Что такое графический способ

26.10.202314.04.2022 admin 0 Comments

ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ

Смотреть что такое «ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ» в других словарях:

ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ — способ, при котором (см.) задаётся своим (см.) … Большая политехническая энциклопедия

ГРАФИЧЕСКИЙ — выраженный рисунком, чертежом, а не словами или цифрами. Полный словарь иностранных слов, вошедших в употребление в русском языке. Попов М., 1907. ГРАФИЧЕСКИЙ греч. graphikos, от graphein, писать. Письменный способ решения задач. Объяснение 25000 … Словарь иностранных слов русского языка

ГРАФИЧЕСКИЙ ЯЗЫК — Широкое значение – способ осуществления коммуникации посредством письменных символов. Подробнее см. ортография (более предпочтительный термин) … Толковый словарь по психологии

Встроенный графический процессор — Встроенные графические процессоры Основная статья: Встроенный графический процессор IGP (сокр. от англ. Integrated Graphics Processor, дословно – интегрированный графический процессор) графический процессор (GPU), встроенный… … Википедия

Светодиодный графический экран — Светодиодный экран Светодиодный экран (LED screen, LED display) устройство отображения и передачи визуальной информации, в котором каждой точкой, пикселем (pix) является полупроводниковый светодиод … Википедия

ВЕННА ДИАГРАММА — графический способ изображения формул математич. логики, прежде всего формул исчисления высказываний. В. д. ппеременных классич. логики высказываний представляет собой такой набор замкнутых контуров (го меоморфных окружностям), к рый разбивает… … Математическая энциклопедия

ГРАФИК-ТРЕУГОЛЬНИК — графический способ систематизации данных химических анализов подземных вод. Наряду с графиком квадратом (см.) широко применяется в гидрогеологии (рис. 8). Рис. 8. График треугольник для анионов и катионов … Словарь по гидрогеологии и инженерной геологии

Функция (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. функция. Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия

Источник

Графический метод. Описание, примеры решения уравнений

Эта статья посвящена одному из направлений функционально-графического метода решения уравнений, а именно, графическому методу. Сначала дано описание графического метода: раскрыта его суть, сказано, на чем базируется метод, приведено его обоснование, обговорены особенности метода, связанные с точностью. Дальше идет практическая часть: записан алгоритм решения уравнений графическим методом и показаны решения характерных примеров.

В чем состоит метод и на чем он базируется

Графический метод решения уравнений состоит в использовании графиков функций, отвечающих частям уравнения, для нахождения с их помощью решения уравнения. Базируется он на следующем утверждении:

Обоснованием этого утверждения займемся в следующем пункте. А сейчас выудим из него полезные сведения.

Взглянем на чертеж, на котором изображены графики функций и .

Очевидно, в видимой области графики изображенных функций не имеют точек пересечения. За пределами видимой области графики тоже не имеют точек пересечения. Это мы можем утверждать в силу известного нам поведения графиков степенных функций и линейных функций. Отсутствие точек пересечения позволяет нам сделать вывод, что уравнение не имеет решений.

Другой пример. На следующем рисунке изображены графики функций и .

Здесь стоит заметить, что к проверке подстановкой мы обратились не случайно. Дело в том, что найденные по графикам значения корней можно считать лишь приближенными до проведения проверки. Подробнее об этом мы поговорим в одном из следующих пунктов этой статьи, раскрывающем особенности графического метода.

Обоснование метода

Первая часть доказана. Переходим к доказательству второй части.

Так доказана вторая часть.

Особенности метода

Графический метод предполагает использование графиков функций. В общем случае построение графиков функций – дело непростое. Поэтому, графический метод решения уравнения обычно применяется лишь тогда, когда функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков, и при этом не видно другого аналитического метода решения. Это одна из особенностей графического метода решения уравнений.

С приближенными, найденными по графикам, значениями корней уравнения можно так или иначе работать. В некоторых случаях определенные по графикам значения корней оказываются точными значениями, в чем позволяет убедиться проверка подстановкой. В других случаях есть возможность уточнить значения корней до требуемой степени точности, для этого существуют специальные методы уточнения значений корней. А вот если по графикам нет возможности определить количество корней, не говоря уже об их значении, то, почти наверняка, стоит отказываться от графического метода решения уравнения. Добавим наглядности сказанному.

По этому чертежу сложно судить даже о количестве корней уравнения , не говоря уже про их значения с приемлемой степенью точности. Здесь можно лишь грубо сказать, что если корни есть, то их значения находятся на промежутке от нуля до трех. Такую прикидку мы даем по той причине, что графики функций в обозначенном промежутке очень близки, почти совпадают. Если есть возможность построить графики более точно в обозначенном промежутке, то это немного проясняет картину:

Учитывая оговоренные особенности графического метода решения уравнения, для себя можно принять следующее: к графическому методу стоит обращаться лишь тогда, когда функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков, когда по построенным графикам можно с уверенностью указать точное количество точек их пересечения, и когда не просматривается альтернативный метод решения.

Алгоритм решения уравнений графическим методом

Анализ приведенной выше информации позволяет записать алгоритм решения уравнений графическим методом. Чтобы решить уравнение графически, надо:

Дадим краткий комментарий к последнему шага алгоритма. Иногда определенные по чертежу приближенные значения корней оказываются точными. Обычно это касается целых значений. Но, опять же, прежде чем утверждать, что найденные значения является точными корнями уравнения, сначала нужно осуществить проверку этих значений, например, проверку подстановкой.

