Что такое наименьшее общее кратное 6 класс
Наименьшее общее кратное
Для того, чтобы находить общий знаменатель при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).
Кратное числу « a » — это число, которое само делится на число « a » без остатка.
Числа кратные 8 (то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка): это числа 16, 24, 32 …
Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …
Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей этого же числа. Делителей — конечное количество.
Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело.
Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.
Как найти НОК
НОК можно найти и записать двумя способами.
Первый способ нахождения НОК
Данный способ обычно применяется для небольших чисел.
Второй способ нахождения НОК
Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.
Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.
24 = 2 · 2 · 2 · 3
НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48
Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48
Особые случаи нахождения НОК
На нашем сайте вы также можете с помощью специального калькулятора найти наименьшее общее кратное онлайн, чтобы проверить свои вычисления.
Урок 7 Бесплатно Наименьшее общее кратное
Мы узнаем, что такое кратные числа, познакомимся с историей этого понятия и научимся находить одно и то же кратное различных чисел.
Наименьшее общее кратное
Если первое натуральное число делится на второе нацело, то второе называют делителем первого числа.
Пример
1) найти 10 кратных чисел для 3 и 5
2) из них найти общие кратные
3) наименьшее общее кратное чисел 3 и 5
Решение:
1. Кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27,30.
Кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
2. Общие кратные 3 и 5: 15, 30. На самом деле общих кратных будет больше, но в нашем примере было ограничение в 10 кратных чисел.
3. Из 15 и 30 меньшим будет первое. Значит, оно и будет тем, что нам требуется.
Наименьшее натуральное число, кратное каждому из взятых в отдельности, будет наименьшим общим кратным всех взятых чисел вместе.
Наименьшее общее кратное чисел x и y обозначают НОК (x, y)
Как же можно найти этот НОК?
I способ: начинаем перебирать кратные у самого большого из взятых чисел.
НОК (12, 18)=36
II способ: расписываем числа в виде разложения на простые множители.
В этих разложениях встречаются числа 3, 5, 2, 2
Пример 1
Запишите НОК чисел a и b в виде разложения на множители, если:
Решение:
Пример 2
Найдите наименьшее общее кратное чисел:
А) 15 и 25
Б) 10 и 6
В) 100 и 84
Г) 36 и 69
Д) 74 и 12
Е) 96 и 50
Решение:
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
«Крат» в древней Руси XI века значило дословно «раз».
Получается, что «многократно» расшифровывается как «много раз».
Самим понятием кратности часто пользуются в обиходе. Например, бывают разные виды годов, которые получились при использовании нашего математического понятия. На каждые обычные три года из 365 дней приходится один, в котором 366 дней. Это связано с тем, что в таком году в феврале 29 дней, а не 28. Этот год называется високосным.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Свойства НОК
Алгоритм нахождения НОК согласно этому свойству:
Проверить, не будет ли самое большое из данных чисел делиться на другие из них.
Если делится, тогда это число будет НОК всех данных чисел.
Если не делится, то проверить, не будет ли делиться на остальные числа удвоенное большее число, утроенное и т.д.
Так проверять до тех пор, пока не найдется самое маленькое число, которое будет делиться на каждое из остальных чисел.
Например, НОК (18, 54) = 54; НОК (27, 81) = 81
Пример 1
Выясните, будут ли числа 35 и 88 взаимно простыми?
Найдите НОК чисел 35 и 88. Равно ли оно произведению 35 и 88?
Найдите НОК получившегося произведения.
Решение:
Одинаковых множителей, кроме 1, в разложениях чисел 35 и 88 не нашлось. Можно сделать вывод, что они взаимно простые.
Наименьшее общее кратное чисел 35 и 88 находится как произведение этих чисел.
Пример 2
Найдите наименьшее общее кратное чисел:
а) 45 и 135; б) 34 и 170
Равно ли оно одному из данных чисел?
Решение:
Пример 3
Вдоль дороги от пункта А поставлены столбы через каждые 75 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 30 м друг от друга. Найдите расстояние от пункта А до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого, кроме столба в точке А.
Решение:
Надо найти НОК (75; 30).
Ответ: расстояние от пункта А до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого, равно 150 м.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
По разобранным примерам видно, что в НОК не входит наибольший общий делитель чисел.
Получаем такое свойство: произведение любой пары натуральных чисел равно произведению их наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК)
Пример использования формулы:
Используем алгоритм Евклида:
Итак, можно выделить еще один, уже третий по счёту алгоритм вычисления НОК:
его можно применять для пары чисел, для которых уже найден их НОД.
Рациональнее его применять в задачах на нахождение НОД и НОК, так как тогда он даёт выигрыш во времени решения таких задач. Во всех других случаях вы потратите почти в два раз больше времени, если выберете этот алгоритм, а не предыдущие два.
Нужно найти НОД и НОК чисел 24 и 12.
Первым шагом вычислим НОД этих чисел:
Теперь для нахождения НОК чисел 24 и 12, нужно найти их произведение и полученный результат разделить на их НОД, который мы посчитали в первом шаге.
Произведение чисел 24 и 12, равно 288
288 : 12 = 24
В частном получили 24. Значит НОК чисел 24 и 12 равно 24
НОК (12; 24) = 24
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации