Что такое граница относительной погрешности

Что такое граница относительной погрешности

Всероссийский научно-исследовательский институт
оптико-физических измерений

ПОИСК И НАВИГАЦИЯ

МЫ НА YOUTUBE

Погрешности измерений

Погрешность результата измерения (англ. error of a measurement) – отклонение результата измерения от истинного (действительного) значения измеряемой величины.
Примечания:

Инструментальная погрешность измерения (англ. instrumental error) – составляющая погрешности измерения, обусловленная погрешностью применяемого средства измерений.

Погрешность метода измерений (англ. error of method) – составляющая систематической погрешности измерений, обусловленная несовершенством принятого метода измерений.
Примечания:

Погрешность (измерения) из-за изменений условий измерения – составляющая систематической погрешности измерения, являющаяся следствием неучтенного влияния отклонения в одну сторону какого-либо из параметров, характеризующих условия измерений, от установленного значения.
Примечание. Этот термин применяют в случае неучтенного или недостаточно учтенного действия той или иной влияющей величины (температуры, атмосферного давления, влажности воздуха, напряженности магнитного поля, вибрации и др.); неправильной установки средств измерений, нарушения правил их взаимного расположения и др.

Субъективная погрешность измерения – составляющая систематической погрешности измерений, обусловленная индивидуальными особенностями оператора.
Примечания:

Неисключенная систематическая погрешность – составляющая погрешности результата измерений, обусловленная погрешностями вычисления и введения поправок на влияние систематических погрешностей или систематической погрешностью, поправка на действие которой не введена вследствие ее малости.
Примечания:

Случайная погрешность измерения (англ. random error) – составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях, проведенных с одинаковой тщательностью, одной и той же физической величины.

Абсолютная погрешность измерения (англ. absolute error of a measurement) – погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины.

Абсолютное значение погрешности (англ. absolute value of an error) – значение погрешности без учета ее знака (модуль погрешности).
Примечание. Необходимо различать термины абсолютная погрешность и абсолютное значение погрешности.

Относительная погрешность измерения (англ. relative error) – погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или измеренному значению измеряемой величины.
Примечание. Относительную погрешность в долях или процентах находят из отношений:

Рассеяние результатов в ряду измерений (англ. dispersion) – несовпадение результатов измерений одной и той же величины в ряду равноточных измерений, как правило, обусловленное действием случайных погрешностей.
Примечания:

Размах результатов измерений (англ. ) – оценка R_n рассеяния результатов единичных измерений физической n величины, образующих ряд (или выборку из n измерений), вычисляемая по формуле:

Среднее квадратическое отклонение результатов единичных измерений в ряду измерений (англ. experimental (sample) standard deviation) – характеристика S рассеяния результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же физической величины, вычисляемая по формуле:

Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического значения результатов измерений (англ. experimental (sample) standard deviation) – характеристика S_x рассеяния среднего арифметического значения результатов равноточных измерений одной и той же величины, вычисляемая по формуле:

Доверительные границы погрешности результата измерений – наибольшее и наименьшее значения погрешности измерений, ограничивающие интервал, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое (истинное) значение погрешности результата измерений.

Поправка (англ. correction) – значение величины, вводимое в неисправленный результат измерения с целью исключения составляющих систематической погрешности.
Примечание. Знак поправки противоположен знаку погрешности. Поправку, прибавляемую к номинальному значению меры, называют поправкой к значению меры; поправку, вводимую в показание измерительного прибора, называют поправкой к показанию прибора.

Поправочный множитель (англ. correction factor) – числовой коэффициент, на который умножают неисправленный результат измерения с целью исключения влияния систематической погрешности.
Примечание. Поправочный множитель используют в случаях, когда систематическая погрешность пропорциональна значению величины.

Точность результата измерений (англ. accuracy of measurement) – одна из характеристик качества измерения, отражающая близость к нулю погрешности результата измерения.
Примечание. Считают, что чем меньше погрешность измерения, тем больше его точность.

Неопределенность измерений (англ. uncertainty of measurement) – параметр, связанный с результатом измерений и характеризующий рассеяние значений, которые можно приписать измеряемой величине.

Погрешность метода поверки – погрешность применяемого метода передачи размера единицы при поверке.

Погрешность градуировки средства измерений – погрешность действительного значения величины, приписанного той или иной отметке шкалы средства измерений в результате градуировки.

