Что такое допустимые значения алгебраической дроби
Понятие алгебраической дроби. Основное свойство
Определение алгебраической дроби
Чтобы дать определение алгебраической дроби, необходимо повторить, что такое алгебраическое выражение (см. §1 справочника для 7 класса) и многочлен (см. §14 справочника для 7 класса).
Алгебраическая дробь – это алгебраическое выражение, числитель и знаменатель которого являются многочленами (при условии, что знаменатель не равен нулю).
Алгебраическая дробь, как и другие алгебраические выражения, может быть рациональной или иррациональной. Напомним, что в иррациональных выражениях извлекаются корня из переменных (или переменные возводятся в степень с дробным показателем). В рациональных выражениях корни и дробные степени или вообще не извлекаются или извлекаются только из чисел.
Алгебраические (рациональные) дроби
Алгебраическая дробь существует при условии, что её знаменатель не равен 0. Поэтому, если в знаменателе есть переменные («буквы»), всегда говорят о допустимых значениях этих переменных.
Основное свойство алгебраической дроби
При умножении или делении числителя и знаменателя алгебраической дроби на одно и то же алгебраическое выражение (отличное от нуля) получается равная ей дробь:
Это свойство аналогично основному свойству обычной числовой дроби: мы можем одновременно умножать или делить числитель и знаменатель на любое выражение, сокращать на общий множитель, если он существует. Например:
Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю
Основное свойство алгебраических дробей позволяет приводить их к общему знаменателю и упрощать сложные выражения:
Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю
Шаг 2. Дополнительные множители
Перемена знака у члена дроби
Из основного свойства дроби следует, что одновременное умножение числителя и знаменателя на (-1) не изменит дробь:
Дробь также не изменится, если провести следующие перемены знаков:
Ещё несколько полезных формул, связанных с переменой знаков:
Примеры
Пример 1. Найдите допустимые значения переменных, входящих в дробь:
$ a^2-4 \neq 0 \iff (a-2)(a+2) \neq 0 \iff a \neq \pm 2$
$ 3x-1 \neq 0 \iff x \neq \frac<1><3>$
$$ x- \frac<4>
$ y^2-3|y| \neq 0 \iff |y|(|y|-3) \neq 0 \iff <\left\< \begin
Пример 2. Сократите дроби:
Пример 3. Упростите выражение:
Пример 4. Постройте график функции:
(О графике линейной функции – см. §38 справочника для 7 класса)
Что такое допустимые значения алгебраической дроби
Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту
Алгебраической дробью называют выражение
где Р и Q —многочлены; Р — числитель алгебраической дроби, Q — знаменатель алгебраической дроби.
Вот примеры алгебраических дробей:
Любой многочлен – это частный случай алгебраической дроби, потому что любой многочлен можно записать в виде
Значение алгебраической дроби зависит от значения переменных.
Например, вычислим значение дроби
1)
2)
В первом случае получаем:
Заметим, данную дробь можно сократить:
Таким образом, вычисление значения алгебраической дроби упрощается. Воспользуемся этим.
Во втором случае получим:
Как видно, с изменением значений переменных изменилось значение алгебраической дроби.
Рассмотрим алгебраическую дробь
Значение x = –1 является недопустимым для данной дроби, т.к. знаменатель дроби при таком значении х обращается в нуль. При этом значении переменной алгебраическая дробь не имеет смысла.
Таким образом, допустимыми значениями переменных алгебраической дроби являются такие значения переменных, при которых знаменатель дроби не обращается в нуль.
Решим несколько примеров.
При каких значениях переменной не имеет смысла алгебраическая дробь:
Для нахождения недопустимых значений переменных знаменатель дроби приравнивается к нулю, и находятся корни соответствующего уравнения.
При каких значениях переменной равна нулю алгебраическая дробь:
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю. Приравняем к нулю числитель нашей дроби и найдем корни получившегося уравнения:
Далее следует найти недопустимые значения переменной х. Действуем как в предыдущем примере, приравниваем к нулю знаменатель алгебраической дроби и решаем получившееся уравнение:
Таким образом, при x = 0 и x= 3 данная алгебраическая дробь не имеет смысла, а значит, мы должны исключить эти значения переменной из ответа.
