Что такое голоморфная функция
СОДЕРЖАНИЕ
Определение
Учитывая комплексная функция F одного комплексного переменного, производная от F в точке г 0 в своей области определяется пределом
Если непрерывность не указана, обратное не обязательно верно. Проще говоря, если u и v имеют непрерывные первые частные производные и удовлетворяют уравнениям Коши – Римана, то f голоморфна. Более удовлетворительным обратным утверждением, которое гораздо труднее доказать, является теорема Лумана – Меншгофа : если f непрерывна, u и v имеют первые частные производные (но не обязательно непрерывны), и они удовлетворяют уравнениям Коши – Римана, то f является голоморфный.
Терминология
Сегодня термин «голоморфная функция» иногда предпочитается термину «аналитическая функция». Важным результатом комплексного анализа является то, что каждая голоморфная функция является комплексно-аналитической, факт, который не следует очевидным образом из определений. Однако термин «аналитический» также широко используется.
Характеристики
Из интегральной теоремы Коши следует, что контурный интеграл каждой голоморфной функции вдоль петли равен нулю:
Производная f ′ ( a ) может быть записана в виде контурного интеграла, используя формулу дифференцирования Коши :
В областях, где первая производная не равна нулю, голоморфные функции конформны : они сохраняют углы и форму (но не размер) маленьких фигур.
Примеры
Несколько переменных
В более общем плане функция нескольких комплексных переменных, интегрируемая с квадратом по каждому компактному подмножеству своей области определения, является аналитической тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям Коши – Римана в смысле распределений.
Расширение функционального анализа
Голоморфная функция
Содержание
Определение [ править ]
Учитывая комплексная функция F одного комплексного переменного, производная от F в точке г 0 в своей области определяется пределом [3]
или, что то же самое, производная Виртингера функции f относительно комплексно сопряженного элемента z равна нулю: [7]
Если непрерывность не указана, обратное не обязательно верно. Проще говоря, если u и v имеют непрерывные первые частные производные и удовлетворяют уравнениям Коши – Римана, то f голоморфна. Более удовлетворительным обратным утверждением, которое гораздо труднее доказать, является теорема Лумана – Меншгофа : если f непрерывна, u и v имеют первые частные производные (но не обязательно непрерывны), и они удовлетворяют уравнениям Коши – Римана, то f является голоморфный. [8]
Терминология [ править ]
Сегодня термин «голоморфная функция» иногда предпочитается термину «аналитическая функция». Важным результатом комплексного анализа является то, что каждая голоморфная функция является комплексно-аналитической, факт, который явно не следует из определений. Однако термин «аналитический» также широко используется.
Свойства [ править ]
Поскольку комплексное дифференцирование является линейным и подчиняется правилам произведения, частного и цепного, суммы, произведения и композиции голоморфных функций голоморфны, а частное двух голоморфных функций голоморфно там, где знаменатель не равен нулю. [10]
Из интегральной теоремы Коши следует, что контурный интеграл каждой голоморфной функции вдоль петли равен нулю: [12]
Производная f ′ ( a ) может быть записана в виде контурного интеграла [12], используя формулу дифференцирования Коши :
В областях, где первая производная не равна нулю, голоморфные функции конформны в том смысле, что они сохраняют углы и форму (но не размер) маленьких фигур. [13]
0 = d 2 f = d ( f ′ d z ) = d f ′ ∧ d z <\displaystyle \textstyle 0=d^<2>f=d(f^<\prime >dz)=df^<\prime >\wedge dz> 
F γ ( z ) = F 0 + ∫ γ f d z <\displaystyle \textstyle F_<\gamma >(z)=F_<0>+\int _<\gamma >fdz> ;
Примеры [ править ]
и поэтому голоморфен везде, где стоит логарифм log ( z ). Функция 1 / z голоморфна на < z : z ≠ 0>.
Несколько переменных [ править ]
В более общем смысле, функция нескольких комплексных переменных, интегрируемая с квадратом на каждом компактном подмножестве своей области определения, является аналитической тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям Коши – Римана в смысле распределений.