Что такое наибольший общий знаменатель
Общий знаменатель, понятие и определение.
Так для чего нужен общий знаменатель, или когда нужен общий знаменатель?
Ответ довольно прост, мы имеем право дроби складывать и вычитать только когда у данных дробей есть общий знаменатель. Поэтому важно понять, как находить общий знаменатель.
Определение:
Общий знаменатель – это число всегда положительное на которое делятся знаменатели данных дробей.
Формула основного свойства рациональных чисел.
Такое решение называется приведением к общему знаменателю. Мы имеем право умножать одновременно на одно и тоже число и числитель и знаменатель.
Наименьший общий знаменатель.
Что такое наименьший общий знаменатель?
Определение:
Наименьший общий знаменатель – это наименьшее положительное число кратное знаменателям данных дробей.
Как привести к наименьшему общему знаменателю? Чтобы ответить на этот вопрос рассмотрим пример:
Решение:
Чтобы найти наименьший общий знаменатель нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей.
У первой дроби знаменатель равен 20 разложим его на простые множители.
20=2⋅5⋅2
Так же разложим и второй знаменатель дроби 14 на простые множители.
14=7⋅2
Ответ: наименьший общий знаменатель будет равен 140.
Как привести дробь к общему знаменателю?
Нужно первую дробь \(\frac<1><20>\) домножить на 7, чтобы получить знаменатель 140.
Правила или алгоритм приведения дробей к общему знаменателю.
Алгоритм приведения дробей к наименьшему общему знаменателю:
Общий знаменатель для нескольких дробей.
Как найти общий знаменатель для нескольких дробей?
Рассмотрим пример:
Найдите наименьший общий знаменатель для дробей \(\frac<2><11>, \frac<1><15>, \frac<3><22>\)
Решение:
Разложим знаменатели 11, 15 и 22 на простые множители.
Число 11 оно само по себе уже простое число, поэтому его расписывать не нужно.
Разложим число 15=5⋅3
Разложим число 22=11⋅2
Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 11, 15, и 22.
НОК(11, 15, 22)=11⋅2⋅5⋅3=330
Мы нашли наименьший общий знаменатель для данных дробей. Теперь приведем данные дроби \(\frac<2><11>, \frac<1><15>, \frac<3><22>\) к общему знаменатели равному 330.
Вопросы по теме:
Какой общий знаменатель у дробей \(\bf \frac<2><25>\) и \(\bf \frac<1><14>\)?
Ответ:
Какой наименьший общий знаменатель у дробей 14 и 25? Воспользуемся алгоритмом приведения дробей к общему знаменателю алгебраических дробей.
Сначала разложим на простые множители знаменатели 14 и 25.
14=2⋅7
25=5⋅5
Теперь найдем НОК(14,25)=2⋅7⋅5⋅5=350.
Это мы нашли наименьший общий знаменатель:
Но не всегда нужно находит наименьший общий знаменатель иногда, можно найти любой знаменатель, а потом можно конечную дробь сократить. Например, для дробей \(\frac<2><25>\) и \(\frac<1><14>\) знаменателем может быть число 700, 1400 и т.д.
как найти общий знаменатель
Как найти общий знаменатель, что такое общий знаменатель и конечно же нахождение общего знаменателя онлайн на нашем калькуляторе. И если вам требуется наименьший общий знаменатель, то он тут.
Находим общий знаменатель
Что такое общий знаменатель?
Количество чисел, которые могут быть общим знаменателем стремится к бесконечности, но обычно общим знаменателем принимают НОЗ
Пример общего знаменателя :
Т.е. 6 делится на 2 без остатка 6 : 2 = 3, и 6 делится на 3 без остатка 6 : 3 = 2.
А вторую дробь нужно умножить на 2, чтобы привести и её к общему знаменатель 6, 1*2/3*2 = 2/6.
Когда мы нашли «общий знаменатель» мы смогли выполнить необходимое действие с дробями.
