Что такое дополнительный множитель дроби для чего он нужен

В этой статье мы поговорим про приведение дробей к новому знаменателю. Сначала мы разберемся, что называют приведением дроби к общему знаменателю. После этого дадим определение дополнительного множителя и научимся находить дополнительный множитель, приводящий исходную дробь к указанному знаменателю. Наконец, мы озвучим правило приведения дроби к новому знаменателю и рассмотрим пример его применения.

Навигация по странице.

Что значит привести дробь к новому знаменателю?

Для начала проясним, что называют приведением дроби к новому знаменателю.

Дополнительный множитель

Дополнительный множитель – это натуральное число, на которое нужно умножить числитель и знаменатель дроби, чтобы привести ее к новому знаменателю.

Если указано, к какому знаменателю нужно привести дробь, то возникает вопрос: «Как найти дополнительный множитель, который приведет исходную дробь к дроби с указанным знаменателем»?

Итак, чтобы найти дополнительный множитель, позволяющий привести дробь к указанному знаменателю, нужно требуемый знаменатель разделить на исходный знаменатель.

Находить дополнительные множители наиболее часто приходится, выполняя приведение дробей к общему знаменателю.

Правило и пример приведения дроби к указанному знаменателю

Рассмотрим применение этого правила при решении примера.

.

Источник

В данном материале мы разберем, как правильно приводить дроби к новому знаменателю, что такое дополнительный множитель и как его найти. После этого сформулируем основное правило приведения дробей к новым знаменателям и проиллюстрируем его примерами задач.

Понятие приведения дроби к другому знаменателю

Привести дробь к другому знаменателю можно, умножив ее числитель и знаменатель на любое натуральное число. Главное условие – множитель должен быть одинаков для обоих частей дроби. В итоге получится дробь, равная исходной.

Проиллюстрируем это примером.

Привести дробь 11 25 к новому знаменателю.

Решение

Все подсчеты можно записать в таком виде: 11 25 = 11 · 4 25 · 4 = 44 100

Выходит, любую дробь можно привести к огромному количеству разных знаменателей. Вместо четверки мы могли бы взять другое натуральное число и получить еще одну дробь, эквивалентную исходной.

Решение

54 кратно девятке, которая стоит в знаменателе новой дроби (т.е. 54 можно разделить на 9 ). Значит, такое приведение возможно. А 21 мы разделить на 9 не можем, поэтому такое действие для данной дроби выполнить нельзя.

Понятие дополнительного множителя

Сформулируем, что такое дополнительный множитель.

Дополнительный множитель представляет собой такое натуральное число, на которое умножают обе части дроби для приведения ее к новому знаменателю.

Соответственно, если мы знаем знаменатель, к которому необходимо привести дробь, то мы можем вычислить для нее и дополнительный множитель. Разберем, как это сделать.

Таким образом, для нахождения дополнительного множителя нам нужно разделить требуемый знаменатель на исходный.

Решение

Используя правило выше, мы просто разделим 124 на знаменатель первоначальной дроби – четверку.

Выполнять расчеты такого типа часто требуется при приведении дробей к общему знаменателю.

Правило приведения дробей к указанному знаменателю

Перейдем к определению основного правила, с помощью которого можно привести дроби к указанному знаменателю. Итак,

Для приведения дроби к указанному знаменателю нужно:

Как применить это правило на практике? Приведем пример решения задачи.

Решение

Источник

Приведение дробей к общему знаменателю.

Общий знаменатель и дополнительный множитель.

У дробей бывают различные или одинаковые знаменатели. Одинаковый знаменатель или по-другому называют общий знаменатель у дроби. Пример общего знаменателя:

Пример разных знаменателей у дробей:

Как привести к общему знаменателю дроби?

У первой дроби знаменатель равен 3, у второй равен 13. Нужно найти такое число, чтобы делилось и на 3 и на 13. Это число 39.

Первую дробь нужно умножить на дополнительный множитель 13. Чтобы дробь не изменилась умножаем обязательно и числитель на 13 и знаменатель.

Вторую дробь умножаем на дополнительный множитель 3.

Мы привели к общему знаменателю дроби:

Наименьший общий знаменатель.

Рассмотрим еще пример:

Приведем дроби \(\frac<5><8>\) и \(\frac<7><12>\) к общему знаменателю.

Общий знаменатель для чисел 8 и 12 могут быть числа 24, 48, 96, 120, …, принято выбирать наименьший общий знаменатель в нашем случае это число 24.

Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби.

Как найти наименьший общий знаменатель?
Методом перебора чисел, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби и выбрать из них самое наименьшее.

Нам нужно дробь со знаменателем 8 умножить на 3, а дробь со знаменателем 12 умножить на 2.

Если у вас сразу не получиться привести дроби к наименьшему общему знаменателю в этом ничего страшного нет, в дальнейшем решая пример вам может быть придется полученный ответ сократить.

Общей знаменатель можно найти для любых двух дробей это может быть произведение знаменателей этих дробей.

Например:
Приведите дроби \(\frac<1><4>\) и \(\frac<9><16>\) к наименьшему общему знаменателю.

Самый простой способ найти общий знаменатель – это произведение знаменателей 4⋅16=64. Число 64 это не наименьший общий знаменатель. По заданию нужно найти именно наименьший общий знаменатель. Поэтому ищем дальше. Нам нужно число, которое делиться и на 4, и на 16, это число 16. Приведем к общему знаменателю дроби, умножим дробь со знаменателем 4 на 4, а дробь со знаменателем 16 на единицу. Получим:

Вопросы по теме:
Любые ли две дроби можно привести к одному общему знаменателю?
Ответ: да.

К какому знаменателю принято приводить дроби?
Ответ: к наименьшему общему знаменателю.

Пример №1:
Для дроби \(\frac<1><2>\) запишите равную дробь со знаменателем: а) 12 б) 18 в) 50?

Решение:
а) Число 2 нужно умножить на 6, чтобы получить 12. Следовательно, мы всю дробь умножаем на дополнительный множитель 6.

б) Число 2 нужно умножить на 9, чтобы получить 18. Следовательно, мы всю дробь умножаем на дополнительный множитель 9.

в) Число 2 нужно умножить на 25, чтобы получить 50. Следовательно мы всю дробь умножаем на дополнительный множитель 25.

Источник

Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю

Чтобы привести несколько дробей к наименьшему общему знаменателю, надо:

1) найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем;

2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т.е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;

3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Пример: приведем к наименьшему общему знаменателю дроби 3/4 и 5/6.

1) Находим наименьшее общее кратное (НОК) чисел 4 и 6. Это 12. То есть 12 – минимальное число, на которое делятся без остатка и 4, и 6.

2) Делим 12 на знаменатель каждой из двух дробей, чтобы найти их дополнительные множители:

Таким образом, дополнительным множителем дроби 3/4 является 3, дроби 5/6 – 2.

3) Чтобы в знаменателе обеих дробей было число 12, надо умножить их числители и знаменатели на их дополнительные множители.

Нашли общий знаменатель двух дробей – число 12.

В дроби 3/4 делим 12 на знаменатель 4 и полученный результат умножаем на числитель 3:

Мы получили числитель. Итак, в числителе у нас 9, в знаменателе 12:

В дроби 5/6 делим 12 на 6 и полученный результат умножаем на 5:

Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю

Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) данных несократимых дробей является наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей. (см. тему «Нахождение наименьшего общего кратного»: 5.3.5. Нахождение наименьшего общего кратного (НОК) данных чисел ).

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, оно и будет наименьшим общим знаменателем. 2) найти для каждой из дробей дополнительный множитель, для чего делить новый знаменатель на знаменатель каждой дроби. 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Примеры. Привести следующие дроби к наименьшему общему знаменателю.

