Что такое геометрический орнамент
Орнаменты и узоры на все случаи жизни
Повторяющиеся точки и линии, возможно, были первыми изображениями, созданными руками человека. С тех пор прошли тысячелетия, но повторяющиеся рисунки до сих пор украшают нашу одежду, посуду и стены домов. Что же такое орнамент? Как он изменился с течением времен, и как старинные орнаменты и узоры можно использовать в интерьере современного дома? Постараемся рассмотреть наиболее востребованные узоры и орнаменты, возникшие в далекой древности, и до сих пор не утратившие ни актуальности, ни своей завораживающей красоты.
Мозаика с центрическим орнаментом, Brecci by Eidos Glass
Что такое орнамент?
Любой орнамент по своей сути представляет набор последовательно повторяющихся отдельных элементов или их группы. Раппорт орнамента — и есть это ритмическое повторение одного или нескольких этих элементов. Орнамент не просто украшает плоскость, на которую нанесен, он задает ей определенный ритм, придавая завершенность композиции, и активно влияет на наше восприятие поверхности. Узор без труда может заставить плоскость казаться ближе или дальше, выше или ниже, зрительно изогнуть ее или завернуть в спираль. В древние времена узоры на одежде и предметах обихода были своеобразным языком, позволяющим определить род, семейное и общественное положение, профессию хозяина, либо выступали в качестве талисманов и оберегов от злых духов. Сейчас они, как правило, не несут особой смысловой нагрузки, хотя зачастую имеют свою богатую историю, о которой мы и не подозреваем.
Все бесконечное многообразие придуманных человеком орнаментов легко разделить на 3 основные группы:
Мозаика из различных видов орнамента в современном интерьере, Versace Home by Gardenia Orchidea
Отбор наиболее удачных узоров в истории человечества никогда не прекращается. Некоторые орнаменты, придуманные много веков назад, до сих пор активно применяются в дизайне интерьера в различных стилях.
Геометрические орнаменты
Набор базовых элементов в геометрических орнаментах, разумеется, невелик, однако больший интерес представляет возможность их бесконечного сочетания между собой. В современных интерьерах активно используются различные варианты горизонтальных и вертикальных полос, способных существенно влиять на восприятие нами пространства, а также квадраты, ромбы, шевроны и круги.
Говоря о более сложных геометрических орнаментах с богатой историей, особое внимание хочется уделить тартану, который еще иногда называют шотландской клеткой, и четырехлистнику, который, не смотря на называние, относится именно к геометрическим орнаментам.
Тартан
Классический тартан, Tecnofloor Industria Chimica
Узор тартана образуется пересечением горизонтальных и вертикальных линий разных цветов. Таким образом, создается определенная последовательность линий и квадратов, которую принято называть «шотландкой», хотя формально «шотландкой» можно назвать любую ткань в клетку. В старые времена каждый шотландский клан имел собственную оригинальную расцветку тартана, служившую клановым опознавательным знаком. За пределы Шотландии мода на клетчатые ткани распространилась благодаря королеве Виктории, страстной поклоннице культуры этой страны.
Для современного дизайна очень характерна игра с масштабом, так привычную мелкую клетку на обоях может заменить тартан гигантских размеров, обои Wall&Deco
Памятка: тартан традиционно считается «мужским» орнаментом и часто встречается в декоре кабинетов или детских для мальчиков.
Клетка в интерьере создает ощущение устойчивости и помогает упорядочить пространство. Обои и интерьерные ткани с узором тартан чаще всего можно встретить в интерьерах в британском духе или стиле кантри. В классическом кабинете, в теплой деревенской кухне с клетчатыми шторами и скатертью или семейной гостиной тартан поможет создать атмосферу уюта, стабильности и связи поколений.
Четырехлистник
Зеркало в форме четырехлистника с острыми уголками, Pottery Barn
Четырехлистник или трилистник (квадрофолий и трифолий, соответственно) представляют собой геометрический орнамент из частично пересекающих друг друга одинаковых окружностей. Узор могут дополнить дополнительные острые уголки на месте стыка окружностей.
История этого мотива теряется в глубине веков, встретить его можно и в национальных марокканских костюмов, и среди древнехристианской символики, и в средневековой архитектуре. В Европейском искусстве четыхлистник стал особенно популярен во времена Ренессанса, встречаясь в декоре мебели, форме окон и витражей зданий.
Постельное белье с четырехлистником, Gracious Style
Как и другие геометрические орнаменты, четырехлистник приносит в интерьер четкий ритм, однако из-за своих округлых форм, смотрится он более мягко и ненавязчиво. Данный мотив часто можно встретить в интерьерах, стилизованных под исторические стили, например, готику или эпоху Возрождения, однако и в более современных вариациях он также может смотреться органично.
Растительные орнаменты
Испокон веков мир природы служил главным источником творческого вдохновения, так что новые стилизации листьев, цветов, плодов, деревьев, животных и птиц появляются в дизайне чуть ли не каждый день. Тем ни менее, некоторые из придуманных несколько тысяч лет назад орнаментов оказались настолько удачными, что до сих пор органично дополняют наши интерьеры. Вот уж точно: «Все новое — это хорошо забытое старое».
Пейсли
Интерьерная ткань с узором пейсли, Decobel
Один из самых популярных и, при этом, самых древних растительных орнаментов. Также можно часто встретить и другое его название: индийский или турецкий огурец. В его основе лежит каплевидный завиток под названием «бута», первые изображения которого появились еще в древнем Вавилоне. В Европу пестрые индийские ткани с замысловатым узором в виде запятой попали примерно в XVII веке, однако пик их популярности пришелся на время повального увлечения экзотическими восточными мотивами в XIX веке. В этот период аналоги индийских тканей стали широко производится и в Европе, в чем особенно отличился шотландский городок Пейсли.
Современная стилизайия «индийского огурца» в виде фанерной ширмы, LZF
Узор пейсли повсеместно встречается в коллекциях обоев и интерьерных тканей современных производителей. Яркий «индийский огурец» можно встретить практически в любом восточном интерьере: марокканском, индийском и т.п. Более сдержанный и монохромный вариант узора вполне подойдет для нейтрального декора современного интерьера, в котором хочется создать более уютную и теплую атмосферу.
Дамаск
Дамаск в классическом интерьере, обои Coordonne
Дамаск — это сложный растительный орнамент в виде пышного цветка, обрамленного хитросплетением листьев, расположенный вертикальными полосами. Считается, что появился этот узор в столице Сирии, Дамаске, еще в Средние века, со временем распространившись по всему миру.
В наши дни дамаск можно встретить, как в традиционных классических интерьерах, так и в гламурных гостиных и спальнях, оставленных лаконичной современной мебелью. Для первого варианта хорошо подойдут неяркие фактурные обои с шелкографией, во втором уместен более контрастный, например, черно-белый вариант или ярко выраженная бархатная фактура узора. Не менее часто встречается этот узор и в декоре керамической плитки.
Меандр
Сочетание орнаментов: меандр выступает в качестве окантовки для растительных мотивов, Versace Home by Gardenia Orchidea
Меандр представляет собой фризовый орнамент, образованный непрерывной, изогнутой под прямым углом линией. Это, возможно, одни из древнейших декоративных узоров, известный еще со времен неолита, однако, наибольшее распространение получивший в искусстве Древней Греции. Меандр украшает не только античную керамику, мозаику и рельефы, но и является, например, фирменным знаком марки Givenchy.
Плафон бра с бордюром из меандра, Versace Home by Gardenia Orchidea
В наши дни меандр чаще всего можно встретить в классических интерьерах в виде бордюра или краевого элемента. Окантовка ковра, бордюр на обоях или мозаичное полотно с таким орнаментом смотрится одновременно строго и элегантно, задавая пространству четкий ритм и упорядоченность. На фоне меандра одинаково органично будет выглядеть и минималистичная современная мебель, и классические предметы обстановке в стиле ампир или неоклассицизм.
Памятка: обратите внимание, как разнообразно применение орнамента. Подчас мы даже не замечаем, что они окружают нас повсюду: от узора на обоях, до декора посуды, светильников, ковров или пастельного белья.
Орнамент — это универсальный язык искусства и дизайна, который не устаревает, не выходит из моды и радует глаз во все времена. Разумеется, применять его надо с умом, учитывая общую стилистику интерьера, его цветовую гамму и помнить, что более двух разновидностей орнамента в одном помещении применять специалисты не рекомендуют.
виды орнамента и особенности его построения
Орнамент — один из древнейших видов изобразительного искусства, в далеком прошлом несший в себе символический и магический смысл, знаковость. Но ранние декоративно-орнаментальные элементы могли и не иметь смыслового значения, а являться лишь отвлеченными знаками, в которых выражались чувство ритма, формы, порядка, симметрии. Исследователи орнамента считают, что он появился уже в эпоху верхнего палеолита (15—10 тыс. лет до н. э.).
Орнамент возник из подражания формам живой природы. Например, меандровый орнамент древнего браслета с Мезинской стоянки, предположительно, повторяет рисунок на спиле бивня мамонта.
За много лет существования декоративного искусства сложились разнообразные виды орнамента.
Геометрический орнамент
Геометрический орнамент состоит из различных фигур (кругов, треугольников, ромбов, крестов) и линий (ломаной, в виде зигзага или спирали), а также из более сложных элементов, полученных путем их симметричных преобразований.
Как наиболее древний он помогал человеку выразить свое представление о мире. Основные знаки-символы: круг, квадрат или ромб (солнце); прямые горизонтальные линии (земля); волнистые линии (вода). Они располагались на предмете ритмически, обогащались реальными или фантастическими мотивами. Наскальные изображения, черепки, покрытые точками, спиралями, бороздами, кругами – это попытка первобытных людей что-то обозначить, сообщить на расстоянии о каком-либо событии.
Изображение солнца в виде круга, в виде шара с множеством простертых рук-лучей или в виде крылатого шара характерно для Древнего Египта. В славянском орнаменте солнце изображалось в виде лучистой розетки, многогранника, ромба.
Ромб в восточных орнаментах прочитывается как изображение человека. Изображение спирали считается символом водной стихии. Одновременно этот символ служил для передачи в изображении стихийных бедствий — наводнений, ураганов.