В каком случае ноз двух дробей будет являться произведением знаменателей?
Когда ноз двух дробей равен произведению знаменателей?
Как минимум, когда знаменатели будут простыми числами, т.е. в качестве примера, это выше приведенные дроби со знаменателями 2 и 3. Эти числа являются простыми, т.е. делятся на себя и на 1.
И общий знаменатель двух чисел 2 и 3 будет равен произведению 2 * 3 = 6.
Формула общего знаменателя
Как вы знаете. что если умножить и числитель и знаменатель на одно число, то результат дроби не изменится! Поэтому мы можем вывести формулу общего знаменателя буквами :
Первую дробь умножаем на знаменатель второй дроби.
А вторую дробь умножаем на знаменатель первой дроби
Нахождение общего знаменателя с помощью нок.
Если вы не сходили по ссылке, то давайте вкратце попробуем разобраться в формуле подбора общего знаменателя.
Пример нахождения общего знаменателя методом разложения на множители
Этот способ может называться как «нахождение общего знаменателя методом разложения на множители»
Либо «метод нахождения наименьшего общего знаменателя» или просто «НОЗ»
Рассмотрим два знаменателя 8 и 6, к примеру это могут быть две дроби 1/8 и 1/6 и нам нужно найти их общий знаменатель.
Ниже раскладываем меньший знаменатель :
Далее нам нужно исключить все множители, которые повторяются в меньшем знаменателе. это 2 и у нас остается 3. далее эту тройку надо умножить на больший знаменатель :
Итого получаем общий знаменатель = 24.
Пример номер 2 подбора общего знаменателя
Чтобы у вас не возникало сомнений, давайте разберем второй пример подбора общего знаменателя, пусть это будут 4 и 10.
Берем больший знаменатель раскладываем его на множители :
Раскладываем меньший знаменатель :
Итого получаем общий знаменатель 20, двух чисел 4 и 10.
Как найти общий знаменатель дробей онлайн
У нас есть калькулятор, который в том числе умеет находить общий знаменатель дробей онлайн!
Прежде чем приступать к поиску общего знаменателя, давайте найдем общий знаменатель для двух знаменателей, а потом проверим данное решение на калькуляторе.
Пусть это будут два знаменателя 20 и 6.
Раскладываем больший знаменатель на множители :
Раскладываем на множители второй знаменатель :
Исключаем повторяющиеся множители во втором знаменателе и у нас остается одна двойка.
Умножаем больший знаменатель на 2 :
Итого получаем их общий знаменатель 40.
Переходим к нахождению общего знаменателя онлайн
Вводим первый знаменатель 20.
Набираем второй знаменатель 8.
Получаем результат нахождения общего знаменателя онлайн :
Далее вы можете сравнить два результата нахождения общего знаменателя.
Что такое наименьший общий знаменатель?
Разница между «общим знаменателем«(1) и «наименьшим общим знаменателем«(2) в том, что первое может быть бесконечное количество. а второе «НОЗ», только один!
Но, что же такое «наименьший общий знаменатель»
Определение, что же такое «наименьший общий знаменатель»
Формула наименьшего общего кратного
Для нахождения «наименьшего общего знаменателя» двух знаменателей, нужно эти два знаменателя разложить на множители. Больший знаменатель записываем в первую строчку, второй знаменатель раскладываем на множители и записываем во вторую строчку.
Сравниваем две строки и удаляем из второй все цифры, которые повторяются в первой строчке.
То число(если больше 1, то перемножаем между собой) умножаем на большее число.
Для понимания формулы наименьшего общего кратного нам нужен пример!
Предположим, что у нас есть два знаменателя 10 и 6 и нужно найти наименьший общий знаменатель :
Разложим больший знаменатель на множители :
Разложим второй знаменатель на множители :
Теперь, нам нужно исключить повторяющеюся цифру 2 из второй строчки, остается цифра 3.
Умножаем больший знаменатель на 3.