Итак, на этом уроке Вы изучили основные понятия алгебраической дроби: числитель и знаменатель дроби, а также допустимые значения переменных алгебраической дроби.
Основное свойство алгебраических дробей
Определение алгебраической дроби
В §1 данного справочника мы уже давали определение алгебраических выражений, как целых, так и дробных. А в §14 данного справочника мы ввели понятие многочлена.
Алгебраическая дробь – это дробь, в которой числитель и знаменатель – многочлены (при условии, что знаменатель отличен от нуля).
Алгебраическая дробь существует при условии, что её знаменатель не равен 0. Поэтому, если в знаменателе есть переменные («буквы»), всегда говорят о допустимых значениях этих переменных.
При этом b может быть любым действительным числом, без ограничений.
Основное свойство алгебраической дроби
При умножении или делении числителя и знаменателя алгебраической дроби на одно и то же алгебраическое выражение (отличное от нуля) получается равная ей дробь:
Это свойство означает, что мы может сокращать алгебраическую дробь на общий множитель, если такой найдётся для числителя и знаменателя. Например:
Также, это свойство разрешает нам приводить алгебраические дроби к общему знаменателю и выполнять сложение или вычитание. Например:
Примеры
Пример 1. Найдите допустимые значения переменных, входящих в дробь:
Пример 2. Выразите переменные из формул:
а) s = vt. Найти v и t
б)m = ρV. Найти ρ и V
в) p = ρgh. Найти ρ и h
$$vt = x-x_0 \Rightarrow v = \frac
Пример 3. Сократите дроби:
Пример 4. Разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дроби:
Основное свойство алгебраических дробей
Определение алгебраической дроби
В §1 данного справочника мы уже давали определение алгебраических выражений, как целых, так и дробных. А в §14 данного справочника мы ввели понятие многочлена.
Алгебраическая дробь – это дробь, в которой числитель и знаменатель – многочлены (при условии, что знаменатель отличен от нуля).
Алгебраическая дробь существует при условии, что её знаменатель не равен 0. Поэтому, если в знаменателе есть переменные («буквы»), всегда говорят о допустимых значениях этих переменных.
При этом b может быть любым действительным числом, без ограничений.
Основное свойство алгебраической дроби
При умножении или делении числителя и знаменателя алгебраической дроби на одно и то же алгебраическое выражение (отличное от нуля) получается равная ей дробь:
Это свойство означает, что мы может сокращать алгебраическую дробь на общий множитель, если такой найдётся для числителя и знаменателя. Например:
Также, это свойство разрешает нам приводить алгебраические дроби к общему знаменателю и выполнять сложение или вычитание. Например:
Примеры
Пример 1. Найдите допустимые значения переменных, входящих в дробь:
Пример 2. Выразите переменные из формул:
а) s = vt. Найти v и t
б)m = ρV. Найти ρ и V
в) p = ρgh. Найти ρ и h
$$vt = x-x_0 \Rightarrow v = \frac
Пример 3. Сократите дроби:
Пример 4. Разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дроби:
Алгебраические дроби
Тема 7 «Алгебраические дроби»
Цель главы – выработать у учащихся устойчивые навыки действий с алгебраическими дробями.
Вы познакомитесь с алгебраическими дробями, у которых числитель и знаменатель — целые буквенные выражения, научитесь складывать, вычитать, умножать и делить алгебраические дроби.
1. Определение алгебраической дроби.
В седьмом и восьмом классах рассматривались целые буквенные выражения. Такими выражениями являются многочлены от одной или нескольких переменных. Например, 
, 
, 
, 
, 
.
Иногда целые буквенные выражения называют целыми алгебраическими выражениями.
Напомним, что при подстановке в целое алгебраическое выражение вместо букв некоторых чисел получается числовое выражение. Значение этого числового выражения называют значением целого алгебраического выражения при заданном наборе переменных. Например, целое выражение 
при 
и 
имеет значение, равное 
.
Целые буквенные выражения удобны для записи некоторых формул, функций и для других целей.
2. Значение алгебраической дроби.
Для целых многочленов были определены сложение, вычитание и умножение. Изучая многочлены от одной переменной, мы установили, что разделить без остатка один многочлен на другой и получить частное в виде многочлена удается не всегда. Чтобы для буквенных выражений можно было рассмотреть деление, определяют алгебраические дроби.
Отношение двух целых алгебраических выражений называется алгебраической дробью.
Вот несколько примеров алгебраических дробей:
У алгебраической дроби, как и у числовых дробей, имеются числитель и знаменатель.
Числителем алгебраической дроби называют выражение, стоящее над дробной чертой.
Знаменателем алгебраической дроби называют выражение, стоящее под дробной чертой. Для краткости алгебраическую дробь называют дробью, когда из текста ясно, о каких дробях идет речь.
3. Область определения дроби.
Подставляя в алгебраическую дробь вместо букв конкретные числа, мы будем получать числовые выражения. При некоторых значениях переменных значение знаменателя может оказаться равным нулю. Но так как на нуль делить нельзя, то для таких значений переменных вычислить значение алгебраической дроби не удается. Будем говорить, что алгебраическая дробь не определена при наборах значений переменных, для которых значение знаменателя дроби равно нулю.
Пример 1. Дробь 
имеет знаменатель 
, который обращается в нуль при 
. Поэтому данная дробь не определена при .
Пример 2. Дробь 
имеет знаменатель 
, который тождественно равен нулю. Поэтому данная дробь не определена ни при каком значении 
.
Пример 3. Дробь 
имеет знаменатель 
, который обращается в нуль при 
. Поэтому данная дробь не определена, если брать равные значения переменных 
и 
.
4. Так как алгебраическая дробь при некоторых значениях переменных может быть не определена, то это надо учитывать при действиях с дробями, рассматривая только такие значения переменных, для которых дроби определены и выполнимы все арифметические операции.
Множество значений переменных, при которых данная алгебраическая дробь определена, называют областью определения данной дроби.
Область определения для алгебраической дроби с несколькими переменными задавать сложно. Поэтому мы будем рассматривать области определения только для алгебраических дробей с одной переменной, например, с переменной 
. В этом случае дробь имеет вид 
, где 
и 
— многочлены.
Задавая алгебраическую дробь, иногда указывают и ее область определения.
Пример 4. Дробь 
рассматривается при всех действительных , отличных от 2. В этом примере область определения дроби состоит из всех действительных чисел, не равных 2, и может быть записана в виде объединения двух промежутков:
Пример 5. Если нас интересуют значения дроби 
для положительных , то область определения этой дроби можно считать равной интервалу 
.
Пример 6. Дробь 
рассматривается при всех натуральных 
. В данном примере область определения дроби — это множество всех натуральных чисел.
Часто область определения алгебраической дроби не указывается. В этом случае будем предполагать, что область определения дроби — множество всех действительных чисел, при которых значения данной дроби определены.
Пример 7. Записывая дробь , мы будем предполагать, что она определена при действительных 
.
Пример 8. Записывая дробь , мы будем предполагать, что она определена при действительных 
.
5.** Зависимость области определения дроби от числового множества.
Область определения алгебраической дроби зависит от числового множества, в котором рассматриваются значения переменной.
Пример 9. Дробь 
всюду определена, если рассматриваются только натуральные значения переменной . И эта же дробь не всюду определена, если рассматривать целые значения , так как при 
дробь не определена.
Пример 10. Дробь 
всюду определена, если рассматривать только целые значения переменной 
. И эта же дробь не всюду определена, если рассматривать рациональные значения , так как при 
дробь не определена.
Пример 11. Дробь 
всюду определена, если рассматривать только рациональные значения переменной . И эта же дробь не всюду определена, если рассматривать действительные значения , так как при 
и при 
дробь не определена.
Еще раз обратим внимание, что когда область определения дроби не указана, то мы ее рассматриваем на множестве всех действительных чисел, при которых значения данной дроби определены.
6. Основное свойство алгебраической дроби
Рассмотрим числовую дробь 
. Значение этой дроби не изменится, если мы умножим числитель и знаменатель на одно и то же не равное нулю число. Например,
Аналогичное свойство выполнено и для алгебраических дробей. Оно называется основным свойством алгебраической дроби.
Значение алгебраической дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить на один и тот же множитель, значение которого отлично от нуля.
Иногда основное свойство алгебраической дроби формулируют по-другому:
алгебраическая дробь не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить на один и тот же множитель, не обращающийся в нуль в области определения данной алгебраической дроби.
При этом подразумевается, что значения дроби и дроби 
рассматриваются на общей части их областей определения.
7. Сокращение алгебраической дроби.
Рассмотрим дроби 
и 
. По основному свойству дробей эти дроби равны на общей части их областей определения, то есть
при 
.
Перепишем равенство в виде
Правая часть этого равенства получается из левой части сокращением числителя и знаменателя на один и тот же множитель 
. Будем говорить, что дробь 
получается из дроби сокращением числителя и знаменателя на общий множитель.
При сокращении числителя и знаменателя на общий множитель часто получается дробь с меньшими степенями числителя и знаменателя.
Пример 14. 
.
В этом примере мы сократили дробь на числовой множиПоэтому области определения дробей 
и 
одинаковы, и равенство 
выполняется при любом 
.
Пример 15. 
.
В этом примере мы сократили дробь на множитель 
. Однако, левая дробь не определена ни при каком значении . Поэтому записанное равенство не выполняется ни при одном значении .
Пример 16. 
.
Это равенство выполняется только при таких значениях 
и 
, при которых определены как первая, так и последняя дроби, то есть 
и 
.
8.** Тождественное равенство дробей на некотором множестве. Свойства рефлексивности, симметричности, транзитивности.
Использование знака равенства при действиях с алгебраическими дробями имеет более сложный смысл, чем при действиях с многочленами. Чтобы в этом разобраться, определим тождественное равенство двух алгебраических дробей от переменной на некотором множестве 
чисел.
Алгебраические дроби и 
тождественно равны на множестве , если при каждом 
значения и 
определены и равны.
Тождественное равенство дробей и записывают с помощью знака 
, вместо которого иногда используют обычный знак равенства, когда из текста ясно, что речь идет о тождественном равенстве алгебраических дробей на некотором множестве.
Тождественное равенство алгебраических дробей от переменной обладает следующими основными свойствам.
Свойство 1. Пусть дробь определена на множестве . Тогда 
на множестве .
Свойство 2. Пусть 
на множестве . Тогда 
на множестве .
Свойство 3. Пусть на множестве и и 
на множестве 
. Тогда 
на пересечении множеств и . При , 
имеем равенство 
.
Пример 17. При 
, имеем равенство 
. Поэтому на основании свойства 3 при , , имеем равенство
1. Что такое целое алгебраическое выражение?
2. Что такое алгебраическая дробь?
3. Дайте определение числителя и знаменателя алгебраической дроби.
4. При каких значениях переменных алгебраическая дробь не определена?
5. Каким условиям должна удовлетворять область определения алгебраической дроби?
6. Как находить область определения алгебраической дроби в том случае, когда эта область не указана?
7. Сформулируйте основное свойство алгебраической дроби.
8. Что называют сокращением алгебраической дроби?
9. Что нужно сделать, чтобы сократить алгебраическую дробь, если это возможно?
Задачи и упражнения
1. При каких значениях переменной определена алгебраическая дробь:
а) 
б) ; 
в) ; 
;
г) 
д) ; 
е) ; 
ж) ; 
?
2. Сократите алгебраическую дробь:
а) 
б) ; 
в) ; 
г) ; 
;
д) 
е) ; 
ж) ; 
.
3. Укажите, при каких значениях переменных исходная дробь равна той дроби, которая получается после сокращения.
Сократите алгебраическую дробь:
а) 
б) ; 
в) ; 
;
г) 
д) ; 
е) ; 
ж) ; 
.
4. Сократите алгебраическую дробь:
а) 
б) ; 
в) ; 
;
г) 
д) ; 
е) ; 
.
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач.
Задача 4. Указание. а) 
, 
.
б) 
, 
.
в) Если 
, то рассматриваемая дробь не имеет смысла, поэтому 
. Сократив числитель и знаменатель на 
и приведя подобные члены получим выражение 
. Если ввести новую переменную 
, то в результате получим алгебраическую дробь вида 
. Корнями уравнения 
являются числа 
и 
, поэтому 
. Так что сократить можно только на числовой множитель.
г) 
при всех и таких, что и 
.
д) 
при всех 
и 
таких, что 
и 
.
е) 
при всех таких и 
, что 
и 
.