Зооморфный орнамент
Его составляли изобразительные мотивы из фантастических и реальных зверей и птиц или отдельных частей их фигур. Зарождение такого орнамента восходит ко времени поклонения и обожествления отдельных животных, в первую очередь хищных зверей и птиц за их «особые» качества (силу, быстроту, скорость и высоту полета и т. д.). Не меньшую роль в появлении зооморфного орнамента сыграли и представления многих Древнейших племен о том, что подобные животные в Древности были родоначальниками племени.
Фантастические животные встречались в орнаментах Древнего Египта, Древнего Востока, Европы.
Происхождение звериного стиля, связанного с пережитками тотемизма (культа животных — прародителей рода).
Растительный орнамент
Элементы и мотивы растительного орнамента (листья, цветы, ягоды, ветки, деревья и т. д.) использовались в орнаментах многих народов мира.
Образ цветущего сада — олицетворение представлений народа о счастье и благополучии в поэтическом и изобразительном фольклоре, декоративно-прикладном искусстве.
«Ислими» (гирлянда цветов) — яркий элемент декора средневосточного региона. Миндалевидная форма «перец» или «огурец» — излюбленный мотив в орнаментах народов Среднего Востока, Индии, Египта.
«Цветок» — один из главных элементов растительного орнамента. Виноградная лоза — символ «древа жизни» в орнаментах мастеров Древней Греции, Византии, Ирана, Китая.
Антропоморфный орнамент
Антропоморфный, или человекообразный орнамент состоит из женских или мужских фигур или полуфигур.
Вязь, или шрифтовой орнамент – искусное соединение букв в текстах превращающее строку в нарядный орнамент.
Геральдический орнамент
Геральдический орнамент связан с изображением государственных и родовых гербов и отличительных знаков.
Законы построения орнамента
Главное отличие орнамента от других видов художественного изображения, подчиненность расположения изобразительных мотивов законам симметрии и ритмам повторов. Повторение одной и той же группы элементов в узоре носит название мотива или раппорта.
Одномотивным называют узор, в котором ритмически повторяется один и тот же мотив. Например, одномотивным является знаменитый древнегреческий орнамент под названием «меандр». Часто встречается в орнаменте ритмическое повторение двух разных мотивов.
В зависимости от цели и назначения различают три вида орнамента, которые принято считать основными: ленточный, сетчатый и композиционно замкнутый.
Линейный орнамент (бордюр)
Ленточный орнамент имеет вид ленты или полосы. Такой орнамент состоит из повторяющихся элементов и ограничен с двух сторон — сверху и снизу. Орнаментальная полоса развивается по длине. Полосу создают обычно из одной декоративной темы, например из квадратиков, звездочек, цветков, переплетающихся и вьющихся линий.
Сетчатый орнамент
Повторяющиеся узоры, основу которых составляют разного варианта сетки, равномерно заполняют плоскость. Математики насчитывают семнадцать принципиальных вариантов такого заполнения. Формы сетчатого орнамента — квадратные, прямоугольные, треугольные, ромбические.
Замкнутый орнамент
Замкнутым называют орнамент, который находится в определенных границах, а его основной мотив не распространяется на поле орнамента. По характеру замкнутый орнамент представляет собой изображение растительного характера в границах простой формы — квадрат, прямоугольник, треугольник, окружность, ромб и др. В структуре орнамента лежит симметричное построение мотива относительно центра. Бывает нарочито асимметричное построение, когда нет ярко выраженной симметрии.
Что такое геометрический орнамент
РОЛЬ ГЕОМЕТРИИ В ОРНАМЕНТЕ
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Актуальность. Восхищаясь рукотворной красотой орнаментов, вопло-щенных в предметах декоратив-но-прикладного искусства, коврах, паркетах, гобеленах, вышивке и даже искусства уличного граффити — мы задумалисьо роли геометрии в создании этих произведений. Каждому человеку понятны принципы красоты. Но почему-то некоторым людям кажется, что они неспособны эту красоту воспроизвести. Математика может помочь в этом изящном искусстве и желании сделать красоту самому.
Объект исследования: орнаменты и узоры.
Предмет исследования: произведения искусства (картины, паркеты, ковры, часы), математика.
Цель исследования: изучение математических закономерностей, связанных с орнаментами и паркетами, а именно ответить на следующие вопросы:
-Какие геометрические преобразования лежат в основе создания таких орнаментов?
— Как построить измельчающие узоры?
Методы исследования:
— поисковый, аналитический, сравнения, наблюдения
Задачи:
Познакомиться с историей возникновения узоров.
Применить знания на практике, создав орнамент на основе изученных закономерностей.
Показать важность математических закономерностей.
Гипотеза: предполагаем, что роль математики в построении узоров очень велика. Сложность узора зависит от теоретических знаний человека, который рисует его.
Глава 1.1 ГЕОМЕТРИЯ ОРНАМЕНТА
Орнамент (от лат. ornamentum — украшение) — это узор, состоящий из повторяющихся, ритмически упорядоченных элементов.
Орнамент предназначен для украшения различных предметов (посуды, мебели, текстильных изделий, оружия) и архитектурных сооружений
Приложение 1. Связанный с поверхностью, которую он украшает и зрительно организует, орнамент, как правило, выявляет и подчеркивает своим построением, формой и цветом архитектурные и конструктивные особенности предмета, природную красоту материала.
