Что такое начало отсчета на координатной прямой

Координатная прямая (числовая прямая), координатный луч

Координатный луч изображается по той же схеме, но существенно отличается. Мы ставим точку отсчета и отмеряем единичный отрезок.

Данная статья посвящена разбору таких понятий, как координатный луч и координатная прямая. Мы остановимся на каждом понятии и подробно рассмотрим примеры. Благодаря этой статье вы сможете освежить свои знания или ознакомиться с темой без помощи преподавателя.

Координатный луч

Для того, чтобы определить понятие координатного луча, следует иметь представление о том, что такое луч.

На примере мы видим, что O является началом луча.

Координатный луч изображается по той же схеме, но существенно отличается. Мы ставим точку отсчета и отмеряем единичный отрезок.

От конца единичного отрезка нужно отложить несколько штрихов и сделать разметку.

Координатный луч – это шкала, которая может длиться до бесконечности.

Мы в любом случае сможем продолжить шкалу до того числа, которое нам необходимо. Вы можете записывать числа как удобно – под лучом или над ним.

Для отображений координат луча могут использоваться как заглавные, как и строчные буквы.

Координатная прямая

Проведите луч в противоположную сторону, дополнив его до прямой

Отложите единичные отрезки по примеру, указанному выше

Вы можете отметить только начало отсчета и единичные отрезки. Смотрите на примере, как это будет выглядеть.

Соответствие между точками координатной прямой и действительными числами

Координатная прямая может содержать множество точек. Они напрямую связаны с действительными числами. Это можно определить, как взаимно однозначное соответствие.

Каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой.

Для того, чтобы лучше понять правило, следует отметить точку на координатной прямой и посмотреть, какое натуральное число соответствует отметке. Если эта точка совпадает с началом отсчета, она будет отмечена нулем. Если точка не совпадает с началом отсчета, мы откладываем нужное количество единичных отрезков до тех пор, пока не достигнем указанной отметки. Число, записанное под ней, и будет соответствовать данной точке. На примере, указанном внизу, мы покажем вам это правило наглядно.

Если мы не можем найти точку, откладывая единичные отрезки, следует отмечать также точки, составляющие одну десятую, сотую или тысячную долю единичного отрезка. На примере можно подробно рассмотреть данное правило.

Отложив несколько подобных отрезков, мы сможем получить не только целое, но и дробное число – как положительное, так и отрицательное.

Множество действительных чисел включается в себя все числа, которые можно записать в виде дроби. Это позволяет выявить правило.

Каждой точке координатной прямой соответствует конкретное действительное число. Разные точки определяют разные действительные числа.

Это соответствие однозначно –каждой точке соответствует определенное действительное число. Но это работает также и в обратном направлении. Мы также можем указать определенную точку на координатной прямой, которая будет относиться конкретному действительному числу. Если число не является целым, то нам необходимо отметить несколько единичных отрезков, а также десятых, сотых долей в заданном направлении. Например, числу 400350 отвечает точка на координатной прямой, в которую из начала отсчета можно попасть, отложив в положительном направлении 400 единичных отрезков, 3 отрезка, составляющих десятую долю единичного, и 5 отрезков – тысячную долю.

Каждой точке на координатной прямой отвечает действительное число, и каждое действительное число отмечается в виде точки на координатной прямой.

Благодаря этому утверждению координатную прямую зачастую определяют как числовую.

Координаты точек на координатной прямой

Число, соответствующее точке на координатной прямой, называется координатой этой точки.

Ранее было отмечено, что к каждому числу относится единственная точка на прямой. Можно сказать, что координата точки определяет ее положение на прямой. Именно координата задает эту точку.

Источник

Шкалы, координаты

Для определения размера какой-либо величины (длина, вес, температура и т.д.) мы используем измерительные приборы и инструменты со шкалами для отображения результата.

Шкала – это расположенный в определенной последовательности ряд отметок, которые соответствуют числовому значению измеряемой величины.

Например, в школьном курсе математики и геометрии для измерения длины геометрического объекта, в частности отрезка, используется линейка (рисунок 1).

Рисунок 1. Измерительная линейка.

Из урока Измерение величин вы уже знаете, что такое единица измерения, а их соотношения можете посмотреть в справочном разделе.

Деления шкалы – это равные части, на которые она разбита. Каждое деление шкалы обозначается отметками (черточками).

Нулевая отметка шкалы – это отметка, которая соответствует нулевому значению измеряемой нами величины.

