Что такое граница множества

Граница множества

Грани́ца мно́жества’ — это такое множество, что его точки находятся сколь угодно близко как к точкам в множестве, так и к точкам вне множества.

Содержание

Определение

Множество всех граничных точек множества A называется границей и обозначается

Свойства

Примеры

Рассмотрим числовую прямую со стандартной топологией. Тогда: для :

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Граница множества» в других словарях:

граница (множества) — Множество всех граничных точек данного множества. Например, Г. допустимого множества в задаче математического программирования, Г. множества производственных возможностей (производственная граница). [http://slovar lopatnikov.ru/] Тематики… … Справочник технического переводчика

Граница множества — (математическое) совокупность граничных точек (См. Граничная точка) множества. О верхней и нижней Г.м. см. в ст. Верхняя и нижняя грани … Большая советская энциклопедия

Граница — (множества) [boundary] множество всех граничных точек данного множества. Например, Г. допустимого множества в задаче математического программирования, Г. множества производственных возможностей (производственная граница) … Экономико-математический словарь

Граница (топология) — У этого термина существуют и другие значения, см. Граница. Граница множества A множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A. Содержание 1 Определение 2 Свойства … Википедия

Граница подмножества — Граница множества это такое множество, что его точки находятся сколь угодно близко как к точкам в множестве, так и к точкам вне множества. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 Примеры 4 См. также … Википедия

КОЛЬЦЕВАЯ ГРАНИЦА — подмножество Г пространства MA максимальных идеалов коммутативной банаховой алгебры А с единицей над полем С комплексных чисел, на к ром модули Гелъфанда представлений а всех элементов достигают максимума. Напр., можно положить Г=М A (тривиальная … Математическая энциклопедия

МАРТИНА ГРАНИЦА — в теории марковских процессов граница фазового пространства марковского процесса или его образа в нек ром компакте, строящемся по схеме, подобной схеме Мартина (см. [1]). Впервые вероятностное истолкование конструкции Мартина было предложено Дж.… … Математическая энциклопедия

Внешняя точка множества — Внешность в общей топологии это внутренность дополнения. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 Пример 4 См. также // … Википедия

Источник

5.01 О границах числовых множеств

Множество, элементами которого являются вещественные числа, будем называть числовым. Если множество состоит из конечного числа элементов, то его называют конечным, в противном случае – бесконечным.

Определение. Числовое множество называется ограниченным сверху, если существует такое вещественное число , что для любого элемента из множества выполняется неравенство . Число называется верхней границей .

Определение. Если существует такое число , что все элементы множества удовлетворяют неравенству , то множество называется ограниченным снизу, а число – его нижней границей.

Определение. Числовое множество называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу, т. е. если для всех выполняется неравенство .

Если – верхняя, а – нижняя границы множества , то числа и тоже будут соответственно верхней и нижней границами этого множества. Следовательно, всякое ограниченное множество имеет бесконечно много верхних и нижних границ.

Определение. Наименьшая из всех верхних границ множества называется точной верхней границей этого множества (обозначается ). Наибольшая из всех нижних границ называется точной нижней границей этого множества (обозначается ).

Точная верхняя и точная нижняя границы могут как принадлежать данному множеству, так и не принадлежать ему.

Если не ограничено сверху, то пишут , если снизу, то .

На вопрос о том, всегда ли у ограниченного множества существуют точные границы, отвечает следующая теорема.

Теорема. Всякое непустое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю границу, а всякое непустое ограниченное снизу множество имеет точную нижнюю границу.

Пример 1. Даны множества , и . Указать их точные границы.

Решение. – бесконечное, ограниченное снизу множество. Числа – его нижние границы, а . Сверху это множество не ограничено, т. е. . Множество – бесконечное ограниченное множество, т. е. оно ограничено и сверху, и снизу, его точные границы: , , – бесконечное множество, не ограниченное как сверху, так и снизу.

Любое конечное множество ограничено, так как среди его элементов всегда найдутся наибольшее и наименьшее числа, которые и будут точными границами. Обратное утверждение неверно, т. е. из ограниченности множества не следует его конечность, как это видно на примере множества .

Пример 2. Числовое множество состоит из всех чисел, для которых . Какие числа будут его границами?

Решение. Неравенство равносильно двойному неравенству , откуда видно, что число 3 и всякое большее число будет верхней границей, а число –3 и всякое меньшее число – его нижней границей. , .

Пример 3. Числовое множество состоит из чисел, удовлетворяющих условию . Укажите наименьшее число , удовлетворяющее неравенству для всех из данного множества. Какими границами для этого множества будут числа и ?

Решение. Так как равносильно неравенству , то за нужно взять такое положительное число, чтобы неравенства: и выполнялись одновременно. Это, очевидно, будет при , равном наибольшей из абсолютных величин чисел и , то есть при , при этом , a – верхняя (не точная) граница , точной верхней границей является .

Вопросы для самопроверки.

1. Приведите примеры ограниченных бесконечных множеств. Существуют ли конечные неограниченные множества?

