Что такое неколониальные вектора

Коллинеарные вектора

Два вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м, но не рекомендуется, синоним — «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).

Содержание

Обозначения

Свойства коллинеарности

Пусть — векторы пространства . Тогда верны следующие утверждения:

Другие объекты

Выше описанные критерии коллинеарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле (а, например, как элементы произвольного линейного пространства).

Иногда коллинеарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной прямой.

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Коллинеарные вектора» в других словарях:

Коллинеарные векторы — Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допустим, но не рекомендуется, синоним «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или… … Википедия

КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ — векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны. Нулевой вектор коллинеарен всякому вектору. Аналогично,… … Математическая энциклопедия

Коллинеарность — Два коллинеарных противоположно направленных вектора Два ненулевых (не равных 0) вектора называются … Википедия

Вектор — направленный отрезок прямой, или отрезок, один из концов которого называется началом вектора, а другой его концом. Различают: 1) коллинеарные векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых; 2) компланарные векторы, лежащие в одной… … Начала современного естествознания

Источник

Векторы: третий уровень сложности

Знакомимся с коллинеарностью.

Для большинства людей искусственный интеллект — это нечто сложное и таинственное. А для математиков это синоним фразы «перемножение матриц». С точки зрения человека, который владеет линейной алгеброй, в искусственном интеллекте нет ничего загадочного.

Мы хотим, чтобы вы тоже смогли понять искусственный интеллект на уровне математики. Для этого у нас идёт цикл статей про линейную алгебру:

Сама тема несложная, но конкретно этот шаг вам ничего не даст в практическом смысле. Но если вам хватит терпения, на базе этих знаний мы уже перейдём к матрицам.

Что за коллинеарность

Представьте два вектора, которые находятся в одной плоскости и располагаются параллельно друг другу. При этом у них может быть разная длина. Такое расположение делает связку векторов коллинеарными, или, по-простому, линейно зависимыми.

И наоборот: если вектора находятся в одной плоскости и располагаются не параллельно друг относительно друга, то их считают линейно независимыми — неколлинеарными. Пока что ничего сложного.

Коллинеарные векторы Неколлинеарные векторы

Сложение коллинеарных и неколлинеарных векторов

Очевидно, что сложить два коллинеарных вектора очень легко: откладываем второй вектор от начала первого, получится новый вектор. Он будет коллинеарным своим слагаемым, они все будут лежать, грубо говоря, на одной линии.

Можно представить, что вы идёте прямо: каждый ваш шаг — это вектор. Каждый новый шаг — новый вектор. Но если все их сложить, получится один большой прямой вектор длиной как все ваши шаги.

Теперь попробуем сложить пару неколлинеарных векторов. Это как если бы мы сначала сделали шаг немного правее, а потом сделали бы шаг влево. Шага два, но если соединить начало и конец пути, он не будет совпадать с траекториями наших шагов. Появится какой-то новый вектор, с новым направлением, и он будет неколлинеарным по отношению к своим слагаемым.

Также пару неколлинеарных векторов из одной плоскости можно растянуть и развернуть в пространстве. Если их сложить, также появится новый вектор.

У математиков такой вектор называют базисом. Когда базис находится на плоскости или в пространстве, то он может единственным образом превращаться обратно в пару неколлинеарных векторов, которые его сформировали.

Правило работает, когда мы масштабируем и меняем расположение векторов в пространстве. Если мы изменим направление исходных векторов, то получим новый базис.

Базис — понятие из высшей математики, поэтому, если сейчас сложно, не отчаивайтесь. Студенты-математики когда-то тоже отчаивались.

Мы изменили пару неколлинеарных векторов и сформировали из них базис — получили новый фиолетовый вектор с собственной системой координат Теперь мы изменили исходные неколлинеарные векторы и получили новый базис — это оранжевый вектор

Как определять неколлинеарность

Когда мы работаем с короткими векторами, всё очевидно: нарисовали систему координат, отложили на ней векторы, они либо совпали, либо не совпали. Если совпали — коллинеарные, если нет — неколлинеарные.

А теперь представьте, что вектора настолько огромные, что мы физически не можем их нарисовать и сопоставить. Например,

Как такое нарисовать? Как проверить коллинеарность? Вот тут начинается магия алгебры.

Есть три способа проверки линейной зависимости векторов. Для простоты вычислений проверим эти три способа на вот этих всё ещё простых векторах:

По этим координатам ответим на два вопроса: являются ли предложенные вектора линейно зависимыми (то есть коллинеарными) и можно ли их раскладывать по базису.

Первый способ. Запишем простую систему уравнений: возьмём первую координату каждого вектора и приравняем её ко второй координате каждого вектора, умноженной на неизвестное число λ. Вычислим λ и сравним результаты.

