Что такое наименьшее общее кратное чисел в математике 6 класс виленкин

Наименьшее общее кратное

Для того, чтобы находить общий знаменатель при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).

Кратное числу « a » — это число, которое само делится на число « a » без остатка.

Числа кратные 8 (то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка): это числа 16, 24, 32 …

Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …

Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей этого же числа. Делителей — конечное количество.

Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело.

Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.

Как найти НОК

НОК можно найти и записать двумя способами.

Первый способ нахождения НОК

Данный способ обычно применяется для небольших чисел.

Второй способ нахождения НОК

Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.

Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.

24 = 2 · 2 · 2 · 3

НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48

Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48

Особые случаи нахождения НОК

На нашем сайте вы также можете с помощью специального калькулятора найти наименьшее общее кратное онлайн, чтобы проверить свои вычисления.

Источник

План урока по теме Наименьшее обще кратное математика 6 класс Виленкин по модульной технологии и ФГОС

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

План урока по теме:

«Наименьшее общее кратное»

( Урок изучения и закрепления новых ЗУН )

Дата проведения: 29.09.2017

Учитель: Кондра Сергей Анатольевич.

Образовательные: создать условия для освоения учащимися понятия «наименьшее общее кратное». Научиться находить НОК методом перебора. Освоить алгоритм нахождения НОК двух, трех чисел. Научиться применять НОК для решения задач.

Развивающие: выделять количественные характеристики объектов, заданные словами. Выбирать знаково-символические средства для построения модели. Учиться выбирать обобщенные стратегии решения задачи

Воспитательные: уметь (или развивать способность) брать на себя инициативу в организации совместного действия. Обмениваться знаниями между членами группы для принятия эффективных совместных решений.

1. Организационный момент. Подготовка учащихся к уроку.

2. Проверка Д/З. Разбор не выполненных учащимися заданий (один из учащихся выходит к доске и объясняет ход своего решения домашней работы под чутким контролем учителя. Сравнить результаты класса по заданиям, сделать вывод).

3. Повторение. Актуализация:

1) Найдите наибольший общий делитель чисел 7425 и 12375.

2) Запишите два простых числа у, которые удовлетворяют неравенству 17

3) Докажите, что 209 и 171 не взаимно простые.

4) На станции стоят три пассажирских поезда: в первом – 418 мест в купейных вагонах, во втором – 494, а в третьем – 456. Сколько купейных вагонов в каждом поезде, если в каждом вагоне одинаковое число мест и их число больше 20?

что такое делители и кратные,

что такое простые и составные числа,

что такое взаимно простые числа,

что такое НОД, этапы нахождения НОД.

4. Постановка проблемной задачи:

Из порта А в порт В одновременно вышли два теплохода. Первый из них тратит на рейс туда и обратно 3 суток, а второй 4 суток. Через сколько суток оба теплохода окажутся снова вместе в порту А?

Изучение нового материала.

1. Давайте найдем решения данной задачи

Искомое число суток должно делиться и на 3, и на 4, то есть оно должно быть общим кратным чисел 3 и 4. Запишем кратные каждого из этих чисел в порядке возрастания:

Числа, кратные 3: 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36.

Числа, кратные 4: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36, …

Общие кратные чисел 3 и 4 (они подчеркнуты): 12; 24; 36; … Наименьшее из этих чисел – число 12. Значит, через 12 суток оба теплохода окажутся снова вместе в порту А. При этом первый теплоход совершит за это время 4 рейса туда и обратно (12 : 3 = 4), а второй – 3 рейса (12 : 4 = 3).

Наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных натуральных чисел, называется наименьшим общим кратным.

2. Изучить по учебнику пункт 7 на с. 29–30.

3. Изучить правило нахождения наименьшего общего кратного для трех и более чисел.

4. Решить устно № 179 (а).

6. Подводим небольшие итоги:

1) Какое число называют наименьшим общим кратным натуральных чисел а и в?

