Что такое гамма в математике
Почему это интересно?
Многие распределения вероятностей определяются с использованием гамма-функции, я перечислю лишь некоторые: гамма-распределение, бета-распределение, распределение Дирихле, распределение хи-квадрат, т-распределение Стьюдента и так далее.
Для специалистов по данным или инженеров и исследователей машинного обучения гамма-функция, вероятно, одна из наиболее широко используемых функций, потому что она участвует во множестве распределений. Эти распределения затем используются для генеративных статистических моделей (например, латентного размещения Дирихле), стохастических процессов (таких как модели очередей), байесовском выводе и вариационном выводе. Если вы уже хорошо понимаете гамма-функцию, вы сможете лучше понять множество приложений, в которых она появляется!
1. Зачем нам нужна гамма-функция?
Потому что мы хотим генерализовать факториал!
Функция факториала определена только для дискретных точек (для положительных целых чисел — черные точки на графике выше), но мы хотим соединить черные точки. Мы хотим распространить функцию факториала на все комплексные числа. Простую формулу факториала, x! = 1 * 2 * … * x, нельзя использовать непосредственно для дробных значений, потому что она верна только для целых чисел.
Тогда математики стали искать…
“Какие функции плавно соединяют эти точки и предоставляют нам факториалы всех действительных чисел?”
Однако они не могли найти “конечные” комбинации сумм, произведений, степеней, экспонент и логарифмов, которые могли бы выразить x! для действительных чисел, пока…
2. Эйлер в XVIII веке нашел гамма-функцию
Формула выше используется для нахождения значения гамма-функции любого действительного значения z.
Мы хотим вычислить Γ(4.8). Как решить интеграл выше?
Сможете вычислить вручную? Может быть, по частям?
Для меня (и многих других) пока не существует простого и быстрого способа вычислить гамма-функцию дробей вручную (Если вам интересно решить вручную, вот хорошая стартовая точка).
Ладно, забудьте о том, чтобы сделать это аналитически. Вы сможете вычислить этот интеграл от 0 до бесконечности программным способом, добавляя член бесконечное число раз?
Есть несколько способов вычисления. Два из наиболее используемых решений — это формула Стирлинга и приближение Ланцоша.
Давайте вычислим Γ(4.8), используя готовый калькулятор.
Мы получим 17.837.
17.837 находится между 3!(= Γ(4) = 6) и 4!(= Γ(5) = 24) — как мы и ожидали.
Когда z — натуральное число, Γ(z) =(z-1)! Скоро мы это докажем.
В отличие от факториала, который принимает только положительные целые числа, мы можем подставлять в z любые действительные или комплексные числа, в том числе и отрицательные. Гамма-функция соединяет черные точки и плавно рисует кривую.
3. Как гамма-функция может интерполировать функцию факториала?
Если вы посмотрите на гамма-функцию, вы заметите две вещи.
Во-первых, это определенно возрастающая функция по отношению к z.
Во-вторых, если z — натуральное число, Γ(z+1) = z!
(Я обещаю, что мы скоро докажем это!)
Значит, можно ожидать, что гамма-функция соединит факториал.
Как гамма-функция получила члены x^z и e^-x?
Я не знаю точно, каким путем шел Эйлер, но именно он открыл натуральное число e, поэтому он, должно быть, много экспериментировал с перемножением e на другие функции, чтобы найти настоящую форму уравнения.
4. Как будет выглядеть график гамма-функции?
Когда x стремится к бесконечности ∞, первый член (x^z) также стремится к бесконечности ∞, но второй (e^-x) стремится к нулю.
Будет ли гамма-функция сходиться к конечным значениям?
Мы методично покажем, что сходится, используя правило Лопиталя. Но мы также можем увидеть ее сходимость и без особых усилий. Подумаем: мы интегрируем произведение x^z — полиномиальной возрастающей функции — и e^-x —экспоненциально убывающей функции. Так как значение e^-x уменьшается значительно быстрее, чем значение x^z, гамма-функция наверняка сходится и имеет конечные значения.
Давайте построим на каждый график, ведь лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.
График x^z * e^-x
Давайте рассмотрим случай Γ(4.8).
