Что такое гармоническая функция

Лекция 7. Гармонические функции и их свойства

Рассмотрим уравнение Лапласа на плоскости

Уравнение (33) при переходе к полярным координатам преобразуется к виду

Рис 14 Рис 14.1

Если в пространстве перейти к сферическим координатам

то уравнение (34) примет вид

Решение U=U(r), обладающее сферической симметрией, будет определяться из обыкновенного дифференциального уравнения

Это уравнение получится, если подставить искомую функцию в уравнение Лапласа (34*), записанное в сферических координатах. Интегрируя это уравнение, находим

которую часто называют фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве. Функция U₀ является гармонической всюду в пространстве, кроме начала координат 0.

Аналогично, полагая U=U(r) и пользуясь уравнением Лапласа в цилиндрических или полярных координатах, найдем решения, обладающие цилиндрической или круговой симметрией:

Выбирая С₁=-1 и С₂=0, будем иметь функцию

Аналогично, если рассмотреть поле, создаваемое заряженной прямой, то потенциал такого поля будет равен

Более сложные примеры будут рассмотрены далее, а сейчас изучим свойства гармонических функций.

Теорема о среднем. Пусть функция U=U(x,y) гармоническая в некотором круге D радиуса R с центром (х_o,у_o) и непрерывная в соответствующем замкнутом круге Тогда значение этой функции в центре круга равно ее среднему значению на окружности Г, ограничивающей данный круг, то есть

При доказательстве этой теоремы применим интегральную формулу Пуассона для круга, которая будет доказана позже в лекции 10. Она имеет вид (см. рис. 15)

Если в этой формуле положить ρ=0, то получится формула (35).

Теорему о среднем можно представить и в другой форме. Для этого запишем формулу (35) для произвольного круга радиуса r, где (см. рис.15.1):

Умножив обе части равенства (36) на rdr и проинтегрировав по r в пределах от 0 до R, получим:

В правой части формулы (37) записано среднее значение гармонической функции U(x,y) в круге радиуса R.

Имеет место и обратная теорема: если в некоторой области D функция U=U(x,y) непрерывная и для каждой точки выполняется теорема о среднем в любом сколь угодно малом круге с центром в точке (х_о, у_о), то эта функция гармоническая в D. Из формулы (37) получается:

Неравенство (38) доказывается совсем просто, если воспользоваться известным неравенством Коши-Буняковского:

Применим это неравенство к формуле (37):

Что и требовалось доказать.

Гармонические функции, помимио вышеуказанных свойств, обладают и многими другими свойствами. Приведем еще два из них.

Неравенство Харнака. Пусть функция гармоническая в некотором круге D радиуса R c центром (x_o, у_o) и непрерывная в соответствующем круге Тогда при любом она удовлетворяет неравенству

Из неравенства Харнака следует теорема Лиувилля.

Теорема Лиувилля. Гармоническая на всей плоскости функция U=U(x, у) не может быть ограниченной сверху или снизу, если она не постоянная.

Воспользуемся неравенством Харнака

Если функция U(x, у) гармоническая во всей плоскости то, фиксировав произвольное и неограниченно увеличивая R мы получим

то есть Теорема Лиувилля доказана.

Замечание. Гармонические функции в пространстве обладают аналогичными свойсвами. Приведем формулировку одного из них.

а) ее среднему значению на сфере Г, ограничивающей данный шар, то есть

б) ее среднему значению в шаре D, то есть

Источник

Гармоническая функция

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция , определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа:

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд.

Содержание

Свойства

Принцип максимума

Функция U, гармоническая в области , достигает своего максимума и минимума только на границе . Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума, за исключением тривиального случая постоянной в функции. Однако функция может быть неопределена на границе, поэтому правильнее сказать

Читайте также: Что такое вброс аутов

Теорема Лиувилля

Гармоническая функция, определённая на и ограниченная сверху или снизу, постоянна.

Свойство среднего

Если функция гармонична в некотором шаре с центром в точке , то её значение в точке равно её среднему значению по границе этого шара или по шару:

где — объём шара и — площадь его границы. Обратно, любая функция, обладающая свойством среднего в некоторой области, является в этой области гармонической.

Дифференцируемость

Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней.

Литература

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Гармоническая функция» в других словарях:

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, непрерывная со своими вторыми производными в области G и удовлетворяющая в G Лапласа уравнению =0. Г. ф. возникают при решении задач электростатики, теории тяготения, гидродинамики несжимаемой жидкости, теории упругости и др. Г. ф.… … Физическая энциклопедия

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция нескольких переменных, непрерывная в некоторой области вместе со своими частными производными 2 го порядка и удовлетворяющая в этой области дифференциальному Лапласа уравнению … Большой Энциклопедический словарь

гармоническая функция — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN harmonic function … Справочник технического переводчика

гармоническая функция — функция нескольких переменных, непрерывная в некоторой области вместе со своими частными производными 2 го порядка и удовлетворяющая в этой области дифференциальному уравнению Лапласа. * * * ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, функция… … Энциклопедический словарь

гармоническая функция — harmoninė funkcija statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. harmonic function vok. harmonische Funktion, f rus. гармоническая функция, f pranc. fonction harmonique, f … Automatikos terminų žodynas

гармоническая функция — harmoninė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. harmonic function vok. harmonische Funktion, f rus. гармоническая функция, f pranc. fonction harmonique, f … Fizikos terminų žodynas

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция неск. переменных, непрерывная в нек рой области вместе со своими частными производными 2 го порядка и удовлетворяющая в этой области дифференциальному ур нию Лапласа … Естествознание. Энциклопедический словарь

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — действительная функция заданная в области Dевклидова пространства имеющая в Dнепрерывные частные производные 1 го и 2 го порядков и являющаяся решением Лапласа уравнения где декартовы прямоугольные координаты точки х. Иногда это определение… … Математическая энциклопедия

Гармоническая функция — (от лат. functio осуществление, исполнение, деятельность) роль, значение аккорда в гармонич. системе мажора и минора, вообще в любой гармонической системе. Г. ф. представляет собой проявление ладовой функции (см. Функции ладовые) в… … Музыкальная энциклопедия

Источник

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Полезное

Смотреть что такое «ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ» в других словарях:

Источник

Гармоническая функция

СОДЕРЖАНИЕ

Этимология термина «гармонический» [ править ]

Примеры [ править ]

Примеры гармонических функций двух переменных:

Примеры гармонических функций трех переменных приведены в таблице ниже : r 2 = x 2 + y 2 + z 2 <\displaystyle r^<2>=x^<2>+y^<2>+z^<2>>

Наконец, примеры гармонических функций от n переменных:

Замечания [ править ]

Связь с теорией сложных функций [ править ]

Хотя указанное выше соответствие с голоморфными функциями справедливо только для функций двух действительных переменных, гармонические функции от n переменных по-прежнему обладают рядом свойств, типичных для голоморфных функций. Они (настоящие) аналитические; у них есть принцип максимума и принцип среднего значения; для них справедлива теорема об устранении особенностей, а также теорема Лиувилля по аналогии с соответствующими теоремами теории комплексных функций.

Свойства гармонических функций [ править ]

Некоторые важные свойства гармонических функций можно вывести из уравнения Лапласа.

Теорема регулярности для гармонических функций [ править ]

Принцип максимума [ править ]

Свойство среднего значения [ править ]

И наоборот, все локально интегрируемые функции, удовлетворяющие свойству (объемного) среднего значения, являются как бесконечно дифференцируемыми, так и гармоническими.

Набросок доказательства. Доказательство свойства среднего значения гармонических функций и его обратного следует непосредственно из наблюдения, что неоднородное уравнение для любого 0 Δ w = χ r − χ s <\displaystyle \Delta w=\chi _-\chi _~~\;>~~

допускает простое явное решение w _{r, s} класса C 1,1 с компактным носителем в B (0, r ). Таким образом, если u гармоничен в Ω

так что u есть потому, что m-кратная повторная свертка χ _r имеет класс с носителем B (0, mr ). Так как г и т произвольны, у это тоже. Кроме того, C m − 1 ( Ω m r ) <\displaystyle C^(\Omega _)\;> C m − 1 <\displaystyle C^\;> C ∞ ( Ω ) <\displaystyle C^<\infty >(\Omega )\;>

Неравенство Гарнака [ править ]

sup V u ≤ C inf V u <\displaystyle \sup _u\leq C\inf _u>

Устранение особенностей [ править ]

тогда f продолжается до гармонической функции на Ω (сравните теорему Римана для функций комплексного переменного).

Теорема Лиувилля [ править ]

(Сравните теорему Лиувилля для функций комплексного переменного ).

