Булевы функции

Содержание

1 Понятие булевой функции

Конечность области определения функции имеет важное преимущество – такие функции можно задавать перечислением значений при различных значениях аргументов. Для того, чтобы задать значение функции от n переменных, надо определить значения для каждого из 2 n наборов. Эти значения записывают в таблицу в порядке соответствующих двоичных чисел. В результате получается таблица следующего вида:

x 1	x 2	.	x n- 1	x n	f
0	0	.	0	0	f(0,0. 0,0)
0	0	.	0	1	f(0,0. 0,1)
0	0	.	1	0	f(0,0. 1,0)
0	0	.	1	1	f(0,0. 1,1)
.	.	.	.	.	.
1	1	.	0	0	f(1,1. 0,0)
1	1	.	0	1	f(1,1. 0,1)
1	1	.	1	0	f(1,1. 1,0)
1	1	.	1	1	f(1,1. 1,1)

x	0	x	¬ x	1
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Функций от двух аргументов шестнадцать. Наиболее употребимые из этих функций (только те, которые существенно зависят от обеих переменных) мы приводим в следующей таблице:

x 1	x 2	x 1 & x 2	x 1 Ъ x 2	x 1 Й x 2	x 1 Е x 2	x 1 є x 2	x 1 | x 2
0	0	0	0	1	0	1	0
0	1	0	1	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1	0	1
1	1	1	1	1	0	1	1

2 Суперпозиция функций

Пример 1 (суперпозиция функций).

Суперпозицию ( x & y ) Е ( ¬x Ъ ¬y ) можно прочитать как « x и y плюс не x или не y ».

3 Двойственные функции

Пример 2 (двойственные функции).

Предложение 1 (Двойственная к двойственной функции). Функция, двойственная к двойственной функции f равна самой функции f.

Пример 3 (вектор двойственной функции).

4 Разложение функции по переменным

Разложения по всем переменным дают суперпозицию конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

Следствие 1 (Совершенная дизъюнктивная нормальная форма).

Любая функция f может быть представлена в следующей форме: *

Следствие 2 (Совершенная конъюнктивная нормальная форма).

Совершенная дизъюнктивная и конъюнктивная нормальная формы дают способ представления булевой функции через суперпозицию конъюнкции, дизъюнкции и отрицания если у нас есть таблица значений функции.

Чтобы получить совершенную дизъюнктивную нормальную форму, надо взять все наборы, на которых значение функции равно 1 и записать для каждого из них конъюнкцию переменных и их отрицаний. Если в наборе значение переменной 0 – то переменную надо взять с отрицанием, если 1 – без отрицания. Из получившихся конъюнкций надо построить дизъюнкцию.

Чтобы получить совершенную конъюнктивную нормальную форму, надо взять все наборы, на которых значение функции равно 0 и записать для каждого из них дизъюнкцию переменных и их отрицаний. Если в наборе значение переменной 0 – то переменную надо взять без отрицания, если 1 – с отрицанием. Из получившихся дизъюнкций надо построить конъюнкцию.

Пример 4 (совершенная дизъюнктивная нормальная форма).

Построим совершенную дизъюнктивную нормальную форму функции, заданной следующей таблицей.

x	y	z	f
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Источник

Определение булевой функции

Содержание

Основные сведения [ править ]

Таблица истинности
[math]x_1[/math]	[math]x_2[/math]	[math]\ldots[/math]	[math]x_n[/math]	[math]f(x_1,x_2,\ldots,x_n)[/math]
[math]0[/math]	[math]0[/math]	[math]\ldots[/math]	[math]0[/math]	[math]f(0,0,\ldots,0)[/math]
[math]1[/math]	[math]0[/math]	[math]\ldots[/math]	[math]0[/math]	[math]f(1,0,\ldots,0)[/math]
[math]0[/math]	[math]1[/math]	[math]\ldots[/math]	[math]0[/math]	[math]f(0,1,\ldots,0)[/math]
[math]1[/math]	[math]1[/math]	[math]\ldots[/math]	[math]0[/math]	[math]f(1,1,\ldots,0)[/math]
[math]\vdots[/math]	[math]\vdots[/math]	[math]\vdots[/math]	[math]\vdots[/math]	[math]\vdots[/math]
[math]0[/math]	[math]1[/math]	[math]\ldots[/math]	[math]1[/math]	[math]f(0,1,\ldots,1)[/math]
[math]1[/math]	[math]1[/math]	[math]\ldots[/math]	[math]1[/math]	[math]f(1,1,\ldots,1)[/math]

Практически все булевы функции малых арностей ( [math]0, 1, 2[/math] и [math]3[/math] ) сложились исторически и имеют конкретные имена. Если значение функции не зависит от одной из переменных (то есть строго говоря для любых двух булевых векторов, отличающихся лишь в значении этой переменной, значение функции на них совпадает), то эта переменная называется фиктивной (англ. dummy variable).