Погрешность воспроизведения единицы физической величины – погрешность результата измерений, выполняемых при воспроизведении единицы физической величины.
Примечание. Погрешность воспроизведения единицы при помощи государственных эталонов обычно указывают в виде ее составляющих: неисключенной систематической погрешности; случайной погрешности; нестабильности за год.

Погрешность передачи размера единицы физической величины – погрешность результата измерений, выполняемых при передаче размера единицы.
Примечание. В погрешность передачи размера единицы входят как неисключенные систематические, так и случайные погрешности метода и средств измерений.

Статическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям статического измерения.

Динамическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям динамического измерения.

Промах – погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда.
Примечание. Иногда вместо термина промах применяют термин грубая погрешность измерений.

Предельная погрешность измерения в ряду измерений – максимальная погрешность измерения (плюс, минус), допускаемая для данной измерительной задачи.

Погрешность результата однократного измерения – погрешность одного измерения (не входящего в ряд измерений), оцениваемая на основании известных погрешностей средства и метода измерений в данных условиях (измерений).
Пример. При однократном измерении микрометром какого-либо размера детали получено значение величины, равное 12,55 мм. При этом еще до измерения известно, что погрешность микрометра в данном диапазоне составляет +/- 0,01 мм, и погрешность метода (непосредственной оценки) в данном случае принята равной нулю. Следовательно, погрешность полученного результата будет равна +/- 0,01 мм в данных условиях измерений.

Суммарное среднее квадратическое отклонение среднего арифметического значения результатов измерений – характеристика S_∑ рассеяния среднего арифметического результатов измерений, обусловленная влиянием случайных и неисключенных систематических погрешностей и вычисляемая по формуле:

Источник

Относительная погрешность. Верные цифры числа

Вычислительная математика. Погрешности. Решение задач

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ И ЕЕ ГРАНИЦА.

а – приближенное число

Разность х – а между точным числом х и приближенным числом а называется погрешностью приближения.

| х – а | = ∆ – абсолютная погрешность

Отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного числа, называется относительной погрешностью

– относительная погрешность является показателем качества данного приближения, и ее часто выражают в процентах %

Граница относительной погрешности больше или равна относительной погрешности:

Если дана граница относительной погрешности, то говорят, что приближение дано с относительной точностью до Ꜫ % и записывают:

х = а (± Ꜫ) или х = а (± Ꜫ %)

В ряде задач границу абсолютной погрешности находят по данной относительной погрешности и модулю приближенного значения величины:

Скорость звука в воздухе 331,63 ± 0,04 м/с

Какое измерение точнее?

– значит скорость света точнее

Дана граница относительной погрешности и необходимо найти границу абсолютной погрешности, используем

Значит границы значений грузоподъемности автомобиля 2,5 ± 0,4 или 2,1 ≤ 2,5 ≤ 2,9

Найдите относительную погрешность в % с точностью до десятых

Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия ± 1, значит ∆а=1, далее по формуле

Найдите относительную погрешность в % с точностью до сотых

Радиус Земли (в км): R = 6380 ± 1

Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия ± 1, значит ∆а=1, далее по формуле

Найдите относительную погрешность в % с точностью до сотых

Скорость света в вакууме (в км/с):

Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия

Диаметр Луны (в км): d = 3476 ± 1

Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия ± 1, значит ∆а=1, далее по формуле

Источник

Абсолютная и относительная погрешность

Всего получено оценок: 1760.

Всего получено оценок: 1760.

Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.

Абсолютная погрешность

Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.

Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.

На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Относительная погрешность

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.

Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.

Правила подсчета погрешностей

Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.

Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.

Что мы узнали?

Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.

Источник

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 28 октября 2019 г.

Урок 16. Абсолютная и относительная погрешность

Для подсчёта абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычесть меньшее число.

В школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400 , то абсолютная погрешность измерения равна :

На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет

При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет

Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Но при выполнении различных измерений мы обычно представляем себе границы абсолютной погрешности и всегда можем сказать, какого определённого числа она не превосходит.

Торговые весы могут дать абсолютную погрешность, не превышающую 5 г, а аптекарские – не превышающую одной сотой грамма.

Длина рулона обоев составляет.

Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью .

Но абсолютная погрешность не даёт нам представление о качестве измерения, то есть о том, насколько тщательно это измерение выполнено. Чтобы понять эту мысль, достаточно разобраться в таком примере.