2. Приведите примеры множеств, которым принадлежат их точные границы и множеств, которым не принадлежат их точные границы.

3. Приведите пример множества, которому принадлежит его точная нижняя граница, а точная верхняя не принадлежит.

Источник

Грани числовых множеств

Содержание

Определения [ править ]

[math] b [/math] называется верхней границей множества А.

[math] c [/math] называется нижней границей множества А.

Существование грани множества [ править ]

По аксиоме непрерывности:

[math] \exists d \in \mathbb R: \, A \le d \le M [/math] :

Аналогично для нижней грани ограниченного снизу множества А.[math]\triangleleft[/math]

Принцип вложенных отрезков [ править ]

Множество [math] [a, b] = \ < x: a \le x \le b \>[/math] называется отрезком или замкнутым промежутком.

Определим следующие числовые множества:

[math] c [/math] и [math] d [/math] существуют.

В силу вложенности отрезков:

[math] A \le c \le d \le B \Rightarrow \forall n: [c, d] \subset \Delta_n [/math][math]\triangleleft[/math]

Исходя из определения граней, если:

[math] d = \sup \, A \in \mathbb R : [/math]

[math] c = \inf \, A \in \mathbb R : [/math]

[math] \forall \varepsilon \gt 0, \exists a \in A: c + \varepsilon \gt a [/math]

Источник

Граница (топология)

Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.

Содержание

Определение

Пусть дано топологическое пространство , где — произвольное множество, а — определённая на топология. Пусть Точка называется грани́чной то́чкой мно́жества , если для любой её окрестности справедливо:

Множество всех граничных точек множества называется границей и обозначается

Свойства

Примеры

Рассмотрим числовую прямую со стандартной топологией. Тогда: для :

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Граница (топология)» в других словарях:

Граница — Граница реальная или воображаемая линия, определяющая пределы какого либо субъекта или объекта и отделяющая этот субъект или объект от других. Населённые пункты Граница село в Кюстендилской области Болгарии. Граница бывший посёлок в… … Википедия

ТОПОЛОГИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. Непрерывная деформация это деформация фигуры, при которой не… … Энциклопедия Кольера

Граница подмножества — Граница множества это такое множество, что его точки находятся сколь угодно близко как к точкам в множестве, так и к точкам вне множества. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 Примеры 4 См. также … Википедия

Граница множества — это такое множество, что его точки находятся сколь угодно близко как к точкам в множестве, так и к точкам вне множества. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 Примеры 4 См. также … Википедия

МАРТИНА ГРАНИЦА — в теории потенциала идеальная граница Грина пространстваW (см. также Кольцевая граница), позволяющая построить характеристич. представление положительных гар монич. функций на W. Пусть W локально компактное, но не компактное топологич.… … Математическая энциклопедия

Дискетная топология — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш … Википедия

Континуум (топология) — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш … Википедия

Гомология (топология) — У этого термина существуют и другие значения, см. Гомология. Гомологии одно из основных понятий алгебраической топологии. Даёт возможность строить алгебраический объект (группу или кольцо) который является топологическим инвариантом… … Википедия

Внешность (топология) — У этого термина существуют и другие значения, см. Внешность. Внешность в общей топологии это внутренность дополнения.[источник не указан 266 дней] Содержание 1 Определение 2 Свойства … Википедия

Источник

Граница множества

Смотреть что такое «Граница множества» в других словарях:

граница (множества) — Множество всех граничных точек данного множества. Например, Г. допустимого множества в задаче математического программирования, Г. множества производственных возможностей (производственная граница). [http://slovar lopatnikov.ru/] Тематики… … Справочник технического переводчика

Граница множества — это такое множество, что его точки находятся сколь угодно близко как к точкам в множестве, так и к точкам вне множества. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 Примеры 4 См. также … Википедия

Граница — (множества) [boundary] множество всех граничных точек данного множества. Например, Г. допустимого множества в задаче математического программирования, Г. множества производственных возможностей (производственная граница) … Экономико-математический словарь

Граница (топология) — У этого термина существуют и другие значения, см. Граница. Граница множества A множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A. Содержание 1 Определение 2 Свойства … Википедия

Граница подмножества — Граница множества это такое множество, что его точки находятся сколь угодно близко как к точкам в множестве, так и к точкам вне множества. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 Примеры 4 См. также … Википедия

КОЛЬЦЕВАЯ ГРАНИЦА — подмножество Г пространства MA максимальных идеалов коммутативной банаховой алгебры А с единицей над полем С комплексных чисел, на к ром модули Гелъфанда представлений а всех элементов достигают максимума. Напр., можно положить Г=М A (тривиальная … Математическая энциклопедия

МАРТИНА ГРАНИЦА — в теории марковских процессов граница фазового пространства марковского процесса или его образа в нек ром компакте, строящемся по схеме, подобной схеме Мартина (см. [1]). Впервые вероятностное истолкование конструкции Мартина было предложено Дж.… … Математическая энциклопедия

Внешняя точка множества — Внешность в общей топологии это внутренность дополнения. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 Пример 4 См. также // … Википедия

Источник