Что такое гипотеза пуанкаре простым языком

Просто о сложном, гипотеза Пуанкаре

В переводе на общедоступный язык, это означает, что любой трёхмерный объект, например, стакан можно преобразовать в шар путём одной только деформации, то есть его не нужно будет ни разрезать, ни склеивать. Иными словами, Пуанкаре предположил, что пространство не трёхмерно, а содержит значительно большее число измерений, а Перельман спустя 100 лет математически это доказал.

Для начала заметим, что обычная сфера, которая есть поверхность обычного шара, двумерна (а сам шар — тот трёхмерен). Двумерная сфера состоит из всех точек трёхмерного пространства, равноудалённых от некоторой выделенной точки, называемой центром и сфере не принадлежащей. Трёхмерная сфера состоит из всех точек четырёхмерного пространства, равноудалённых от своего центра (сфере не принадлежащего). В отличие от двумерных сфер трёхмерные сферы недоступны нашему непосредственному наблюдению, и нам представить себе их так же трудно, как Василию Ивановичу из известного анекдота квадратный трёхчлен. Не исключено, однако, что все мы как раз в трёхмерной сфере и находимся, то есть что наша Вселенная является трёхмерной сферой. В этом состоит значение результата Перельмана для физики и астрономии. Термин “односвязное компактное трёхмерное многообразие без края” содержит указания на предполагаемые свойства нашей Вселенной. Термин “гомеоморфно” означает некую высокую степень сходства, в известном смысле неотличимость.

Формулировка в целом означает, следовательно, что если наша Вселенная обладает всеми свойствами односвязного компактного трёхмерного многообразия без края, то она — в том же самом “известном смысле” — и есть трёхмерная сфера.»

2. Имеем полое замкнутое тело, например, тарелку, стакан, куб, карандаш, дверь без ручек.

Необходимо доказать, что поверхность этого тела топологически является аналогом сферы, т.е. после проведения определённых деформаций, не вызывающих разрывов данной поверхности, поверхность принимает форму сферы и на этой поверхности действуют те же математические законы, что и на сфере, описываемые теми же функциями в топологии.

Дмитрий Кулешов Авиаконструктор, ЧГКшник, джипер., Ulan-Ude

Приведем толкование остальных терминов, фигурирующих в формулировке гипотезы:

— Полното́рие (полното́рий) — геометрическое тело, гомеоморфное произведению двумерного диска и окружности D2 * S1. Неформально, полноторие — бублик, тогда как тор — только его поверхность (пустотелая камера колеса).

— Односвязное. Оно означает, что любую непрерывную замкнутую кривую, расположенную целиком в пределах данного многообразия, можно плавно стянуть в точку, не покидая этого многообразия. Например, обычная двумерная сфера в R3 односвязна (кольцевую резинку, как угодно приложенную к поверхности яблока, можно плавной деформацией стянуть в одну точку, не отрывая резинки от яблока). С другой стороны, окружность и тор неодносвязны.

— Компактное. Многообразие компактно, если любой его гомеоморфный образ имеет ограниченные размеры. Например, открытый интервал на прямой (все точки отрезка, кроме его концов) некомпактен, так как его можно непрерывно растянуть до бесконечной прямой. А вот замкнутый отрезок (с концами) является компактным многообразием с краем: при любой непрерывной деформации концы переходят в какие-то определённые точки, и весь отрезок обязан переходить в ограниченную кривую, соединяющую эти точки.

Источник

Теорема Пуанкаре простыми словами (6 фото)

Доказательство этой гипотезы российским математиком Григорием Перельманом привело к некоторым очень интересным выводам с точки зрения нашего понимания мира.

Жюль Анри Пуанкаре (1854-1912) возглавлял Парижскую академию наук и был избран в научные академии 30 стран мира. Он имел масштаб Леонардо: его интересы охватывали физику, механику, астрономию, философию. Математики же всего мира до сих пор говорят, что только два человека в истории по-настоящему знали эту науку: немец Давид Гилберт (1862-1943) и Пуанкаре.

В 1904 году учёный опубликовал работу, содержавшую среди прочего предположение, получившее название теорема Пуанкаре. Поиск доказательства истинности этого утверждения занял около века.

Основатель топологии

Математический гений Пуанкаре впечатляет количеством разделов науки, где им были разработаны теоретические основы различных процессов и явлений. Во времена, когда ученые совершали прорывы в новые миры космоса и в глубины атома, было не обойтись без единой основы общей теории мироздания. Такой базой стали ранее неизвестные отрасли математики.

Пуанкаре искал новый взгляд на небесную механику, он создал качественную теорию дифференциальных уравнений, теорию автоморфных функций. Исследования ученого стали основой специальной теории относительности Эйнштейна. Теорема Пуанкаре о возвращении говорила среди прочего о том, что понять свойства глобальных объектов или явлений можно исследуя составляющие их частицы и элементы. Это дало мощный толчок научным поискам в физике, химии, астрономии и т.д.

Развитием неэвклидовой геометрии стало возникновение топологии – отрасли математики, которую называли геометрией размещения. Она изучает пространственные взаимоотношения точек, линий, плоскостей, тел и т.д. без учета их метрических свойств. Теорема Пуанкаре, ставшая символом самых трудноразрешимых задач в науке, возникла именно в недрах топологии.

Одна из семи задач тысячелетия

• Равенство классов P и NP (о соответствии алгоритмов решения задачи и методов проверки их правильности).
• Гипотеза Ходжа (о связи объектов и их подобия, составленного для их изучения из «кирпичиков» с определенными свойствами).
• Гипотеза Пуанкаре (всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере).
• Гипотеза Римана (о закономерности размещения простых чисел).
• Теория Янга — Миллса (уравнения из области элементарных частиц, описывающие различные виды взаимодействий).
• Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса (описывают турбулентность течений воздуха и жидкостей).
• Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера (об уравнениях, описывающих эллиптические кривые).

Каждая эта проблема имела очень долгую историю, поиски их решения приводили к возникновению целых новых научных направлений, но единственно правильные ответы на поставленные вопросы не находились. Понимающие люди говорили, что деньги фонда Клэя в безопасности, но так было лишь до 2002 года – появился тот, кто доказал теорему Пуанкаре. Правда, деньги он не взял.

Классическая формулировка

Гипотеза, для которой найдено подтверждение, становится теоремой, имеющей корректное доказательство. Именно это произошло с высказанным Пуанкаре предположением о свойствах трехмерных сфер. В более общем виде этот постулат говорил о гомеоморфности всякого многообразия размерности n и сферы размерности n как необходимом условии их гомотопической эквивалентности. Знаменитая теперь теорема Пуанкаре относится к варианту, когда n=3. Именно в трехмерном пространстве математиков ждали затруднения, для других случаев доказательства были найдены быстрее.

Чтобы хоть немного постичь смысл теоремы Пуанкаре, не обойтись без знакомства с основными понятиями топологии.

Гомеоморфизм

Топология, говоря о гомеоморфизме, определяет его как взаимно-однозначное соответствие между точками одной и другой фигуры, в некотором смысле неотличимость. Неподготовленному сложно даётся теорема Пуанкаре. Для чайников можно привести самый популярный пример гомеоморфных фигур – шар и куб, также гомеоморфны бублик и кружка, но не кружка и куб. Фигуры гомеоморфны, если одну фигуру можно получить произвольной деформацией из другой, причем это преобразование ограничено некоторыми свойствами поверхности фигуры: её нельзя рвать, прокалывать, разрезать.

