Что такое два множителя

Учимся дома 1-11 классы

Заметки о семейном образовании

Умножение. Как объяснить ребёнку?

Умножение. Как объяснить ребёнку? Просто!

Умножение — это то же самое сложение. Только упрощённое. Не верите? Ну, как же! Смотрите сами…

2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2=.

Это же пока сосчитаешь, сколько тут двоек, да сложишь все по очереди! Тут и пенсия как раз настанет!

2 х 12 = 24 и всё!

И для облегчения счёта создана таблица умножения. Один раз выучил — всю жизнь пользуешься. Очень удобно!

Сначала дети учатся умножать и запоминают, как называются числа при умножении. Кажется, всё просто. Аналогично сложению. Там были слагаемые и сумма, тут множители и произведение.

Странные исправления в задачах

Засада начинается позже, когда начинаются задачи. Все помнят эти фотографии из родительских чатов с вопросами: За что? И почему так?

На фото было что-то типа такого:

В чём же дело?

Ведь всем же ясно, что 3х2, что 2х3 — получится одинаковое число. За что издеваются над нашими детьми?

Всё дело в логике.

Если пишем 3 х 2, то по условию задачи получаем: три раза мальчик нарисовал по 2 кораблика.

Если пишем 2 х 3, то получаем: по 2 кораблика мальчик нарисовал три раза.

Ну и что? Хрен редьки не слаще! Что в лоб, что по лбу! Разница-то в чём?

Тем более, что в старших классах дети всё равно будут учить переместительный закон умножения: от перемены мест множителей сумма не меняется.

Вот раньше таких проблем не было!

Действительно, не было!

А дело всё в том, что числа при умножении назывались иначе. Вернее, одно число называлось иначе и всё становилось на свои места!

И никто не путался. Сразу же ясно:

И задача сразу иначе звучит. Решать ее надо иначе.

Сразу следует подумать, о чём идёт речь в задаче?

О корабликах! Сколько было корабликов? Два. Два — это множимое!

Во сколько раз больше Вася нарисовал корабликов? В три! Три — это множитель!

Отсюда: верная запись: 2 х 3 = 6 (и никак иначе!)

А как же может звучать вопрос при умножении?

А теперь давайте тренироваться!

Тест на умножение. Если Вы его не видите, значит его блокирует какая-то программа, установленная на Вашем компьютере. Обычно, блокировщик рекламы.

Источник

Что такое множитель и разложение на простые множители

Дадим определение понятию «множитель» и разберемся что такое множитель. Какие множители бывают и почему некоторые из множителей — простые.

Определение множителя

В младших классах вы учили, что множители — это числа, которые мы умножаем, называя результат их умножения произведением.

Определения множителя как компонента умножения

Сейчас немного расширим понятие множителя.

Давайте рассмотрим определение множителя на примерах. Давайте определим где в представлении числа или выражения прячется множитель?

Пример 1

Пусть нам дано число 15. Это число можно представить в виде произведения . Значит, согласно определению 5 — это множитель, 3 — это тоже множитель.

Пример 2

Рассмотрим теперь выражение: . Это выражение можно представить в виде произведения . Получаем два множителя — первый множитель (2x-3) и второй множитель (2x+3).

Самое простое произведение имеет два множителя, но может быть и больше множителей.

Простые множители

Пример 1

Разложите число 65 на простые множители.

Решение: число 65 будем делить на простые числа, пока оно нацело не разделится. Так мы видим, что число 65 не делится на 2, 3 и 4, так как не соответствует признакам делимости на эти числа. Зато делится на 5, так как оканчивается на 5. При делении мы получаем 13. Число 13 — простое, так как делится только на себя и на единицу. Таким образом, число . И мы выполнили разложение числа на простые множители. Теперь вы знаете, как разложить число на простые множители.

Пример 2

Разложите число 270 на простые множители.

Решение: Разделим сначала число 270 на 2 (сначала берем самое маленькое простое число), получим 135. Посмотрим, делится ли это число на 3. Для этого сложим все числа, стоящие в разрядах данного числа — . Девять делится на 3, значит, и число 135 разделится на 3: . Получившееся число опять делится на 3: . И снова число 15 делится на 3: . Получили простое число 5. Делим .

Итак, запишем разложение числа 270 на простые множители в виде столбца, где справа от черты мы пишем на какое простое число мы делим, а слева — что получаем:

Разложение числа на простые множители в столбик.

Разложение числа на простые множители в строчку записывается так: .

Про разложение многочлена на множители поговорим в отдельной теме.

Источник

Разложение числа на множители онлайн

Онлайн калькулятор раскладывает число в произведение простых множителей. Для вычислений используется длинная арифметика, поэтому можно легко разложить на множители даже большие числа.

Что такое разложение числа на множители?

Натуральное число называется делителем целого числа если для подходящего целого числа верно равенство . В этом случае говорят, что делится на или что число кратно числу .

Простым числом называют натуральное число , делящееся только на себя и на единицу. Составным числом называют число, имеющее больше двух различных делителей (любое натуральное число не равное имеет как минимум два делителя: и ). Например, числа – простые, а числа – составные.

Как разложить число на множители?

В школе на уроках математики разложение числа на множители обычно записывают столбиком в две колонки. Делается это так: в левую колонку выписываем исходное число, затем

Повторяем эти шаги, при этом работаем уже с последним числом в левой колонке и с текущим простым числом. Разложение заканчивается, когда в левой колонке будет записано число 1.

Чтобы лучше понять алгоритм, разберём несколько примеров.

Решение. Записываем число 84 в левую колонку:

Берём первое простое число — два и проверяем, делится ли 84 на 2. Так как 84 оканчивается на 4, а 4 делится на 2, то и 84 делится на 2 по признаку делимости. Записываем 2 в правую колонку. 84:2 = 42, число 42 записываем в левую колонку. Получили вот что:

Теперь работаем уже с числом 42. Число 42 делится на 2, поэтому записываем 2 в правую колонку, 42:2 = 21, число 21 записываем в левую колонку.

Число 21 на 2 не делится, поэтому проверяем его делимость на следующее простое число — 3. Число 21 делится на 3, 21:3 = 7. Записали 3 в правую колонку, 7 — в левую. Получили

Число 7 — простое число, поэтому в правой колонке записываем 7, в левую пишем 1. В итоге получили:

Всё, число разложено!

В результате в правой колонке оказались записаны все простые множители числа 84. То есть 84=2∙2∙3∙7.

О калькуляторе

Программа раскладывает числа на множители методом перебора делителей. Для вычислений используется длинная арифметика, поэтому раскладывать можно даже большие числа. Однако если число простое или имеет большие простые делители, разложение его на множители занимает продолжительное время.

Источник

Разложение многочлена на множители

Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов.

Примером разложения многочлена на множители является вынесение общего множителя за скобки, поскольку исходный многочлен обращается в произведение двух сомножителей, один из которых является одночленом, а другой многочленом.

Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки

При вынесении общего множителя за скобки образуется произведение из двух сомножителей, один из которых является одночленом, а другой многочленом. Например:

В рамках изучения многочленов, одночлен принято считать многочленом, состоящим из одного члена. Поэтому, когда в многочлене выносится за скобки общий множитель, то говорят что исходный многочлен представлен в виде произведения многочленов.

Разложение многочлена на множители способом группировки

Некоторые многочлены содержат группу членов, имеющих общий множитель. Такие группы можно заключать в скобки и далее выносить общий множитель за эти скобки. В результате получается разложение исходного многочлена на множители, которое называют разложением на множители способом группировки.

Рассмотрим следующий многочлен:

Далее в многочлене ax + ay + 3 x + 3 y члены 3x и 3y имеют общий множитель 3. Выпишем эти члены и тоже заключим их в скобки:

Теперь соединим выражения (ax + ay) и (3x + 3y) знаком «плюс»

Далее замечаем, что двучлен (x + y) является общим множителем. Вынесем его за скобки. Продолжаем решение в исходном примере. В результате получим:

Запишем решение покороче, не расписывая подробно, как каждый член был разделен на общий множитель. Тогда решение получится более компактным:

Пример 2. Разложить многочлен 9x + ax − 9y − ay на множители способом группировки.

