Дроби
В жизни нам нередко приходится пользоваться не только целыми числами, но и их частями (долями).
Доли — это равные части целого.
Устройство обыкновенной дроби
Рассмотрим круг, разделённый на четыре равных части.
Сколько частей круга закрашено? Одна.
На сколько частей разделён целый круг? На четыре части.
Какая часть целого круга закрашена? Ответ:
| 1 |
| 4 |
Число, стоящее над дробной чертой, называется числителем. Числитель показывает, сколько долей взяли (закрасили) у целого.
Число, стоящее под дробной чертой, называется знаменателем. Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделено целое.
Чтобы запомнить, что знаменатель — это нижняя часть дроби, выучите стихотворение:
Знамёна упали, знаменатель — внизу,
А числа сражались, числитель — вверху.
Иными словами, в круге закрашено
| 3 |
| 8 |
круга.
Некоторые обыкновенные дроби имеют особые названия. Знать, как называются такие дроби, надо наизусть.
Дробь. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа
Содержание
Дробь. Числитель и знаменатель дроби
Дробь записывают при помощи двух натуральных чисел, одно из которых стоит над горизонтальной чертой, а второе – под нею.
Знаменатель дроби показывает, на сколько одинаковых долей мы делим предмет или величину, а числитель дроби показывает, сколько таких долей взято.
Из рисунка 1 видно, что 24 километра составляют 4 из 7 частей маршрута. Таким образом, 1 часть маршрута равна
а весь маршрут равен
Термин дробь имеет синонимы: простая дробь, обыкновенная дробь, рациональная дробь, дробное число.
Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа
– правильная дробь, 
и 
– неправильные дроби.
Неправильную дробь всегда можно представить в виде суммы целого числа и правильной дроби. Эту операцию называют выделением целой части из неправильной дроби и осуществляют при помощи деления с остатком числителя неправильной дроби на знаменатель.
Число 
является примером смешанного числа. Целое число 2 и правильную дробь 
называют целой и дробной частью смешанного числа соответственно.
Любое смешанное число всегда можно обратить в неправильную дробь, например,
Основное свойство дроби, сокращение дробей, несократимая дробь
Основным свойством дроби называют следующее
При помощи сокращений любую дробь можно превратить в равную ей несократимую дробь.
Что такое дробь
Выясним, что такое дробь, из чего она состоит, и какой смысл имеют составные части дроби.
Дробь — это число, составленное из целого числа долей единицы.
То есть, когда надо найти дробь от определенной величины, эту величину принимают равной единице.
Например, есть торт.
Считаем его равным единице.
Разрежем этот торт на 8 частей (долей).
Каждый кусочек составляет одну восьмую часть торта.
Для обозначения дроби существует специальная запись:
(читают: «одна восьмая»).
Горизонтальная линия между верхним и нижним числами называется дробной чертой (или чертой дроби).
Число, стоящее вверху над дробной чертой — числитель дроби.
Число под дробной чертой — знаменатель дроби.
(Запомнить, где стоит числитель, где — знаменатель, поможет ассоциация).
Знаменатель показывает, на сколько частей (долей) разделили целое (которое мы приняли равным единице), а числитель — сколько таких частей взяли.
Спустя некоторое время мы будем учить, что дробная черта означает знак деления
В примере с тортом запись
означает, что торт разделили на 8 частей и из них взяли 3 части.
Разделим прямоугольник на 18 равных частей.
Каждая часть в этом случае составляет
Возьмём 5 таких частей.
Они составляют от прямоугольника
1) Если в году 365 дней (то есть год — не високосный), то месяц июль (в котором 31 день) составляет
часть года. (Читают: «тридцать одну триста шестьдесят пятую»)
2) В книге 237 страниц. Если прочитали 52 страницы, значит, прочитана
(Читают: «пятьдесят две двести тридцать седьмых»).
Какие дроби называются обыкновенными
Что такое обыкновенная дробь — понятие и определение
Прежде чем дать определение термину «дробь», необходимо рассмотреть, чем она является в сущности.
Доля целого или доля числа — это каждая равная часть, которые вместе составляют целый предмет.
К примеру, апельсины обычно состоят из 10 одинаковых долек. А если торт разрезать пополам, то он будет состоять из двух долей.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
У каждой доли свое название, которое зависит от количества долей в предмете.
Половина — это одна вторая часть от целого. Долька апельсина — это одна десятая от апельсина. Если пиццу разрезать на шесть частей, то каждая часть равна одной шестой от всей пиццы.
Простыми словами, дробное число — это нецелое количество, часть целого, которая получается при «дроблении». «Целым» может быть что угодно: количество денег, еда, числа, делимые предметы и так далее.
Как выглядит, примеры записи
Всего существует два вида записи дробных чисел:
Числитель и знаменатель
Обыкновенная дробь состоит из двух натуральных чисел. Записываются они в определенном порядке. Чтобы понять этот принцип, необходимо изучение и объяснение сути дробных чисел.
В сущности, дробь — это результат деления, в котором делимое не делится на делитель полностью, без остатка. Черточка между верхней и нижней части дроби — дробная черта — равноценна знаку деления.
Числитель обыкновенной дроби вида \(\frac mn\) — это натуральное число m, равное делимому.
Знаменатель обыкновенной дроби вида \(\frac mn\) — это натуральное число n, равное делителю.
В зависимости от отношений числителя и знаменателя, выделяют 2 вида дробей.
Правильная дробь — та, у которой числитель меньше знаменателя.
Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему.
Обычно такие дробные числа записывают в виде целых или смешанных чисел: \(5\frac47, \ 2\frac<14><32>.\)
Знаменатель показывает, из скольких частей состоит предмет. Числитель отображает, сколько таких частей рассматривается в задаче. Например, дробь \(\frac<11><32>\) (читается «одиннадцать тридцать вторых») указывает на то, что предмет состоит из 32 долей, и для рассмотрения взяли 11 из них.
Положительные и отрицательные дроби
Дробные числа бывают не только правильными и неправильными, но также и положительными и отрицательными.
Положительная дробь \(\frac23\) и отрицательная дробь \(-\frac23\) — это противоположные числа.
Положительные дроби можно получить двумя способами:
Отрицательные дроби также получают двумя способами:
Какие действия можно выполнять с обыкновенными дробями
Для выполнения действий с дробными числами необходимо знать их свойства.
Основное свойство дроби — если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, получится равная ей дробь.
В общем виде это правило записывают так: \(\frac mn=\frac
где a, b, k — натуральные числа.
Основных действий, которые можно выполнять с дробями, несколько.
Если у двух дробей равные знаменатели, то сравнивать необходимо только числители.
У положительных чисел чем больше числитель, тем больше число: \(\frac37>\frac17.\)
У отрицательных чисел чем меньше числитель, тем больше число, т. к. оно ближе к нулю: \(-\frac25>-\frac45.\)
Если знаменатели разные, то дроби необходимо сперва привести к общему знаменателю. Подробнее это действие рассмотрено в других статьях.
В результате сложения обыкновенных дробей получается обыкновенная дробь.
Если знаменатели одинаковые, складывать нужно только числители: \(\frac13+\frac13=\frac23.\)
Если знаменатели разные, дробь необходимо привести к общему знаменателю.
Когда в результате решения получается неправильная дробь, его необходимо привести к виду целого или смешанного числа.
Это действие обратно сложению. Правила действуют те же, что и при сложении: \(\frac7<10>-\frac2<10>=\frac5<10>=\frac12.\)
Результатом умножения двух обыкновенных дробей также всегда является обыкновенная дробь. При этом числитель умножается на числитель, а знаменатель умножается на знаменатель (отсюда следует, что знаменатели могут быть разные): \(\frac23\cdot\frac34=\frac<2\cdot3><3\cdot4>=\frac6<12>=\frac12.\)
Это действие обратно умножению. Чтобы разделить одну дробь на другую, необходимо числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой — на числитель второй. Иными словами, вторую дробь необходимо «перевернуть» и выполнить умножение:
Дроби и действия с дробями
Что такое дроби?
Вспоминаются примеры из начальной школы. Представьте себе пирог вкусный такой, и 4 голодных ребенка.
Как бы им так сделать, чтоб пирога досталось всем? Верно, надо его поделить, поделить один пирог на 4 человека:
На рисунке ты видишь пирог, разрезанный на 4 дольки. Так вот, как раз дробь – это и есть доля от целого.
Сегодня мы разберем подробно, что такое дроби. Как их правильно делить, умножать, вычитать, складывать, преобразовывать…
В общем, сегодня ты узнаешь о дробях ВСЕ, что нужно знать для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ.
Дроби — коротко о главном
Определения:
Простая дробь (обыкновенная дробь) – запись рационального числа в виде отношения двух чисел \(\displaystyle\frac\).
Делимое \(\displaystyle a\) – числитель дроби, а делитель \(\displaystyle b\) – знаменатель дроби.
Правильная дробь – дробь, у которой числитель меньше знаменателя.
Например: \(\displaystyle\frac<2><5>\), \(\displaystyle\frac<1><7>\) и так далее.
Неправильная дробь –дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.
Например: \(\displaystyle\frac<9><5>\), \(\displaystyle\frac<13><2>\) и так далее.
Смешанная дробь – дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби и понимается как сумма этого числа и дроби.
Например: \(\displaystyle2\frac<2><5>\)\( \displaystyle \displaystyle=\frac<2\cdot 5><5>+\frac<2><5>=\frac<10><5>+\frac<2><5>=\frac<12><5>\).
Десятичная дробь – обыкновенная дробь со знаменателем \(\displaystyle10\), \(\displaystyle100\), \(\displaystyle1000\) и так далее, (т.е. \(\displaystyle<<10>^
>\), где \(\displaystyle n\) — натуральное число).
Например: \(\displaystyle\frac<9><100>\) в виде десятичной дроби записывается как \(\displaystyle0,09\),
\(\displaystyle\frac<225><1000>\) записывается как \(\displaystyle0,225\).
Основное свойство дроби:
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, дробь не изменится, несмотря на то, что выглядеть она будет по-другому.
Действия с дробями:
Сложение/вычитание дробей
Умножение дробей
Деление дробей
Сокращение дроби
Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю
Например: \(\displaystyle\frac<1><3>\) и \(\displaystyle\frac<3><4>\). Наименьший общий знаменатель — \(\displaystyle12\).
Дополнительный множитель первой дроби — \(\displaystyle12:3=4\), дополнительный множитель второй дроби — \(\displaystyle12:4=3\).
Следовательно: для первой дроби: \(\displaystyle\frac<1\cdot 4><3\cdot 4>=\frac<4><12>\), для второй дроби: \(\displaystyle\frac<3\cdot 3><4\cdot 3>=\frac<9><12>\).
Преобразования неправильной дроби в смешанную дробь
Например: \(\displaystyle\frac<17><4>\) = \(\displaystyle4\frac<1><4>\).
Сравнение дробей:
Простые дроби
В данном случае от целого куска в сторонке отделенная одна доля, одна из четырех, одна четвертая.
Это простая дробь.
Простые дроби принято записывать одним из следующих способов: \(\displaystyle \frac<1><4>\), \(\displaystyle <1>/<4>\;.\)
Ты не поверишь, все эти записи означают одно и то же – одна четвертая. А что останется если забрать эту \(\displaystyle 1/4?\) Было \(\displaystyle 4\) из \(\displaystyle 4\), или \(\displaystyle 4/4\), забрали \(\displaystyle 1/4\).
Верно, останется \(\displaystyle 3\) дольки, \(\displaystyle 3\) из \(\displaystyle 4\). Запишем, как полагается, \(\displaystyle 3/4\).
Можно даже вот так: \(\displaystyle 4/4-1/4=3/4\)
То, что находится выше черты – это числитель (ну или слева от черты в такой записи как тут), то, что ниже – знаменатель.
Можно запомнить так: Ч – чердак. Числитель сверху 🙂
Примеры простых дробей: \(\displaystyle 1/5,\text< >2/4,\text< >3/10,\text< >17/3.\)
Правильные и неправильные простые дроби
В этом ряду все дроби правильные, в них числитель меньше знаменателя. Кроме одной. Да-да, ты не ошибся, бывает и такое, что числитель больше знаменателя, как в этой дроби, например: \(\displaystyle 17/3\).
Если числитель больше знаменателя, то дробь называется неправильной.
Вне зависимости от того правильная дробь или неправильная, она будет простой.
Давай остановимся на неправильной дроби \(\displaystyle 17/3\). Что же это она неправильная?
Вспоминай пример с пирогом, там была \(\displaystyle 1/4\) – одна часть из четырех, а тут что получается? \(\displaystyle 17\) частей из \(\displaystyle 3\)?
Бред какой-то! У нас в знаменателе число, которое означает, что весь пирог состоит из стольки частей! Берем \(\displaystyle 4\) части и поучаем целый ровненький пирог. Но числитель говорит, что на данный момент у нас есть лишь одна из этих частей.
А \(\displaystyle 17/3\)?
Что же, у нас есть \(\displaystyle 17\) частей, а для целого пирога в данном случае надо \(\displaystyle 3\) части. Ну так давай соберем из кусочков целые пироги и отдельно их поставим.
Как узнать сколько пирогов мы можем получить из \(\displaystyle 17\) частей? Верно, надо на \(\displaystyle 3\) как раз и поделить.
Если попробовать составить \(\displaystyle 6\) пирогов, т.е. \(\displaystyle 3\cdot 6=18\), надо \(\displaystyle 18\) частей. Не хватает. А \(\displaystyle 3\cdot 5=15\), о, хватило! Получается \(\displaystyle 5\) целых пирогов собрали, положили в сторону. Осталось \(\displaystyle 17-3\cdot 5=2,2\), \( \displaystyle 2\) куска.
А для целого пирога надо \( \displaystyle 3\) части. В итоге у нас \( \displaystyle 5\) целых и \( \displaystyle 2/3\) (две третьих) пирога.
Много места занимает такое обозначение. А что если убрать лишние слова и оставить только \( \displaystyle 5\frac<2><3>\) (пять целых и две третьих).
Смешанная дробь
То, что у нас получилось (\( \displaystyle 5\frac<2><3>\)), называют смешанная дробь – дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби и понимается как сумма этого числа и дроби.
То, что между \( \displaystyle 5\) пирогами и \( \displaystyle 2/3\) пирога нет никакого знака не говорит о том, что там знак умножения, как если бы мы писали \( \displaystyle 2x\).
Запомни, между целой и дробной частями можно поставить знак плюс, вот так: \( \displaystyle 5\frac<2><3>=5+\frac<2><3>\).
Так же можно проделать и обратное действие, т.е. преобразование из смешанной дроби в неправильную дробь.
Ты же знаешь, как это сделать?
Преобразование из смешанной дроби в неправильную дробь.
В результате получим исходное \( \displaystyle 17/3\).