Итого получаем, что наименьший общий знаменатель двух знаменателей 10 и 5 равно 30.
Как найти наименьший общий знаменатель на калькуляторе
Для понимания процесса получения наименьшего общего знаменателя на калькуляторе нам потребуются два знаменателя, например 18 и 12 из дробей 1/18 и 1/12
Прежде чем приступать к нахождению «нок» двух чисел на калькуляторе, давайте найдем наименьшее общее кратное, как мы делали это выше :
Раскладываем большее число на множители :
Раскладываем меньшее число на множители :
Умножаем большее число на 2.
Итого получаем, что наименьшее общее кратное двух чисел 18 и 12 = 36.
Теперь проверим правильность нахождения «нок» на калькуляторе.
Набираем первое число – пусть это будет число 12
Нажимаем «нок» на калькуляторе – для этого есть специальная кнопка.
После нажатия на кнопку нок – нам нужно добавить втрое число –пусть это будет 18.
И нам отсеется нажать кнопку равно!
И видим результат нахождения наименьшего общего кратного на калькуляторе…
Как найти общий знаменатель трех дробей
Для того чтобы найти общий знаменатель сразу трех дробей нужно подряд найти нок между этими тремя знаменателями!
Задача/пример найдите общий знаменатель для трех дробей.
У нас даны три дроби и у них у всех три разных знаменателя :
Для такой простой задачи можно в уме посчитать. перебором. а потом подтвердим наше решение через «НОК».
Найдем общий знаменатель для трех дробей на калькуляторе через НОК.
Получаем общий знаменатель для трех дробей посчитанный онлайн на калькуляторе.
Как найти общий знаменатель дробей с разными знаменателями
Вариант разложения знаменателей на множители.
Вариант нахождения общего знаменателя с помощью НОК и т.д
Общий знаменатель дробей
Это правило позволяет легко и быстро устно найти наименьший общий знаменатель дробей.
Правило нахождения наименьшего общего знаменателя для двух или нескольких дробей:
1) Выбираем из всех знаменателей наибольшее число и проверяем, делится ли оно на остальные. Если делится, то это число и есть наименьший общий знаменатель (НОЗ) этих дробей.
2) Если наибольший знаменатель не делится на все остальные, умножаем его на 2 и проверяем, делится ли полученное число на все остальные. Если делится, то это новое число и есть НОЗ.
3) Если после умножения на два новое число не делится на все остальные, наибольший из знаменателей умножаем на 3,4,5 и так далее до тех пор, пока новое число не будет делиться на все остальные. Это новое число и есть наименьший общий знаменатель.
Найти общий знаменатель дробей:
Выбираем бОльший знаменатель и проверяем, делится ли он на меньший. 12 на 4 делится. Значит, наименьший общий знаменатель этих дробей равен 12.
Выбираем больший знаменатель и проверяем, делится ли он на меньший. 15 на 10 не делится. Умножаем бОльший знаменатель на 2 и проверяем, делится ли новое число на меньший знаменатель. 15∙2=30, 30 на 10 делится. Значит, наименьший общий знаменатель этих дробей равен 30.
Выбираем большее число и проверяем, делится ли оно на остальные. 20 на 15 и 12 не делится. Большее число умножаем на 2 и проверяем, делится ли новое число на остальные. 20∙2=40. 40 на 15 и 12 не делится. Значит, большее число 20 надо умножить на 3 и проверить, будет ли делиться результат на остальные. 20∙3=60. 60 делится и на 15, и на 12. Поэтому 60 — наименьший общий знаменатель этих дробей.
Большее — 18. Оно не делится на меньшее — 15. Умножаем большее на 2: 18∙2=36. 36 на 15 не делится. Умножаем большее на 3: 18 ∙3=54. 54 на 15 не делится. Умножаем большее на 4: 18∙4=72. 72 на 15 не делится. Умножаем большее на 5: 18∙5=90. 90 на 15 делится. Значит, наименьший общий знаменатель этих дробей равен 90.