Решение примеров

Графики, очевидно, пересекаются в двух точках. Можно определить приближенные значения их абсцисс: .

Решите уравнение

В заключение вспомним, что в этой статье при разговоре об особенностях графического метода решения уравнений мы обращались к иррациональному уравнению . В качестве «благодарности» этому уравнению за помощь в обретении знаний приведем ссылку на его решение графическим методом.

Источник

Что такое графический способ

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

Графический метод

Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки.

Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Например, построим графики уравнений из предыдущего примера.

Пример 1

Для этого сперва выразим y y y в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно x x x ):

Для того чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными нужно:

1) построить графики уравнений в одной системе координат;
2) найти координаты точек пересечения этих графиков (координаты точек пересечения графиков и есть решения системы);

Разберем это задание на примере.

Решить графически систему линейных уравнений.

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.

Пример 2

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может:

а) иметь единственное решение;

б) не иметь решений;

в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Пример 3

Графическое решение системы

Пример 4

Решить графическим способом систему уравнений.

Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Пример 5

Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).

ОБЯЗАТЕЛЬНО: Познакомимся с видео, где нам объяснят как решаются системы линейных уравнений графическим способом. РАССКАЖУТ, КАК РЕШАТЬ СИСТЕМЫ ГРАФИЧЕСКИ.

Видео YouTube

Источник

Графический метод решения задач с параметрами

Теперь вы узнали, что такое параметр, и увидели решение самых простых задач.

Но подождите — рано успокаиваться и говорить, что вы все знаете. Есть множество типов задач с параметрами и приемов их решения. Чтобы чувствовать себя уверенно, мало посмотреть решения трех незатейливых задач.

Вот список тем, которые стоит повторить:

1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».

Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому. Конечно, он не единственный. Но начинать лучше всего именно с него.

Мы разберем несколько самых простых задач, решаемых графическим методом. Больше задач — в видеокурсе «Графический метод решения задач с параметрами» (бесплатно).

1. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно 2 различных решения?

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

В первом уравнении выделим полный квадрат:

Это уравнение окружности с центром в точке и радиусом равным 2. Обратите внимание — графики будем строить в координатах х; а.

Уравнение задает прямую, проходящую через начало координат. Нам нужны ординаты точек, лежащих на окружности и не лежащих на этой прямой.

Для того чтобы точка лежала на окружности, ее ордината а должна быть не меньше 0 и не больше 4.

Точка С также не подходит нам, поскольку при мы получим единственную точку, лежащую на окружности, и единственное решение уравнения.

2. Найдите все значения a, при которых уравнение имеет единственное решение.

Уравнение равносильно системе:

Мы возвели обе части уравнения в квадрат при условии, что (смотри тему «Иррациональные уравнения»).

Раскроем скобки в правой части уравнения, применяя формулу квадрата трехчлена. Получаем систему.

Приводим подобные слагаемые в уравнении.

Заметим, что при прибавлении к правой и левой части числа 49 можно выделить полные квадраты:

Решим систему графически:

Исходное уравнение имеет единственное решение, если окружность имеет единственную общую точку с полуплоскостью. Другими словами, окружность касается прямой, заданной уравнением

Пусть С — точка касания.

Рассмотрим треугольник ABP. Он прямоугольный, и радиус окружности PC является медианой этого треугольника. Значит по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.

Из треугольника ABP найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора.

Решая это уравнение, получаем, что

3. Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение.

Второе уравнение при задает окружность с центром в точке и радиусом a.

Вот такая картинка, похожая на злую птицу. Или на хрюшку. Кому что нравится.

, (как гипотенуза прямоугольного треугольника МNР с катетами 3 и 4),

В — точка касания окружности и окружности

длину MQ найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника KMQ с катетами 7 и 4; Тогда для точки В получим:

Есть еще точки С и D, в которых окружность касается окружности или окружности соответственно. Однако эти точки нам не подходят. В самом деле, для точки С:

, но и это значит, что окружность с центром в точке М, проходящая через точку С, будет пересекать левую окружность и система будет иметь не одно, а три решения.

Аналогично, для точки D:

и значит, окружность с центром М, проходящая через точку D, будет пересекать правую окружность и система будет иметь три решения.

4. При каких значениях a система уравнений имеет 4 решения?

И в первом, и во втором уравнении системы уже можно разглядеть известные «базовые элементы» (ссылка) — в первом ромбик, во втором окружность. Видите их? Как, еще нет? — Сейчас увидите!

Просто выделили полный квадрат во втором уравнении.

Сделаем замену Система примет вид:

Вот теперь все видно! Рисовать будем в координатах

Графиком первого уравнения является ромб, проходящий через точки с координатами и

Графиком второго уравнения является окружность с радиусом и центром в начале координат.

Когда же система имеет ровно 4 решения?

1) В случае, когда окружность вписана в ромб, то есть касается всех сторон ромба.

Запишем площадь ромба двумя способами — как произведение диагоналей пополам и как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Диагонали нашего ромба равны 8 и 6. Значит,

Сторону ромба найдем по теореме Пифагора. Видите на рисунке прямоугольный треугольник со катетами 3 и 4? Да, это египетский треугольник, и его гипотенуза, то есть сторона ромба, равна 5. Если h — высота ромба, то

При этом Мы помним, что если окружность вписана в ромб, то диаметр этой окружности равен высоте ромба. Отсюда