Зеленая область под графиком со значениями от 0 до бесконечности — Γ(4.8) = 3.8!
Для создания красивого графика выше использовался код Python. Постройте такой график сами и увидите, как z меняет форму гамма-функции!
5. Свойства гамма-функции
Если усваивать что-то одно из поста, то этот раздел.
Давайте докажем это, используя интегрирование по частям и определение гамма-функции.
Докажем это, используя свойство 1:
Каково значение Γ(1)?
Таким образом, Γ(n) = (n-1)!
6. Используя свойство гамма-функции, покажем, что плотность вероятности гамма-распределения интегрируется к 1.
Для фанатов доказательств: давайте докажем фрагмент выше, выделенный красным.
Интегрируем методом подстановки.
Снова красиво доказано!
Она весьма стара, ей около 300 лет (работаете ли вы сейчас над чем-то, что будет использоваться 300 лет спустя? 😉
Интересное примечание: Эйлер ослеп в 64 года, однако больше половины своих работ он написал уже после потери зрения.
2. Несколько интересных значений в точках:
3. Вот быстрый обзор графиков гамма-функций действительных чисел:
Гамма-функция Γ(z) нарисована синим, Γ(z) + sin(πz) — зеленым. (Заметьте, пересечение в области положительных целых чисел, потому что sin(πz) равен нулю!) Обе являются истинными аналитическими продолжениями факториалов до нецелых чисел.
4. Гамма-функция также появляется в формуле объема n-мерного шара.
Значение «гамма в математике»
Что означает «гамма в математике»
Энциклопедия Брокгауза и Ефрона
Гамма, в математике
— Математической функцией гамма (Gammafunction) называется функция, определяемая интегралом:
При μ целом и положительном Г (μ) = 1. 2. 3. (μ — 1). Лежандр называл функцию гамма Эйлеровым интегралом второго вида.
Смотрите также:
Синтаксический разбор «Мне потребуется вечность, чтобы всё объяснить.»
Морфологический разбор «гамма в математике»
Фонетический разбор «гамма в математике»
Значение «гамма в математике»
Карточка «гамма в математике»
Словари русского языка
Лексическое значение: определение
Общий запас лексики (от греч. Lexikos) — это комплекс всех основных смысловых единиц одного языка. Лексическое значение слова раскрывает общепринятое представление о предмете, свойстве, действии, чувстве, абстрактном явлении, воздействии, событии и тому подобное. Иначе говоря, определяет, что обозначает данное понятие в массовом сознании. Как только неизвестное явление обретает ясность, конкретные признаки, либо возникает осознание объекта, люди присваивают ему название (звуко-буквенную оболочку), а точнее, лексическое значение. После этого оно попадает в словарь определений с трактовкой содержания.
Словари онлайн бесплатно — открывать для себя новое
Словечек и узкоспециализированных терминов в каждом языке так много, что знать все их интерпретации попросту нереально. В современном мире существует масса тематических справочников, энциклопедий, тезаурусов, глоссариев. Пробежимся по их разновидностям:
Толкование слов онлайн: кратчайший путь к знаниям
Проще изъясняться, конкретно и более ёмко выражать мысли, оживить свою речь, — все это осуществимо с расширенным словарным запасом. С помощью ресурса How to all вы определите значение слов онлайн, подберете родственные синонимы и пополните свою лексику. Последний пункт легко восполнить чтением художественной литературы. Вы станете более эрудированным интересным собеседником и поддержите разговор на разнообразные темы. Литераторам и писателям для разогрева внутреннего генератора идей полезно будет узнать, что означают слова, предположим, эпохи Средневековья или из философского глоссария.
Глобализация берет свое. Это сказывается на письменной речи. Стало модным смешанное написание кириллицей и латиницей, без транслитерации: SPA-салон, fashion-индустрия, GPS-навигатор, Hi-Fi или High End акустика, Hi-Tech электроника. Чтобы корректно интерпретировать содержание слов-гибридов, переключайтесь между языковыми раскладками клавиатуры. Пусть ваша речь ломает стереотипы. Тексты волнуют чувства, проливаются эликсиром на душу и не имеют срока давности. Удачи в творческих экспериментах!
ГАММА
Смотреть что такое «ГАММА» в других словарях:
ГАММА — (греч. gamma, третья буква греческой азбуки). 1) старинная Гвидонова система звуков, начинавшаяся с греч. буквы гаммы. 2) семь основных музыкальных звуков (do, re, mi, fa, sol, la, si), расположенных в постепенном возвышении. Словарь иностранных… … Словарь иностранных слов русского языка
ГАММА — 1. ГАММА1, гаммы, жен. (греч. gamma название буквы, обозначавшей звук соль в средневековой музыке). Последовательный ряд звуков, повышающийся или понижающийся, обычно в пределах одной или двух октав (муз.). Играть гаммы на рояле. Мажорная,… … Толковый словарь Ушакова
ГАММА — 1. ГАММА1, гаммы, жен. (греч. gamma название буквы, обозначавшей звук соль в средневековой музыке). Последовательный ряд звуков, повышающийся или понижающийся, обычно в пределах одной или двух октав (муз.). Играть гаммы на рояле. Мажорная,… … Толковый словарь Ушакова
Гамма-ДЕ — Основные характеристики Модификации: Гамма Д1Е / Д2Е / Д3Е Тип: трёхкоординатная РЛС общего назначения с ФАР Диапазон волн: дециметровый Потребляемая мощность: 170 / 112 / 75 кВт Сопровождаемых целей: 200 Выходная информация: трассовая,… … Википедия
Гамма — в криптографии псевдослучайная числовая последовательность, вырабатываемая по определенному алгоритму и используемая для зашифрования открытых данных и расшифрования зашифрованных данных. По английски: Gamma См. также: Гаммирование Финансовый… … Финансовый словарь
гамма-. — ( … Словарь иностранных слов русского языка
гамма — 1. ГАММА, ы; ж. [от греч. gamma] Название буквы, обозначавшей звук соль в средневековой музыке. 1. Последовательный восходящий или нисходящий ряд звуков (звукоряд) в пределах одной или нескольких октав. Мажорная, минорная г. // Нотное изображение … Энциклопедический словарь
гамма — ы, ж. gamme f., нем. Gamme <, ит. gamma. 1. муз. Вторая нота их <китайской> Гаммы или музыкальной таблицы. Танц. сл. Что такое Гамма? Корифей 1 11. || только мн. Музыкальное (для инструмента или голоса) упражнение, состоящее из… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
гамма- — (буква греческого алфавита γ) первая часть сложных слов, пишется через дефис, но: гаммаг/рамма, гамма/трон (прибор), гамма/графия, гам/маметрия, гам/маскопия … Слитно. Раздельно. Через дефис.
Гамма
См. также
 | Список значений слова или словосочетания со ссылками на соответствующие статьи. Если вы попали сюда из другой статьи Википедии, пожалуйста, вернитесь и уточните ссылку так, чтобы она указывала на статью. |
Полезное
Смотреть что такое «Гамма» в других словарях:
ГАММА — (греч. gamma, третья буква греческой азбуки). 1) старинная Гвидонова система звуков, начинавшаяся с греч. буквы гаммы. 2) семь основных музыкальных звуков (do, re, mi, fa, sol, la, si), расположенных в постепенном возвышении. Словарь иностранных… … Словарь иностранных слов русского языка
ГАММА — 1. ГАММА1, гаммы, жен. (греч. gamma название буквы, обозначавшей звук соль в средневековой музыке). Последовательный ряд звуков, повышающийся или понижающийся, обычно в пределах одной или двух октав (муз.). Играть гаммы на рояле. Мажорная,… … Толковый словарь Ушакова
ГАММА — 1. ГАММА1, гаммы, жен. (греч. gamma название буквы, обозначавшей звук соль в средневековой музыке). Последовательный ряд звуков, повышающийся или понижающийся, обычно в пределах одной или двух октав (муз.). Играть гаммы на рояле. Мажорная,… … Толковый словарь Ушакова
Гамма-ДЕ — Основные характеристики Модификации: Гамма Д1Е / Д2Е / Д3Е Тип: трёхкоординатная РЛС общего назначения с ФАР Диапазон волн: дециметровый Потребляемая мощность: 170 / 112 / 75 кВт Сопровождаемых целей: 200 Выходная информация: трассовая,… … Википедия
Гамма — в криптографии псевдослучайная числовая последовательность, вырабатываемая по определенному алгоритму и используемая для зашифрования открытых данных и расшифрования зашифрованных данных. По английски: Gamma См. также: Гаммирование Финансовый… … Финансовый словарь
гамма-. — ( … Словарь иностранных слов русского языка
гамма — 1. ГАММА, ы; ж. [от греч. gamma] Название буквы, обозначавшей звук соль в средневековой музыке. 1. Последовательный восходящий или нисходящий ряд звуков (звукоряд) в пределах одной или нескольких октав. Мажорная, минорная г. // Нотное изображение … Энциклопедический словарь
гамма — ы, ж. gamme f., нем. Gamme <, ит. gamma. 1. муз. Вторая нота их <китайской> Гаммы или музыкальной таблицы. Танц. сл. Что такое Гамма? Корифей 1 11. || только мн. Музыкальное (для инструмента или голоса) упражнение, состоящее из… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
гамма- — (буква греческого алфавита γ) первая часть сложных слов, пишется через дефис, но: гаммаг/рамма, гамма/трон (прибор), гамма/графия, гам/маметрия, гам/маскопия … Слитно. Раздельно. Через дефис.
Гамма
Смотреть что такое «Гамма» в других словарях:
ГАММА — (греч. gamma, третья буква греческой азбуки). 1) старинная Гвидонова система звуков, начинавшаяся с греч. буквы гаммы. 2) семь основных музыкальных звуков (do, re, mi, fa, sol, la, si), расположенных в постепенном возвышении. Словарь иностранных… … Словарь иностранных слов русского языка
ГАММА — 1. ГАММА1, гаммы, жен. (греч. gamma название буквы, обозначавшей звук соль в средневековой музыке). Последовательный ряд звуков, повышающийся или понижающийся, обычно в пределах одной или двух октав (муз.). Играть гаммы на рояле. Мажорная,… … Толковый словарь Ушакова
ГАММА — 1. ГАММА1, гаммы, жен. (греч. gamma название буквы, обозначавшей звук соль в средневековой музыке). Последовательный ряд звуков, повышающийся или понижающийся, обычно в пределах одной или двух октав (муз.). Играть гаммы на рояле. Мажорная,… … Толковый словарь Ушакова
Гамма-ДЕ — Основные характеристики Модификации: Гамма Д1Е / Д2Е / Д3Е Тип: трёхкоординатная РЛС общего назначения с ФАР Диапазон волн: дециметровый Потребляемая мощность: 170 / 112 / 75 кВт Сопровождаемых целей: 200 Выходная информация: трассовая,… … Википедия
Гамма — в криптографии псевдослучайная числовая последовательность, вырабатываемая по определенному алгоритму и используемая для зашифрования открытых данных и расшифрования зашифрованных данных. По английски: Gamma См. также: Гаммирование Финансовый… … Финансовый словарь
гамма-. — ( … Словарь иностранных слов русского языка
гамма — 1. ГАММА, ы; ж. [от греч. gamma] Название буквы, обозначавшей звук соль в средневековой музыке. 1. Последовательный восходящий или нисходящий ряд звуков (звукоряд) в пределах одной или нескольких октав. Мажорная, минорная г. // Нотное изображение … Энциклопедический словарь
гамма — ы, ж. gamme f., нем. Gamme <, ит. gamma. 1. муз. Вторая нота их <китайской> Гаммы или музыкальной таблицы. Танц. сл. Что такое Гамма? Корифей 1 11. || только мн. Музыкальное (для инструмента или голоса) упражнение, состоящее из… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
гамма- — (буква греческого алфавита γ) первая часть сложных слов, пишется через дефис, но: гаммаг/рамма, гамма/трон (прибор), гамма/графия, гам/маметрия, гам/маскопия … Слитно. Раздельно. Через дефис.