В построении орнамента используют главным образом принцип симметрии. Рассматривая разные композиции, легко увидеть, что орнамент можно продолжать в разные стороны, даже если его первоначальная композиция ограничена и замкнута.
В народном творчестве, где орнамент нашел наибольшее распространение, постепенно складывались устойчивые формы и принципы построения орнамента, во многом определившие национальные, художественные традиции разных народов.
Слово «меандр» происходит от названия очень извилистой реки в Малой Азии. Ныне она называется Большой Мендерес. Орнамент меандр как будто повторяет излучины этой прихотливой реки. Акант — это род травянистого растения, распространенного в Средиземноморье. У него большие листья, красиво изогнутые стебли. В обоих этих орнаментах греки предстают перед нами прилежными учениками природы, которой они поклонялись. Они умели рассказать словами, вылепить из глины, вытесать из мрамора прекрасную сказку про каждый холм, каждую речку, каждый лист.
Не будет преувеличением сказать, что нигде орнаментальное искусство не достигло такого расцвета и совершенного воплощения, как на мусульманском Востоке. Для него характерно со-четание геометрических и растительных мотивов, так как Кора-ном было запрещено изображение людей и животных.
Впоследствии, распространившись по Европе, этот вид ор-намента получил название «арабеска» (от ит. arabesco — араб-ский). В исламских странах арабеску представлял узор. На первый взгляд мы видим повторения, диктуемые симметрией, но это только самые крупные элементы орнамента- Приложение 1.
Высокого развития орнамент достиг в средневековой Руси. Для русского орнамента характерны как геометрические и рас-тительные формы, так и изображения птиц, зверей, фантастиче-ских животных и человеческих фигур. Наиболее ярко русский орнамент выражен в резьбе по дереву и в вышивке. В плоском орнаменте одним из наиболее часто используемых мотивов яв-ляется так называемая плетенка — различного вида переплетения полосок типа лент, ремней, стеблей цветов-Приложение 1.
По сути, именно это открытие побудило в конце XIX века физиков и математиков подробнее изучить орнаменты (тогда и было дано точное математическое определение орнамента).
Глава 1.2 Геометрия в орнаменте
Анализируя некоторые орнаменты, можно наблюдать примеры применения в них геометрических построений. Например, деление окружности на равные части, сопряжения, применение циклоид, параллельных астроид и завитков.
Изучая орнаменты от самых древних до современных, можно заметить, что с течением времени менялось их содержание, но композиционный строй, его ритмическая основа оставались неизменными. В композиции орнамента присутствует математическая основа. Особую роль играют симметрия и разбиение плоскости на равные фигуры. Преобладающее большинство орнаментов построено на основе строгой математической логики.
Перечислим виды геометрических орнаментов, ограничиваясь главным и идя от простого к сложному. Приведенные нами примеры немногочисленны, и их легко умножить.
Прежде всего назовем точку, которая мало значит сама по себе, но при повторении дает декоративный эффект, успешно использованный в искусстве Ирана и в китайских изделиях Танского периода.
Затем идет линия или лента, широко применявшаяся для того, чтобы разграничить отдельные мотивы. Линию можно увидеть и в доисторических орнаментах и на греческих вазах (геометрический и классический стили).
японских тканях. (Получил свое название от извилистой реки Меандр, в Малой Азии). Изгибы волнистых линий представляют собой тот же принцип меандра, только лишенный своей Геометрической четкости.
Квадрат, прежде всего, ограничивает поверхности, заполненные мотивами, как мы это видим, например, на кессонированных потолках эпохи Возрождения.
Ромб можно увидеть на множестве доисторической гончарной посуды и на китайских бронзовых изделиях периода Шан; он также служит для ограничения декорируемых поверхностей. То же можно сказать и о шашечном орнаменте, который широко используется в узорах тканей со времен Древнего Египта вплоть до современного искусства.
Треугольник служит орнаментальным мотивом для мозаичных полов и для тканей.
Шестиугольник и восьмиугольник, и их сочетания широко воспроизводились в декоративном искусстве стран ислама.
Среди кривых линий назовем в первую очередь синусоиду, волнообразную ленту, которая встречается как обрамление и в романском, и в китайском искусстве.
Спираль снискала большой успех и огромное распространение; она характерна для Эгейской, а затем и для микенской культур.
Часто и в самых разных странах применяется мотив круга, использовавшийся как собственно орнаментальный элемент, например на кипрских гончарных изделиях, так и для ограничения поверхности, заключающей в себе другие мотивы, как, например, на японских гербах.
Линейные орнаменты называются бордюрами.
БОРДЮР – это периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте. Бордюры используются в настенных росписях, в чугунном литье для оград, мостов, набережных. Рисунки в виде бордюров наносятся на ткани, мебель, обои и т.д.
Любой бордюр может быть совмещён сам с собой параллельным переносом. При рисовании бордюров кроме параллельного переноса используется симметрия относительно прямой, и центральная симметрия.
Математические принципы построения бордюров:
а) параллельный перенос;
б) зеркальная (осевая) симметрия с вертикальной осью;
в) зеркальная (осевая) симметрия с горизонтальной осью;
г) поворотная (центральная) симметрия.
Всего существует семь типов симметрии бордюров:
а) В простейшем случае симметрия бордюра полностью исчерпывается переносной симметрией вдоль оси.