Цена деления шкалы – это величина значения одного деления шкалы. То есть, это величина значения между двумя соседними отметками на шкале.

Как мы видим на рисунке 1, деления, обозначенные большими черточками, пронумерованы, и значение каждого такого деления равно 1 см. В этом легко убедиться, если найти разницу между значениями каждого из соседних делений: 1-0=1, 2-1=3, …, 9-8=1, 10-9=1.
Но каждое из больших делений разделено девятью маленькими черточками на 10 делений. Мы знаем, что в 1 см содержится 10 мм, поэтому разделив эти 10 мм на 10 делений, мы получим цену деления линейки, равную 1 мм.

Цена деления может отличаться не только у разных же измерительных приборов, но и у одних и тех же.

Рисунок 2 Цена деления шкалы

Например, на рисунке 2 изображены два термометра. Как вы думаете, они показывают одинаковую температуру, или нет?

Давайте посмотрим, так ли это? На левом термометре разница между двумя соседними пронумерованными отметками равна 10°C: 10-0=10, 20-10=10, и т.д. На правом же термометре эта разница равняется уже 20°C: 20-0=20, 40-20=20, и т.д. На обоих термометрах маленькие черточки делят одно большое пронумерованное деление на 10 частей. Разделив разницу между значениями пронумерованных отметок (10 и 20 соответственно) на количество делений между ними (10), мы получим цену деления каждого из термометров:

Итак, оба термометра показывают 20°C и еще два деления. Но на левом термометре это означает 20°C и еще два раза по 1°C, то есть, 20+2=22°C, а на правом – 20°C и еще два раза по 2°C, то есть, 20+4=24°C.

Координатный луч, единичный отрезок, координаты точки

Различные прямые линии со шкалами играют важную роль в школьной математике. Сейчас я познакомлю вас с одной из них.

Нарисуем точку O и проведем от нее направо луч. Обозначим направление луча стрелкой.

Рис. 3. Луч с началом в точке O

Рис. 4. Луч с равными отрезками

Поставим возле начала луча (точки O ) число 0 (нуль). Возле второго конца отрезка OP (возле точки P ) поставим число 1 (один). Таким образом мы обозначаем, что длина отрезка OP равна 1 (единице).

Аналогичным образом вы можете легко найти числа, соответствующей каждой поставленной нами на луче точке.

Рис. 5. Луч с отрезками и цифрами

Покажу еще раз на примере точки S :

так как RS=OP (по условиям построения данных отрезков),

подставив известные нам значения длины отрезков OR и OP, получим:

Значит, точке S на нашем лучу соответствует число 3.

Оставим на луче только числовые значения, а все буквы кроме O отбросим. В итоге у нас получился вот такой луч с отрезками и числами, которые соответствуют концам этих отрезков.

Рис. 6. Координатный луч

Глядя на рисунок 6, легко заметить, что отрезки, лежащие на луче, это не что иное, как нанесенная на луч шкала. Действительно, смотрите сами.

Точка O с соответствующим ей числом 0 (нуль) называется точка отсчета, что аналогично нулевой отметке шкалы. Обычно этой буквой всегда помечают в рисунках точку отсчета.

Единичный отрезок – это отрезок, длина которого принята нами за единицу длины и равна 1(единице). Точке, обозначающей правый конец единичного отрезка, соответствует число 1.

Координатный луч – это луч с отмеченным на нем единичным отрезком, точкой начала отсчета, которой соответствует число 0 (нуль), и указанным направлением отсчета.
Координатный луч еще называют числовой луч.

Координатный луч — это не что иное, как бесконечная шкала.

Длина единичного отрезка может быть любой. Она выбирается каждый раз отдельно и при ее выборе ориентируются на то, чтобы на рисунке поместились все необходимые в данный момент числа. Например, на рисунке 7-а длина единичного отрезка составляет 5 см, а на рисунке 7-б всего 1 см.

Рис. 7. Разные варианты единичного отрезка

Как вы заметили из предыдущего рисунка, для разметки луча отрезками можно вместо кружочков использовать штрихи везде, кроме точки O (начала отсчета). Кружочки рисуют поверх этих штрихов тогда, когда необходимо отметить на числовом луче какое-то натуральное число. В этом случае мы дополнительно обозначаем его заглавной (большой) буквой латинского алфавита (смотрите рисунок 8).

Координатный луч служит для наглядного отображения и сравнения чисел натурального ряда.

Действительно, длина каждого отрезка числового луча отличается от длины предыдущего на единицу, точно так же, как и каждый элемент числового ряда отличается от предыдущего.

