Что такое нечисловые множества

для которых определены бинарные операции плюс+ и умножить, задающие правило конструирования нового объекта по паре заданных. В множестве есть элементы единица (e) и ноль (n), такие, что для любого элемента множества A верно A+n=A и Ae=A A*n=n. Не определены ли на этом известном вам множестве объектов алгоритмически невычислимые уравнения? Пост Скритум. С праздниками, господа математики!

задан 9 Янв ’13 13:12

asianirish
154 ● 4 ● 11
100&#037 принятых

2 ответа

Мне кажется, он имеет в виду множество объектов, которые не являются числами. Я могу предложить следующий вариант:

Множество всех полных графов, дополненное вполне несвязным графом, а операции конструируют объект этого множества, применяя соответствующие операции относительно мощности множества вершин этого графа.

Правда, это множество изоморфно натуральным числам, дополненным нулём.

отвечен 9 Янв ’13 19:08

Набор таких объектов можно рассматривать как множество подмножеств с операциями объединения и пересечения,эта структура не является группой.

Jперации конструируют объект этого множества, применяя соответствующие операции относительно мощности множества вершин этого графа.

То есть Ваше множество изоморфно множеству натуральных чисел? Тогда с точки зрения математики это и есть числа.

Это так, но зачем такие навороты в условии задачи?

Не знаю. Я же сказал, что вопрос очень нечетко сформулирован.

Источник

ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

Множество состоит из элементов.

Множество (А)будем считать заданным, если о любом элементе известно, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.

Множество будем называть пустым, если элемент ему не принадлежит.

Суммой (объединением) двух множеств Аи Вбудемназывать множествоС,каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из слагаемых:

.

Произведением (пересечением) двух множеств Аи Вбудем называть такое множество С, каждый элемент которого принадлежит одновременно двум сомножителям:

.

Разностью двух множеств А иВ будем называть такое множествоС, каждый элемент которого принадлежит уменьшаемому, но не принадлежит вычитаемому:

.

.

Декартовым произведением двух множеств Аи Вбудем называть множество С, состоящее из упорядоченных пар элементов данных множеств:

.

Числовым множеством будем называть множество, все элементы которого являются числами.

1.1 Множество натуральных чисел

.

Пусть .

При делении p на qможет произойти одно из двух:

— число p делится на число qбез остатка, тогда запишем так: ;

— при делении числа p на число q получается частное s и в остатке r,

тогда запишем так: .

.

Например, НОД(30, 42) = 6.

ЕслиНОД (p, q) = 1, то будем говорить, что числа pи q взаимно просты.

.

Например, НОК(15, 6) = 30.

1.2. Множество целых чисел

. .

1.3. Множество рациональных чисел

.

Например,

Рациональное число можно представить и десятичной дробью, либо конечной :

, либо бесконечной периодической : .

1.4. Множество иррациональных чисел

Q— это множество всех десятичных бесконечных непериодических дробей.

1.5. Множество вещественных (действительных) чисел

.

1.6. Абсолютная величина числа x ()

Свойства абсолютных величин:

1.6.1. .

1.6.2. .

1.6.3. .

1.6.4. .

1.6.5. .

1.6.6. .

1.6.7. .

1.7. Знак числа х ()

Любое вещественное число можно представить в виде:

.

Например,

1.8. Числовые промежутки

Пусть числа причем .

Числовым промежутком будем называть множество всех вещественных чисел х,

— конечные промежутки:

1.8.1. закрытый (замкнутый) промежуток или отрезок

1.8.2. открытый промежуток или интервал

1.8.3. полузакрытый (полуоткрытый) промежуток

— бесконечные промежутки:

1.8.4.

1.8.5.

1.8.6.

1.8.7.

1.8.8. .

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Пособие для обучающихся «Числовые множества»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Алексинский машиностроительный техникум»

Понятие числа возникло в глубокой древности из практической потребности людей и развивалось в процессе развития человечества. Область человеческой деятельности расширялась и соответственно, возрастала потребность в количественном описании и исследовании. Сначала понятие числа определялось теми потребностями счёта и измерения, которые возникали в практической деятельности человека, всё более усложняясь. Позже число становится основным понятием математики, и потребности этой науки определяют дальнейшее развитие этого понятия.

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

Примерами числовых множеств являются:

Q= — множество рациональных чисел.

R—множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

Порядок арифметических действий: сначала выполняются действия в скобках; внутри любых скобок сначала выполняют умножение и деление, а потом сложение и вычитание.

Если число имеет только два делителя (само число и единица), то оно называется простым : если число имеет более двух делителей, то оно называется составным.

Для любых заданных натуральных чисел a и b можно найти наибольший общий делитель. Он обозначается D(a,b). Если числа a и b таковы, что D(a,b) = 1, то числа a и b называются взаимно простыми.

Для любых заданных натуральных чисел a и b можно найти наименьшее общее кратное. Оно обозначается K(a,b). Любое общее кратное чисел a и b делится на K(a,b).

Каждое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби.

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

Если числитель и знаменатель дроби взаимно простые числа, то дробь называется несократимой .

Значимыми цифрами числа называются все его цифры, кроме нулей, стоящих в начале.

Числа не являющиеся целыми или дробными называются иррациональными .

Каждое иррациональное число представляется в виде непереодической бесконечной десятичной дробью.

Множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей называется множеством действительных чисел : рациональных и иррациональных.

Множество R действительных чисел обладает следующими свойствами.

1. Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел α и b имеет место одно из двух соотношений а

2. Множество R плотное: между любыми двумя различными числами a и b содержится бесконечное множество действительных чисел х, т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству a

(a  2a а +b а +b  2 а  а

Действительные числа можно изображать в виде точек на числовой прямой. Чтобы задать числовую прямую необходимо отметить на прямой точку, которой будет соответствовать число 0- начало отсчёта, а затем выбрать единичный отрезок и указать положительное направление.

Комплексные числа подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое действительное трансцендентное является иррациональным, а каждое рациональное число — действительным алгебраическим.

Более общими (но всё ещё счётными) классами чисел, чем алгебраические, являются периоды, вычислимые и арифметические числа (где каждый последующий класс шире, чем предыдущий).

Также надо понимать, что одно выделяемое числовое множество может являться подмножеством другого. Так, например, множество натуральных чисел (N) является подмножеством целых (Z).

С другой стороны, могут быть два числовых множества, по отношению к которым нельзя сказать, что одно является подмножеством другого. Например, в таких отношениях находятся множества положительных (R ₊ ) и отрицательных (R _— ) действительных чисел. Они принадлежат неперекрывающимся числовым диапазонам.

Ниже представлена иерархия чисел, для множеств которых справедливо выражение , с примерами:

Источник

«Управление и Оптимизация Производственного Предприятия»

Глава 1. Нечисловые статистические данные

1.5. Нечеткие множества – частный случай нечисловых данных

Уже много раз упоминались нечеткие множества как практически важный вид объектов нечисловой природы. Что же это такое? Познакомимся с основами теории нечетких множеств.

(1)

Если функция принадлежности имеет вид (1) при некотором B, то C есть обычное (четкое) подмножествоA. Таким образом, теория нечетких множество является более общей или хотя бы не менее общей математической дисциплиной, чем обычная теория множеств, поскольку обычные множества – частный случай нечетких. Соответственно можно ожидать, что теория нечеткости как целое обобщает классическую математику. Однако позже мы увидим, что теория нечеткости в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым является частью классической математики. Другими словами, по степени общности обычная математика и нечеткая математика эквивалентны. Однако для практического применения, например, в теории принятия решений описание и анализ неопределенностей с помощью теории нечетких множеств весьма плодотворны.

Обычное подмножество можно было бы отождествить с его характеристической функцией. Этого математики не делают, поскольку для задания функции (в ныне принятом подходе) необходимо сначала задать множество. Нечеткое же подмножество с формальной точки зрения можно отождествить с его функцией принадлежности. Однако термин «нечеткое подмножество» предпочтительнее при построении математических моделей реальных явлений.

Теория нечеткости является обобщением интервальной математики. Действительно, функция принадлежности

задает интервальную неопределенность – про рассматриваемую величину известно лишь, что она лежит в заданном интервале [a,b]. Тем самым описание неопределенностей с помощью нечетких множеств является более общим, чем с помощью интервалов.

Начало современной теории нечеткости положено работой 1965 г. американского ученого азербайджанского происхождения Л.А.Заде. К настоящему времени по этой теории опубликованы тысячи книг и статей, издается несколько международных журналов, выполнено достаточно много как теоретических, так и прикладных работ. Первая книга российского автора по теории нечеткости вышла в 1980 г. [24].

Л.А. Заде рассматривал теорию нечетких множеств как аппарат анализа и моделирования гуманистических систем, т.е. систем, в которых участвует человек. Его подход опирается на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от «принадлежности» к «непринадлежности» не скачкообразен, а непрерывен. В настоящее время методы теории нечеткости используются почти во всех прикладных областях, в том числе при управлении предприятиями, качеством продукции и технологическими процессами, при описании предпочтений потребителей и оптимизации процессов варки стали.

Л.А. Заде использовал термин «fuzzy set» (нечеткое множество). На русский язык термин «fuzzy» переводили как нечеткий, размытый, расплывчатый, и даже как пушистый и туманный.

Как уже отмечалось, теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории вероятностей, а именно, к теории случайных множеств. Соответствующий цикл теорем приведен в следующем разделе. Однако при решении прикладных задач вероятностно-статистические методы и методы теории нечеткости обычно рассматриваются как различные.

Для знакомства со спецификой нечетких множеств изучим некоторые их свойства.

В дальнейшем считаем, что все рассматриваемые нечеткие множества являются подмножествами одного и того же множества Y.

Законы де Моргана для нечетких множеств. Как известно, законами же Моргана называются следующие тождества алгебры множеств

(2)

Теорема 1. Для нечетких множеств справедливы тождества

(3)

(4)

Доказательство теоремы 1 состоит в непосредственной проверке справедливости соотношений (3) и (4) путем вычисления значений функций принадлежности участвующих в этих соотношениях нечетких множеств на основе определений, данных выше.

Верен ли дистрибутивный закон для нечетких множеств? В литературе иногда расплывчато утверждается, что «не всегда». Внесем полную ясность.

Теорема 2. Для любых нечетких множеств А, В и С

(5)

В то же время равенство

(6)

справедливо тогда и только тогда, когда при всех

Доказательство. Фиксируем произвольный элемент . Для сокращения записи обозначим . Для доказательства тождества (5) необходимо показать, что

(7)

Рассмотрим различные упорядочения трех чисел a, b, c. Пусть сначала . Тогда левая часть соотношения (7) есть , а правая , т.е. равенство (7) справедливо.

Пусть . Тогда в соотношении (7) слева стоит , а справа , т.е. соотношение (7) опять является равенством.

Если , то в соотношении (7) слева стоит , а справа , т.е. обе части снова совпадают.

Три остальные упорядочения чисел a, b, c разбирать нет необходимости, поскольку в соотношение (6) числа b иc входят симметрично. Тождество (5) доказано.

Второе утверждение теоремы 2 вытекает из того, что в соответствии с определениями операций над нечеткими множествами

Эти два выражения совпадают тогда и только тогда, когда, когда , что и требовалось доказать.

Определение 1. Носителем нечеткого множества А называется совокупность всех точек , для которых .

Пример описания неопределенности с помощью нечеткого множества. Понятие «богатый» часто используется при обсуждении социально-экономических проблем, в том числе и в связи с подготовкой и принятием решений. Однако очевидно, что разные лица вкладывают в это понятие различное содержание. Сотрудники Института высоких статистических технологий и эконометрики провели в 2004 г. небольшое пилотное (т.е пробное) социологическое исследование представления различных слоёв населения о понятии «богатый человек».

Мини-анкета опроса выглядела так:

1. При каком месячном доходе (в тыс. руб. на одного человека) Вы считали бы себя богатым человеком?

2. Оценив свой сегодняшний доход, к какой из категорий Вы себя относите:

б) достаток выше среднего;

в) достаток ниже среднего;

д) за чертой бедности?

3. Ваша профессия, специальность.

Типичные ответы научных работников и преподавателей

Источник