Что такое наименьшее общее кратное чисел
Нахождение наименьшего общего кратного: способы, примеры нахождения НОК
Продолжим разговор о наименьшем общем кратном, который мы начали в разделе « НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры». В этой теме мы рассмотрим способы нахождения НОК для трех чисел и более, разберем вопрос о том, как найти НОК отрицательного числа.
Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД
Мы уже установили связь наименьшего общего кратного с наибольшим общим делителем. Теперь научимся определять НОК через НОД. Сначала разберемся, как делать это для положительных чисел.
Решение
Решение
В этом примере мы использовали правило нахождения наименьшего общего кратного для целых положительных чисел a и b : если первое число делится на второе, что НОК этих чисел будет равно первому числу.
Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители
Теперь давайте рассмотрим способ нахождения НОК, который основан на разложении чисел на простые множители.
Для нахождения наименьшего общего кратного нам понадобится выполнить ряд несложных действий:
Решение
Найдем все простые множители чисел, данных в условии:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Дадим еще одну формулировку метода нахождения НОК путем разложения чисел на простые множители.
Раньше мы исключали из всего количества множителей общие для обоих чисел. Теперь мы сделаем иначе:
Решение
Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Независимо от того, с каким количеством чисел мы имеем дело, алгоритм наших действий всегда будет одинаковым: мы будем последовательно находить НОК двух чисел. На этот случай есть теорема.
Теперь рассмотрим, как можно применять теорему для решения конкретных задач.
Решение
Как видите, вычисления получаются несложными, но достаточно трудоемкими. Чтобы сэкономить время, можно пойти другим путем.
Предлагаем вам следующий алгоритм действий:
Решение
Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел
Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное отрицательных чисел, эти числа необходимо сначала заменить на числа с противоположным знаком, а затем провести вычисления по приведенным выше алгоритмам.
Решение
Наименьшее общее кратное (НОК): определение, примеры и свойства
Приступим к изучению наименьшего общего кратного двух и более чисел. В разделе мы дадим определение термина, рассмотрим теорему, которая устанавливает связь между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем, приведем примеры решения задач.
Общие кратные – определение, примеры
В данной теме нас будет интересовать только общие кратные целых чисел, отличных от нуля.
Общее кратное целых чисел – это такое целое число, которое кратно всем данным числам. Фактически, это любое целое число, которое можно разделить на любое из данных чисел.
Определение общих кратных чисел относится к двум, трем и большему количеству целых чисел.
0 является общим кратным для любого множества целых чисел, отличных от нуля.
Для всех ли чисел можно найти НОК?
Общее кратное можно найти для любых целых чисел.
Сколько всего общих кратных могут иметь данные целые числа?
Группа целых чисел может иметь большое количество общих кратных. Фактически, их число бесконечно.
Наименьшее общее кратное (НОК) – определение, обозначение и примеры
Вспомним понятие наименьшего числа из данного множества чисел, которое мы рассматривали в разделе «Сравнение целых чисел». С учетом этого понятия сформулируем определение наименьшего общего кратного, которое имеет среди всех общих кратных наибольшее практическое значение.
Наименьшее общее кратное данных целых чисел – это наименьшее положительное общее кратное этих чисел.
Не для всех групп данных чисел наименьшее общее кратное очевидно. Часто его приходится вычислять.
Связь между НОК и НОД
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель связаны между собой. Взаимосвязь между понятиями устанавливает теорема.
Установление связи между НОК и НОД позволяет находить наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель двух и более данных чисел.
Теорема имеет два важных следствия:
Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел
Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо последовательно найти НОК двух чисел.
Доказать верность второй теоремы нам поможет первое следствие из первой теоремы, рассмотренной в данной теме. Рассуждения строятся по следующему алгоритму:
Наименьшее общее кратное
Общее кратное
Число может быть кратно не одному, а сразу нескольким числам, такое число называется общим кратным данных чисел.
Числу 3 кратны числа: 6, 9, 12, 15 и т. д.
Числу 4 кратны числа: 8, 12, 16, 20 и т. д.