👉 Знак λ здесь по традиции и для удобства. На самом деле это просто некое неизвестное число. Вместо этой буквы могли быть X, Y, Z или N, но так как у нас вектора уже называются X и Y, а N в математике используется для других целей, возьмём λ — это греческая буква «лямбда», давний предок нашей русской буквы «Л».

Составляем систему уравнений:

Вычисляем значение λ:

Сравниваем результат и делаем вывод:

Мы получили разное значение для неизвестного числа λ и поэтому наши векторы будут считаться линейно независимыми. Из них можно получить базис.

Если бы значение λ совпало, то мы бы имели дело с линейно зависимыми векторами.

Второй способ. Проверяем координаты векторов на пропорциональность: берём первую координату первого вектора, делим её на первую координату второго вектора. Повторяем это же действие со вторыми координатами: берём вторую координату первого вектора и делим её на вторую координату второго вектора.

Получаем такую пропорцию:

Считаем значение и сравниваем результат:

Равенство не выполняется, и поэтому между векторами нет зависимости.

Третий способ. Используем четыре элемента наших координат для поиска определителя — скалярной величины, с которой мы подробно познакомимся в следующих статьях во время решения матричных уравнений. Сейчас нам не нужны подробности, и для проверки линейной зависимости достаточно формулы.

Записываем в две строки координаты наших векторов:

Переводим координаты векторов в определитель — добавляем с двух сторон вертикальную черту и получаем простую квадратную матрицу размером 2 на 2:

В полученной матрице две диагонали. Числа −6 и −1 образуют главную диагональ; числа −4 и 5 — вторую диагональ. Чтобы найти определитель, нам нужно умножить числа главной и второй диагонали, а затем вычесть их разницу.

Если из координат вектора мы получили определитель и он не равен нулю, то векторы считаются линейно независимыми и подходят для разложения по базису.

И наоборот: нулевой определитель указывает на линейную зависимость векторов.

Что из этого нужно запомнить

Что дальше

Следующий шаг — матрицы. Это те самые, которые лежат в основе всех нейронок и искусственного интеллекта. Матрица — это таблица чисел, с которыми можно проводить различные вычисления.

Источник

Биотехнологические векторы

Векторы для переноса генов

Термин «вектор» применяется в науке обычно в тех случаях, когда надо подчеркнуть существование определённого направления.

Биологические (биотехнологические) векторы – это биологические структуры, способные вносить чужеродный генетический материал в клетку. К ним относятся: 1) плазмиды, 2) бактериофаги, 3) вирусы.

Эти биовекторы используются для внедрения в чужую клетку искусственно изменённой ДНК, которая называется рекомбинантной.

Например, рекомбинантной ДНК называют плазмиду, в которую встроен участок ДНК, чужеродной для бактерии и не характерный в норме для подобной плазмиды.

Внедряемый ген имеет простое название: «вставка».

Ген-вставку можно выделить из существующего генома в виде кусочка (=фрагмента) ДНК, можно найти нужный ген в специальной «библиотеке генов», а можно синтезировать искусственный ген, которого не существовало в природе. Затем следует наштамповать множество его точных копий с помощью ПЦР (полимеразной цепрой реакции) и после этого начать вставлять эти гены в клетки-мишени.

Плазмиды

Количество плазмид у бактерии может быть разное, и чем больше плазмид, тем они мельче.

Плазмиды передают генетическую информацию от «своей» бактерии всем другим бактериям, даже если эти бактерии относятся к другим семействам. Какие же свойства придают плазмиды своим хозяевам-бактериям? Они содержат информацию о ферментах, обеспечивающих приспособление к использованию конкретного субстрата (вещества) в качестве источника питания или о ферментах, обеспечивающих устойчивость бактерий к различным неблагоприятным факторам среды: антибиотикам, ксенобиоикам и прочим.

Обычно плазмиды захватываются бактериями из окружающей среды и используются ими уже в качестве своих собственных дополнительных источников генетической информации.

Получается удивительная вещь: совокупный генофонд бактерий содержится не только в самих бактериальных клетках данного штамма (=разновидности), но и вне этих бактерий в свободном виде в окружающей среде, а также частично в бактериях других штаммов и даже семейств. Так что конкретная бактерия и даже популяция бактерий пользуются только лишь частью этого общего генофонда, но при необходимости в любое время могут позаимствовать из него подходящие для них гены. Это напоминает какое-то общедоступное внешнее хранилище информации, типа «облачного» сервиса в Интернете для хранения данных.

Т.к. захват плазмид из окружающей среды является для бактерий обычным делом, то плазмиды используются в биотехнологии в качестве векторов: в них встраивают нужные людям гены и таким образом эти гены вместе с плазмидой внедряются в бактерию и начинают в ней действовать.

Видео: Получение плазмид

Видео: Перенос гена в бактерию с помощью плазмиды

В качестве векторов в биотехнологии используются не только плазмиды, но также вирусы и бактериофаги.

Бактериофаги как биовекторы

Особенно удачный вектор был сконструирован на основе такого бактериофага, как колифаг λ.
Фаг λ — умеренный колифаг с длинным несократительным хвостовым отростком и днДНК-геномом (т.е. двунитевой дезоксирибонуклеиновой кислотой) размером 48502 п.н. (пар нуклеотидов). Центральная часть генома фага несущественна для его функционирования и используется для заместительной вставки клонируемой ДНК по единственному сайту узнавания для рестриктазы EcoRI. Сам по себе этот вектор слишком короток для упаковки в головку фага. И тут важно, что размеры головки накладывают ограничение не только на максимальную, но и на минимальную длину генома. А это означает, что укороченная рестриктазой ДНК фага уже не сможет занять его головку. Таким образом, чтобы получить фаг, способный размножаться с образованием зрелых фаговых частиц, в разрезанный родительский вектор обязательно должен быть встроен навязанный фагу фрагмент чужеродной ДНК. Это обстоятельство приводит к образованию автоматической селективной системы для отбора химерных фаговых геномов.

phage_lambda_virion.svg_.png

Для удобства отбора рекомбинантных фагов в несущественную область генома, используемую для вставки, вводят ген lacZ. Рекомбинантные фаги отбирают из зон лизиса бактериального газона, имеющих белый цвет.

Фаг M13 — нитевидный колифаг, имеющий кольцевой онДНК-геном. Для получения рекомбинантных ДНК используют репликативную форму фага, представляющую собой кольцевую двухнитевую ДНК размером 6400 п.н., в которую вставлен ген lacZ, содержащий полилинкер сайтов для целого ряда рестриктаз. Рекомбинантные фаги отбирают из зон лизиса бактериального газона, имеющих белый цвет. Использование векторов на основе фага M13 имеет ряд положительных моментов. Так, одно клонирование дает два вида фагов с однонитевым ДНК-геномом. Каждый вид фага содержит только одну из нитей вставки ДНК, которые могут находиться в разных ориентациях. В связи с этим, клонирование с использованием фага M13 удобно для создания однонитевых ДНК-зондов и секвенирования ДНК.
Попытка объединить преимущества плазмидных и фаговых векторов привела к созданию космид. Это плазмиды со встроенными специфическими последовательностями ДНК (cos — сайтами), отвечающими за Упаковку ДНК фага λ в фаговой частице. Такие векторы могут существовать в бактерии в виде плазмид, но могут быть выделены в чистом виде путем их упаковки в фаговые частицы in vitro. Ценность космидных векторов заключается в их большой емкости — то есть в возможности клонирования вставок большого размера. На длину этих векторов также накладываются ограничения, обусловленные размером головки фага, но в таком геноме не обязательно присутствие генов, необходимых для литического цикла.

Лектор: Савченко Татьяна Алексеевна- кандидат медицинских наук, доцент, преподаватель кафедры » Микробиология и Вирусология» БГМУ

Содержание: распространение фагов 1:40-3:17 морфология фагов 3:18-6:09 взаимодействие фага с бактериальной клеткой 6:10-8:25 лизогения 8:26-10:21 методы культивирования фагов 10:22-11:56 применение фагов 11:57-16:29

Видеолекция: Бактериофаги и фаговая терапия Лектор: Куликов Евгений Евгеньевич, к.б.н., снс лаборатории вирусов микроорганизмов Института Микробиологии РАН им. С. Н. Виноградского, 2012.

Рисунок: Перенос генетического материала у бактерий с помощью плазмид

conjugation

Рисунок: Конъюгация у бактерий. Источник изображения: https://slipups.ru/2320

Между двумя бактериями устанавливается односторонне направленный контакт — трубочка (pilus), по которой из клетки-донора в клетку-реципиент перемещаются плазмиды, в том числе и те, которые могут нести новые гены для реципиента. Перед переходом каждая плазмида разворачивается из кольца в цепочку и «переползает» в клетку реципиента, где снова собирается в кольцо. Благодаря конъюгации и плазмидам бактерия может передать новый эволюционный признак не только «дочкам», но и «соседям», т.е. не только «по вертикали», но и «по горизонтали».

Источник

Векторы. Начальные сведения

Определения

Если длина вектора равна нулю (совпадают начало и конец), то такой вектор называют нулевым.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых ( \(\overrightarrow a, \overrightarrow b\) и \(\overrightarrow c\) ).

В противном случае векторы называются неколлинеарными (например, \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow d\) ).

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Правила сложения коллинеарных векторов:

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два сонаправленных вектора, можно отложить второй вектор от конца первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго (рис. 1).

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два противоположно направленных вектора, можно отложить второй вектор от начала первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом обоих векторов, длина равна разности длин векторов, направление совпадает с направлением большего по длине вектора (рис. 2).

