент вариации используют для оценки относительного разброса данных в выборке.
Расчет коэффициента вариации в Excel
Расчет коэффициента вариации в Excel также производится делением стандартного отклонения на среднее арифметическое:
Коэффициент вариации обычно выражается в процентах, поэтому ячейке с формулой можно присвоить процентный формат:
Коэффициент осцилляции
Еще один показатель разброса данных на сегодня – коэффициент осцилляции. Это соотношение размаха вариации (разницы между максимальным и минимальным значением) к средней. Готовой формулы Excel нет, поэтому придется скомпоновать три функции: МАКС, МИН, СРЗНАЧ.
Коэффициент осцилляции показывает степень размаха вариации относительно средней, что также можно использовать для сравнения различных наборов данных.
Таким образом, в статистическом анализе существует система показателей, отражающих разброс или однородность данных.
Ниже видео о том, как посчитать коэффициент вариации, дисперсию, стандартное (среднеквадратичное) отклонение и другие показатели вариации в Excel.