Можно заметить, что одно и тоже число (12) делится нацело сразу на оба числа 3 и 4. Следовательно, число 12 есть общее кратное чисел 3 и 4.
Общее кратное чисел — это любое число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел.
Найти общее кратное нескольких натуральных чисел достаточно легко, можно просто перемножить данные числа, полученное произведение и будет их общим кратным.
Пример. Найти общее кратное для чисел 2, 3, 4, 6.
Число 144 — общее кратное чисел 2, 3, 4 и 6.
Для любого количества натуральных чисел существует бесконечно много кратных.
Пример. Для чисел 12 и 20 кратными будут числа: 60, 120, 180, 240 и т. д. Все они являются общими кратными для чисел 12 и 20.
Наименьшее общее кратное
Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел — это самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.
Пример. Наименьшим общим кратным чисел 3, 4 и 9 является число 36, никакое другое число меньше 36 не делится одновременно на 3, 4 и 9 без остатка.
Наименьшее общее кратное записывается так:
Числа в круглых скобках могут быть указаны в любом порядке.
Пример. Запишем наименьшее общее кратное чисел 3, 4 и 9:
Как найти НОК
Рассмотрим два способа нахождения наименьшего общего кратного: с помощью разложения чисел на простые множители и нахождение НОК через НОД.
С помощью разложения на простые множители
Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо разложить эти числа на простые множители, затем взять из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножить эти множители между собой.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.
Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:
Наименьшее общее кратное должно делиться на 99, значит, в его состав должны входить все множители числа 99. Далее НОК должно делиться и на 54, т. е. в его состав должны входить множители и этого числа.
Выпишем из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножим эти множители между собой. Получим следующее произведение:
Это и есть наименьшее общее кратное данных чисел. Никакое другое число меньше 594 не делится нацело на 99 и 54.
Ответ: НОК (99, 54) = 594.
Так как взаимно простые числа не имеют одинаковых простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 12 и 49.
Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:
12 = 2 · 2 · 3 = 2 2 · 3,
Применяя к этому случаю правило, мы придём к заключению, что взаимно простые числа надо просто перемножить:
2 2 · 3 · 7 2 = 12 · 49 = 980.
Ответ: НОК (12, 49) = 980.
Таким же образом надо поступать, когда нужно найти наименьшее общее кратное простых чисел.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 5, 7 и 13.
Решение: так как данные числа являются простыми, то просто перемножим их:
Ответ: НОК (5, 7, 13) = 455.
Если большее из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и будет наименьшим общим кратным данных чисел.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 24, 12 и 4.
Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:
24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2 3 · 3,
12 = 2 · 2 · 3 = 2 2 · 3,
Можно заметить, что разложение большего числа содержит все множители остальных чисел, значит большее из этих чисел делится на все остальные числа (в том числе и само на себя) и является наименьшим общим кратным:
Ответ: НОК (24, 12, 4) = 24.
Нахождение НОК через НОД
НОК двух натуральных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их НОД.
Правило в общем виде:
Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.
Теперь мы можем вычислить НОК этих чисел по формуле:
НОК (99, 54) = 99 · 54 : НОД (99, 54) = 5346 : 9 = 594.
Ответ: НОК (99, 54) = 594.
Чтобы найти НОК трёх или более чисел используется следующий порядок действий:
Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 8, 12 и 9.
Решение: сначала находим наибольший общий делитель любых двух из этих чисел, например, 12 и 8:
Вычисляем их НОК по формуле:
НОК (12, 8) = 12 · 8 : НОД (12, 8) = 96 : 4 = 24.
Теперь найдём НОК числа 24 и оставшегося числа 9. Их НОД:
Вычисляем НОК по формуле:
НОК (24, 9) = 24 · 9 : НОД (24, 9) = 216 : 3 = 72.
Ответ: НОК (8, 12, 9) = 72.
Калькулятор НОК
Математика. 5 класс
Конспект урока
Наименьшее общее кратное (НОК)
Перечень рассматриваемых вопросов:
– разложение на простые множители;
Кратное число – это число, делящееся на данное целое число без остатка.
Простое число – это такое натуральное число, которое больше 1 и делится только на 1 и само на себя.
