Что такое график линейного уравнения

График линейной функции, его свойства и формулы

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».

Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!

Свойства линейной функции

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1 /₃x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Источник

Линейные уравнения

Линейные уравнения — относительно несложная математическая тема, довольно часто встречающаяся в заданиях по алгебре. Разберемся, что это такое, и как решаются линейные уравнения.

Как правило, линейное уравнение — это уравнение вида ax + c = 0, где а и с — произвольные числа, или коэффициенты, а х — неизвестное число.

К примеру, линейным уравнением будет:

Решение линейных уравнений.

Как решать линейные уравнения?

Решаются линейные уравнения совсем несложно. Для этого используются такой математический прием, как тождественное преобразование. Разберем, что это такое.

Пример линейного уравнения и его решение.

Пусть ax + c = 10, где а = 4, с = 2.

Таким образом, получаем уравнение 4х + 2 = 10.

Для того чтобы решить его было проще и быстрее, воспользуемся первым способом тождественного преобразования — то есть, перенесем все цифры в правую часть уравнения, а неизвестное 4х оставим в левой части.

Таким образом, уравнение сводится к совсем простенькой задачке для начинающих. Остается лишь воспользоваться вторым способом тождественного преобразования — оставив в левой части уравнения х, перенести в правую часть цифры. Получим:

4х + 2 = 10, где х = 2.

График линейного уравнения.

При решении линейных уравнений с двумя переменными также часто используется метод построения графика. Дело в том, что уравнение вида ах + ву + с = 0, как правило, имеет много вариантов решения, ведь на место переменных подходит множество чисел, и во всех случаях уравнение остается верным.

Поэтому для облегчения задачи выстраивается график линейного уравнения.

Чтобы построить его, достаточно взять одну пару значений переменных — и, отметив их точками на плоскости координат, провести через них прямую. Все точки, находящиеся на этой прямой, и будут вариантами переменных в нашем уравнении.

Источник

График линейного уравнения с двумя переменными

Урок 40. Алгебра 7 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «График линейного уравнения с двумя переменными»

· ввести понятие «график линейного уравнения с двумя переменными»;

· рассмотреть поведение графика в зависимости от значений коэффициентов перед переменными.

На прошлом уроке мы с вами познакомились с линейным уравнением с двумя переменным. Давайте, вспомним определение.

И сегодня на уроке мы будем вести речь о графике такого уравнения.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Обратите внимание, что полученная формула имеет вид линейной функции, графиком которой является прямая.

Так как прямая определяется двумя точками, то для построения графика нам достаточно указать две точки. Так:

Таким образом, получили две точки с координатами:

Теперь на координатной плоскости отметим эти точки и проведём через них линию.

Эта прямая является графиком исходного уравнения.

Все точки, принадлежащие графику, – это пары чисел, которые являются решениями нашего уравнения.

Теперь рассмотрим уравнение, в котором коэффициент при одной из переменных равен нулю.

А это постоянная функция. С предыдущих уроков нам известно, что график такой функции – это прямая, которая проходит через точку с координатами (0; 2) и параллельна оси Ox.

Все точки, принадлежащие этой прямой, – это пары чисел, которые являются решениями данного уравнения. И таких решений бесконечно много.

Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.

А теперь давайте рассмотрим случай, когда в линейном уравнении оба коэффициента при переменных равны нулю.

Давайте, рассмотрим примеры построения графиков линейных уравнений.

Итак, сегодня на уроке мы выяснили, что же представляет собой график линейного уравнения с двумя переменными и научились строить такие графики.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №42. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учебник: Алгебра 9 кл с углубленным изучением математики Мнемозина, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Уравнения, а также системы уравнений имеют давнюю историю. Нам известно, что уже в Древнем Вавилоне и Индии повседневные задачи, связанные с земляными работами или планированием военных расходов, а также астрономическими наблюдениями решались с помощью уравнений и их систем.

В то время еще не существовало привычного нам формального языка математики. Вавилоняне, также, как и индусы не использовали в своих трактатах привычные нам «икс» и «игрек». Не обозначали степень надстрочными индексами. И т.д. Их уравнения записаны в виде текстовых задач. Также, как и решения, не похожи на современные, а скорее напоминают цепочку логических рассуждений.

Вместе с тем, если перевести в привычный нам вид те уравнения, которые умели решать в Древнем Вавилоне, то мы увидим: . И в древнем индийском манускрипте «Ариабхаттиам», датируемом 499 годом нашей эры, также встречаются задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений. Индийские мудрецы (слово ученый тоже еще не существовало) уже не ограничивались решением конкретных житейских задач, но и работали над решением квадратного уравнения в общем виде.

Привычный нам вид уравнения обретают только в конце шестнадцатого века, благодаря трудам Франсу Виета (1540 – 1603 гг.). Именно он, помимо прочих своих научных достижений обладает и неофициальным титулом «создатель алгебры». Поскольку разработал и активно внедрял символический язык алгебры – те самые, привычные нам «иксы и игреки».

1.Найдите уравнения, которые являются линейными.

4х + 5у = 10; ; у = 7х +4

Ответ: 4х + 5у = 10; у = 7х +4

Сегодня на уроке мы вспомним что такое линейные уравнения и неравенства с двумя переменными; системы линейный уравнений и неравенств, а также научимся изображать множество на плоскости, задаваемое линейным уравнением и неравенством.

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Решением уравнения ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется пара значений обращающая уравнение в верное числовое равенство.

Если одновременно а и b, то уравнение ах + by +с =0 является уравнением некоторой прямой. Для построения прямой достаточно найти две точки этой прямой.

Построить график уравнения 2х+у =1

На координатной плоскости отметим точки с координатами (0;1) и (2;-3). Через две точки на плоскости проведем прямую. Полученная прямая является геометрической моделью уравнения 2х+у =1.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное равенство.

Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой.

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0.

Рисунок 1 – решение неравенства 3х – 2у +6 > 0

Если в линейном неравенстве с двумя переменными знак неравенства заменить знаком равенства, то получится линейное уравнение ах + by +с =0, графиком которого является прямая при условии, что и . Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Одна из них является графиком неравенства ах + bу + с 0

Чтобы решить неравенство ах + bу + c 0, достаточно взять какую-нибудь точку М₁(х₁; у₁), не лежащую на прямой aх + bу + c = 0, и определить знак числа aх₁ + bу₁ + c.

Источник

Решение простых линейных уравнений

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.