2) Какое число является наименьшим общим кратным чисел m и n, если число m кратно числу n?

Закрепление изученного материала.

1. Решить № 180 (а; б) с комментированием.

2. Решить № 181 (а; г; е) на доске и в тетрадях.

3. Повторение изученного ранее материала:

а) Решить № 195 и № 196 с комментированием.

б) Решить № 201, используя таблицу простых чисел на форзаце учебника.

4. Решить № 179 (б) и № 180 (в) на доске и в тетрадях.

5. Решить № 181 (в) (коллективное обсуждение решения, а затем самостоятельное решение учащимися).

6. Решить задачу № 184.

45 = 3 • 3 • 5; 60 = 2 • 5 • 2 • 3

НОК (45; 60) = 2 • 5 • 2 • 3 • 3 = 180.

Какой наименьшей длины ленту должна купить Мальвина, чтобы разрезать ее на ленты по 35 см или по 50 см, не получив обрезков?

35 = 5 • 7; 50 = 2 • 5 • 5; НОК (35; 50) = 2 • 5 • 5 • 7 = 350.

Ответ: 350 см = 3 м 50 см.

8. Проверить равенство НОК (а; в) • НОД (а; в) = а • в, если а = 28, в = 21.

28 = 2 • 2 • 7; 21 = 3 • 7.

НОД (28; 21) = 7; НОК (28; 21) = 2 • 2 • 7 • 3 = 84.

а • в = 28 • 21 = 588; НОК (а; в) • НОД (а; в) = 84 • 7 = 588.

6. Подведение итогов:

— повторить правило нахождения НОК.

— найти наименьшее общее кратное чисел (устно):

а) 3 и 7; б) 8 и 6; в) 9 и 14; г) 180 и 120.

Источник

Презентация к уроку математики в 6 классе по теме «Наименьшее общее кратное»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Наименьшее общее кратное. урок математики, 6 класс, УМК Н.Я. Виленкин Автор: Лазарчук Владимир Николаевич, учитель математики и физики МБОУ СОШ № 4 н.п. Енский Ковдорского района Мурманской области

Цели Изучить определение наименьшего общего кратного натуральных чисел (НОК). Вырабатывать алгоритм нахождения НОК

1 :5 :2 :3 :10 10 300 150 50 Найдите пропущенные числа

Назовите кратные числам 10 и 15 10: 15: 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90;… 15; 30; 45; 60; 75; 90;… Назовите общие кратные чисел 10 и 15 Назовите наименьшее общее кратное чисел 10 и 15 30

Число сантиметров пути должно быть кратным и 75, и 60. 75: 60: 75; 150; 225; 300; 375; 450; 525; 600; 675;… 60; 120; 180; 240; 300; 360; 420; 480; 540;600… Назовите общие кратные чисел 75 и 60 Назовите наименьшее общее кратное чисел 75 и 60 300 Решение Выпишем числа, кратные 75 и 60.

Определение Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b, называют наименьшее натуральное число, которое кратно и а, и b. Записывают НОК(a; b) НОД(10; 15) = 30 НОД(60; 75) = 300

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо: 1) разложить их на простые множители; 2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел; 3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел; 4) найти произведение получившихся множителей.

Найдите НОД(96;120) 96 2 48 2 24 2 12 2 6 2 3 3 1 120 2 60 2 30 3 5 1 2 15 5 НОК(96; 120) = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = = 480

Пифагор (6-й век до н.э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом.

Пифагорейцы знали только три совершенных числа. Этими числами являются например, 6 и 28. 6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14; Четвёртое число – 8128 стало известно в 1 веке нашей эры.