В первой группе (9x − 9y) вынесем за скобки общий множитель 9. Во второй группе (ax − ay) вынесем за скобки за скобки общий множитель a

Далее вынесем за скобки двучлен (x − y)

Пример 3. Разложить многочлен ab − 3b + b 2 − 3a на множители способом группировки.

Во втором произведении b(−3 + b) в сомножителе (−3 + b) изменим порядок следования членов. Тогда получим b(b − 3)

Теперь вынесем за скобки общий множитель (b − 3)

Пример 4. Разложить многочлен x 2 y + x + xy 2 + y + 2xy + 2 на множители способом группировки.

Сгруппируем первый член многочлена со вторым, третий с четвёртым, пятый с шестым:

Далее замечаем, что многочлен (xy + 1) является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Разложение многочлена на множители по формуле квадрата суммы двух выражений

Формулы сокращённого умножения, которые мы рассматривали в прошлом уроке, можно применять для разложения многочленов на множители.

Вспомним, как выглядит формула квадрата суммы двух выражений:

Поменяем местами левую и правую часть, получим:

Левая часть этого равенства является многочленом, а правая часть — произведением многочленов, поскольку выражение (a + b) 2 представляет собой перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (a + b).

Пример 1. Разложить на множители многочлен 4x 2 + 12xy + 9y 2

Полностью решение можно записать так:

Пример 2. Разложить на множители многочлен x 2 + 12x + 36

Разложение многочлена на множители по формуле квадрата разности двух выражений

Как и по формуле квадрата суммы двух выражений, многочлен можно разложить на множители по формуле квадрата разности двух выражений.

Формула квадрата разности двух выражений выглядит так:

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:

Поскольку правая часть это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен (a − b), то многочлен вида a 2 − 2ab + b 2 можно разложить на множители (a − b) и (a − b).

Пример 1. Разложить на множители многочлен 9x 2 − 12xy + 4y 2

Полностью решение можно записать так:

Пример 2. Разложить на множители многочлен x 2 − 4x + 4

Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:

Разложение многочлена на множители по формуле куба суммы двух выражений

Вспомним, как выглядит формула куба суммы двух выражений:

Поменяем местами левую и правую часть, получим:

Левая часть этого равенства является многочленом, а правая часть — произведением многочленов, поскольку выражение (a + b) 3 представляет собой перемножение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (a + b).

Пример 1. Разложить на множители многочлен m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3

Прежде чем применять формулу куба суммы, следует проанализировать данный многочлен. А именно, убедиться что перед нами действительно куб суммы двух выражений.

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена m

Последний член 8n 3 является результатом возведения в куб одночлена 2n

Второй член 6m 2 n является утроенным произведением квадрата первого выражения m и последнего 2n

Третий член 12mn 2 является утроенным произведением первого выражения m и квадрата последнего выражения 2n

Пример 2. Разложить на множители многочлен 125x 3 + 75x 2 + 15x + 1

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 5x

Последний член 1 является результатом возведения в куб одночлена 1

Второй член 75x 2 является утроенным произведением квадрата первого выражения 5x и последнего 1

Третий член 15x является утроенным произведением первого выражения 5x и квадрата второго выражения 1

Разложение многочлена на множители по формуле куба разности двух выражений

Как и по формуле куба суммы двух выражений, многочлен можно разложить на множители по формуле куба разности двух выражений.

Вспомним, как выглядит формула куба разности двух выражений:

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:

Поскольку правая часть это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен (a − b), то многочлен вида a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 можно разложить на множители (a − b), (a − b) и (a − b).

Пример 1. Разложить на множители многочлен 64 − 96x + 48x 2 − 8x 3

Прежде чем применять формулу куба разности, следует проанализировать данный многочлен. А именно, убедиться что перед нами действительно куб разности двух выражений.

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 4

Последний член 8x 3 является результатом возведения в куб одночлена 2x

Второй член 96x является утроенным произведением квадрата первого выражения 4 и последнего 2x

Третий член 48x 2 является утроенным произведением первого выражения 4 и квадрата второго выражения 2x

3 × 4 × (2x) 2 = 3 × 4 × 4x 2 = 48x 2

Пример 2. Разложить на множители многочлен 27 − 135x + 225x 2 − 125x 3

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 3

Последний член 125 является результатом возведения в куб одночлена 5x

Второй член 135x является утроенным произведением квадрата первого выражения 3 и последнего 5x

Третий член 225x 2 является утроенным произведением первого выражения 3 и квадрата второго выражения 5x

3 × 3 × (5x) 2 = 3 × 3 × 25x 2 = 225x 2

Разложение многочлена на множители по формуле разности квадратов двух выражений

Вспомним, как выглядит формула умножения разности двух выражений на их сумму:

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:

Эту формулу называют разностью квадратов. Она позволяет разложить выражение вида a 2 − b 2 на множители (a − b) и (a + b).

Пример 1. Разложить на множители многочлен 16x 2 − 25y 2

Первый член 16x 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 4x

Второй член 25y 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 5y

Полностью решение можно записать так:

Пример 2. Разложить на множители многочлен x 2 − y 2

Чаще всего члены, из которых состоит исходная разность, являются результатами возведения во вторую степень каких-нибудь одночленов. Чтобы узнать чему в таком случае равны a и b, нужно как в первом примере представить члены исходной разности в виде одночленов возведённых в квадрат.

Полностью решение можно записать так:

Несмотря на простоту разложения по формуле разности квадратов, частые ошибки приходятся именно на эти задачи. Чтобы убедиться, что задача решена правильно, не мешает выполнить умножение в получившемся разложении. Если задача решена правильно, то должен получиться изначальный многочлен.

Проверим умножением данный пример. У нас должен получиться многочлен 4x 4 − 9y 6

Пример 4. Разложить на множители многочлен 81 − 64

Представим члены исходной разности в виде одночленов возведенных в квадрат. Далее воспользуемся формулой разности квадратов:

81 − 64 = 9 2 − 8 2 = (9 − 8)(9 + 8)

Разложение многочлена на множители по формуле сумме кубов двух выражений

Мы помним, что произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений:

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим формулу, называемую суммой кубов двух выражений:

Пример 1. Разложить на множители многочлен 27x 3 + 64y 3

Представим члены 27x 3 и 64y 3 в виде одночленов, возведённых в куб

Пример 2. Разложить на множители многочлен 125 + 8

Представим члены 125 и 8 в виде одночленов, возведённых в куб:

Далее воспользуемся формулой суммы кубов:

125 + 8 = 5 3 + 2 3 = (5 + 2)(25 − 10 + 4)

Разложение многочлена на множители по формуле разности кубов двух выражений

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений:

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим формулу, называемую разностью кубов двух выражений:

Пример 1. Разложить на множители многочлен 64x 3 − 27y 3

Представим члены 64x 3 и 27y 3 в виде одночленов, возведённых в куб:

Пример 2. Разложить на множители многочлен 64 − 27

Представим члены 64 и 27 в виде одночленов, возведённых в куб:

64 − 27 = 4 3 − 3 3 = (4 − 3)(16 + 12 + 9)

Пример 3. Разложить на множители многочлен 125x 3 − 1

Представим члены 125x 3 и 1 в виде одночленов, возведённых в куб:

Разложение многочлена на множители различными способами

К некоторым многочленам можно применять различные способы разложения на множители. Например, к одному многочлену можно применить способ вынесения общего за скобки, а затем воспользоваться одной из формул сокращённого умножения.

Пример 1. Разложить на множители многочлен ax 2 − ay 2

При этом в скобках образовался многочлен, который является разностью квадратов. Применив формулу разности квадратов. Тогда получим:

Пример 2. Разложить на множители многочлен 3x 2 + 6xy + 3y 2

Вынесем за скобки общий множитель 3

Источник