Эдвард Нельсон дал особенно короткое доказательство этой теоремы для случая ограниченных функций [2], используя свойство среднего значения, упомянутое выше:

Учитывая две точки, выберите два шара с указанными точками в качестве центров и одинакового радиуса. Если радиус достаточно велик, два шара будут совпадать, за исключением сколь угодно малой части их объема. Поскольку f ограничено, его средние по двум шарам произвольно близки, и поэтому f принимает одинаковое значение в любых двух точках.

По свойству усреднения и монотонности интеграла имеем

Читайте также: Что такое северная пенсия
Обобщения [ править ]

Слабо гармоническая функция [ править ]

Функция (или, в более общем смысле, распределение ) является слабо гармонической, если она удовлетворяет уравнению Лапласа

J ( u ) := ∫ Ω | ∇ u | 2 d x <\displaystyle J(u):=\int _<\Omega >|\nabla u|^<2>\,dx>

Гармонические функции на многообразиях [ править ]

Гармонические функции могут быть определены на произвольном римановом многообразии с помощью оператора Лапласа – Бельтрами Δ. В этом контексте функция называется гармонической, если

Многие свойства гармонических функций на областях в евклидовом пространстве переносятся на эту более общую установку, включая теорему о среднем значении (по геодезическим шарам), принцип максимума и неравенство Гарнака. За исключением теоремы о среднем значении, это простые следствия соответствующих результатов для общих линейных эллиптических уравнений в частных производных второго порядка.

Субгармонические функции [ править ]

Гармонические формы [ править ]

Гармонические отображения между многообразиями [ править ]

D [ u ] = 1 2 ∫ M ‖ d u ‖ 2 d Vol <\displaystyle D[u]=<\frac <1><2>>\int _\|du\|^<2>\,d\operatorname >

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Этимология термина «гармонический»

Примеры

Примеры гармонических функций двух переменных:

Наконец, примеры гармонических функций от n переменных:

Замечания

Связь с теорией сложных функций

Хотя указанное выше соответствие с голоморфными функциями справедливо только для функций двух действительных переменных, гармонические функции от n переменных по-прежнему обладают рядом свойств, типичных для голоморфных функций. Они (настоящие) аналитические; у них есть принцип максимума и принцип среднего значения; для них справедлива теорема об устранении особенностей, а также теорема Лиувилля по аналогии с соответствующими теоремами теории комплексных функций.

Свойства гармонических функций

Некоторые важные свойства гармонических функций можно вывести из уравнения Лапласа.

Теорема регулярности для гармонических функций

Принцип максимума

Свойство среднего значения

И наоборот, все локально интегрируемые функции, удовлетворяющие свойству (объемного) среднего значения, являются как бесконечно дифференцируемыми, так и гармоническими.

допускает простое явное решение w _{r, s} класса C 1,1 с компактным носителем в B (0, r ). Таким образом, если u гармоничен в Ω

Неравенство Гарнака

Устранение особенностей

тогда f продолжается до гармонической функции на Ω (сравните теорему Римана для функций комплексного переменного).

Теорема Лиувилля

Эдвард Нельсон дал особенно краткое доказательство этой теоремы для случая ограниченных функций, используя свойство среднего значения, упомянутое выше:

Учитывая две точки, выберите два шара с указанными точками в качестве центров и одинакового радиуса. Если радиус достаточно велик, два шара будут совпадать, за исключением сколь угодно малой части их объема. Поскольку f ограничено, его средние по двум шарам произвольно близки, и поэтому f принимает одинаковое значение в любых двух точках.

По свойству усреднения и монотонности интеграла имеем

Обобщения

Слабо гармоническая функция

Функция (или, в более общем смысле, распределение ) является слабо гармонической, если она удовлетворяет уравнению Лапласа

Гармонические функции на многообразиях

Гармонические функции могут быть определены на произвольном римановом многообразии с помощью оператора Лапласа – Бельтрами Δ. В этом контексте функция называется гармонической, если

Многие свойства гармонических функций на областях в евклидовом пространстве переносятся на эту более общую установку, включая теорему о среднем значении (по геодезическим шарам), принцип максимума и неравенство Гарнака. За исключением теоремы о среднем значении, это простые следствия соответствующих результатов для общих линейных эллиптических уравнений в частных производных второго порядка.

Субгармонические функции

Гармонические формы

Гармонические отображения между многообразиями

Источник