Решите из учебника № 179, 180(а, б), 181(а, б, в, г)

Список используемых источников Математика 6 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. организаций / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Швацбуд. – 33-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2015 https://yandex.ru/images/search?img_url=http%3A%2F%2F4.bp.blogspot.com%2F-u6tx2M88i2s%2FTgh0sz-uKkI%2FAAAAAAAAAfs%2FfOBDqc_VzkQ%2Fs200%2Fmalchik.gif&_=1443799810199&text=%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B0%20%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D1%87%D0%B8%D0%BA%D0%B0%20%D1%83%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0&noreask=1&pos=15&rpt=simage&lr=2 https://yandex.ru/images/search?text=%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B0%20%D0%B4%D0%B5%D0%B2%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8%20%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D1%8F%D1%88%D0%BD%D0%B0%D1%8F&img_url=http%3A%2F%2Fuczze.simdep247.com%2Fimage%2F55d88fa89c040.jpg&pos=1&rpt=simage&_=1443800578978 https://yandex.ru/images/search?img_url=http%3A%2F%2Fsoksvet.ucoz.ru%2FFail%2Fportret%2Fpifagor.jpg&_=1444575045106&p=1&text=%D0%BF%D0%B8%D1%84%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D1%80%20%D1%84%D0%BE%D1%82%D0%BE&redircnt=1444575035.1&noreask=1&pos=46&rpt=simage&lr=2

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-423104

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Трехлетнюю олимпиаду среди школ запустят в России в 2022 году

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Более 50 российских школ перешли на дистанционку из-за коронавируса

Время чтения: 1 минута

Госдума приняла закон об использовании онлайн-ресурсов в школах

Время чтения: 2 минуты

До конца 2024 года в РФ построят около 1 300 школ

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Нахождение наименьшего общего кратного: способы, примеры нахождения НОК

Продолжим разговор о наименьшем общем кратном, который мы начали в разделе « НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры». В этой теме мы рассмотрим способы нахождения НОК для трех чисел и более, разберем вопрос о том, как найти НОК отрицательного числа.

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Мы уже установили связь наименьшего общего кратного с наибольшим общим делителем. Теперь научимся определять НОК через НОД. Сначала разберемся, как делать это для положительных чисел.

Решение

Решение

В этом примере мы использовали правило нахождения наименьшего общего кратного для целых положительных чисел a и b : если первое число делится на второе, что НОК этих чисел будет равно первому числу.

Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

Теперь давайте рассмотрим способ нахождения НОК, который основан на разложении чисел на простые множители.

Для нахождения наименьшего общего кратного нам понадобится выполнить ряд несложных действий:

Решение

Найдем все простые множители чисел, данных в условии:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Дадим еще одну формулировку метода нахождения НОК путем разложения чисел на простые множители.

Раньше мы исключали из всего количества множителей общие для обоих чисел. Теперь мы сделаем иначе:

Решение

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Независимо от того, с каким количеством чисел мы имеем дело, алгоритм наших действий всегда будет одинаковым: мы будем последовательно находить НОК двух чисел. На этот случай есть теорема.

Теперь рассмотрим, как можно применять теорему для решения конкретных задач.

Решение

Как видите, вычисления получаются несложными, но достаточно трудоемкими. Чтобы сэкономить время, можно пойти другим путем.

Предлагаем вам следующий алгоритм действий:

Решение

Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное отрицательных чисел, эти числа необходимо сначала заменить на числа с противоположным знаком, а затем провести вычисления по приведенным выше алгоритмам.

Решение

Источник

Урок 7 Бесплатно Наименьшее общее кратное

Мы узнаем, что такое кратные числа, познакомимся с историей этого понятия и научимся находить одно и то же кратное различных чисел.

Наименьшее общее кратное

Если первое натуральное число делится на второе нацело, то второе называют делителем первого числа.

Пример

1) найти 10 кратных чисел для 3 и 5

2) из них найти общие кратные

3) наименьшее общее кратное чисел 3 и 5

Решение:

1. Кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27,30.

Кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

2. Общие кратные 3 и 5: 15, 30. На самом деле общих кратных будет больше, но в нашем примере было ограничение в 10 кратных чисел.

3. Из 15 и 30 меньшим будет первое. Значит, оно и будет тем, что нам требуется.

Наименьшее натуральное число, кратное каждому из взятых в отдельности, будет наименьшим общим кратным всех взятых чисел вместе.

Наименьшее общее кратное чисел x и y обозначают НОК (x, y)

Как же можно найти этот НОК?

I способ: начинаем перебирать кратные у самого большого из взятых чисел.

НОК (12, 18)=36

II способ: расписываем числа в виде разложения на простые множители.

В этих разложениях встречаются числа 3, 5, 2, 2

Пример 1

Запишите НОК чисел a и b в виде разложения на множители, если:

Решение:

Пример 2

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

А) 15 и 25

Б) 10 и 6

В) 100 и 84

Г) 36 и 69

Д) 74 и 12

Е) 96 и 50

Решение:

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

«Крат» в древней Руси XI века значило дословно «раз».

Получается, что «многократно» расшифровывается как «много раз».

Самим понятием кратности часто пользуются в обиходе. Например, бывают разные виды годов, которые получились при использовании нашего математического понятия. На каждые обычные три года из 365 дней приходится один, в котором 366 дней. Это связано с тем, что в таком году в феврале 29 дней, а не 28. Этот год называется високосным.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Свойства НОК

Алгоритм нахождения НОК согласно этому свойству:

Проверить, не будет ли самое большое из данных чисел делиться на другие из них.

Если делится, тогда это число будет НОК всех данных чисел.

Если не делится, то проверить, не будет ли делиться на остальные числа удвоенное большее число, утроенное и т.д.

Так проверять до тех пор, пока не найдется самое маленькое число, которое будет делиться на каждое из остальных чисел.

Например, НОК (18, 54) = 54; НОК (27, 81) = 81

Пример 1

Выясните, будут ли числа 35 и 88 взаимно простыми?

Найдите НОК чисел 35 и 88. Равно ли оно произведению 35 и 88?

Найдите НОК получившегося произведения.

Решение:

Одинаковых множителей, кроме 1, в разложениях чисел 35 и 88 не нашлось. Можно сделать вывод, что они взаимно простые.

Наименьшее общее кратное чисел 35 и 88 находится как произведение этих чисел.

Пример 2

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

а) 45 и 135; б) 34 и 170

Равно ли оно одному из данных чисел?

Решение:

Пример 3

Вдоль дороги от пункта А поставлены столбы через каждые 75 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 30 м друг от друга. Найдите расстояние от пункта А до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого, кроме столба в точке А.

Решение:

Надо найти НОК (75; 30).

Ответ: расстояние от пункта А до ближайшего столба, ко­торый будет стоять на месте старого, равно 150 м.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

По разобранным примерам видно, что в НОК не входит наибольший общий делитель чисел.

Получаем такое свойство: произведение любой пары натуральных чисел равно произведению их наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК)

Пример использования формулы:

Используем алгоритм Евклида:

Итак, можно выделить еще один, уже третий по счёту алгоритм вычисления НОК:

его можно применять для пары чисел, для которых уже найден их НОД.

Рациональнее его применять в задачах на нахождение НОД и НОК, так как тогда он даёт выигрыш во времени решения таких задач. Во всех других случаях вы потратите почти в два раз больше времени, если выберете этот алгоритм, а не предыдущие два.

Нужно найти НОД и НОК чисел 24 и 12.

Первым шагом вычислим НОД этих чисел:

Теперь для нахождения НОК чисел 24 и 12, нужно найти их произведение и полученный результат разделить на их НОД, который мы посчитали в первом шаге.

Произведение чисел 24 и 12, равно 288

288 : 12 = 24

В частном получили 24. Значит НОК чисел 24 и 12 равно 24

НОК (12; 24) = 24

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник