Что такое натуральное число 5 класс определение

Натуральные числа и нуль

Видеоурок по этой теме можно посмотреть по ссылке: Натуральные числа и ноль.

Пройти тест по теме «Натуральные числа и действия над ними» можно по ссылке. Проверьте свои знания!

Нас повсюду окружают предметы. Так было раньше, и так будет всегда. И очень часто необходимо знать, сколько у нас или где-то еще есть тех или иных предметов: яблок, машин, людей, денег и т.д.

Еще в очень глубокой древности, когда не было не только науки математики, но и даже такого понятия как число, древние люди проводили подсчет при помощи наиболее близких для них инструментов – собственных частей тела: «Там столько буйволов, сколько на моих руках пальцев», или: «Мы поймали рыбы столько, сколько пальцев на руках у меня и тебя».

Со временем они заметили, что десять буйволов, десять рыб, десять врагов и т.д. объединяет то, что рассказывая об этом, люди употребляют одинаковое описание: «сколько на моих руках пальцев». То есть, они обнаружили, что группы разных предметов обладают одним схожим свойством – количеством, и что удобнее назвать одинаковое количество чего-либо обобщенным названием, которое будет определять эту величину. И вместо: «Мы поймали столько рыбы, сколько пальцев на моих руках» люди начали говорить: «Мы поймали десять рыб». Так появились числа, которые впоследствии были названы натуральными. Подробнее об истории возникновения чисел можно почитать по ссылке.

Натуральные числа – это те числа, при помощи которых мы осуществляем счет предметов: 1, 2, 3, 4, 5 и т.д

Число 1 (один) имеет еще одно название: единица.

Если к единице приложить еще единицу, к получившемуся результату еще одну, потом еще, и еще и т.д., то мы получим ряд натуральных чисел или просто натуральный ряд: один, два, три, четыре, пять и т.д.

Любое натуральное число можно представить в виде единицы или собрания нескольких единиц.

Начинается натуральный ряд чисел с единицы, то есть, с числа 1 (один).

Каждое последующее число ряда отличается от предыдущего на единицу.

Любое натуральное число больше нуля.

Нуль не относится к натуральному ряду чисел. В некоторых англоязычных странах его включают в этот ряд, но в отечественной математике принято по-другому. Действительно, нуль означает отсутствие чего-либо, «ни одной единицы», «ни одного», «ничего». А поскольку ряд натуральных чисел состоит из единицы и совокупности сложений единиц, то число «ни одной единицы» не может находиться в этом ряду.

Нуль обладает такими свойствами:

Источник

Натуральные числа: что такое натуральное число в математике

Содержание:

В математике существует несколько видов чисел. Одними из самых известных и широко применяемых как профессиональными математиками, так и обычными людьми являются натуральные.

Определение

Натуральные числа – это те, которые принято использовать при обычном подсчете каких-либо материальных предметов, событий и вообще всего, что может быть воспринято органами чувств человека. С этим понятием мы сталкиваемся с детства, потому что этот вид чисел наиболее широко используется в обычной жизни. Люди не обращают внимание на то, как часто им приходится использовать натуральный ряд. Вот наглядный пример. Вряд ли кто задает себе вопрос: что такое натуральное число в математике, глядя на обычные часы, по которым мы определяем какое количество часов и минут прошло с момента начала текущих суток. Основная задача, которую выполняют такие числа, заключается в указании количества чего-либо.

Ряд натуральных чисел

Теперь, когда мы усвоили, что значит натуральное число, поговорим о конкретных примерах. Натуральный ряд начинается с числа 1, а для его обозначения используется буква N. Сам ряд представляет собой числовую последовательность, в которой каждое следующее число больше предыдущего на одну единицу.

Другими словами, натуральные числа — это хорошо знакомая нам последовательность. И какие числа в нее входят понять несложно, вот примеры таких чисел:

2, 31, 55, 74, 153, 1507.

А вот ряд, который образуют числа от 1 до 9:

Поговорим про ноль

Относится ли 0 к натуральным числам? Прежде чем ответить на этот вопрос, вернемся к началу нашего изложения и вспомним, что значит натуральное число в математике. При обычном подсчете число 0 не применяют. Ведь он означает отсутствие чего-либо. Когда приходится констатировать факт, что мы чего-то не обнаружили, то никогда не употребляем словосочетания типа: 0 автомобилей или 0 бутылок. Вместо этого более привычной будет следующая фраза: «нет ни одной бутылки». Исходя из этого ответ на вопрос: входит ли 0 в натуральные числа, отпадает сам по себе. Однозначно, таковым его называть нельзя.

О самом большом числе

Как долго продолжается натуральный ряд? Числа в нем могут быть как одно- и двухзначными, так и трех-, четырехзначными и больше. Поэтому самое большое натуральное число в математике отсутствует, а ряд считают бесконечным.

Натуральные числа с нолями

С одной стороны, мы выяснили, что 0 не относится к натуральным числам. Но вполне естественно выглядит вопрос: 10 – натуральное число или нет? Безусловно, это число и любое другое с неограниченным количеством нолей относят к этому виду, потому что они могут применяться при подсчете или перечислении.

Действия, которые могут выполняться над натуральными числами

Над натуральными числами можно выполнять различные математические операции.

Также существует степень натурального числа, а запись выглядит следующим образом: ab, где: а – основание степени, а b – показатель. Например, 3 2 = 9.

Разряды и натуральные числа

Разрядом называют место нахождения цифры в числе. Каждый разряд называется индивидуально, они располагаются по старшинству – справа налево и от младшего к старшему. Количество цифр числа совпадает с количеством разрядов.

Самым низшим из разрядов являются единицы, а самый старший всегда соответствует крайней левой цифре.

Например, число 5 469 содержит четыре разряда:

Более высокие разряды называют:

Разряды объединяют в классы, каждый из которых включает три разряда:

Между классами для удобства чтения принято делать пробел.

Что такое натуральные значения в математике? Это любые значения, выраженные с использованием чисел натурального ряда. Еще один пример: 184 345 567 100 – в этом числе четыре класса: единицы, тысячи, миллионы и миллиарды.

Источник

Натуральные числа

Натуральные числа — одно из старейших математических понятий.

В далёком прошлом люди не знали чисел и, когда им требовалось пересчитать предметы (животных, рыбу и т.д.), они делали это не так, как мы сейчас.

Количество предметов сравнивали с частями тела, например, с пальцами на руке и говорили: «У меня столько же орехов, сколько пальцев на руке».

Со временем люди поняли, что пять орехов, пять коз и пять зайцев обладают общим свойством — их количество равно пяти.

Наибольшего натурального числа не существует.

При счёте число ноль не используется. Поэтому ноль не считается натуральным числом.

Затем появились и особые знаки для обозначения чисел — предшественники современных цифр. Цифры, которыми мы пользуемся для записи чисел, родились в Индии примерно 1 500 лет назад. В Европу их привезли арабы, поэтому их называют арабскими цифрами.

Натуральный ряд — это последовательность всех натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Натуральный ряд бесконечен, наибольшего натурального числа в нём не существует.

Десятичной потому, что 10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной потому, что значение цифры зависит от её места в записи числа, то есть от разряда, в котором она записана.

Разряды и классы (включая класс миллионов) подробно разобраны на нашем сайте в материалах для начальной школы.

Класс миллиардов

Если взять десять сотен миллионов, то получим новую разрядную единицу — один миллиард или в записи цифрами.

1 000 миллионов = 1 000 000 000 = 1 млрд

Десять таких единиц — десять миллиардов, десять десятков миллиардов образуют следующую единицу — сто миллиардов.

Миллиарды, десятки миллиардов и сотни миллиардов образуют четвёртый класс — класс миллиардов.

Разряды и классы натурального числа

Рассмотрим натуральное число 783 502 197 048

C помощью таблицы разрядов прочитаем это число. Для этого надо слева направо по очереди называть количество единиц каждого класса и добавлять название класса.

Название класса единиц не произносят, также не произносят название класса, если все три цифры в его разрядах — нули.

Любое натуральное число можно записать в виде разрядных слагаемых.

Числа 1, 10, 100, 1000 … называются разрядными единицами. С их помощью натуральное число записывается в виде разрядных слагаемых. Так, например, число 307 898 будет выглядеть в виде разрядных слагаемых.

307 898 = 300 000 + 7 000 + 800 + 90 + 8

Проверить свои вычисления вы можете с помощью нашего калькулятора разложения числа на разряды онлайн.

Следующие за миллиардом классы названы в соответствии с латинскими наименованиями чисел. Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих.

Все числа пересчитать невозможно, поскольку за каждым числом следует число на единицу большее, но очень большие числа в повседневной жизни не нужны.

Однако, физики нашли число, которое превосходит количество всех атомов (мельчайших частиц вещества) во всей Вселенной.

Это число получило специальное название — гугол. Гугол — число, у которого 100 нулей.

Источник

Урок 1 Бесплатно Обозначение натуральных чисел

Сегодня мы познакомимся с понятием натурального числа, узнаем, что это такое, какие существуют действия с ним. Ответим на вопросы: является ли нуль натуральным числом и каково самое маленькое натуральное число.

Определение натурального числа

Определение: натуральными числами называются числа, которые используются при счете или для указания порядкового номера предмета среди однородных предметов.

Такими числами являются 1, 2, 3 и так далее до бесконечности.

Для каждого числа мы можем взять следующее число, большее его на 1

Важно знать, что 0 не является натуральным числом.

Это может казаться немного не интуитивно, ведь 0 предметов это довольно распространённая ситуация. Вещей, которых у нас 0, многократно больше, чем любых других.

Но это отсутствие предметов, а не сколько-то пересчитанных предметов, которых оказалось 0

Также можно пользоваться такой логикой: мы начинаем считать предметы с единицы: один, два, три и так далее.

В этом случае, начав с единицы и каждый раз увеличивая число на единицу, к нулю мы не придем.

Так как мы уже сказали, что начинаем с единицы, отметим отдельно, что 1 является самым маленьким натуральным числом.

Каждое натуральное число, кроме единицы, больше предыдущего натурального числа, причем больше на единицу.

Таким образом 2 больше 1, причем на 1

Аналогично, 357 больше 356, причем на 1

Также мы можем понять, что если 4 больше 3-х на 1 и 3 больше 2-х на 1, то 4 больше 2-х на 2, это вполне интуитивно.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Натуральные числа

Натура́льные чи́сла — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

Отрицательные и нецелые числа — натуральными числами не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком .

Существует бесконечное множество натуральных чисел — для любого натурального числа найдется другое натуральное число, большее его.

Содержание

Определение

Аксиомы Пеано

Теоретико-множественное определение

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:

Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают 0, 1, 2, ….

Замечание

В русской литературе обычно ноль исключен из числа натуральных чисел , а множество натуральных чисел с нулем обозначается как .

Если в определение натуральных чисел включен ноль, то множество натуральных чисел записывается как , а без нуля как .

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет).

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Теоретико-множественные определения

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Будем обозначать класс эквивалентности множества A относительно биекций как [A]. Тогда основные арифметические операции определяются следующим образом:

где — дизъюнктное объединение множеств, — прямое произведение, A B — множество отображений из B в A. Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

Основные свойства

Алгебраическая структура

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел и рациональных положительных чисел соответсвенно.

Источник