Находим наименьшее общее кратное знаменателей: НОК(5; 4)=20, так как 20 — самое меньшее число, которое делится и на 5 и на 4. Находим для 1-й дроби дополнительный множитель 4 (20:5=4). Для 2-й дроби дополнительный множитель равен 5 (20:4=5). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 4, а числитель и знаменатель 2-й дроби на 5. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (20).

Наименьший общий знаменатель этих дробей — число 8, так как 8 делится на 4 и на само себя. Дополнительного множителя к 1-й дроби не будет (или можно сказать, что он равен единице), ко 2-й дроби дополнительный множитель равен 2 (8:4=2). Умножаем числитель и знаменатель 2-й дроби на 2. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (8).

Данные дроби не являются несократимыми.

Сократим 1-ю дробь на 4, а 2-ю дробь сократим на 2. (см. примеры на сокращение обыкновенных дробей: Карта сайта → 5.4.2. Примеры сокращения обыкновенных дробей ). Находим НОК(16; 20)=2 4 ·5=16·5=80. Дополнительный множитель для 1-й дроби равен 5 (80:16=5). Дополнительный множитель для 2-й дроби равен 4 (80:20=4). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 5, а числитель и знаменатель 2-й дроби на 4. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (80).

Находим наименьший общий знаменатель НОЗ(5; 6 и 15)=НОК(5; 6 и 15)=30. Дополнительный множитель к 1-й дроби равен 6 (30:5=6), дополнительный множитель ко 2-й дроби равен 5 (30:6=5), дополнительный множитель к 3-ей дроби равен 2 (30:15=2). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 6, числитель и знаменатель 2-й дроби на 5, числитель и знаменатель 3-ей дроби на 2. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (30).

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

Дроби могут иметь множество общих знаменателей.

Могут иметь общие знаменатели: 4, 8, 12, 16 и т.д.:

В множестве чисел, являющихся общим знаменателем данных дробей существует наименьшее натуральное число, которое называют наименьшим общим знаменателем.

Таким образом, из всех общих знаменателей 4, 8, 12, 16 дробей:

наименьшим общим знаменателем будет знаменатель 4, так как число 4 – наименьшее натуральное число из чисел 4, 8, 12, 16.

Определение наименьшего общего знаменателя

Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число из всех общих знаменателей данных дробей.

Наименьший общий знаменатель будет равен 36.

Чтобы найти наименьший общий знаменатель дробей, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) этих знаменателей.

Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю

Шаг 1

Найти наименьший общий знаменатель.

Шаг 2

Найти дополнительный множитель.

Шаг 3

Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Шаг 4

Записать полученные дроби с новым знаменателем.

Пример 1

Привести дроби к общему знаменателю и наименьшему общему знаменателю::

Действие 1

Найдем общий знаменатель для рассматриваемых дробей.

Чтобы найти общий знаменатель, перемножим знаменатели:

Дополнительный множитель к первой дроби:

Дополнительный множитель ко второй дроби:

Дополнительный множитель к третьей дроби:

Запишем полученные дроби с общим знаменателем:

Действие 2

Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю:

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю нужно:

Шаг 1

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нужно знаменатели дробей разложить на множители.

Разложим их знаменатели на множители:

Запишем знаменатели как произведение множителей:

Из одинаковых простых множителей выберем тот множитель, который стоит в наибольшей степени, т. е.:

Наименьший общий знаменатель у этих дробей: 36.

Шаг 2

Находим дополнительные множители для этих дробей. Для этого 36 делим на 12, 3, 18 (знаменатели этих дробей):

Шаг 3

Умножим числители и знаменатели этих дробей на дополнительные множители:

Таким образом эти дроби привели к наименьшему общему знаменателю.

Ответ

приведенные к общему знаменателю:

приведенные к наименьшему общему знаменателю:

Пример 2

Привести к наименьшему общему знаменателю дроби:

Решение

Шаг 1

Найдем наименьший общий знаменатель. Для этого определим НОК. Чтобы найти НОК, разложим знаменатели на простые множители.