Составные числа – это непростые натуральные числа, большие 1.
Взаимно простые числа – это числа, которые не имеют общих простых делителей
Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел m и n – это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка.
1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Ранее мы узнали, что такое кратное, ввели понятие делителя, научились находить наибольший общий делитель, а можно ли каким-либо способом найти общее кратное нескольких чисел? Оказывается, можно, этим сегодня мы и будем заниматься. Но находить не просто общее кратное нескольких чисел, а их наименьшее общее кратное – НОК.
Итак, для начала вспомним, что называется кратным. Это число, делящееся на данное натуральное число без остатка.
Теперь найдём, например, общие кратные чисел 12 и 15. Для этого выпишем все кратные чисел 12 и 15.
12 – его кратные 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, …
15 – его кратные 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, …
Из представленных чисел общие кратные – это числа 60 и 120. Меньшее из них – 60. Это и есть наименьшее общее кратное чисел.
Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел m и n – это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка.
Для нахождения наименьшего общего кратного двух чисел можно использовать несколько способов. Один из них мы рассмотрели на примере нахождения НОК 12 и 15. Этот способ заключается в том, что выписываются все кратные двух чисел и затем находится наименьший общий из них.
Узнаем ещё одно правило нахождения НОК.
Во-первых, разложим числа на простые множители. Далее подчеркнём одинаковые множители этих чисел. Затем перемножим общие множители одного из чисел и добавим произведение всех остальных множителей от каждого числа. Это и будет НОК заданных чисел.
Найдём НОК (15; 16). Разложим числа на простые множители:
Видно, что из всех множителей общий лишь единица, значит, это взаимно простые числа.
НОК взаимно простых чисел – это произведение всех их множителей или произведение этих чисел.
В данном случае НОК равен 240.
Т. е. НОК любых двух простых чисел или двух соседних натуральных чисел будет равен произведению этих чисел.
Найдём НОК (10; 100). Разложим числа на простые множители:
Выделим общие делители у этих чисел, это 2 и 5.
Умножим их, а результат умножим ещё на оставшиеся простые множители от чисел 100 и 10.
НОК (10; 100) = 2 · 5 · 2 · 5 = 100
Обратите внимание на то, что 100 делится нацело на 10, и НОК тоже равен 100. Поэтому можно сделать вывод: если одно из двух чисел делится нацело на другое, то НОК этих чисел равен большему из них.
Некоторые задачи можно решить при помощи НОК проще, чем каким-либо другим способом. Например, рассмотрим такую задачу.
Решение: чтобы решить эту задачу, нужно найти НОК (5;38).
Разложим числа на множители:
Мы видим, что НОК (5; 38) = 5 · 38 = 190 – это будет сумма покупки за шоколад.
Теперь найдём, сколько девочка купит плиток.
Для этого сумму покупки разделим на стоимость одной плитки шоколада.
190 : 38 руб. = 5 – наименьшее количество плиток шоколада, которые сможет купить девочка.
№ 1. Какую цифру нужно подставить в число НОК (7; 2_) вместо пропуска, чтобы получить НОК = 21?
Варианты ответов: 1; 2; 3.
Решение: для решения этой задачи, надо разложить на множители оба числа, при этом вместо пропуска нужно подставить по порядку все цифры. А далее найти подходящий НОК этих чисел, равный 21.
Из всех разложений на множители под НОК (7; 2_) = 21 подходит только число 21.
Ответ: искомая цифра – 1.
№ 2. Какой наименьшей длины должен быть рулон ткани, чтобы от него без остатка можно было отрезать куски по 3 м и 7 м?
Решение: чтобы решить эту задачу, нужно найти НОК заданных чисел, он и будет являться искомым ответом, т. е. наименьшей длиной рулона ткани.
Урок 7 Бесплатно Наименьшее общее кратное
Мы узнаем, что такое кратные числа, познакомимся с историей этого понятия и научимся находить одно и то же кратное различных чисел.
Наименьшее общее кратное
Если первое натуральное число делится на второе нацело, то второе называют делителем первого числа.