В следующий раз мы посмотрим, как это правило применять при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями.
Общий знаменатель дробей онлайн
Калькулятор приводит несколько дробей к общему знаменателю. Просто введите дроби и получите подробное решение и ответ. Можно вводить две, три дроби и более. Числители и знаменатели дробей должны быть натуральными числами.
Как привести дроби к общему знаменателю?
Чтобы выполнить с дробями такие операции, как сравнение, сложение и вычитание, дроби нужно привести к общему знаменателю.
Пример. Привести к общему знаменателю дроби 
и 
Решение. Находим наименьшее общее кратное знаменателей дробей. НОК(12, 8) = 24. Это число и будет новым знаменателем.
Чтобы знаменатели обеих дробей стали равны 24, числитель и знаменатель первой дроби нужно домножить на 2 = 24:12, а числитель и знаменатель второй дроби — на 3 = 24:8.
Приводим к общему знаменателю первую дробь:
Приводим к общему знаменателю вторую дробь:
Общий знаменатель трёх дробей
Если к общему знаменателю требуется привести три дроби и более, то алгоритм действий в таком случае аналогичен алгоритму для двух дробей.
Чтобы разобраться лучше, рассмотрим пример.
Пример. Привести к общему знаменателю три дроби 
и 
Решение. Сначала найдём наименьшее общее кратное знаменателей дробей. Число 12 делится на знаменатели всех дробей, и это наименьшее такое число. Поэтому НОК(3, 4, 6) = 12. Число 12 будет новым знаменателем.
Чтобы знаменатели дробей стали равны 12, числитель и знаменатель первой дроби нужно домножить на 4 = 12:3, числитель и знаменатель второй дроби — на 3 = 12:4, а числитель и знаменатель третьей дроби — на 2 = 12:6.
Приводим дроби к общему знаменателю и получаем:
Всё — дроби приведены! Пожалуй, самая большая сложность — правильно найти (или угадать) число, которое будет новым знаменателем.
Приведение дробей к общему знаменателю
Цель урока: закрепить основное свойство дроби, научить учащихся применять это свойство на практике приведения к общему знаменателю дробей, показать связь между приведением дробей к общему знаменателю и НОКом знаменателей дробей.
Ход урока
I. Организационный момент
II. Актуализация опорных знаний
Учитель фронтально опрашивает учащихся о основном свойстве дроби. Вспоминают понятие НОКа и способы нахождения НОКа двух чисел:
Поможет нам разобраться с этой темой основное свойство дроби, которое, напомню, звучит следующим образом:
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Так, например, по основному свойству дробь 2/3 можно привести к знаменателю 6, умножив и числитель, и знаменатель на 2. Эту дробь можно привести и к знаменателю 9, и 12, и к любому другому числу, кратному 3.
Напомним, что дроби можно приводить только к тем знаменателям, которые кратны исходным.
Ученики по очереди называют числа, к которым можно привести знаменатель дроби ¾.
Дробь ¾ можно привести к знаменателю 4, 8, 12 и к любому другому числу, кратному 4.
Учитель обращает внимание учеников, что можно обе дроби привести к знаменателю 12.
III. Изучение нового материала
Скачать видеоурок «Приведение дробей к общему знаменателю»
Говорят, можно 2/3 и ¾ можно привести к общему знаменателю.
То есть если у нас есть две дроби с разными знаменателями, мы можем сделать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.
Приведение к общему знаменателю понадобится для сложения и вычитания обыкновенных дробей. Кроме того, сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями очень просто.
Приведем к общему знаменателю дроби 11/12 и 17/18.
Сначала нам нужно найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей.
Учащиеся называют свои варианты чисел.
Таких чисел очень много: 36, 72, 108 и так далее.
Затем приводим к этому числу знаменатели обеих дробей.