Если куб раздуть, он легко может стать шаром, если шар примять встречными движениями, можно получить кубик. Наличие дырки у бублика и дырки, образованной ручкой у кружки, делает их гомеоморфными, та же дырка делает невозможным превращение кружки в шар или куб.

Связность

Дырка – важное понятие, определяющее свойства объекта, но категория совершенно не математическая. Было введено понятие связности. Его содержат многие топологические постулаты, в том числе и теорема Пуанкаре. Простыми словами можно говорить так: если поверхность шара обернуть петлей из резиновой ленты, она, сжимаясь, соскользнёт. Этого не произойдет, если имеется отверстие, как у тора-бублика, сквозь которое можно продеть эту ленту. Таким образом определяется главный признак сходства или отличия объектов.

Многообразие

Самая адекватная аналогия этих категорий – поверхность земли. Изображение её поверхности представляет собой карты отдельных её районов, собранные в атлас. На глобусе эти изображения обретают форму шара, который относительно пространства Вселенной превращается в точку.

Трехмерная сфера

Математики приводят ещё и такое описание трехмерной сферы: допустим, что к нашему привычному пространству, считаемому неограниченным и определяемому тремя координатами (X, Y, Z), добавлена точка (на бесконечности) таким образом, что в неё всегда можно попасть, двигаясь в любом направлении по прямой линии, т.е. любая прямая в этом пространстве становится окружностью. Говорят, что есть люди, которые могут это вообразить и спокойно ориентироваться в таком мире.

Для них обычное дело – трехмерный тор. Такой объект можно получить путем дважды повторенного совмещения в одну точку двух, расположенных на противоположных (например, правой и левой, верхней и нижней) гранях куба. Чтобы попытаться представить трехмерный тор с привычных нам позиций, следует провести абсолютно нереальный эксперимент: необходимо выбрать направления, взаимно перпендикулярные, – вверх, влево и вперед – и начать двигаться в любом из них по прямой. Через какое-то (конечное) время с противоположного направления мы вернемся в исходную точку.

Такое геометрическое тело имеет принципиальное значение, если хотеть понять, что такое теорема Пуанкаре. Доказательство Перельмана сводится к обоснованию существования в трехмерном пространстве лишь одного односвязного компактного многообразия – 3-сферы, другие, как 3-тор, неодносвязные.

Долгий путь к истине

Прошло более полувека, прежде чем появилось решение теоремы Пуанкаре для больших чем 3 размерностей. Стивен Смэйл (род. 1930), Джон Роберт Стэллингс (1935-2008), Эрик Кристофер Зиман (род. 1925) нашли решение для n, равного 5, 6 и равного или больше 7. Только в 1982 году Майкл Фридман (род. 1951) был удостоен высшей математической награды – Филдсовской премии – за доказательство теоремы Пуанкаре для более сложного случая: когда n=4.

Обыкновенный гений

Многие специалисты, особенно российские, отмечают что Григорий Яковлевич был подготовлен к невиданному взлету высоким классом ленинградской школы геометров, какую он прошел на мехмате Ленинградского госуниверситета и в аспирантуре при Математическом институте им. В.А. Стеклова. Став кандидатом наук, он стал работать в нем.

Трудное время 90-х заставило молодого ученого уехать на работу в США. Те, кто знал его тогда, отмечали его аскетизм в быту, увлечённость работой, прекрасную подготовку и высокую эрудицию, которые и стали залогом того, что Перельман доказал теорему Пуанкаре. Вплотную он занялся этой проблемой после возвращения в Санкт-Петербург в 1996 году, но начал думать над ней еще в США.

Верное направление

Григорий Яковлевич отмечает, что его всегда увлекали сложные проблемы, такие как теорема Пуанкаре. Доказательство Перельман стал искать в направлении, вынесенном из беседы с профессором Колумбийского университета Ричардом Гамильтоном (род. 1943). Во время пребывания в США он специально ездил из другого города на лекции этого неординарного ученого. Перельман отмечает прекрасное доброжелательное отношение профессора к молодому математику из России. В их разговоре Гамильтон упомянул о потоках Риччи – системе дифференциальных уравнений – как способе решения теорем геометризации.

Впоследствии Перельман пытался связаться с Гамильтоном и обсудить ход работы над задачей, но не получил ответа. Долгое время после возвращения на родину Григорий Яковлевич провел наедине с труднейшей задачей, которой была теорема Пуанкаре. Доказательство Перельмана – итог огромных усилий и самоотречения.

Гамильтон пришел в тупик, когда увидел, что при преобразованиях кривых под действием потоков Риччи образуются сингулярные (обращающиеся в бесконечность) зоны, которые не предусматривала теорема Пуанкаре. Простыми словами, Перельману удалось нейтрализовать образование таких зон, и многообразие благополучно превратилось в сферу.

Потоки Риччи

Односвязное 3-мерное многообразие наделяется геометрией, вводятся метрические элементы с расстоянием и углами. Легче понять это на одномерных многообразиях. Гладкая замкнутая кривая на эвклидовой плоскости наделяется в каждой точке касательным вектором единичной длины. При обходе кривой вектор поворачивается с определенной угловой скоростью, которая определяет кривизну. Где линия изогнута сильнее, кривизна больше. Кривизна положительна, если вектор скорости повернут в сторону внутренней части плоскости, которую делит наша линия, и отрицательна, если повернут вовне. В местах перегиба кривизна равна 0.

Нет пророка…

Он взошел на свой Эверест, каким признается математиками теорема Пуанкаре. Доказательство Перельман выложил в Интернет в виде трех небольших статей. Они немедленно вызвали ажиотаж, хотя русский математик не пошел положенной дорогой – публикация в специализированном журнале в сопровождении профессиональных рецензий. Григорий Яковлевич в течение месяца разъяснял в университетах США суть своего открытия, но число до конца понявших ход его мысли увеличивалось очень медленно.

Лишь через четыре года появилось заключение самых больших авторитетов: доказательства русского математика корректны, первая из проблем тысячелетия решена.

Эпоха соцсетей

Ему пришлось пережить ажиотаж и хамство в соцсетях, молчание тех, кого он уважал, и крики других, учивших его жизни. Энергичные китайцы сначала оценили его вклад в решение проблемы в 25 %, себе и другим насчитав 80! Потом вроде бы пришло мировое признание, но выдержать такое дано не каждому.

Источник

Что доказывает теорема Пуанкаре о возвращении

Все началось еще в конце XIX века, когда ученый из Франции, Анри Пуанкаре, изучал различные части систем, которые могут быть полностью проанализированы. Как обычно, звучит это не так сложно, но именно его труды легли в основу большой задачи и стали одной из загадок, которую ученые современности называют ”Задачами тысячелетия”. Думаю вы легко согласитесь, что если подождать достаточное количество времени, то планеты в небе выстроятся в нужную вам линию. Так же будет и с частицами газа или жидкости, которые могут сколько угодно менять свое положение, но теоретически в один из моментов времени выстроятся относительно друг друга так, как они располагались в момент начала измерений. На словах все просто — рано или поздно это случится, иначе быть не может. Вот только на деле доказать это довольно сложно. Именно над этим и работал Анри Пуанкаре больше века назад. Позже его теории были доказаны, но от этого не стали менее интересными.

Теорий, гипотез, теорем и просто рассуждений очень много. Все их надо доказывать.

Кто такой Анри Пуанкаре

Жюль Анри Пуанкаре (фр. Jules Henri Poincaré) родился 29 апреля 1854 в Нанси, Франция, а умер 17 июля 1912 в Париже, Франция. Он был французским ученым, в сферу интересов которого входили самые разные науки. Среди них были: математика, механика, физика, астрономия и философия.

Кроме того, что он занимался исследованиями, Анри Пуанкаре в разные годы также был главой Парижской академии наук, членом Французской академии и ещё более 30 академий мира, в том числе иностранным членом-корреспондентом Петербургской академии наук.

Физики зафиксировали квантовый шум в лаборатории LIGO – что нужно знать?

Чуть ли не единогласно историки называют Анри Пуанкаре одним из величайших математиков всех времён. Его ставили в один ряд с Гильбертом, последним математиком-универсалом, учёным, способным охватить все математические результаты своего времени.

Анри Пуанкаре сделал для математики настолько много, что некотрые его труды до сих пор приносят нам пользу.

Перу Анри Пуанкаре принадлежат более 500 статей и книг. Все это говорит о нем, как о гении, который даже спустя более 100 лет после своей смерти может изменить мир будущего своими теориями, формулами, рассуждениями и прочими научными трудами.

Что такое теорема возвращения Пуанкаре

Теорема Пуанкаре о возвращении — одна из базовых теорий эргодической теории. Её суть в том, что при сохраняющем меру отображении пространства на себя почти каждая точка вернётся в свою начальную окрестность. На это потребуется огромное, но конечное количество времени.

С одной стороны, все логично, но есть у данной теории и немного непонятное следствие. Например, у нас есть сосуд, который разделен перегородкой на два отсека. В одном находится газ, а во втором ничего. Если убрать перегородку, то газ заполнит собой весь сосуд. Если верить теории повторения, то рано или поздно все частицы газа должны выстроиться в изначальной последовательности в половине сосуда.

Немного развязывает руки то, что время, которое на это потребуется, может быть очень большим. Но такое следствие не совсем корректно, так как изменились условия наблюдения. Зато, если говорить о том, что перегородку мы убирать не будем, объем газа не изменится и ему не придется нарушать законы физики, произвольно меняя свою плотность, и частицы газа рано или поздно действительно займут те места, в которых они были на момент начала наблюдений.

Есть такие загадки науки, которые были понятны гению, но после него никто так и не может этого доказать. Хотя, все понимают, что автор был прав.

Теория Пуанкаре в квантовой системе

Если мы говорим о том, что в традиционной системе повторения возможны и даже неизбежны, то можно предположить, что в квантовой системе, в которой возможны несколько состояний, все немного иначе. Оказывается, это не так, и труды Пуанкаре могут быть применены и к квантовым системам. Однако правила будут немного иными.

Проблема применения заключаются в том, что состояние квантовой системы, которая состоит из большого количества частиц, не может быть измерено с большой точностью, не говоря уже об идеальном измерении. Более того, можно сказать, что частицы в таких системах можно рассматривать в качестве полностью независимых объектов. Учитывая запутанности, не сложно понять, что при анализе таких систем придется столкнуться с большим количеством сложностей.

Несмотря на это, ученые не были бы учеными, если бы не попытались продемонстрировать эффект повторения Пуанкаре в том числе и в квантовых системах. Сделать это у них получилось. Вот только пока это возможно только для систем с очень небольшим числом частиц. Их состояние нужно измерить как можно точнее и обязательно учесть его.

Сказать, что сделать это сложно — ничего не сказать. Главная сложность в том, что время, которое потребуется системе для возвращения в исходное состояние, будет очень сильно возрастать даже при незначительном увеличении количества частиц. Именно поэтому некоторые ученые анализируют не систему в целом, а ее отдельные частицы. Они пытаются понять, возможно ли возвращение к первоначальному значению некоторых участков этой системы.

Для этого они изучают и анализируют поведение ультрахолодного газа. Он состоит из тысяч атомов и удерживается на месте при помощи электромагнитных полей. Описать характеристики подобного квантового газа можно несколькими величинами. Они говорят о том, насколько тесно могут быть связаны частицы с помощью эффектов квантовой механики. В обычной жизни это не так важно и может даже показаться чем-то ненужным, но в квантовой механике это имеет решающее значение.

В итоге, если понять, как такие величины характеризуют систему в целом, можно будет говорить о возможности квантового возвращения. Получив такие знания, можно более смело говорить о том, что мы знаем, что такое газ, какие процессы в нем происходят и даже прогнозировать последствия воздействия на него.

Квантовые системы сильно отличаются от всего, что мы можем себе представить.

В последнее время ученые смогли доказать, что квантовые состояния могут возвращаться, но некоторые поправки в концепцию повторения внести все же стоит. Не стоит пытаться измерить всю квантовую систему в целом, ведь эта задача близка к невозможности. Куда правильнее будет сосредоточиться на некоторых ее элементах, которые можно измерить и предсказать поведение системы в целом.

Если сказать более смело, то такие исследования и наработки в сфере самых разных наук приближают создание настоящего квантового компьютера, а не тех тестовых систем, которые существуют сейчас. Если дело продвинется, то нас ждет большое будущее. А сначала казалось, что это просто измерение чего-то непонятного. Не так ли?

Источник

Гипотеза Пуанкаре

Гипотеза Пуанкаре — это доказанная гипотеза о том, что если трёхмерная поверхность чем-то похожа на сферу, и если её расправить, она превратится именно в сферу.

Одна из версий официальной формулировки гипотезы Пуанкаре́ звучит так: «Всякое связное, односвязное, компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно сфере S³».

Гипотеза Пуанкаре была сформулирована в 1904 году известным французским математиком Анри Пуанкаре. В 2002–2003 годах она была доказана русским математиком Григорием Перельманом. После этого Гипотеза Пуанкаре стала именоваться теоремой Пуанкаре — Перельман.

Топология — простыми словами это «геометрия резинового листа» или «резиновая геометрия» т.к. объекты растягиваются и сжимаются как резина и их невозможно сломать; топология изучает свойства пространств, которые неизменны под давлением любой непрерывной деформации. Гипотеза Пуанкаре связана с топологией.

Доказательство

Простыми словами: Перельман доказал при помощи потока Риччи, что при эволюции любая замкнутая кривая на плоскости ведёт себя одинаково и превращается в окружность.

В своих статьях, где Перельман опубликовал идеи доказательства, он также доказал гипотезу о геометризации Уильяма Тёрстона, частным случаем которой является гипотеза Пуанкаре.

Гипотеза геометризации Уильяма Тёрстона гласит, что каждое трёхмерное многообразие локально изометрично только одному из восьми различных типов (изометрично — в науке это то, что относится к равенству меры или этим характеризуется).

Доказательство Перельмана было основано на теории потока Риччи и использовало результаты Чигера, Громова и самого Перельмана о метрических пространствах.

Метрическое пространство — это набор, где есть функция измерения расстояния между точками и который называется метрикой.

Что доказательство гипотезы дало науке?

В плане астрономии эта теорема предполагает, что если наша Вселенная имеет характеристики односвязного компактного многообразия без края, следовательно, она является трёхмерной сферой. Однако ранее считалось, что Вселенная является бесконечной (т.е. имеет форму евклидового трёхмерного пространства).

Теорема Перельмана — Пуанкаре также имеет огромное значение для математики, особенно способ её доказательства. Эта теорема считается математической формулой Вселенной. Она описывает наш мир, который является гладким трёхмерным многообразием.

Источник

Теорема Пуанкаре простыми словами

Доказательство этой гипотезы российским математиком Григорием Перельманом привело к некоторым очень интересным выводам с точки зрения нашего понимания мира.

Жюль Анри Пуанкаре (1854-1912) возглавлял Парижскую академию наук и был избран в научные академии 30 стран мира. Он имел масштаб Леонардо: его интересы охватывали физику, механику, астрономию, философию. Математики же всего мира до сих пор говорят, что только два человека в истории по-настоящему знали эту науку: немец Давид Гилберт (1862-1943) и Пуанкаре. В 1904 году учёный опубликовал работу, содержавшую среди прочего предположение, получившее название теорема Пуанкаре. Поиск доказательства истинности этого утверждения занял около века.

Математический гений Пуанкаре впечатляет количеством разделов науки, где им были разработаны теоретические основы различных процессов и явлений. Во времена, когда ученые совершали прорывы в новые миры космоса и в глубины атома, было не обойтись без единой основы общей теории мироздания. Такой базой стали ранее неизвестные отрасли математики. Пуанкаре искал новый взгляд на небесную механику, он создал качественную теорию дифференциальных уравнений, теорию автоморфных функций. Исследования ученого стали основой специальной теории относительности Эйнштейна. Теорема Пуанкаре о возвращении говорила среди прочего о том, что понять свойства глобальных объектов или явлений можно исследуя составляющие их частицы и элементы. Это дало мощный толчок научным поискам в физике, химии, астрономии и т.д.

Одна из семи задач тысячелетия

• Равенство классов P и NP (о соответствии алгоритмов решения задачи и методов проверки их правильности).

• Гипотеза Ходжа (о связи объектов и их подобия, составленного для их изучения из «кирпичиков» с определенными свойствами).

• Гипотеза Пуанкаре (всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере).

• Гипотеза Римана (о закономерности размещения простых чисел).

• Теория Янга — Миллса (уравнения из области элементарных частиц, описывающие различные виды взаимодействий).

• Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса (описывают турбулентность течений воздуха и жидкостей).

• Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера (об уравнениях, описывающих эллиптические кривые).

Каждая эта проблема имела очень долгую историю, поиски их решения приводили к возникновению целых новых научных направлений, но единственно правильные ответы на поставленные вопросы не находились. Понимающие люди говорили, что деньги фонда Клэя в безопасности, но так было лишь до 2002 года – появился тот, кто доказал теорему Пуанкаре. Правда, деньги он не взял.

Гипотеза, для которой найдено подтверждение, становится теоремой, имеющей корректное доказательство. Именно это произошло с высказанным Пуанкаре предположением о свойствах трехмерных сфер. В более общем виде этот постулат говорил о гомеоморфности всякого многообразия размерности n и сферы размерности n как необходимом условии их гомотопической эквивалентности. Знаменитая теперь теорема Пуанкаре относится к варианту, когда n=3. Именно в трехмерном пространстве математиков ждали затруднения, для других случаев доказательства были найдены быстрее. Чтобы хоть немного постичь смысл теоремы Пуанкаре, не обойтись без знакомства с основными понятиями топологии.

Топология, говоря о гомеоморфизме, определяет его как взаимно-однозначное соответствие между точками одной и другой фигуры, в некотором смысле неотличимость. Неподготовленному сложно даётся теорема Пуанкаре. Для чайников можно привести самый популярный пример гомеоморфных фигур – шар и куб, также гомеоморфны бублик и кружка, но не кружка и куб. Фигуры гомеоморфны, если одну фигуру можно получить произвольной деформацией из другой, причем это преобразование ограничено некоторыми свойствами поверхности фигуры: её нельзя рвать, прокалывать, разрезать. Если куб раздуть, он легко может стать шаром, если шар примять встречными движениями, можно получить кубик. Наличие дырки у бублика и дырки, образованной ручкой у кружки, делает их гомеоморфными, та же дырка делает невозможным превращение кружки в шар или куб.

Дырка – важное понятие, определяющее свойства объекта, но категория совершенно не математическая. Было введено понятие связности. Его содержат многие топологические постулаты, в том числе и теорема Пуанкаре. Простыми словами можно говорить так: если поверхность шара обернуть петлей из резиновой ленты, она, сжимаясь, соскользнёт. Этого не произойдет, если имеется отверстие, как у тора-бублика, сквозь которое можно продеть эту ленту. Таким образом определяется главный признак сходства или отличия объектов.

Долгий путь к истине

Прошло более полувека, прежде чем появилось решение теоремы Пуанкаре для больших чем 3 размерностей. Стивен Смэйл (род. 1930), Джон Роберт Стэллингс (1935-2008), Эрик Кристофер Зиман (род. 1925) нашли решение для n, равного 5, 6 и равного или больше 7. Только в 1982 году Майкл Фридман (род. 1951) был удостоен высшей математической награды – Филдсовской премии – за доказательство теоремы Пуанкаре для более сложного случая: когда n=4.

Трудное время 90-х заставило молодого ученого уехать на работу в США. Те, кто знал его тогда, отмечали его аскетизм в быту, увлечённость работой, прекрасную подготовку и высокую эрудицию, которые и стали залогом того, что Перельман доказал теорему Пуанкаре. Вплотную он занялся этой проблемой после возвращения в Санкт-Петербург в 1996 году, но начал думать над ней еще в США.

Григорий Яковлевич отмечает, что его всегда увлекали сложные проблемы, такие как теорема Пуанкаре. Доказательство Перельман стал искать в направлении, вынесенном из беседы с профессором Колумбийского университета Ричардом Гамильтоном (род. 1943). Во время пребывания в США он специально ездил из другого города на лекции этого неординарного ученого. Перельман отмечает прекрасное доброжелательное отношение профессора к молодому математику из России. В их разговоре Гамильтон упомянул о потоках Риччи – системе дифференциальных уравнений – как способе решения теорем геометризации.

Впоследствии Перельман пытался связаться с Гамильтоном и обсудить ход работы над задачей, но не получил ответа. Долгое время после возвращения на родину Григорий Яковлевич провел наедине с труднейшей задачей, которой была теорема Пуанкаре. Доказательство Перельмана – итог огромных усилий и самоотречения. Гамильтон пришел в тупик, когда увидел, что при преобразованиях кривых под действием потоков Риччи образуются сингулярные (обращающиеся в бесконечность) зоны, которые не предусматривала теорема Пуанкаре. Простыми словами, Перельману удалось нейтрализовать образование таких зон, и многообразие благополучно превратилось в сферу.

Односвязное 3-мерное многообразие наделяется геометрией, вводятся метрические элементы с расстоянием и углами. Легче понять это на одномерных многообразиях. Гладкая замкнутая кривая на эвклидовой плоскости наделяется в каждой точке касательным вектором единичной длины. При обходе кривой вектор поворачивается с определенной угловой скоростью, которая определяет кривизну. Где линия изогнута сильнее, кривизна больше. Кривизна положительна, если вектор скорости повернут в сторону внутренней части плоскости, которую делит наша линия, и отрицательна, если повернут вовне. В местах перегиба кривизна равна 0.

Он взошел на свой Эверест, каким признается математиками теорема Пуанкаре. Доказательство Перельман выложил в Интернет в виде трех небольших статей. Они немедленно вызвали ажиотаж, хотя русский математик не пошел положенной дорогой – публикация в специализированном журнале в сопровождении профессиональных рецензий. Григорий Яковлевич в течение месяца разъяснял в университетах США суть своего открытия, но число до конца понявших ход его мысли увеличивалось очень медленно. Лишь через четыре года появилось заключение самых больших авторитетов: доказательства русского математика корректны, первая из проблем тысячелетия решена.

Ему пришлось пережить ажиотаж и хамство в соцсетях, молчание тех, кого он уважал, и крики других, учивших его жизни. Энергичные китайцы сначала оценили его вклад в решение проблемы в 25 %, себе и другим насчитав 80! Потом вроде бы пришло мировое признание, но выдержать такое дано не каждому.

Если это называется «простыми словами». страшно представить строгое определение гомеоморфности

еще более простыми )

. Энергичные китайцы сначала оценили его вклад в решение проблемы в 25 %, себе и другим насчитав 80!

Да, Шинтон Яу (теория струн) показал себя в этом с самой паскудной стороны. И только после мирового скандала он, а точнее его ученик, отказался от «со-товарищества» при решении, однако у себя в Китае они продвигают себя именно как «окончательно решившими гипотезу Пуанкаре»

Только математика не наука, а инструмент физики, созданный физиками для решения задач физики. И таким он и остается несмотря на множество сложных чисто теоретических абстракций.

Он просвещает и учит новому нас! На костер его! Сжечь его!

Проблема простых-близнецов – Алексей Савватеев | Научпоп

В чём заключается одна из самых древних проблем «школьной» математики? Почему она называется «простые-близнецы» и как формулируется? Что утверждает теорема о распределении простых чисел в натуральном ряду? Как продвинулась в этой области современная математика и на какие вопросы ещё предстоит найти ответы математикам будущего?

Рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, научный руководитель Кавказского Математического Центра АГУ, ректор Университета Дмитрия Пожарского, профессор МФТИ, научный руководитель ЦДПО РЭШ, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых.

Молдавские учёные решили проблему, над которой 140 лет бились математики всего мира

Два математика из Молдовы первыми в мире решили алгебраическую проблему, над которой 140 лет размышляли великие ученые мира. Об этом на этой неделе сообщил Технический университет Молдовы (UTM).

«Доктор физико-математических наук Михаил Попа и доктор математических наук Виктор Прикоп первыми в мире нашли решение знаменитой проблемы центра и фокуса, поставленной выдающимся французским математиком Анри Пуанкаре, над которой великие математики мира размышляли более века», — говорится на сайте университета.

Этой проблеме посвятили тысячи работ математики из Франции, России, Беларуссии, Китая, Великобритании, Канады, США и других стран мира. Только в Молдове число работ, посвященных проблеме Пуанкаре, приближается к сотне, отметили в UTM.

Профессор университета Михаил Попа, основатель научной школы алгебры Ли и дифференциальных систем, предложил собственное решение проблемы центра и фокуса, которое привело его к результату, ставшему открытием.

Во время исследований к профессору присоединился его ученик Виктор Прикоп. Вместе они усовершенствовали первоначальную гипотезу в монографии «Проблема центра и фокуса. Алгебраические решения и гипотезы».

Работа была переведена на английский язык и представлена для издания в несколько зарубежных издательств. В итоге лучшие условия предложил издательский дом «Taylor & Francis Group», расположенный в Великобритании и специализирующийся на публикациях научной литературы и журналов.

Где-то всплакнул Гриша Перельман.

Панорама, да не та. И с такими лицами не шутят.

Что такое наука и какие задачи она должна решать? Существует ли музыкальная наука и какими могут быть результаты применения научного метода в этой сфере? Что такое микрохроматика и как она может изменить музыку будущего, расширить возможности её создания и восприятия?

Реставрирую шкаф

Работа не быстрая, поэтому фото до. Нашел в нем тайник, в тайнике фото.
Интересует, что за формула на доске?
Пока ответа не нашлось.
Шкаф в СПБ. Ещё была найдена карта Казани печать старая начало 20 века.

Что, если наш 4D мир станет пятимерным?

Краткая текстовая версия видео:

Мир, в котором мы живем, является четырехмерным. По крайней мере в макро масштабе. В нашем мире 3 пространственных измерения и одно временное. Трехмерность пространства значит, например, то, что мы можем в нем провести три взаимно перпендикулярных координатных осей расположенных под углом 90 градусов. В таком пространстве можно двигаться «влево-вправо», «вперед-назад» и «вверх-вниз».

В трехмерном пространстве мы можем завязать узел. В двумерном пространстве завязать узел невозможно. А еще в трехмерном пространстве стул может стоять только на трех ножках или больше, стул на двух ножках потеряет равновесие и упадет (Речь идет о ножках типа такого, как на фото).

А что будет, если мы добавим еще одно пространственное измерение? То есть представим себе пятимерный мир, 4 пространственных измерения и 1 временное?

В таком мире можно провести еще одну ось перпендикулярную к остальным трем осям под углом 90 градусов. В трехмерном пространстве сделать это невозможно и как-то точно визуализировать я это не могу, так что включайте фантазию.

В пятимерном мире так же добавятся новые направления движения, которые называют «ана-ката», получается: «влево-вправо», «вперед-назад», «вверх-вниз» и «ана»-«ката». Представить себе направление движения ана и ката мы не можем, так же как существо в двумерном мире не может представить себе направления вверх и вниз.

В таком мире можно завязать двумерную сферу на узел, в нашем мире сделать это невозможно, показать, соответственно, тоже нельзя. Ну и стул с тремя ножками не сможет стоять в мире с 4 пространственными измерениями, чтобы он был устойчив потребуется 4 или больше ножек.

Ну хорошо, я понимаю, вы вряд ли Вы читаете это, чтобы узнать о узлах и ножках стула, Вас интересует, что будет с нашим миром, если внезапно в него добавить еще одно измерение, вот так по щелчку пальца «тыц» и добавили еще одно пространственное измерение и вот ты уже в 5 измерении, что с тобой будет?

Если коротко то… умрешь конечно же. А еще Земля станет приплюснутой. Сейчас расскажу как именно умрешь и почему земля станет приплюснутой.

Есть такой закон – закон обратных квадратов, и он тесно связан с размерностью пространства. Возьмем для примера светящий фонарь, интенсивность света в таком случае убывает согласно закону обратных квадратов.

Объект, перемещенный на расстояние в 2 раза большее от источника, получает только четверть той мощности, которую он получал в первоначальном положении. На расстоянии в 3 раза большее от источника – в 9 раз меньше мощности, на расстоянии в 4 раза большее от источника – 16 раз и так далее.

В законе всемирного тяготения сила гравитационного притяжения убывает тоже с квадратом расстояния. В два раза увеличиваем расстояние, сила притяжения уменьшается в 4 раза и так далее. Тоже самое с законом Кулона – сила притяжения или отталкивания заряженных частиц убывает с квадратом расстояния. В 5D мире закон обратных квадратов превращается в закон обратных кубов. Теперь интенсивность света будет падать не с квадратом расстояния, а с кубом расстояния. r^2 в законе Кулона и Законе всемирного тяготения превращается в r^3.