Нульарные функции [ править ]

Унарные функции [ править ]

Таблица значений булевых функций от одной переменной:

Функции от одной переменной
[math]0[/math]	[math]x[/math]	[math]\neg x[/math]	[math]1[/math]
0	[math]0[/math]	[math]0[/math]	[math]1[/math]	[math]1[/math]
1	[math]0[/math]	[math]1[/math]	[math]0[/math]	[math]1[/math]
Сохраняет 0	✓	✓
Сохраняет 1	✓	✓
Самодвойственная	✓	✓
Монотонная	✓	✓	✓
Линейная	✓	✓	✓	✓

Названия булевых функций от одной переменной:

Обозначение	Название
[math]0[/math]	тождественный ноль, тождественная ложь, тождественное «НЕТ»
[math]x[/math]	тождественная функция, логическое «ДА», «YES»(англ.)
[math]\bar x,\ \neg x,\ x'[/math]	отрицание, логическое «НЕТ», «НЕ», «НИ», «NOT»(англ.), «NO»(англ.)
[math]1[/math]	тождественная единица, тождественная истина, тождественное «ДА», тавтология

Бинарные функции [ править ]

Таблица значений булевых функций от двух переменных:

Функции от двух переменных:
x	y	[math]0[/math]	[math]x \land y[/math]	[math]x \nrightarrow y[/math]	[math]x[/math]	[math]x \nleftarrow y[/math]	[math]y[/math]	[math]x \oplus y[/math]	[math]x \lor y[/math]	[math]x \downarrow y[/math]	[math]x = y[/math]	[math]\neg y[/math]	[math]x \leftarrow y[/math]	[math]\neg x[/math]	[math]x \rightarrow y[/math]	[math]x \triangledown y[/math]	[math]1[/math]
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
Сохраняет 0		✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓
Сохраняет 1		✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓
Самодвойственная		✓	✓	✓	✓
Монотонная		✓	✓	✓	✓	✓	✓
Линейная		✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓

Названия булевых функций от двух переменных:

Обозначение	Другие обозначения	Название
[math]0[/math]	тождественный ноль, тождественная ложь, тождественное «НЕТ»
[math]x \land y[/math]	[math]x \cdot y,\ xy,\ x \And y,\ x\ AND\ y,\ AND(x, y),\ min(x, y), x [/math] И [math]y,[/math] И [math](x, y)[/math]	2И, конъюнкция
[math]x \nrightarrow y[/math]	[math]x \gt y,\ \neg(x \rightarrow y),\ x\ GT\ y,\ GT(x,\ y)[/math]	больше, инверсия прямой импликации
[math]x[/math]	[math]YES1(x,y),[/math] ДА1 [math](x, y)[/math]	первый операнд
[math]x \nleftarrow y[/math]	[math]x \lt y,\ \neg(x \leftarrow y),\ x\ LT\ y,\ LT(x, y)[/math]	меньше, инверсия обратной импликации
[math]y[/math]	[math]YES2(x, y),[/math] ДА2 [math](x, y)[/math]	второй операнд
[math]x \oplus y[/math]	[math]x + _2 y,\ x \not = y,\ x \gt \lt y,\ x \lt \gt y,\ x\ XOR\ y,\ XOR(x,y)[/math]	сложение по модулю 2, не равно, ксор, исключающее «или»
[math]x \lor y[/math]	[math]x + y,\ x\ OR\ y,\ OR(x,y),\ max(x,y),[/math] [math]x [/math] ИЛИ [math]y,[/math] ИЛИ [math](x, y)[/math]	2ИЛИ, дизъюнкция
[math]x \downarrow y[/math]	[math]x\ NOR\ y,\ NOR(x,y)[/math] [math]x [/math] ИЛИ-НЕ [math]y,[/math] ИЛИ-НЕ [math](x, y)[/math]	НЕ-2ИЛИ, 2ИЛИ-НЕ, антидизъюнкция, функция Да́ггера, функция Ве́бба, стрелка Пи́рса
[math]x = y[/math]	[math]x \equiv y, x EQV y, EQV(x,y), x \sim y, x \leftrightarrow y[/math]	равенство, эквивалентность
[math]\neg y[/math]	[math]NOT2(x, y),\ y’,\ \bar,[/math] НЕ2 [math](x, y)[/math]	отрицание (негация, инверсия) второго операнда
[math]x \leftarrow y[/math]	[math]x \geq y,\ x \subset y,\ x\ GE\ y,\ GE(x, y)[/math]	больше или равно, обратная импликация (от второго аргумента к первому)
[math]\neg x[/math]	[math]NOT1(x,y),\ x’,\ \bar,[/math] НЕ1 [math](x, y)[/math]	отрицание (негация, инверсия) первого операнда
[math]x \rightarrow y[/math]	[math]x \leq y,\ x \supset y,\ x\ LE\ y,\ LE(x,y)[/math]	меньше или равно, прямая (материальная) импликация (от первого аргумента ко второму)
[math]x \triangledown y[/math]	[math]x \mid y,\ x\ NAND\ y,\ NAND(x,y),[/math] [math]x [/math] И-НЕ [math]y,[/math] И-НЕ [math](x, y)[/math]	НЕ-2И, 2И-НЕ, антиконъюнкция, Штрих Шеффера
[math]1[/math]	тождественная единица, тождественная истина, тождественное «ДА», тавтология

Тернарные функции [ править ]

Таблица истинности некоторых тернарных функций
[math]x[/math]	[math]y[/math]	[math]z[/math]	[math]x \downarrow y \downarrow z[/math]	[math]\neg (\geq 2(x,y,z))[/math]	[math]x \not = y \not = z[/math]	[math]x \mid y \mid z[/math]	[math]min(x,y,z)[/math]	[math]x=y=z[/math]	[math]x \oplus y \oplus z[/math]	[math]\geq 2(x,y,z)[/math]	[math]f_1[/math]	[math]f_2[/math]	[math]max(x,y,z)[/math]
0	0	0	1	1	0	1	0	1	0	0	0	0	0
0	0	1	0	1	1	1	0	0	1	0	0	0	1
0	1	0	0	1	1	1	0	0	1	0	0	0	1
0	1	1	0	0	1	1	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	1	0	0	1	0	1	0	1
1	0	1	0	0	1	1	0	0	0	1	0	1	1
1	1	0	0	0	1	1	0	0	0	1	1	1	1
1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1

Названия булевых функций трех переменных:

Обозначения	Другие обозначения	Названия
[math]x \downarrow y \downarrow z[/math]	[math]\downarrow (x,y,z) = Webb_2 (x,y,z)[/math]	3-ИЛИ-НЕ, функция Вебба, функция Даггера, стрелка Пирса
[math]\neg (\geq 2(x,y,z))[/math]	Переключатель по большинству с инверсией, 3-ППБ-НЕ, мажоритарный клапан с инверсией
[math]x \not = y \not = z[/math]	[math][\not =(x,y,z)] = NE(x,y,z)[/math]	Неравенство
[math]x \mid y \mid z[/math]	[math]\mid(x,y,z)[/math]	3-И-НЕ, штрих Шеффера
[math]x \land y \land z[/math]	[math]\land (x,y,z) = (x\ AND\ y\ AND\ z) = AND(x,y,z) = min(x,y,z) = \lt br/\gt (x[/math] И [math] y[/math] И [math] z) = [/math] И [math](x,y,z)[/math]	3-И, минимум
[math]x=y=z[/math]	[math][=(x,y,z)] = EQV(x,y,z)[/math]	Равенство
[math]x \oplus y \oplus z[/math]	[math]x +_2 y +_2 z = \oplus (x,y,z) = +_2 (x,y,z)[/math]	Тернарное сложение по модулю 2
[math]\geq 2(x,y,z)[/math]	[math](x [/math] И [math]y) [/math] ИЛИ [math](y[/math] И [math] z)[/math] ИЛИ [math](z [/math] И [math] x)[/math]	переключатель по большинству, 3-ППБ, мажоритарный клапан
[math]f_1[/math]	Разряд займа при тернарном вычитании
[math]f_2[/math]	Разряд переноса при тернарном сложении
[math]x+y+z[/math]	[math]+(x,y,z) = max(x,y,z) = (x\ OR\ y\ OR\ z) = OR(x,y,z) = (x [/math] ИЛИ [math] y [/math] ИЛИ [math] z) = [/math] ИЛИ [math](x,y,z)[/math]	3-ИЛИ, максимум

Представление функции формулой [ править ]

Тождественность и двойственность [ править ]

Определение:

Две булевы функции тождественны (англ. identical) друг другу, если на любых одинаковых наборах аргументов они принимают равные значения.

Тождественность функций f и g можно записать, например, так:
[math]f(x_1, x_2, \dots, x_n)=g(x_1, x_2, \dots, x_n)[/math]

Просмотрев таблицы истинности булевых функций, легко получить такие тождества:

[math]\overline<0>=1[/math]	[math]\overline<1>=0[/math]	[math]\overline<\overline>=x[/math]	[math]x \land y=y \land x\![/math]	[math]x\lor y=y \lor x[/math]
[math]0 \land x=0\![/math]	[math]1 \land x=x\![/math]	[math]0 \lor x=x[/math]	[math]1\lor x=1[/math]	[math]x \land x=x \lor x=x[/math]

А проверка таблиц, построенных для некоторых суперпозиций, даст следующие результаты:

[math]x \land \overline=0[/math]

[math]x \lor \overline=1[/math]

[math]\overline=\overline\lor\overline[/math]

[math]\overline\land\overline=\overline[/math]

(законы де Моргана)

[math]x \land (y\lor z)=(x \land y)\lor (x \land z)[/math]
[math]x \lor (y \land z)=(x\lor y) \land (x\lor z)[/math] (дистрибутивность конъюнкции и дизъюнкции)

Если в булевом тождестве заменить каждую функцию на двойственную ей, снова получится верное тождество. В приведённых выше формулах легко найти двойственные друг другу пары.

Суперпозиции [ править ]

Определение:

Суперпозиция функций, композиция функций (англ. function composition) — функция, полученная из некоторого множества функций путем подстановки одной функции в другую или отождествления переменных.

Множество всех возможных не эквивалентных друг другу суперпозиций данного множества функций образует замыкание данного множества функций.

Полнота системы, критерий Поста [ править ]

Определение:

Замыкание множества функций (англ. сlosure) — подмножество всех булевых функций, что любую из этих функций можно выразить через функции исходного множества.

Определение:

Множество булевых функций называется полной системой (англ. complete set), если замыкание этого множества совпадает с множеством всех функций.

Американский математик Эмиль Пост [1] сформулировал необходимое и достаточное условие полноты системы булевых функций. Для этого он ввел в рассмотрение следующие замкнутые классы булевых функций:

Представление булевых функций [ править ]

Положительные ответы на эти и другие вопросы существенно увеличивают прикладное значение выбранной системы функций.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) [ править ]

Определение:

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) (англ. disjunctive normal form, DNF) — нормальная форма, в которой булева функция задана как дизъюнкция некоторого числа простых конъюнктов.

Любая булева формула благодаря использованию закона двойного отрицания, закона де Моргана и закона дистрибутивности может быть записана в ДНФ.

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) [ править ]

Определение:

Конъюнктивная нормальная форма, КНФ (англ. conjunctive normal form, CNF) — нормальная форма, в которой булева функция имеет вид конъюнкции нескольких простых дизъюнктов.

Любая булева формула с помощью использования закона двойного отрицания, закона де Моргана и закона дистрибутивности может быть записана в КНФ.