б) Бордюры обладают наряду с переносной также зеркальной симметрией. Здесь ось переноса является также осью симметрии.
в) У бордюров ось переноса является осью скользящего отражения.
г) Бордюры имеют вертикальные оси симметрии. Эти оси изображены на рисунке в виде отрезков прямых, перпендикулярных к оси переноса.
д) Бордюры обладают переносной симметрией и поворотной симметрией (центральной).
е) Бордюры обладают переносной симметрией, центральной симметрией и осевой симметрией относительно вертикальной оси.
ж) Бордюры, основанные на комбинировании зеркальных отражений. Такие бордюры имеют наряду с вертикальной также горизонтальные оси симметрии.
Рисунок бордюра получается, когда мы начинаем геометрически перемещать его элемент. Любой бордюр может быть совмещен сам с собой параллельным переносом. При рисовании бордюров используются, кроме параллельного переноса, симметрия относительно прямой и центральная симметрия (симметрия относительно точки).
Для построения линейных орнаментов (бордюров) нужно начать с построения его ячейки: также придумывают узор (трафаретку), потом с помощью параллельного переноса переносят узор на длину вектора (направленного отрезка) влево или вправо во столько раз, сколько нужно.
Глава 1.3. Построение орнаментов на компьютере.
Основной принцип построения орнаментов в компьютерных программах – это отражение одного изображения в разные стороны.
«Рисунок» → «Отразить/повернуть» → «Отразить слева направо», «Отразить сверху вниз», «Повернуть на угол…»
Орнамент первого типа. Для его построения рисуем фрагмент, затем используем параллельный перенос.
Орнамент второго типа. Используем параллельный перенос и осевуюсимметрию (относительно горизонтальной оси).
Орнамент третьего типа. Используется композиция преобразований: осевая симметрия фрагмента относительно горизонтальной оси, параллельный перенос «нижней» части орнамента на вектор ā/2, параллельный перенос получившегося рисунка на вектор ā.
Орнамент четвёртого типа. Фрагмент отображается относительно вертикальной оси, затем осуществляется параллельный перенос получившегося рисунка.
Орнамент пятого типа. Композиция центральной симметрии и параллельного переноса.
Орнамент шестого типа. Композиция центральной симметрии, симметрии относительно вертикальной оси и параллельного переноса.
Орнамент седьмого типа. Композиция осевых симметрий относительно горизонтальной и вертикальной осей и параллельного переноса.
Глава 1.4 Виды орнаментов. Как создаются орнаменты.
По-характеру композиции и расположению на украшаемой поверхности орнамент может быть нескольких видов: ленточ-ным(его еще называют бордюром), сетчатым и розеточным.
Рассмотрим ленточные орнаменты — бордюры. Бордюром называют плоскую геометрическую фигуру, характеризующуюся векторами aи па (где n — целое число), при которых эта фигура переходит в себя, но не переходит в себя при парал-лельных переносах иного вида. Вектораназывают направляющим для бордюра.
Простейший бордюр построить очень просто: достаточно нарисовать какую-нибудь геометрическую фигуру и выполнить параллельный перенос на заданный вектор влево и вправо вдоль полосы. Такая «первоначальная фигура» называется фундаментальной областью бордюра.
Бордюры встречаются в разных местах: в настенных росписях, на лестничных переходах. Их можно увидеть в чугунном литье, которое используется в огра-дах парков, решетках мостов и набережных.
Бордюры, которые не имеют иных симметрий, кроме параллельных переносов
Бордюры, у которых фундаментальная область об-ладает центром симметрииО
Бордюры, у которых фундаментальная область имеет ось симметрии, параллельную вектору а
Бордюры, у которых фундаментальная область имеет ось симметрии, перпендикулярную вектору а
Бордюры, у которых фундаментальная область име-ет одну ось симметрии, перпендикулярную вектору а, а дру-гую — параллельную вектору а
Бордюры, имеющие такие оси симмет-рии, которых нет у фундаментальных областей
Помимо бордюров художникам-орнаменталистам известен и другой вид орнамента — сетчатый. Он заполняет всю плоскую поверхность сплошным узором. Для построения такого орна-мента выделяют плоскую решетку, в которой одинаковые части повторяются в определенной геометрической последовательно-сти. Различают пять типов плоских решеток, каждая из кото-рых определяется двумя векторами а и b и углом п между ними. На рисунке показаны разные виды решеток: а) квадратная (а = b, а= 90°), б) прямоугольная (а ≠ b, а= 90°), в) гексальная (а = bа = 60°), д) ромбическая (a = b, а ≠90°, а ≠60°), г) косая (a ≠b, и a≠ 90°).
Вид орнамента определяется не только структурой его решетки, но и числом элементов его симметрии. Зная геометрические закономерности, можно и самим сконструировать интересный орнамент или определить те геометрические преобразования, которые положены в его основу. Приложение 2.
Чем больше элементов симметрии содержит элементарная ячейка, тем интереснее и красивее орнамент. Каж-дая прямая, проходящая через сторону квадрата, а также прямая в ячейке может стать осью симметрии орнамента. Кроме того, имеется девять точек (А, В, С, D, М, О, N, L, К), во-круг которых можно повернуть ячейку, чтобы образовать новую ячейку или совместить старую ячейку саму с собой.
Помимо описанных видов орнамента в произведениях искусства встречается еще один. Такой орнамент замкнут и ограничен определенной геометрической формой (квадратом, ромбом, треугольником, кругом и др.). Орнамент, вписанный в круг или в правильный многоугольник, называется розеткой.
Глава 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРКЕТЫ
Паркеты из одинаковых правильных многоугольников
Сумма всех углов n-угольника равна 180°(n-2). Все углы правильного многоугольника равны; следовательно, каждый из них равен 180°(n-2)/n. В каждой вершине паркета сходится целое число углов; поэтому число 2·180° должно быть целым кратным числа 180°(n-2)/n. Преобразуем отношение этих чисел:
Разность n-2 может принимать лишь значения 1, 2 или 4; поэтому n может быть равно только 3, 4 или 6. Значит, можно получить паркеты, составленные из правильных треугольников, квадратов или правильных шестиугольников.
Паркеты из разных правильных многоугольников
Паркеты из неправильных многоугольников
Паркеты из произвольных фигур
Способ первый. Паркеты, полученные заменой отрезков «квадратной» сетки некоторыми кривыми или ломаными.
Способ второй. Объединяем отдельные элементы уже существующих паркетов. Примеры: паркеты, полученные в результате объединения элементов квадратной сетки:
Паркет, каждый элемент которого получен в результате объединения пяти правильных треугольников:
Способ четвертый. Выбираем некоторую кривую или ломаную и начинаем ее переносить на некоторый вектор, поворачивать, отражать получившиеся кривые или ломаные размещаем на плоскости таким образом, чтобы они образовали замкнутые контуры (которые в дальнейшем будут рассматриваться как элементы паркета). Если рассматривать только незамкнутые кривые и ломаные, паркеты будут напоминать полученные способом №1.Для получения следующего паркета была взята дуга спирали, три раза повернута на 90°, а затем к получившейся фигуре был применен параллельный перенос.
А вот паркеты, полученные с помощью параллельного переноса звездчатых многоугольников:
Совмещая вершины звездчатых многоугольников, получаем паркеты, состоящие из правильных восьмиугольников, равнобедренных прямоугольных треугольников, а также из невыпуклых 16-угольников, напоминающих крест.
Глава 3.1 ГЕОМЕТРИЯ МОЗАИЧНОЙ РОЗЕТКИ. КОМПАС И КОЛЕСО
Четырехлучевую симметричную звезду часто называют компасом, поскольку этот знак напоминает и стрелку компаса, и маркировку карт, указывающую ориентацию относительно сторон света. Однако знаку этому намного больше лет, чем собственно компасу. Четырёхлучевые звезды были, вероятно, первыми геометрически построенными декоративными изображениями звезд, потому что построение такой звезды интуитивно доступно даже детям. Квадрат, крест, четырёхугольник легко преобразовываются в звезду, и четырехлучевые, четырехлепестковые изображения встречаются даже в доисторической пещерной графике. Дальнейшим естественным усложнением четырехлучевого знака является его удвоение и получение восьмилучевой звезды.
Лучи в круге или круг с лучами с центральной симметрией рисунка обычно восходят к сакральным изображениям солнца, особенно важным и значимым в древних религиях поклонения солнечным богам. Декоративные звезды как в орнаментах интерьера, так и в декоративной отделке предметов обихода, в одежде, в утвари и вооружении часто воспринимались (и воспринимаются) как защитный символ, оберег. И даже стремление современных дизайнеров и декораторов так или иначе использовать элементы типа розеток с симметрией из четного числа секторов в основе своей опирается на исторически заложенное позитивное восприятие таких образов.
Математика построения розетки-компаса предельно проста, концентрические круги и диаметральные лучи делят плоскость розетки на четыре, восемь, шестнадцать и тридцать две части. Лучи образуются за счет построения треугольников в кольцах рисунка. Количество колец и лучей, а также вытянутость лучей могут быть произвольными, однако следует помнить, что перегруженность рисунка мелкими деталями часто плохо воспринимается визуально, и в пропорциях построения лучей желательно следовать принципу золотого сечения, так как именно такое соотношение наиболее близко к природным, естественным пропорциям любых объектов.
Геометрия мозаичной розетки
В зависимости от цветового решения розетки могут восприниматься по-разному. Если сделать акцент на лучевой структуре, то получится звезда, если подчеркнуть концентрические кольца рисунка, можно получить колесо.
Вариант цветового решения для мозаики из камня с преобладанием звездного мотива.
Вариант цветового решения для паркетной розетки с акцентом на звездный рисунок.
Вариант цветового решения с этнической гаммой и акцентом на мотив колеса и круга.
Глава 3.2 ГЕОМЕТРИЯ МОЗАИЧНОЙ РОЗЕТКИ. ЗУБЧАТОЕ КОЛЕСО
Одним из самых древних видов мозаик с точки зрения рисунка были мощения полов и двориков в виде концентрических кругов. Первые мастера мозаичного дела выкладывали розетки из разноцветной гальки, но с развитием технологий камнеобработки для мозаик стали использоваться правильные квадраты и треугольники. Развитие математики и геометрии эпохи расцвета эллинских государств способствовало распространению знаний о законах симметрии и применению этих знаний в изобразительном искусстве, которое воспринималось неотъемлемой частью жизни и развития общества.