Это все полностью изменит химические элементы из которых мы состоим, некоторые атомы станут нестабильными, радиоактивными, другие наоборот, станут стабильными.

Например, в 5D мире магний был бы благородным газом, а не металлом, то есть некоторые элементы станут менее реактивными, другие более реактивными. Ионизация атомов будет осуществляться при значительно меньших энергиях, да и вообще агрегатное состояние различных элементов будет меняться не так, как в нашем мире, некоторые хим. элементы станут газообразны при комнатной температуре, некоторые затвердеют и такие вот вещи. Думаю, практически бессмысленно вспоминать биологические процессы, благодаря которым мы можем жить, ведь это все поменяется кардинально, мы мгновенно потеряем сознание и умрем, синтез белков, транспортировка различных аминокислот, нейромедиаторов, нервные импульсы, это все либо прекратится, либо изменится до неузнаваемости. Ну и конечно же спектры атомов изменятся, а это значит, что все резко поменяет цвет, что-то станет прозрачным, что-то непрозрачным, да и вообще привычные для нас источники света выглядели бы более тускло из-за r^3, с запахами та же история, правда уже некому будет смотреть и нюхать все это, ведь все живые существа погибнут.

Короче будет происходить полная жесть, что-то будет плавится, что-то превратится в газ, что-то затвердеет, некоторые вещества станут радиоактивными, привычные нам вещи потеряют свои свойства и перестанут работать так, как в нашем мире. Я напомню, что это все в мире, в котором 4 пространственных измерения и одно временное и в котором можно двигаться в направлении ана и ката. Но кроме дополнительного направления появятся также дополнительные степени свободы во вращении. В нашем мире ориентацию тела можно задать тремя углами, в быту это называется «наклон, подъём и поворот», в 5D мире надо представить себе еще 3 дополнительных степени свободы вращения перпендикулярные к 3 вышеупомянутым. Но по идее, на вращение Земли это не должно повлиять, момент импульса сохранится, ведь нужно, чтобы какая-то сила передала момент импульса Земле, чтобы она могла вращаться в какой-то непривычный для нас способ. Конечно Земля изменит свой привычный облик, из-за того, что свойства химических элементов изменятся, но из-за гравитации все должно также удерживаться вокруг центра масс, правда земля довольно быстро вращается, а так как гравитация в 5D мире у нас ослабевает с кубом расстояния, то земля сплюснется и формой будет напоминать что-то типа такого, как на картинке.

Но вообще, появится дополнительное направление, в котором могут двигаться частицы из которых состоит земля, планета начнет превращаться в гиперсферу, представить себе этот процесс, эти метаморфозы которые будут происходить, очень сложно.

Будут ли происходить термоядерные реакции на солнце, тут под вопросом, но изменения явно произойдут. Но вот что забавно – в пятимерном мире нет стабильных орбит. Вот, посмотрите на график, это моделирование классической задачи двух тел, оказывается, что устойчивых орбит в 5D мире нет, тела либо падают друг на друга, либо улетают в бесконечность, поэтому солнечная система, как и все другие системы, разрушится, некоторые тела упадут на другие тела, а некоторые улетят бороздить просторы галактики.

Казалось бы, следуя логике как с законом обратных квадратов, все квадраты в других уравнениях тоже надо заменить на кубы и получается, что формула эквивалентности массы и энергии в пятимерном пространстве будет работать как Е=мс в кубе, но нет, эта формула, как и множество других, не изменятся в пятимерном пространстве, она, как и множество других формул, не зависит от размерности пространства.

Но даже и без этого всего, мир в 5 мерном пространстве изменится настолько, что в нем не сможет существовать жизнь в том виде, в котором существует в четырехмерном пространстве. Вообще, оказывается, четырехмерный мир – самый простой из возможных и одновременно самый оптимальный для существования в нем жизни, стабильных орбит и химии, какой мы ее знаем.

Книга Кипа Торна, «Интерстеллар. Наука за кадром»

Единственный в своём роде треугольник Шарыгина, открытый лишь в 1982 году

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать об удивительном геометрическом объекте, впервые рассмотренным советским математиком Игорем Федоровичем Шарыгиным.

Для начала посмотрите на рисунок ниже. Что Вы на нём видите?

Но, погодите, есть же еще биссектрисы!

И тут становится интересно! Оказывается, и это показал Игорь Федорович, полученный из биссектрис треугольник может быть равнобедренным!

Заметка Шарыгина об этом объекте опубликована в книге «Задачи по геометрии. Планиметрия», 1982.

Впрочем, есть одно очень тонкое условие: угол такого треугольника должен попадать в диапазон от 102,663 до 104,478 градусов!

Основная суть доказательства сводится к рассмотрению подобных треугольников и применению теоремы косинусов, что позволяет получить вот такие выражения для сторон треугольника:

Самим доказательством (доступным каждому школьнику 9 класса!) можно проникнуться в телеграмм-канале «Математика не для всех».

Математика

Занимательная наука

Можно считать следующий текст продолжением поста про интересные книги по физике.

Григорий Перельман: многомерная фигура

Про одного из самых выдающихся математиков современности. Григорий Перельман.

В основе курса СССР на точные науки, подготовившего почву для достижений ядерной физики, космонавтики и спортивных шахмат, лежала сильная математическая традиция. Оформившись в 1930-х, она подарила миру таких ученых, как Андрей Колмогоров, Александр Гельфонд, Павел Александров и многих других, которые преуспели в традиционных (алгебра, теория чисел) и новых направлениях математики (топология, теория вероятностей, математическая статистика). По масштабам интересов и интеллектуальных ресурсов сравниться с советской могли разве что американская и китайская школы. Но сравнением они не ограничивались: на макроуровне царица наук развивалась в противоречивой обстановке дружелюбной подозрительности. Важную роль такие взаимовлияния сыграли и в профессиональной жизни Григория Перельмана – признанного математического гения, окончательно доказавшего гипотезу Пуанкаре и решившего таким образом одну из семи «задач тысячелетия».

Сurriculum vitæ. Первые страницы

Григорий Яковлевич Перельман родился 13 июня 1966 года в Ленинграде в семье инженера-электрика и учительницы математики, а спустя десять лет у него появилась сестра – в будущем тоже кандидат (точнее, PhD) математических наук. Помимо любви к классической музыке, привитой матерью, Григорий с детства проявлял интерес к точным наукам: в пятом классе он начал посещать математический центр при Дворце пионеров, а после восьмого перешел в школу № 239 с углубленным изучением математики, которую окончил без золотой медали только из-за недостатка баллов по нормативам ГТО. В 1982 году он в составе школьной команды получил золотую медаль на 23-й Международной математической олимпиаде в Будапеште и вскоре был зачислен на математико-механический факультет Ленинградского государственного университета без сдачи экзаменов.

В вузе за примерную учебу Перельман получал Ленинскую стипендию. Окончив университет с отличием, он поступил в аспирантуру на базе Ленинградского отделения Математического института имени В. А. Стеклова РАН. В 1990 году под научным руководством академика Александра Даниловича Александрова (основоположника так называемой геометрии Александрова – раздела метрической геометрии) Перельман защитил кандидатскую диссертацию на тему «Седловые поверхности в евклидовых пространствах». Затем в должности старшего научного сотрудника продолжил работать в лаборатории математической физики института Стеклова, успешно развивая теорию пространств Александрова.

В начале 1990-х Перельману довелось поработать в нескольких уважаемых исследовательских учреждениях США: в Университете штата Нью-Йорк в Стоуни-Брук, Курантовском институте математических наук и Калифорнийском университете в Беркли.

Поворотной для молодого математика стала встреча с Ричардом Гамильтоном, область научных интересов которого простиралась в плоскости дифференциальной геометрии – нового направления, широко используемого в общей теории относительности. В своих работах по топологии многообразий американский ученый впервые использовал систему дифференциальных уравнений под названием поток Риччи – нелинейный аналог уравнения теплопроводности, который описывает не распределение температуры, а деформацию хаусдорфова пространства, локально эквивалентного евклидовому.

Благодаря этой системе уравнений Гамильтону удалось наметить решение одной из семи «задач тысячелетия» – по сути, разработать подход к доказательству гипотезы Пуанкаре.

Благосклонность зарубежного коллеги и столь фундаментальная проблема произвели на Перельмана большое впечатление. В то время он продолжал сглаживать углы пространств Александрова – технические трудности казались непреодолимыми, и ученый вновь и вновь возвращался к идее потока Риччи. По словам советского математика Михаила Громова, сосредоточившись на этих задачах, Перельман стал еще более аскетичным, что вызывало тревогу у его близких.

В 1994 году он получил приглашение прочесть лекцию на Международном конгрессе математиков в Цюрихе, а сразу несколько научных организаций, в том числе Принстонский и Тель-Авивский университеты, предложили ему место в штате. В ответ на просьбу Стэнфордского университета предоставить резюме и рекомендации ученый заметил: «Если они знают мои работы, им не нужно мое CV. Если же они нуждаются в моем CV, они не знают мои работы». Несмотря на такое обилие заманчивых предложений, в 1995 году он принял решение вернуться в «родной» институт Стеклова.

В 1996-м Европейское математическое общество присудило Перельману его первую международную премию, которую по каким-то причинам он отказался получать.

Помимо непритязательности в быту, пристрастия к музыке (Перельман играет на скрипке) и строгой приверженности научной этике, ученого уже тогда отличал интерес к параллельному решению сложных задач. В 1994 году он доказал гипотезу о душе. В дифференциальной геометрии под «душой» (S) подразумевают компактное тотально выпуклое тотально геодезическое подмногообразие риманова многообразия (M, g). В простейшем случае, то есть в случае евклидова пространства Rn (n отражает мерность), душой будет любая точка этого пространства.

Перельман доказал, что душа полного связного риманова многообразия с секционной кривизной K ≥ 0, секционная кривизна одной из точек в котором строго положительна во всех направлениях, является точкой, а само многообразие диффеоморфно Rn. Математиков потрясло редкостное изящество доказательства Перельмана: выкладки заняли всего две страницы, в то время как «доперельмановские» попытки решения излагались в длинных статьях и оставались незавершенными.

Доказательство гипотезы Пуанкаре, или Благодатное слияние кухни с операционной

На рубеже 19–20 веков гениальный французский математик Анри Пуанкаре увлеченно закладывал фундамент топологии – науки о свойствах пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. В 1900 году ученый предположил, что трехмерное многообразие, все группы гомологий которого как у сферы, гомеоморфно сфере (топологически ей эквивалентно). В общем же случае, для многообразий любой мерности, гипотеза звучит примерно так: всякое односвязное замкнутое n-мерное многообразие гомеоморфно n-мерной сфере. Здесь необходимо хоть немного расшифровать термины, которыми так свободно оперировал Пуанкаре.

Электронная модель преобразования Пуанкаре – Перельмана / ©Wikipedia

Двумерное многообразие – это плоскость: например, поверхность сферы или тора («бублика»). Трехмерное многообразие представить сложнее: в качестве одной из его моделей рассматривают додекаэдр, противоположные грани которого особым образом «склеены» друг с другом – отождествлены. Именно для случая трехмерного многообразия гипотеза Пуанкаре оставалась крепким орешком на протяжении целого века. Что касается гомеоморфизма, то любые замкнутые, без дыр, поверхности гомеоморфны, то есть могут непрерывно и однозначно преобразовываться (отображаться) друг в друга и деформироваться в сферу, а вот с тором, например, такое без разрыва поверхности не пройдет, поэтому он негомеоморфен сфере, зато гомеоморфен… кружке – той самой, из кухонного шкафчика. Гомология – понятие, позволяющее строить специфические алгебраические объекты (группы, кольца) для изучения топологических пространств – считается, что общеалгебраические структуры устроены проще, чем топологические. Вот простейшие примеры гомологии: замкнутая линия на поверхности гомологична нулю, если она служит границей какого-то участка этой поверхности; гомологичной нулю является любая замкнутая линия на сфере, у тора же такая линия может и не быть гомологичной нулю.

Группы – разнообразные множества, удовлетворяющие особым условиям, – оказались крайне полезными для описания топологических инвариантов – характеристик пространства, не меняющихся при его деформациях. Очень востребованы, в частности, группы гомологий и фундаментальные группы. Группа гомологии ставится в соответствие топологическому пространству для алгебраического исследования его свойств. Фундаментальная группа – это множество закрепленных (начинающихся и заканчивающихся) в отмеченной точке отображений отрезка в пространство (петель), измеряющих количество «дырок» в этом пространстве («дырки» возникают из-за невозможности непрерывно деформировать отрезок в точку). Такая группа представляет собой один из топологических инвариантов: гомеоморфные пространства имеют одну и ту же фундаментальную группу.

Проективный образ квазизамкнутого мира квантового вакуума с многосвязной топологией Пуанкаре – Перельмана

В первоначальном варианте гипотеза Пуанкаре для трехмерных многообразий оставалась «разрешимой»: она позволяла ослабить условие на фундаментальную группу до условия на группу гомологий. Однако вскоре Пуанкаре исключил это допущение, продемонстрировав пример нестандартной трехмерной гомологической сферы с конечной фундаментальной группой – «сферу Пуанкаре». Такой объект мог быть получен, например, склеиванием каждой грани додекаэдра с противоположной, повернутой на угол π/5 по часовой стрелке. Уникальность сферы Пуанкаре заключается в том, что она гомологична трехмерной сфере, но при этом отличаться от нее в евклидовом пространстве.

В окончательной формулировке гипотеза Пуанкаре звучала следующим образом: всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере. Доказательство этой гипотезы сулило новые возможности для моделирования многомерных пространств. В частности, полученные с помощью космического зонда WMAP данные позволяли рассматривать додекаэдрическое пространство Пуанкаре как возможную математическую модель формы Вселенной.

И вот, в 2002–2003 годах (к тому моменту тематическая переписка Перельмана с Гамильтоном уже сошла на нет) пользователь с ником Grisha Perelman с интервалом в несколько месяцев разместил на сервере препринтов arXiv.org три статьи (1, 2, 3), содержащие решение задачи, еще более общей, чем гипотеза Пуанкаре, – гипотезы геометризации Терстона. И первая же публикация стала международной научной сенсацией, хотя из-за антипатии автора к бюрократии ни одна из статей так и не попала на страницы рецензируемых журналов. Выкладки Перельмана были настолько лаконичны и в то же время сложны, что во всеобщий восторг просто не могло не вкрасться недоверие, поэтому с 2004 по 2006 годы проверку работ Перельмана проводили сразу три группы ученых из США и Китая.

Чтобы деформировать риманову метрику на односвязном трехмерном многообразии до гладкой метрики целевого многообразия, Перельман ввел новый метод изучения потока Риччи, который вполне справедливо назвали теорией Гамильтона – Перельмана. Изюминка метода заключалась в том, чтобы при подходе к сингулярности, возникающей при деформации метрики, остановить применяемый к многообразию поток и вырезать «шею» (открытую область, диффеоморфную прямому произведению) или выбросить малую связную компоненту, «заклеив» две полученные «дырки» шарами. По мере повторения этой хирургической операции выбрасывается все, при этом каждый кусок диффеоморфен сферической пространственной форме, а итоговое многообразие является сферой.

В итоге Перельману удалось не только доказать гипотезу Пуанкаре, но и полностью классифицировать компактные трехмерные многообразия. Вероятно, этого никогда бы не случилось, если бы в длинном списке отличительных черт Перельмана не значилась непоколебимая настойчивость. Бывший учитель математики, кандидат физико-математических наук Сергей Рушкин вспоминал: «Гриша начал очень много работать в девятом классе, и у него оказалось очень ценное для занятий математикой качество: способность к очень длительной концентрации внимания без особых успехов внутри задачи.

Все-таки человеку нужна психологическая подпитка, нужны психологические успехи, чтобы заниматься чем-то дальше. Фактически гипотеза Пуанкаре – это почти девять лет без знания того, решится задача или не решится. Понимаете, там даже невозможны были частичные результаты. Не доказалась теорема в полном объеме – иной раз можно опубликовать даже двадцатистраничную статью по тому, что все-таки получилось. А там – или пан, или пропал». Вечность в кармане

В 2003 году Григорий Перельман принял приглашение прочесть о своих работах серию публичных лекций и докладов в США. Но его не понимали ни студенты, ни коллеги. В течение нескольких месяцев математик терпеливо объяснял, в том числе и в личных беседах, свои методы и идеи. Во время «американского турне» Перельман рассчитывал и на плодотворный разговор с Гамильтоном, но он так и не состоялся. Вернувшись в Россию, ученый продолжил отвечать на сыпавшиеся от математиков вопросы по электронной почте. В 2005 году, устав от атмосферы публичности, интриг и бесконечных объяснений, связанных с затянувшейся проверкой его выкладок, Перельман уволился из института и фактически оборвал профессиональные связи.

В 2006 году все три группы экспертов признали доказательство гипотезы Пуанкаре состоявшимся, на что китайские математики во главе с Яу Шинтуном, чья фамилия красуется в названии целого класса многообразий (пространств Калаби–Яу), ответили попыткой оспорить приоритет Перельмана. Правда, выбранный для этого инструментарий оказался неудачным: он сильно походил на плагиат. Оригинальная статья учеников Яу, Цао Хуайдуна и Чжу Сипина, занявшая весь июньский номер The Asian Journal of Mathematics, аннотировалась как окончательное доказательство гипотезы Пуанкаре с применением теории Гамильтона – Перельмана. Если верить журналистским расследованиям, то еще перед публикацией этой статьи, открыто курируемой Яу, последний потребовал у 31 математика из редколлегии журнала в кратчайшие сроки прокомментировать ее, однако саму статью тогда почему-то не предоставил.

Яу Шинтун не просто отлично знал Гамильтона, но и сотрудничал с ним, и заявление Перельмана об успешном решении задачи стало для обоих ученых сюрпризом: после долгих лет работы над ней они рассчитывали, несмотря на временную заминку, прийти к финишу первыми. Впоследствии Яу подчеркивал, что препринты Перельмана выглядели неряшливо и невнятно из-за отсутствия подробных расчетов (автор приводил их по мере необходимости в ответ на запросы независимых экспертов), и это мешало ему и всем остальным понять доказательство в полной мере.

Мир суперновой физики пространства-времени в теореме Пуанкаре – Перельмана

Попытка умалить заслуги Перельмана – а Яу даже любезно подсчитал их в процентном выражении – не удалась, и вскоре китайские ученые подкорректировали заглавие и аннотацию своей статьи. Теперь ее нужно было воспринимать не как свидетельство «венценосного достижения» китайских математиков, а как «самостоятельную и подробную экспозицию» доказательства гипотезы Пуанкаре, произведенного Гамильтоном и Перельманом – без посягательств на чей-то приоритет. Перельман прокомментировал действия Яу так: «Я не могу сказать, что я возмущен, остальные поступают еще хуже…» И правда, китайского математического гения можно понять: ревностную поддержку статьи своих учеников Яу позже объяснял желанием представить окончательное доказательство в удобоваримом, каждому понятном виде и закрепить в истории заслуги соотечественников в решении этой задачи тысячелетия – а ведь их и на самом деле отрицать нельзя…

Тем временем, в августе 2006 года, Перельману присудили Филдсовскую премию «за вклад в геометрию и его революционные идеи в изучении геометрической и аналитической структуры потока Риччи». Но, как и десять лет назад, от награды Перельман отказался, а заодно и сообщил о нежелании далее пребывать в статусе профессионального ученого. В декабре того же года журнал Science впервые признал математическую работу – работу Перельмана – «Прорывом года». Тогда же СМИ разразились серией статей, освещающих это достижение, правда, с упором на сопровождавший его конфликт. Для защиты своей позиции Яу обратился к адвокатам и пригрозил судом «опорочившим его имя» журналистам, однако угрозу так и не осуществил.

В 2007 году Перельман занял девятое место в рейтинге «Сто ныне живущих гениев», опубликованном в The Daily Telegraph. А спустя три года Математический институт Клэя присудил за решение задачи тысячелетия «Премию тысячелетия» – впервые в истории. Поначалу премию в один миллион долларов Перельман проигнорировал, а затем официально отверг: «Если говорить совсем коротко, то главная причина – это несогласие с организованным математическим сообществом. Мне не нравятся их решения, я считаю их несправедливыми. Я считаю, что вклад в решение этой задачи американского математика Гамильтона ничуть не меньше, чем мой».

Инфляционная экспансия в представлении многообразия Пуанкаре – Перельмана

В 2011 году «Премию тысячелетия», от которой отказался Перельман, Институт Клэя решил направить на оплату труда молодых, подающих надежды математиков, для которых в парижском Институте Анри Пуанкаре учредили специальную временную должность. Тогда же Ричарду Гамильтону присудили Премию Шао по математике за создание программы решения гипотезы Пуанкаре. Премиальный миллион долларов в тот год пришлось разделить поровну между Гамильтоном и вторым математическим лауреатом, Деметриосом Христодулу.

Доброе отношение к Гамильтону Перельман сохранил, несмотря на несостоявшийся диалог и очевидную неудовлетворенность старшего коллеги финалом этой научной истории. А это многое говорит о человеке. По слухам, Григорий Яковлевич продолжает жить в Санкт-Петербурге, периодически посещая Швецию, где сотрудничает с местной компанией, занимающейся научными разработками. Ну а шесть задач тысячелетия все еще ждут своего гения.

Источник