Пример
1) найти 10 кратных чисел для 3 и 5
2) из них найти общие кратные
3) наименьшее общее кратное чисел 3 и 5
Решение:
1. Кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27,30.
Кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
2. Общие кратные 3 и 5: 15, 30. На самом деле общих кратных будет больше, но в нашем примере было ограничение в 10 кратных чисел.
3. Из 15 и 30 меньшим будет первое. Значит, оно и будет тем, что нам требуется.
Наименьшее натуральное число, кратное каждому из взятых в отдельности, будет наименьшим общим кратным всех взятых чисел вместе.
Наименьшее общее кратное чисел x и y обозначают НОК (x, y)
Как же можно найти этот НОК?
I способ: начинаем перебирать кратные у самого большого из взятых чисел.
НОК (12, 18)=36
II способ: расписываем числа в виде разложения на простые множители.
В этих разложениях встречаются числа 3, 5, 2, 2
Пример 1
Запишите НОК чисел a и b в виде разложения на множители, если:
Решение:
Пример 2
Найдите наименьшее общее кратное чисел:
А) 15 и 25
Б) 10 и 6
В) 100 и 84
Г) 36 и 69
Д) 74 и 12
Е) 96 и 50
Решение:
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
«Крат» в древней Руси XI века значило дословно «раз».
Получается, что «многократно» расшифровывается как «много раз».
Самим понятием кратности часто пользуются в обиходе. Например, бывают разные виды годов, которые получились при использовании нашего математического понятия. На каждые обычные три года из 365 дней приходится один, в котором 366 дней. Это связано с тем, что в таком году в феврале 29 дней, а не 28. Этот год называется високосным.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Свойства НОК
Алгоритм нахождения НОК согласно этому свойству:
Проверить, не будет ли самое большое из данных чисел делиться на другие из них.
Если делится, тогда это число будет НОК всех данных чисел.
Если не делится, то проверить, не будет ли делиться на остальные числа удвоенное большее число, утроенное и т.д.
Так проверять до тех пор, пока не найдется самое маленькое число, которое будет делиться на каждое из остальных чисел.
Например, НОК (18, 54) = 54; НОК (27, 81) = 81
Пример 1
Выясните, будут ли числа 35 и 88 взаимно простыми?
Найдите НОК чисел 35 и 88. Равно ли оно произведению 35 и 88?
Найдите НОК получившегося произведения.
Решение:
Одинаковых множителей, кроме 1, в разложениях чисел 35 и 88 не нашлось. Можно сделать вывод, что они взаимно простые.
Наименьшее общее кратное чисел 35 и 88 находится как произведение этих чисел.
Пример 2
Найдите наименьшее общее кратное чисел:
а) 45 и 135; б) 34 и 170
Равно ли оно одному из данных чисел?
Решение:
Пример 3
Вдоль дороги от пункта А поставлены столбы через каждые 75 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 30 м друг от друга. Найдите расстояние от пункта А до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого, кроме столба в точке А.
Решение:
Надо найти НОК (75; 30).
Ответ: расстояние от пункта А до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого, равно 150 м.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
По разобранным примерам видно, что в НОК не входит наибольший общий делитель чисел.
Получаем такое свойство: произведение любой пары натуральных чисел равно произведению их наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК)
Пример использования формулы:
Используем алгоритм Евклида:
Итак, можно выделить еще один, уже третий по счёту алгоритм вычисления НОК:
его можно применять для пары чисел, для которых уже найден их НОД.
Рациональнее его применять в задачах на нахождение НОД и НОК, так как тогда он даёт выигрыш во времени решения таких задач. Во всех других случаях вы потратите почти в два раз больше времени, если выберете этот алгоритм, а не предыдущие два.
Нужно найти НОД и НОК чисел 24 и 12.
Первым шагом вычислим НОД этих чисел:
Теперь для нахождения НОК чисел 24 и 12, нужно найти их произведение и полученный результат разделить на их НОД, который мы посчитали в первом шаге.
Произведение чисел 24 и 12, равно 288
288 : 12 = 24
В частном получили 24. Значит НОК чисел 24 и 12 равно 24
НОК (12; 24) = 24
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации