Что такое натуральный ряд чисел в математике 5 класс
Числа. Натуральные числа.
Простейшее число — это натуральное число. Их используют в повседневной жизни для подсчета предметов, т.е. для вычисления их количества и порядка.
Что такое натуральное число: натуральными числами называют числа, которые используются для подсчета предметов либо для указывания порядкового номера любого предмета из всех однородных предметов.
В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на единицу.
Сколько чисел в натуральном ряду? Натуральный ряд бесконечен, самого большого натурального числа не существует.
Десятичной так как 10 единиц всякого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной так как значение цифры зависит от её места в числе, т.е. от разряда, где она записана.
Для подсчета времени в градусной мере углов существует шестидесятеричная система счисления (основа число 60). В 1 часе — 60 минут, в 1 минуте — 60 секунд; в 1 угловом градусе — 60 минут, в 1 угловой минуте — 60 секунд.
Всякое натуральное число легко записать в виде разрядных слагаемых.
Числа 1, 10, 100, 1000. – это разрядные единицы. При их помощи натуральные числа записывают как разрядные слагаемые. Таким образом, число 307 898 в виде разрядных слагаемых записывается так:
307 898 = 300 000 + 7 000 + 800 + 90 + 8
Обозначение натуральных чисел: Множество натуральных чисел обозначают символом N.
Классы натуральных чисел.
Всякое натуральное число возможно написать при помощи 10-ти арабских цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Сравнение натуральных чисел.
Таблица разрядов и классов чисел.
1-й разряд единицы тысяч
2-й разряд десятки тысяч
3-й разряд сотни тысяч
1-й разряд единицы миллионов
2-й разряд десятки миллионов
3-й разряд сотни миллионов
4-й класс миллиарды
1-й разряд единицы миллиардов
2-й разряд десятки миллиардов
3-й разряд сотни миллиардов
Числа от 5-го класса и выше относятся к большим числам. Единицы 5-го класса — триллионы, 6-го класса — квадриллионы, 7-го класса — квинтиллионы, 8-го класса — секстиллионы, 9-го класса — ептиллионы.
Основные свойства натуральных чисел.
Действия над натуральными числами.
1. Сложение натуральных чисел результат: сумма натуральных чисел.
Формулы для сложения:
В основном, сложение натуральных чисел выполняется « столбиком ».
2. Вычитание натуральных чисел – операция, обратная сложению: разница натуральных чисел.
Формулы для вычитания:
Вычитание натуральных чисел удобно производить « столбиком ».
3. Умножение натуральных чисел : произведение натуральных чисел.
Формулы для умножения:
(а + b) ∙ с= а ∙ с + b ∙ с
(а – b) ∙ с = а ∙ с – b ∙ с
4. Деление натуральных чисел – операция, обратная операции умножения.
Формулы для деления:
Числовые выражения и числовые равенства.
Запись, где числа соединяются знаками действий, является числовым выражением.
Записи, где знаком равенства объединены 2 числовых выражения, является числовыми равенствами. У равенства есть левая и правая части.
Порядок выполнения арифметических действий.
Когда числовое выражение состоит из действий только одной степени, то их выполняют последовательно слева направо.
Когда в выражении есть скобки – сначала выполняют действия в скобках.
Например, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.
Понятие о натуральном числе
Натуральные числа и десятичная запись числа
Чтобы сосчитать некоторое количество предметов, используются числа, которые называют натуральными.
С помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 можно записать любое натуральное число. (подобным образом мы используем буквы алфавита, чтобы записать слова)
Такую запись числа называют десятичной ‒ десять единиц каждого разряда составляют одну единицу следующего старшего разряда.
Натуральный ряд
Если натуральные числа записать в порядке возрастания, то получится ряд натуральных чисел ‒ натуральный ряд.
Каждое число в этом ряду меньше последующего на единицу. Наименьшее число среди натуральных чисел — это 1, а наибольшего числа нет.
Многозначные числа
Натуральное число называют однозначным, если его запись состоит из одного знака — одной цифры.
Например, числа 3, 7, 9 — однозначные.
Если запись числа состоит из двух знаков — двух цифр, то его называют двузначным.
Например, числа 25, 44, 65, 80 — двузначные.
Числа 100, 543, 888 — трёхзначные:
Числа 2000, 6791, 1060 — четырёхзначные и т. д.
Двузначные, трехзначные, четырёхзначные, пятизначные и т. д. — это многозначные числа.
Классы и разряды
Прочитать записи однозначных, двузначных и трехзначных чисел (например: 7, 54, 976) затруднений не вызывает.
Чтобы прочесть многозначное натуральное число, его необходимо разбить справа налево на группы по три цифры в каждой. Крайняя левая группа может состоять из одной или двух цифр.
Эти группы называют классами.
Три первые цифры справа ‒ это класс единиц, три следующие — класс тысяч, затем класс миллионов, класс миллиардов и т. д.
Место, занимаемое цифрой в записи числа, называют разрядом.
Если считать справа налево, то первое место в записи числа называют разрядом единиц, второе — разрядом десятков, третье — разрядом сотен и т. д.
Например, в числе 5034 имеем 4 единицы разряда единиц, 3 единицы разряда десятков, 0 единиц разряда сотен и 5 единиц разряда тысяч.
Можно также сказать, что в классе единиц 34 единицы.
Названия некоторых больших чисел
1 тысяча (1 тыс.) – 1 000 (тысяча)
1 миллион (1 млн) – 1 000 000 (тысяча тысяч)
1 миллиард (1 млрд) – 1 000 000 000 (тысяча миллионов)
1 триллион (1 трлн) – 1 000 000 000 000 (тысяча миллиардов)
Рассмотрим число 6 000 126 754.
Его читают: 6 миллиардов 126 тысяч семьсот пятьдесят четыре.
В классе миллионов во всех разрядах стоят нули. Поэтому при чтении числа 6 000 126 754 не произносят название этого класса.
Примеры прочтения чисел:
а) Число 200 700 читается так: двести тысяч семьсот;
б) Число 6 000 008 читается так: шесть миллионов восемь;
в) Число 14 000 002 000 читается так: четырнадцать миллиардов две тысячи.
Значение цифры в записи числа
Значение цифры зависит от её позиции (места) в записи числа.
Например, в записи числа 56 978 цифра 8 означает 8 единиц, так как она стоит на последнем месте в записи числа (в разряде единиц);
В записи числа 42 389 цифра 8 означает 8 десятков, так как она стоит на предпоследнем месте в записи числа (в разряде десятков);
В записи числа 5 300 847 цифра 8 означает 8 сотен, так как она стоит на третьем месте от конца в записи числа (в разряде сотен).
Число 0 и цифра 0
Число 0 натуральным не является.
Цифра 0 означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа. Она служит и для обозначения числа «нуль» (что означает ‒ «ни одного»).
(Например, счёт 1 : 0 хоккейного матча говорит о том, что вторая команда не забила ни одной шайбы в ворота противника.)
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Натуральные числа
Определение натурального числа
Натуральные числа — это числа, которые мы используем для подсчета чего-то конкретного, осязаемого.
Вот какие числа называют натуральными: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 и т. д.
Натуральный ряд — последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания. Первые сто можно посмотреть в таблице.
Какие операции возможны над натуральными числами
Записывайтесь на курсы обучения математике для учеников с 1 по 11 классы!
Десятичная запись натурального числа
В школе мы проходим тему натуральных чисел в 5 классе, но на самом деле многое нам может быть интуитивно понятно и раньше. Проговорим важные правила.
Мы регулярно используем цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При записи любого натурального числа можно использовать только эти цифры без каких-либо других символов. Записываем цифры одну за другой в строчку слева направо, используем одну высоту.
Примеры правильной записи натуральных чисел: 208, 567, 24, 1 467, 899 112. Эти примеры показывают нам, что последовательность цифр может быть разной и некоторые даже могут повторяться.
077, 0, 004, 0931 — это примеры неправильной записи натуральных чисел, потому что ноль расположен слева. Число не может начинаться с нуля. Это и есть десятичная запись натурального числа.
Количественный смысл натуральных чисел
Натуральные числа несут в себе количественный смысл, то есть выступают в качестве инструмента для нумерации.
Представим, что перед нами банан 🍌. Мы можем записать, что видим 1 банан. При этом натуральное число 1 читается как «один» или «единица».
Но термин «единица» имеет еще одно значение: то, что можно рассмотреть, как единое целое. Элемент множества можно обозначить единицей. Например, любое дерево из множества деревьев — единица, любой листок из множества листков — единица.
Представим, что перед нами 2 банана 🍌🍌. Натуральное число 2 читается как «два». Далее, по аналогии:
| 🍌🍌🍌 | 3 предмета («три») |
| 🍌🍌🍌🍌 | 4 предмета («четыре») |
| 🍌🍌🍌🍌🍌 | 5 предметов («пять») |
| 🍌🍌🍌🍌🍌🍌 | 6 предметов («шесть») |
| 🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌 | 7 предметов («семь») |
| 🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌 | 8 предметов («восемь») |
| 🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌 | 9 предметов («девять») |
Основная функция натурального числа — указать количество предметов.
Если запись числа совпадает с цифрой 0, то его называют «ноль». Напомним, что ноль — не натуральное число, но он может обозначать отсутствие. Ноль предметов значит — ни одного.
Однозначные, двузначные и трехзначные натуральные числа
Однозначное натуральное число — это такое число, в составе которого один знак, одна цифра. Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Двузначные натуральные числа — те, в составе которых два знака, две цифры. Цифры могут повторяться или быть различными. Например: 88, 53, 70.
Если множество предметов состоит из девяти и еще одного, значит, речь идет об 1 десятке («один десяток») предметов. Если один десяток и еще один, значит, перед нами 2 десятка («два десятка») и так далее.
По сути, двузначное число — это набор однозначных чисел, где одно записывается справа, а другое слева. Число слева показывает количество десятков в составе натурального числа, а число справа — количество единиц. Всего двузначных натуральных чисел — 90.
Трехзначные натуральные числа — числа, в составе которых три знака, три цифры. Например: 666, 389, 702.
Одна сотня — это множество, состоящее из десяти десятков. Сотня и еще одна сотня — 2 сотни. Прибавим еще одну сотню — 3 сотни.
Вот как происходит запись трехзначного числа: натуральные числа записываются одно за другим слева направо.
Крайнее правое однозначное число указывает на количество единиц, следующее — на количество десятков, крайнее левое — на количество сотен. Цифра 0 показывает отсутствие единиц или десятков. Поэтому 506 — это 5 сотен, 0 десятков и 6 единиц.
Точно так же определяются четырехзначные, пятизначные, шестизначные и другие натуральные числа.
Многозначные натуральные числа
Многозначные натуральные числа состоят из двух и более знаков.
1 000 — это множество с десятью сотнями, 1 000 000 состоит из тысячи тысяч, а один миллиард — это тысяча миллионов. Тысяча миллионов, только представьте! То есть мы можем рассмотреть любое многозначное натуральное число как набор однозначных натуральных чисел.
Например, 2 873 206 содержит в себе: 6 единиц, 0 десятков, 2 сотни, 3 тысячи, 7 десятков тысяч, 8 сотен тысяч и 2 миллиона.
Сколько всего натуральных чисел?
Однозначных 9, двузначных 90, трехзначных 900 и т.д.
Свойства натуральных чисел
Об особенностях натуральных чисел мы уже знаем. А теперь подробно расскажем про их свойства:
| множество натуральных чисел | бесконечно и начинается с единицы (1) |
| за каждым натуральным числом следует другое | оно больше предыдущего на 1 |
| результат деления натурального числа на единицу (1) | само натуральное число: 5 : 1 = 5 |
| результат деления натурального числа самого на себя | единица (1): 6 : 6 = 1 |
| переместительный закон сложения | от перестановки мест слагаемых сумма не меняется: 4 + 3 = 3 + 4 |
| сочетательный закон сложения | результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) |
| переместительный закон умножения | от перестановки мест множителей произведение не изменится: 4 × 5 = 5 × 4 |
| сочетательный закон умножения | результат произведения множителей не зависит от порядка действий; можно хоть так, хоть эдак: (6 × 7) × 8 = 6 × (7 × 8) |
| распределительный закон умножения относительно сложения | чтобы умножить сумму на число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить: 4 × (5 + 6) = 4 × 5 + 4 × 6 |
| распределительный закон умножения относительно вычитания | чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе: 3 × (4 − 5) = 3 × 4 − 3 × 5 |
| распределительный закон деления относительно сложения | чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты: (9 + 8) : 3 = 9 : 3 + 8 : 3 |
| распределительный закон деления относительно вычитания | чтобы разделить разность на число, можно разделить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе: (5 − 3) : 2 = 5 : 2 − 3 : 2 |
Разряды натурального числа и значение разряда
Напомним, что от позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Так, например, 1 123 содержит в себе: 3 единицы, 2 десятка, 1 сотню, 1 тысячу. При этом можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен и 1 служит значением разряда тысяч.
Разряд — это позиция, место расположения цифры в записи натурального числа.
У каждого разряда есть свое название. Слева всегда располагаются старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.
Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.
Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.
Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.
Вы наверняка заметили, что в учебниках часто ставят небольшие пробелы при записи многозначных чисел. Так делают, чтобы натуральные числа было удобно читать. А еще — чтобы визуально разделить разные классы чисел.
Класс — это группа разрядов, которая содержит в себе три разряда: единицы, десятки и сотни.
Десятичная система счисления
Люди в разные времена использовали разные методы записи чисел. И каждая система счисления имеет свои правила и особенности.
Десятичная система счисления — самая распространенная система счисления, в которой для записи чисел используют десять знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
В десятичной системе значение одной и той же цифры зависит от ее позиции в записи числа. Например, число 555 состоит из трех одинаковых цифр. В этом числе первая слева цифра означает пять сотен, вторая — пять десятков, а третья — пять единиц. Так как значение цифры зависит от ее позиции, десятичную систему счисления называют позиционной.
Вопрос для самопроверки
Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с координатами:
Ряд натуральных чисел. 5-й класс
Разделы: Математика
Класс: 5
Цели:
Тип урока: изучение нового материала.
Ход урока
1. Организационный момент. Приветствие учеников.
2. Мотивация урока.
Кто сказал, что математика скучна,
Что она сложна, суха, тосклива?
В этом вы не правы, господа,
Знайте: математика – красива!
Вам приятно жить в опрятном доме,
Где у каждой вещи место есть?
Математика создать порядок может,
И за это ей хвала и честь!
Сколько в ней самой изящных линий,
Мощных формул, строгих теорем,
Тот не назовет её красивой,
Кто с наукой не знаком совсем!
Математика – самая древняя из наук, она была и остается необходимой людям. Слово «математика» греческого происхождения. Оно обозначает «наука», «размышление». Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит. М.В. Ломоносов.
Число- одно из самых основных понятий математики. Оно разрешает выражать результаты счета или измерений. Сколько карандашей в пенале? Сколько листов в тетради? Чтобы ответить на эти вопросы необходимо уметь считать, а сделать это можно только при помощи чисел. Сегодня мы и поговорим о натуральных числах, которые используются при счете.
3. Актуализация опорных знаний.
«Мозговая атака»
Как-то ученые обнаружили в Африке древнее племя, у которых самое большое число называлось вот так «поэттаррароринкоароак». Как вы думаете, что это было за число? Три! Как хорошо, что мы с вами знаем гораздо больше чисел и все они имеют более простое название!
4. Изучение нового материала
— Сколько цветов в радуги?
— Сколько предметов ты будешь изучать в этом учебном году?
1. Наименьшим натуральным числом является 1.
2. Наибольшего натурального числа не существует.
3. Все натуральные числа, записанные в порядке роста, образуют ряд натуральных чисел.
Они могли представить себе такие числа как один, два, три. Все другие числа они означали понятием «Много». Именно так считают и сейчас некоторые племена, живущие в джунглях Южной Америки.
Перуанские инки вели счет животных и урожая, завязывая узелки на ремешках или шнурках разной длины и цвета (Рис. 1). Эти узелки назывались кипу. У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают 4 узелочка шнурочке! Поэтому того, кто завязывал узелки, называли вспоминателем.
Первыми придумали запись чисел древние шумеры. Они пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная чёрточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих чёрточек – десять. Эти чёрточки у них получались в виде клиньев, потому что они писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали. Вот так выглядели эти дощечки
После счета по зарубкам люди изобрели особые символы, названные цифрами. Они стали применяться для обозначения различных количеств каких-либо предметов. Разные цивилизации создавали свои собственные цифры.
Так, например, в древней египетской нумерации, зародившейся более 5000 лет назад, существовали особые знаки (иероглифы) для записи чисел 1, 10, 100, 1000, …
Для обозначения больших чисел славяне придумали свой оригинальный способ: Десять тысяч – тьма,десять тем – легион,десять легионов – леорд, десять леордов – ворон,десять воронов – колода.
Такой способ обозначения чисел по сравнению с принятой в Европе десятичной системой был очень неудобен. Поэтому Пётр I ввёл в России привычные для нас десять цифр, отменив буквенную цифирь.
Вот до какого огромного числа простирается натуральный ряд. Но и это число не последнее. За ним еще числа, числа, числа, числа… до бесконечности. Если натуральный ряд чисел кажется вам скучным и однообразным, всмотритесь в него повнимательнее, и вы найдете много удивительного и неожиданного.
Например, обыкновенное число 37. А теперь умножьте его на три, потом на шесть и так далее… На этом чудеса числа 37 не кончаются. Возьмем любое трехзначное число, которое делится на 37. Пусть это будет 185. И сделаем в нем круговую перестановку – последнюю цифру поставим на первое место, не изменив порядка остальных. Получим 518. Сделаем еще одну перестановку. Получим 851. Оба эти числа также делятся на 37. Вот вам и диковинка!
— Какие операции над числами мы выполняли?
— Какие операции мы учились выполнять с многозначными числами на уроках?
— Правила действия с многозначными числами.
Устный счет. 1-6 стр.6
«Назови элементы» №11
слагаемое +слагаемое = сумма
уменьшаемое – вычитаемое = разность
множитель х множитель = произведение
делимое : делитель = частное
5. Повторение и систематизация знаний по теме.
Запишите цифрами числа:
6. Закрепление нового материала.
1. Приведите примеры использования натуральных чисел для счета:
а) одушевленных предметов;
б) неодушевленных предметов.
2. Приведите примеры использования натуральных чисел для измерения:
а) массы; б) расстояния; в) времени.
3. С помощью учебного пособия назовите пропущенные в тексте натуральные числа:
а) «В учебнике по математике для 5 класса __ страниц, __ глав, __ пунктов»;
4. Назовите числа, которые не являются натуральными.
5. Продолжите счет до пятого числа: 815, 816, …
6. Продолжите счет до пятого числа: сто первый, сто второй, …
7. Назовите порядковый номер:
а) буквы «Е» в русском алфавите,
б) буквы «Е» в записи слова «МАТЕМАТИКА»,
в) месяца «СЕНТЯБРЬ» в последовательности месяцев календарного года,
г) своей фамилии в списке учащихся в классном журнале.
8. Какое число в натуральном ряду идет за числом 78?
9. Какое число в натуральном ряду предшествует числу 45?
10. Сколько чисел стоит в натуральном ряду между числами 5 и 54?
7. Физкультминутка.
Руки подняли и покачали –
Это деревья в лесу.
Руки согнули, кисти встряхнули—
Ветер сбивает росу.
В сторону руки, плавно помашем—
Это к нам птицы летят.
Как они тихо садятся, покажем—
Крылья сложим назад.
8. Самостоятельная работа.*
9. Логическая пауза. Задачи-шутки.
10. Итог урока. Рефлексия. Д/з.
— Что повторили на уроке?
— Какое задание было интересно выполнять?
— Какое задание вызвало затруднение?
Ответьте на вопросы:
Д/з: выучить определение, вопросы с.6, решить № С.7 №13 (1,2), С.8 №16.
Карточки
Тв.задание: Найти значение слова «математика», интересные факты.
Учебному году положили начало,
Желанье учить и учиться совпало.
Пусть радостным будет учение ваше,
И знаний полученных полная чаша.