[math]f(x,y,z) = (x \lor y) \land (y \lor \neg)[/math]

[math]f(x,y,z,t) = (x \lor t) \land (y \lor \neg) \land (\neg \lor \neg) \land (\neg \lor \neg \lor z)[/math]

[math]f(x,y,z,t,m) = (x \lor m \lor \neg) \land (y \lor \neg) \land (y \lor t \lor \neg)[/math]

Полином Жегалкина [ править ]

Полином Жегалкина имеет следующий вид:

[math]P = a_ <000\ldots000>\oplus a_ <100\ldots0>x_1 \oplus a_ <010\ldots0>x_2 \oplus \ldots \oplus a_ <00\ldots01>x_n \oplus a_ <110\ldots0>x_1 x_2 \oplus \ldots \oplus a_ <00\ldots011>x_ x_n \oplus \ldots \oplus a_ <11\ldots1>x_1 x_2 \ldots x_n [/math]

[math]f(x_1,x_2) = 1 \oplus x_1 \oplus x_1 x_2 [/math]

[math]f(x_1,x_2,x_3) = x_1 \oplus x_1 x_2 \oplus x_2 x_3 [/math]

[math]f(x_1,x_2,x_3,x_4) = 1 \oplus x_1 \oplus x_4 \oplus x_1 x_2 \oplus x_1 x_4 \oplus x_2 x_4 \oplus x_1 x_2 x_4 [/math]

Тождественные функции. Выражение функций друг через друга [ править ]

Определение:

Тождественные функции — функции, которые при любых одинаковых аргументах принимают равные значения.

Приведение тождественной функции есть выражение булевой функции через другие.

Запись булевой функции в ДНФ, КНФ, а также выражение с помощью полинома Жегалкина — способы выражения одних булевых функций через другие.

[math] x \oplus y = \left ( x \land \lnot y \right ) \lor \left ( \lnot x \land y \right ) = \left ( x \lor \lnot y \right ) \land \left ( \lnot x \lor y \right )[/math]

[math] x \downarrow y = \lnot \left ( x \lor y \right) = \lnot x \land \lnot y[/math]

[math]\langle x, y, z \rangle = \left ( x \land y \right ) \lor \left ( y \land z \right ) \lor \left ( x \land z \right ) = \left ( x \lor y \right ) \land \left ( y \lor z \right ) \land \left ( x \lor z \right )[/math]

Подстановка одной функции в другую [ править ]

Допускается также не только подстановка одной функции в другую, но и подстановка функции в саму себя.

Отождествление переменных [ править ]

Пример:

[math] f(a,b) = a \vee b [/math] — исходная функция [math] h(a) = a \vee a [/math] — функция с отождествленными первым и вторым аргументами Очевидно, в данном примере мы получили функцию [math]P_<1>[/math] — проектор единственного аргумента.

Схемы из функциональных элементов [ править ]

1. вершины, в которые не входят ребра, называются входами схемы, и каждая из них помечена некоторой переменной (разным вершинам соответствуют разные переменные);

Отождествление переменных осуществляется при помощи ветвления проводников.

Чтобы осуществить подстановку одной функции в другую нужно выход логического элемента, который реализует первую функцию, направить на вход логического элемента, который реализует вторую функцию.

Некоторые логические элементы:

И	ИЛИ	НЕ	Штрих Шеффера	Стрелка Пирса

Стандартный базис [ править ]

[math] x \leftrightarrow y = \left ( x \rightarrow y \right ) \land \left ( y \rightarrow x \right ) [/math]

[math] x \rightarrow y = \lnot x \lor y [/math]

[math] 0 = x \land \lnot x [/math]

Функции [math] \mid \ и \downarrow[/math] являются отрицаниями функций [math] \land \ и \ \lor[/math] соответственно.

[math] x \mid y = \lnot \left ( x \land y \right )[/math]

[math] x \downarrow y = \lnot \left ( x \lor y \right )[/math]

Тождественность функций можно доказать с помощью таблицы истинности.

[math]x \leftarrow y = \lnot x \rightarrow \lnot y = x \lor \lnot y [/math]

Полнота стандартного базиса [ править ]

[math] x \land y = \lnot \left (\lnot x \lor \lnot y \right ) [/math]

[math] x \lor y = \lnot \left (\lnot x \land \lnot y \right ) [/math]

Следовательно, стандартный базис является избыточным, в то время как безызбыточными являются подмножества системы:

Теоремы о числе функций в базисе [ править ]

Значит, так как [math]X[/math] — безызбыточный базис, а система [math]\[/math] — полная, то [math]\left | X \right | \le 5[/math]

Приведём примеры базисов для каждого [math]k[/math] :

[math]k = 1 \Rightarrow X = \< \downarrow \>[/math] ;

[math]k = 2 \Rightarrow X = \< \lnot, \land \>[/math] ;

Докажем, что последняя система является базисом:

Источник