Координата точки числового луча – это число, которое соответствует поставленной на числовом луче точке.

Рис. 8. Координаты точек

Точке A соответствует число 5 координатного луча, точке B – число 8, точке C – число 13. Запишем полученные координаты точек: A ( 5 ), B ( 8 ), C ( 13 ).

В отдельных случаях для обозначения на координатном луче больших натуральных чисел, допускается не отображать на рисунке точку отсчета и единичный отрезок, показывая только тот участок луча, на котором расположены данные числа.

Рис. 9. Большие числа на координатном луче.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.2 / 5. Количество оценок: 9

Источник

Координатная прямая

Урок 30. Математика 6 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Координатная прямая»

Представим себе такую историю…

– Привет, Паша! Над чем это ты так задумался? – поинтересовался у друга Саша.

– Я не могу решить одну задачу. Давай подумаем вместе, – обратился Паша к Саше.

– Давай. Читай условие, – сказал Саша.

– Гусеница сползает с листочка на веточку и ползает по ней влево и вправо. Где окажется гусеница, если она удалится на 5 сантиметров от листочка? – зачитал условие задачи Паша.

– И что же здесь сложного? – удивился Саша. – Всё просто. Гусеница окажется в 5 сантиметрах от листочка.

– Да, верно. Она окажется в 5 сантиметрах от листочка. Но она же ползает по веточке как влево, так и вправо. А значит, важно знать и направление, – сказал Паша.

– Точно, – согласился Саша. – И как же нам ответить на вопрос задачи?

– Давай спросим у Мудряша, – сказал Паша.

– Ребята, прежде чем я отвечу на ваш вопрос, давайте мы немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Теперь сверимся! – сказал Мудряш. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А сейчас вернёмся к вашей задаче, – начал Мудряш. – Ребята, вы правильно заметили, что для того, чтобы ответить на вопрос задачи, нам надо знать направление, в котором ползёт гусеница.

– Давайте представим, что веточка, по которой ползает гусеница, – это горизонтальная прямая АВ. Листочек на веточке, с которого сползает гусеница, обозначим на этой прямой точкой О и назовём началом отсчёта. Точка О будет изображать число 0 на нашей прямой. Можно сказать, что она разделяет прямую АВ на два луча – ОА и ОB. Предположим, что наша гусеница решила ползти вправо. Тогда отметим на луче ОА точку С, которая будет изображать число 1. Отрезок ОС – это единичный отрезок. На веточке это будет соответствовать 1 сантиметру. На луче ОА можно продолжить изображать положительные числа: 2, 3, 4, 5 и так далее.

– В 5 классе мы научились изображать на координатном луче положительные числа и 0, – дружно сказали Паша и Саша.

– Совершенно верно, – сказал Мудряш. – Это вам знакомо. А теперь представим, что гусеница решила ползти влево. Давайте на луче ОВ отметим точку D таким образом, чтобы отрезок OD был равен отрезку ОC. На веточке это также будет соответствовать 1 сантиметру. Будем считать, что точка D изображает число . Чтобы изобразить число , мы на луче ОB отметим точку Е таким образом, чтобы отрезок ОЕ был равен двум отрезкам ОD. Таким же образом мы можем продолжить изображать отрицательные числа: , , и так далее…

Говорят, что луч ОА задаёт положительное направление на прямой АВ.

– А тогда луч ОВ задаёт отрицательное направление на прямой АВ, – дружно сказали мальчишки.

– Всё верно, ребята! Отметим, что положительное направление указывают стрелкой, – добавил Мудряш.

– Получается, что на прямой АВ мы выбрали начало отсчёта – точку О, единичный отрезок ОС и направление, – отметили ребята.

– Да, и такую прямую мы будем называть координатной прямой, – сказал Мудряш.

– А тогда число, которое показывает положение точки на прямой, называют координатой этой точки? – задали вопрос Мудряшу Паша и Саша.

– Всё верно! – ответил Мудряш.

– Тогда координата точки С – это 1, а координата точки ДЭ – это , – добавили мальчишки.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш и отметил, – записывают это вот так: точка С (1), точка D ().

– Запомните! – продолжил Мудряш. – Прямую, на которой выбрали начало отсчёта, единичный отрезок и направление, называют координатной прямой. Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой этой точки.

– Тогда если наша гусеница проползёт 5 сантиметров вправо, то она окажется в точке с координатой 5? – вернулись к задаче ребята.

– Да! И мы можем назвать эту точку, например, точкой F и записать F (5), – сказал Мудряш.

– А если гусеница проползёт 5 сантиметров влево, то окажется в точке с координатой , – продолжили Паша и Саша. – Давайте назовём её точкой K и запишем K ().

– Давайте, – согласился Мудряш.

– Тогда получается, что на вопрос задачи мы можем дать два ответа? – задали вопрос Мудряшу мальчики.

– Конечно! Всё зависит от того, в каком направлении решит ползти гусеница, – ответил на вопрос Мудряш.

– Теперь разобрались! – радостно сказали друзья.

– Отметим на координатной прямой ещё несколько точек, – предложил Мудряш. – Например, точку М (), точку N (4), точку P ()… Но вместо слов «отметим точку с координатой…» может говорить просто «отметим число…».

– Запомните! – сказал Мудряш. – Все положительные числа и нуль называют неотрицательными числами. Все отрицательные числа и нуль называют неположительными числами.

– Ребята, хотелось бы обратить внимание на то, – продолжил Мудряш, – что координатная прямая может быть расположена не только горизонтально, как мы с вами только что рассмотрели, но и, например, вертикально. В таком случае положительными считаются координаты точек, находящихся выше точки О, а отрицательными – координаты точек, находящихся ниже точки О.

– Мне кажется, что шкала термометра, о которой мы говорили на прошлом уроке, является примером координатной прямой, – неуверенно сказал Паша.

– Правильно, – сказал Мудряш. – – начало отсчёта. Положительные значения температуры расположены выше , а отрицательные – ниже . А теперь давайте выполним несколько заданий.

Задание первое: запишите координаты точек А, B, C, D, Е, изображённых на рисунке.

Решение: Единичный отрезок равен одной клеточке. Точка А находится на расстоянии 4 единичных отрезков справа от начала отсчёта, а значит, имеет координату 4.

Точка B находится на расстоянии половины единичного отрезка слева от начала отсчёта, а значит, её координата равна .

Точка C расположена на расстоянии 4 единичных отрезков слева от начала отсчёта, следовательно, имеет координату .

Точка D расположена на расстоянии единичных отрезков справа от начала отсчёта, следовательно, она имеет координату 2,5.

Точка Е находится на расстоянии 5,5 единичных отрезков слева от начала отсчёта, а значит, имеет координату .

Второе задание: на координатной прямой отметьте числа: .

Решение: отметим число 0. Оно будет являться началом отсчёта. Отметим 1. Отрезок от 0 до 1 называем единичным отрезком.

Число находится на расстоянии 1 единичного отрезка слева от начала отсчёта. Число 3 находится на расстоянии 3 единичных отрезков справа от начала отсчёта. Число находится слева от начала отсчёта на расстоянии 2,5 единичных отрезков.

Число находится слева от начала отсчёта на расстоянии 4 единичных отрезков.

Число 5,5 расположено справа от начала отсчёта на расстоянии 5,5 единичных отрезков.

Число 7 также расположено справа от начала отсчёта, но на расстоянии 7 единичных отрезков.

И последнее число расположено на расстоянии 6,5 единичных отрезков слева от начала отсчёта.

Следующее задание: длина единичного отрезка координатной прямой равна 1 см. Чему равно расстояние между точкой А (3) и точкой В (7), между точкой С () и точкой D (), между точкой Е () и точкой F (2)?

Решение: начертим координатную прямую, длина единичного отрезка которой равна одному сантиметру. Отметим точку А (3) и точку В (7). Расстояние между этими точками равно 4 единичным отрезкам, то есть 4 сантиметрам.

Теперь отметим точку С () и точку D (). Расстояние между ними равно 3 единичным отрезкам, то есть 3 сантиметрам.

Отметим точку Е () и точку F (2). Расстояние между этими точками равно 4 единичным отрезкам, а значит, 4 сантиметрам.

Ещё одно задание: в какую точку перейдёт точка С (3):

а) при перемещении на 4 единицы в положительном направлении;

б) при перемещении на 7 единиц в отрицательном направлении?

Решение: начертим координатную прямую АВ и отметим на ней точку С (3).

Положительное направление на прямой задаёт нам луч ОА. Значит при перемещении в положительном направлении, то есть вправо, на 4 единицы точка С перейдёт в точку К (7).

Отрицательное направление на прямой задаёт луч ОВ. Тогда при перемещении в отрицательном направлении, то есть влево, на 7 единиц точка С перейдёт в точку М ().

Источник