Цветовое решение для паркета Цветовое решение для дерева или камня
Начертив круг заданного радиуса, разобьём внутренний радиус на семь разных частей и проведем концентрические окружности. Внутренний круг разделим на восемь секторов, с углом 45 градусов. Следующие два круга делим ещё пополам, до 22,5 градусов, и последние деление проводим для последнего кольца. Третье и пятое кольцо от центра разбиваем на треугольники диагональю, проведенной в получившейся фигуре, которую можно принять за прямоугольник.
В результате получаем простой рисунок, все элементы которого могут быть представлены как примерно равные треугольники, прямоугольники, квадраты. Примерность эта важна для создания мозаик из простых каменных или деревянных деталей, не требующих сложных фигурных резов. Но в то же время рисунок даёт достаточно возможностей для фантазий и создания эффектных образов. В зависимости от цветовых вариаций рисунок розетки может напоминать зубчатое колесо или акцентировать внимание на лучах, исходящих из центра.
Глава 3.3 МОЗАИКА ПЕНРОУЗА И ДРЕВНИЕ ИСЛАМСКИЕ УЗОРЫ
В 1973 году английский математик Роджер Пенроуз (RogerPenrose) создал особенную мозаику из геометрических фигур, которая так и стала называться – мозаикой Пенроуза. Мозаика Пенроуза представляет собой узор, собранный из многоугольных плиток двух определённых форм (немного различающихся ромбов). Ими можно замостить бесконечную плоскость без пробелов.
Мозаика Пенроуза в версии её создателя.
Она собрана из ромбов двух типов, один – с углом 72 градуса, другой – с углом 36 градусов. Картина получается симметричная, но не периодичная.Получающееся изображение выглядит так, будто является неким «ритмическим» орнаментом – картинкой, обладающей трансляционной симметрией. Такой тип симметрии означает, что в узоре можно выбрать определённый кусочек, который можно «копировать» на плоскости, а затем совмещать эти «дубликаты» друг с другом параллельным переносом (проще говоря, без поворота и без увеличения).
Однако, если присмотреться, можно узреть, что в узоре Пенроуза нет таких повторяющихся структур – он апериодичен. Но дело отнюдь не в оптическом обмане, а в том, что мозаика не хаотична: она обладает вращательной симметрией пятого порядка.
Это значит, что изображение можно поворачивать на минимальный угол, равный 360 / n градусам, где n – порядок симметрии, в данном случае n = 5. Следовательно, угол поворота, который ничего не меняет, должен быть кратен 360 / 5 = 72 градусам.
Примерно десятилетие выдумка Пенроуза считалась не более чем милой математической абстракцией. Однако в 1984 году Дэн Шехтман (DanShechtman), профессор израильского технологического института (Technion), занимаясь изучением строения алюминиево-магниевого сплава, обнаружил, что на атомной решётке этого вещества происходит дифракция.
Однако изюминка работы в том, что она посвящена далеко не современной науке. Да и вообще — не науке. Питер Лу обратил внимание на узоры, покрывающие мечети в Азии, построенные ещё в Средневековье. Эти легко узнаваемые рисунки сделаны из мозаичной плитки. Они называются гирихи (от арабского слова «узел») и представляют собой геометрический орнамент, характерный для исламского искусства и состоящий из многоугольных фигур.
Образец выкладки плитки, показанный в арабском манускрипте XV века.
Цветами исследователи выделили повторяющиеся области. На основе этих пяти элементов выстроены все геометрические узоры средневековых арабских мастеров. Повторяющиеся элементы не обязательно совпадают с границами плиток.
В исламском орнаменте выделяют два стиля: геометрический – гирих, и растительный – ислими. Гирих (перс.) – сложный геометрический орнамент, составленный из стилизованных в прямоугольные и полигональные фигуры линий. В большинстве случаев используется для внешнего оформления мечетей и книг в крупном издании. Ислими (перс.) – вид орнамента, построенного на соединении вьюнка и спирали. Воплощает в стилизованной или натуралистической форме идею непрерывно развивающегося цветущего лиственного побега и включает в себя бесконечное разнообразие вариантов. Наибольшее распространение он получил в одежде, книгах, внутренней отделке мечетей, посуде.
Обложка Корана 1306-1315 годов и прорисовка геометрических фрагментов, на которых основан узор. Этот и следующий примеры не соответствуют решёткам Пенроуза, но обладают вращательной симметрией пятого порядка
До открытия Питера Лу считалось, что древние архитекторы создавали узоры гириха c помощью линейки и циркуля (если вообще не по наитию). Однако пару лет назад, находясь во время путешествия в Узбекистане, Лу заинтересовался узорами мозаик, украшавшими местную средневековую архитектуру, и приметил в них что-то знакомое. Вернувшись в Гарвард, учёный стал рассматривать аналогичные мотивы в мозаиках на стенах средневековых построек Афганистана, Ирана, Ирака и Турции.
Этот образец датирован более поздним периодом – 1622 год (индийская мечеть). Глядя на него и прорисовку его структуры, нельзя не восхититься трудолюбию исследователей. И, конечно же, самих мастеров.Питер Лу обнаружил, что геометрические схемы гирихов практически одинаковы, и смог выделить основные элементы, использовавшихся во всех геометрических орнаментах. Кроме того, он нашёл чертежи этих изображений в старинных манускриптах, которыми древние художники пользовались в качестве своеобразной шпаргалки по украшению стен.Для создания этих узоров применяли не простые, случайно придуманные контуры, а фигуры, которые были расположены в определённом порядке. Древние узоры оказались точными построениями мозаик Пенроуза.
На этих снимках выделены одинаковые области, хотя это и фотографии из самых разных мечетей
Образцом почти идеальной квазикристаллической структуры исследователи посчитали святилище имама Дарб-и в иранском городе Исфахане, датируемое 1453 годом.
Портал святилища имама Дарб-и в Исфахане (Иран). Здесь друг на друга наложены сразу две системы гирихов.
Колонна внутреннего двора мечети в Турции (около 1200 года)и стены медресе в Иране (1219 год). Это ранние произведения, и в них используется всего два структурных элемента, найденных Лу.
Глава 3.4 ПОСТРОЕНИЕ МОЗАИК В СТИЛЕ МОРИСА ЭШЕРА
В геометрии под мозаикой (паркетом) понимают заполнение плоскости одинаковыми фигурами (элементами мозаики), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства (иногда мозаикой называют заполнение плоскости несколькими фигурами, например, правильными многоугольниками). Обычный тетрадный лист в клеточку представляет собой простейшую геометрическую мозаику. Элементом здесь является квадрат. Элементами мозаики могут быть также равносторонний треугольник, правильный шестиугольник, произвольный параллелограмм, произвольный четырехугольник. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркетов- Приложение 3.
Придуманы мозаики, у которых несколько элементов образуют фигуру, подобную элементу мозаики. Примеры таких паркетов:
Мозаика-паркет, элементами которой являются одинаковые пятиугольники с углами 90°, 120°, 60°, 240° и 30°, которые получились разбиением правильного шестиугольника. Из этих пятиугольников образованы фигуры.
Всего существует 17 видов симметрии сетчатых орнаментов – Приложение 4.
Мозаики являются прекрасным материалом для интересного и содержательного изучения геометрии и некоторых закономерностей расположения фигур на плоскости. Визуальное представление и необходимость решения с виду простой задачи занимает как детей, так и взрослых. Составление своих рисунков мозаик может стать как профессиональной задачей дизайнера, так и уроком для школьников.
Одни из самых знаменитых рисунков мозаик придумал голландский художник Морис Эшер. Элементами паркета у него служили фигуры животных, птиц, рептилий, находящиеся в определенном порядке по отношению друг к другу.
Общий принцип построения мозаик из сложных фигур (рисунков животных, растений, объектов с криволинейными формами) с использованием различных видов симметрии можно описать как постепенный переход от простых фигур » по тетрадным клеточкам» к более сложным. Начав с простых квадратов и четырехугольников, постепенно усложняя и развивая фигуры, получаем сначала примитивное схематичное изображение, затем добавлением деталей и скруглением форм получаем детализированное изображение со сглаженным контуром- Приложение 6.
Вывод
Роль математики в построение узоров на улице (стрит-арт) очень важна. Если не знать основные математические закономерности, то построить узор будет практически нереально.
Заключение
Проведённая работа помогла изучить и систематизировать процедуру построения орнаментов (бордюров), которую коротко можно описать в виде следующего алгоритма:
2. Полученный фрагмент отображают с помощью одного из следующих геометрических преобразований: осевая симметрия, центральная симметрия, параллельный перенос. Возможно использование композиции нескольких преобразований.
3. Полученный более сложный фрагмент с помощью параллельного переноса «распространяют» на необходимую длину.
Семь основных способов построения бордюров позволяют получить несколько различных композиций, основанных на использовании одного фрагмента, создавая тем самым неограниченные просторы для творчества.
А эта работа увлекла нас настолько, что захотелось создавать новые и новые орнаменты. И вот что у нас получилось.
Созданные нами орнаменты:
Продолжение в приложении 9.
Список литературы
А.Н.Колмогоров. Паркеты из правильных многоугольников. Журнал «Квант» №3, 1970 г.
П.И.Совертков и др. Геометрический паркет на экране компьютера журнал «Информатика и образование, №9 за 2002 г.
Приложение 1
Орнамент в украшении ванной Кувшин с мозаикой
Орнамент в украшении оружия
Мозаика на тарелке Мозаика на шкафу Мозаика на сундуке
в стиле барокко
Стол в технике мозаика Тарелки в технике мозаика
Мозаика потолка мечети Мозаика стен мечети
Диван и столик. Орнамент. Комод в стиле рококо.
Орнамент в одежде Орнамент на рубашке
Приложение 2
Приложение 4
Приложение 5
Приложение 6
Приложение 7
Приложение 8
Проект мозаики Мориса Эшера в смальте
Настенное панно из мозаики по картине М. Эшера «Птицы»
Приложение 9
Также мы создали орнаменты в других изделиях
Деревянные дощечки с орнаментальной росписью Самовар, вырезанный из дерева, с орнаментом
Старт в науке
Учредителями Конкурса являются Международная ассоциация учёных, преподавателей и специалистов – Российская Академия Естествознания, редакция научного журнала «Международный школьный научный вестник», редакция журнала «Старт в науке».