Допустим, что при измерении коридора длиной в 20 м мы допустили абсолютную погрешность всего только в 1 см. Теперь представим себе, что, измеряя корешок книги, имеющий 18 см длины, мы тоже допустили абсолютную погрешность в 1 см. Тогда понятно, что первое измерение нужно признать превосходным, но зато второе – совершенно неудовлетворительным. Это значит, что на 20 м ошибка в 1 см вполне допустима и неизбежна, но на 18 см такая ошибка является очень грубой.

Отсюда ясно, что для оценки качества измерения существенна не сама абсолютная погрешность, а та доля, какую она составляет от измеряемой величины. При измерении коридора длиной в 20 м погрешность в 1 см составляет

Делаем вывод, что измеряя корешок книги, имеющий 18 см длины и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении коридора длиной в 20 м, то это измерение можно считать максимально точным.

Если ошибка, возникающая при измерении линейкой или каким либо другим измерительным инструментом, значительно меньше, чем деления шкалы этой линейки, то в качестве абсолютной погрешности измерения обычно берут половину деления. Если деления на линейке нанесены достаточно точно, то ошибка при измерении близка к нулю.

Для измерения длины болта использованы метровая линейка с делениями 0,5 см и линейка с делениями 1 мм. В обоих случаях получен результат 3,5 см. Ясно, что в первом случае отклонение найденной длины 3,5 см от истинной, не должно по модулю превышать 0,5 см, во втором случае 0,1 см.

Если этот же результат получится при измерении штангенциркулем, то

Данный пример показывает зависимость абсолютной погрешности и границ, в которых находится точный результат, от точности измерительных приборов. В одном случае ∆ l = 0,5 и, следовательно,

Длина листа бумаги формата А4 равна (29,7 ± 0,1) см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650 ± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае не превосходит одного миллиметра, а во втором – одного километра. Необходимо сравнить точность этих измерений.

Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому, что величина абсолютной погрешности не превышает 1 мм, то вы ошибаетесь. Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведём некоторые рассуждения.

При измерении длины листа абсолютная погрешность не превышает 0,1 см на 29,7 см, то есть в процентном отношении это составляет

Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы, то абсолютная погрешность не превышает 1 км на 650 км, что в процентном соотношении составляет

Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем длинна листа формата А4.

Истинное значение измеряемой величины известно бывает лишь в очень редких случаях, а поэтому и действительная величина абсолютной погрешности почти никогда не может быть вычислена. На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Поэтому на практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

Абсолютная погрешность, как мы убедились, не даёт возможности судить о качестве измерения. Поэтому для оценки качества приближения вводится новое понятие – относительная погрешность. Относительная погрешность позволяет судить о качестве измерения.

Относительная погрешность – это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближённого значения измеряемой величины, выраженная в долях или процентах.

Округлим дробь 14,7 до целых и найдём относительную погрешность приближённого значения :

При измерении в (сантиметрах) толщины b стекла и длины l книжной полки получили следующие результаты :

l ≈ 100 с точностью до 0,1.

Абсолютная погрешность каждого из этих измерений не превосходит 0,1 . Однако 0,1 составляет существенную часть числа 0,4 и ничтожную часть числа 100 . Это показывает, что качество второго измерения намного выше, чем первого.

Если взять абсолютную погрешность в 1 см, при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10% и 0,1%. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1 см очень велика, это ошибка в 10% . А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, эта ошибка всего в 0,1%.

Чем меньше относительная погрешность измерения, тем оно точнее.

Различают систематические и случайные погрешности.

Систематической погрешностью называют ту погрешность, которая остаётся неизменной при повторных измерениях.

Случайной погрешностью называют ту погрешность, которая возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять своё значение.

В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближённого числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе наименьшая гиря – 50 г. Взвешивание показало 3600 г. Это число – приближённое. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превосходит

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью.

Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью.

На практике относительную погрешность округляют до двух значащих цифр, выполняя округление с избытком, то есть, всегда увеличивая последнюю значащую цифру на единицу.

Для х = 1,7 ± 0,2 относительная погрешность измерений равна :

Здесь а = 17,9 см. Можно принять ∆ = 0,1 см, так как с точностью до 1 мм измерить карандаш нетрудно, а значительно уменьшить предельную погрешность не удастся (при навыке можно прочесть на хорошей линейке и 0,02 и даже 0,01 см, но у самого карандаша рёбра могут отличаться на большую величину ). Относительная погрешность равна

По условию, предельная относительная погрешность должна составлять 0,05% от 35 мм. Следовательно, предельная абсолютная погрешность равна

Можно воспользоваться формулой

Подставляя в формулу

Действия над приближёнными числами.

Сложение и вычитание приближённых чисел.

Абсолютная погрешность суммы двух величин равна сумме абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.

Складываются приближённые числа

Пусть предельная погрешность первого есть 5 , а второго 1. Тогда предельная погрешность суммы равна

Так, если истинное значение первого есть 270 , а второго 33 , то приближённая сумма

Найти сумму приближённых чисел :

0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667

+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.

Предельная погрешность каждого слагаемого

Предельная погрешность суммы :

При значительном числе слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей, поэтому истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной погрешностью или близка к ней. Насколько редки эти случаи, видно из предыдущего примера, где 9 слагаемых. Истинная величина каждого из них может отличаться в пятом знаке от взятого приближённого значения на 1, 2, 3, 4 или даже на 5 единиц в ту и в другую сторону.

Например, первое слагаемое может быть больше своего истинного значения на 4 единицы пятого знака, второе – на две, третье – меньше истинного на одну единицу и так далее.

– когда истинная величина каждого слагаемого больше приближённой величины на 0,00005 ;

– когда истинная величина каждого слагаемого меньше приближённой величины на 0,00005 .

Значит, случаи, когда погрешность суммы совпадает с предельной, составляют только 0,0000002% всех возможных случаев.

Найти сумму точных чисел :

0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667

+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.

Сложение даёт следующий результат – 0,6187.

Округлим их до тысячных и сложим :

0,091 + 0,083 + 0,077 + 0,071 + 0,067

+ 0,062 + 0,059 + 0,056 + 0,053 = 0,619.

Предельная погрешность суммы :

Приближённая сумма отличается от истинной на 0,0003 , то есть на треть единицы последнего знака приближённых чисел. Все три знака приближённой суммы верны, хотя теоретически последняя цифра могла быть грубо неверной.

Произведём в наших слагаемых округление до сотых. Теперь предельная погрешность суммы будет :

0,09 + 0,08 + 0,08 + 0,07 + 0,07

+ 0,06 + 0,06 + 0,06 + 0,05 = 0,62.

Истинная погрешность составляет только 0,0013 .

Предельная абсолютная погрешность разности двух величин равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Пусть предельная погрешность приближённого уменьшаемого 85 равна 2 , а предельная погрешность вычитаемого 32 равна 3 . Предельная погрешность разности

В самом деле, истинное значение уменьшаемого и вычитаемого могут равняться

Тогда истинная разность есть

Она на 5 отличается от приближённой разности 53 .

Относительная погрешность суммы и разности.

Предельную относительную погрешность суммы и разности легко найти, вычислив сначала предельную абсолютную погрешность.

Предельная относительная погрешность суммы (но не разности!) лежит между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых. Если все слагаемые имеют одну и ту же (или примерно одну и ту же) предельную относительную погрешность, то и сумма имеет ту же (или примерно ту же) предельную относительную погрешность. Другими словами, в этом случае точность суммы (в процентном выражении) не уступает точности слагаемых. При значительном же числе слагаемых сумма, как правило, гораздо точнее слагаемых.

Найти предельную абсолютную и предельную относительную погрешность суммы чисел :

В каждом слагаемом суммы

24,4 + 25,2 + 24,7 = 74,3

предельная относительная погрешность примерно одна и та же, а именно :

Такова же она и для суммы.

Здесь предельная абсолютная погрешность равна 0,15 , а относительная

0,15 : 74,3 ≈ 0,15 : 75 = 0,2%.

В противоположность сумме разность приближённых чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и вычитаемое. > особенно велика в том случае, когда уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.

Относительные погрешности при сложении и вычитании складывать нельзя.

Умножение и деление приближённых чисел.

При делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности.

Пусть перемножаются приближённые числа 50 и 20 , и пусть предельная относительная погрешность первого сомножителя есть 0,4%, а второго 0,5%.

Тогда предельная относительная погрешность произведения

приближённо равна 0,9% . В самом деле предельная абсолютная погрешность первого сомножителя есть

Поэтому истинная величина произведения не больше чем

(50 + 0,2)(20 + 0,1) = 1009,02,

Если истинная величина произведения есть 1009,2 , то погрешность произведения равна

а если 991,02 , то погрешность произведения равна

Рассмотренные два случая – самые неблагоприятные. Значит, предельная абсолютная погрешность произведения есть 9,02 . Предельная относительная погрешность равна

Источник

• ← Что такое руны старшего футарка
• Что такое государственное устройство страны →