То есть дроби можно привести к одинаковому знаменателю 36, 72, 108, 144 и так далее. Удобнее всего выбирать наименьший из возможных общих знаменателей, так как объем вычислений в этом случае будет минимальным.
11/12=33/36. Чтобы привести 11/12 к знаменателю 36, умножим числитель и знаменатель на 3.
Кстати, число, на которое мы умножаем числитель и знаменатель, называется «дополнительным множителем».
11/12=132/144. Чтобы привести 11/12 к знаменателю 144, умножим числитель и знаменатель на 12. А это немного сложнее, чем умножать на 3.
17/18=34/36. Чтобы привести 17/18 к знаменателю 36, умножим числитель и знаменатель на 2.
17/18=136/144. Чтобы привести 17/18 к знаменателю 144, умножим числитель и знаменатель на 8. Задумались? Поэтому не усложняйте сами себе задачу. Выбирайте наименьший общий знаменатель.
Ученики делают вывод о рациональности приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.
Для чисел 12 и 18 число 36 будет наименьшим общим кратным.
IV.Закрепление и практическое применение знаний
В математике существует много способов нахождения общего кратного чисел, а значит общего знаменателя для дробей.
Поэтому, если перед вами стоит задача приведения дробей к общему знаменателю, не торопитесь. Правильно выбранный способ может сократить ваше решение.
Приведем 7/12 и 5/48 к общему знаменателю. Вначале внимательно посмотрите на знаменатели дробей. Возможно, один из них делится на другой.
Ученики делают вывод, то знаменатель 48 делится на 12.
В этом случае дробь с большим знаменателем вообще не надо ни на что умножать. 48 и будет общим знаменателем обеих дробей. А число, полученное в результате деления 48 на 12, будет дополнительным множителем для дроби с меньшим знаменателем.
Этот прием помогает намного сократить вычисления, но, к сожалению, применяется он только в случае, когда один знаменатель делится на другой.
Существует способ, который работает для любых дробей. Суть способа заключается в нахождении наименьшего общего кратного знаменателей. Этот способ используется чаще всего.
Приведем к общему знаменателю дроби 7/410 и 5/861.
Для начала найдём НОК чисел 410 и 861.
Разложим эти числа на простые множители. На первый взгляд это может показаться сложным, но даже при минимальной тренировке вы научитесь быстро раскладывать на простые множители. Главное — помнить признаки делимости и иметь под рукой таблицу простых чисел.
Теперь записываем все множители одного из чисел, например числа 861. Потом добавляем к ним недостающие множители из разложения другого числа. В этом примере в разложении числа 410 три множителя: 2, 5 и 41. Множитель 41 уже есть в записи, а множителей 2 и 5 нет. Эти недостающие множители мы и добавим к выписанным множителям числа 861.
Наименьшее общее кратное чисел 410 и 861 равно 8610.
Теперь найдем дополнительный множитель для дроби со знаменателем 410. Для этого 8610 делим на 410. Получим 21.
Теперь найдем дополнительный множитель для дроби со знаменателем 861. Для этого 8610 делим на 861. Получим 10.
Последний этап — умножение дробей на дополнительные множители.
Если вам сложно раскладывать числа на множители, находить наименьший общий знаменатель, то следующий способ для вас.
Приведём к общему знаменателю 3/10 и 5/6.
Для этого умножаем первую дробь на знаменатель второй дроби.
А вторую — на знаменатель первой.
В результате знаменатели обеих дробей стали равными произведению исходных знаменателей.
Этот способ простой для понимания. Но приготовьтесь много считать, если используете этот способ для дробей с большими числами в числителе и знаменателе.
Учитель вместе с учениками проговаривают все возможные способы приведения, все достоинства и недостатки.
№ 275, 278, 283.
V. Подведение итогов урока. Рефлексия
Любые две дроби можно привести к одному и тому же знаменателю, или, иначе, к общему знаменателю.
Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.
VI. Домашнее задание
§2, п. 10, № 299, 300.