Представим знаменатели в виде произведения множителей:

Из одинаковых простых множителей выберем тот множитель, который стоит в наибольшей степени, т. е.:

Наименьший общий знаменатель 90.

Шаг 2

Найдем дополнительные множители для этих дробей. Для этого 90 делим на 18, 45 (знаменатели этих дробей):

Шаг 3

Умножим числители и знаменатели этих дробей на дополнительные множители:

Таким образом эти дроби привели к наименьшему общему знаменателю.

Ответ

приведенные к наименьшему общему знаменателю имеют вид:

Как привести дробь к НОЗ

Чтобы можно было выполнять операции сложения, вычитания и сравнения между простыми дробями, у них должны быть одинаковые знаменатели.

Если знаменатели дробей различны (именно так чаще и бывает), дроби следует привести к общему знаменателю.

Общим знаменателем называют число, кратное каждому из первоначальных знаменателей исходных дробей.

Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) называют наименьший из всех возможных знаменателей или наименьшее общее кратное знаменателей исходных дробей.

Правило приведения двух дробей к НОЗ:

ПРИМЕР: Найти НОЗ дробей 18/81 и 13/45.

Дополнительный множитель для дроби 18/81 будет равен 5; для дроби 13/45 равен 9.

Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на 5, а второй — на 9, после чего получаем две дроби с одинаковыми знаменателями: 90/405 и 117/405.

Задача 1: Что больше 14/19 или 27/33.

Источник

Приведение дроби к наименьшему общему знаменателю: правило, примеры решений

В данной статье рассказывается, как привести дроби к общему знаменателю и как найти наименьший общий знаменатель. Приведены определения, дано правило приведения дробей к общему знаменателю и рассмотрены практические примеры.

Что такое приведение дроби к общему знаменателю?

Если же дроби имеют разные знаменатели, то их всегда можно привести к общему знаменателю при помощи нехитрых действий. Чтобы сделать это, нужно числитель и знаменатель умножить на определенные дополнительные множители.

Приведение дробей к общему знаменателю

Общий знаменатель: определение, примеры

Что такое общий знаменатель?

Другими словами, общим знаменателем какого-то набора дробей будет такое натуральное число, которое без остатка делится на все знаменатели этих дробей.

Ряд натуральных чисел бесконечен, и поэтому, согласно определению, каждый набор обыкновенных дробей имеет бесконечное множество общих знаменателей. Иначе говоря, существует бесконечно много общих кратных для всех знаменателей исходного набора дробей.

Пример 1. Общий знаменатель

Значит, 150 не является общим знаменателем указанных дробей.

Наименьший общий знаменатель

Наименьшее натуральное число из множества общих знаменателей какого-то набора дробей называется наименьшим общим знаменателем.

Наименьший общий знаменатель

Как найти наименьший общий знаменатель? Его нахождение сводится к нахождению наименьшего общего кратного дробей. Обратимся к примеру:

Пример 2. Найти наименьший общий знаменатель

Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю

Существует правило, которое объясняет, как привести дроби к общему знаменателю. Правило состоит из трех пунктов.

Правило приведения дробей к общему знаменателю

Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере.

Пример 3. Приведение дробей к общему знаменателю

По правилу, сначала найдем НОК знаменателей дробей.

Умножаем числитель и знаменатель дробей на дополнительные множители и получаем:

Приведение нескольких дробей к наименьшему общему знаменателю

По рассмотренному правилу к общему знаменателю можно приводить не только пары дробей, но и большее их количество.

Приведем еще один пример.

Пример 4. Приведение дробей к общему знаменателю

Вычислим НОК знаменателей. Находим НОК трех и большего количества чисел:

Далее вычислим дополнительные множители для каждой дроби.

Умножаем дроби на дополнительные множители и переходим к наименьшему общему знаменателю:

3 2 · 36 = 108 72 5 6 · 12 = 60 72 3 8 · 9 = 27 72 17 18 · 4 = 68 72

Источник