Правила сложения неколлинеарных векторов \(\overrightarrow \) и \(\overrightarrow\) :

\(\blacktriangleright\) Правило треугольника (рис. 3).

\(\blacktriangleright\) Правило параллелограмма (рис. 4).

Определение

Вектор \(\overrightarrow <-b>\) – это вектор, противоположно направленный с вектором \(\overrightarrow \) и совпадающий с ним по длине.

Свойства сложения векторов

Замечание

Для того, чтобы сложить несколько вектором, можно отложить их последовательно: каждый следующий от конца предыдущего. Тогда суммой этих векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего: \[\overrightarrow +\overrightarrow +\overrightarrow + \overrightarrow =\overrightarrow \]

Определение

Свойства произведения вектора на число

1. Сочетательный закон: \(k(\lambda\overrightarrow )=(k\lambda)\overrightarrow \) ;

Теорема

Источник

Что такое неколониальные вектора

Сформулируем ряд базовых определений.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.

то есть модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Обозначим углы между вектором и осями координат через α, β, γ соответственно. Косинусы этих углов называются для вектора направляющими, и для них выполняется соотношение: Верность данного равенства можно показать с помощью свойства проекции вектора на ось, которое будет рассмотрено в нижеследующем пункте 4.

Пусть в трехмерном пространстве заданы векторы своими координатами. Имеют место следующие операции над ними: линейные (сложение, вычитание, умножение на число и проектирование вектора на ось или другой вектор); не линейные – различные произведения векторов (скалярное, векторное, смешанное).

1. Сложение двух векторов производится покоординатно, то есть если

Геометрически два вектора складываются по двум правилам:

а) правило треугольника – результирующий вектор суммы двух векторов соединяет начало первого из них с концом второго при условии, что начало второго совпадает с концом первого вектора; для суммы векторов – результирующий вектор суммы соединяет начало первого из них с концом последнего вектора-слагаемого при условии, что начало последующего слагаемого совпадает с концом предыдущего;

б) правило параллелограмма (для двух векторов) – параллелограмм строится на векторах-слагаемых как на сторонах, приведенных к одному началу; диагональ параллелограмма исходящая из их общего начала, является суммой векторов.

Геометрически два вектора складываются по уже упомянутому правилу параллелограмма с учетом того, что разностью векторов является диагональ, соединяющая концы векторов, причем результирующий вектор направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.

При λ>0 – вектор сонаправлен ; λ противоположно направлен ; | λ|> 1 – длина вектора увеличивается в λ раз; | λ| 1 – длина вектора уменьшается в λ раз.

4. Пусть в пространстве задана направленная прямая (ось l ), вектор задан координатами конца и начала. Обозначим проекции точек A и B на ось l соответственно через A ’ и B ’.

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций:

1) проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, то есть ;

2.) проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол – прямой;

3) проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме проекций на эту ось.

Сформулируем определения и теоремы о произведениях векторов, представляющих нелинейные операции над векторами.

5. Скалярным произведением векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними, то есть

Теорема 2.2. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения

Следствие. Попарные скалярные произведения единичных орт равны нулю, то есть

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов и :

С помощью скалярного произведения векторов находят работу постоянной силы на прямолинейном участке пути.

Решение. Вычислим модули векторов и их скалярное произведение по теореме (2.3):

Пример 2.10. Затраты сырьевых и материальных ресурсов, используемых на производство одной тонны творога, заданы в таблице 2.2 (руб.).

Какова общая цена этих ресурсов, затрачиваемых на изготовление одной тонны творога?

Примечание. Действия с векторами, осуществленные в примере 2.10, можно выполнить на персональном компьютере. Для нахождения скалярного произведения векторов в MS Excel используют функцию СУММПРОИЗВ( ), где в качестве аргументов указываются адреса диапазонов элементов матриц, сумму произведений которых необходимо найти. В MathCAD скалярное произведение двух векторов выполняется при помощи соответствующего оператора панели инструментов Matrix

Решение. Находим вектор перемещения, вычитая из координат его конца координаты начала

Угол φ между и находим по формуле (2.29), то есть

– перпендикулярен векторам и ;

– векторы образуют правую тройку (рис. 2.15).

Примечание. Определитель (2.25) раскладывается по свойству 7 определителей

Следствие 1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их соответствующих координат

Следствие 2. Векторные произведения единичных орт равны

Следствие 3. Векторный квадрат любого вектора равен нулю

Также с помощью векторного произведения можно определить момент силы относительно точки и линейную скорость вращения.

— перпендикулярен плоскости, проходящей через точки O , A , B ;

Следовательно, момент силы относительно точки O представляет собой векторное произведение

Решение. Найдем векторное произведение заданных векторов по формуле (2.32).

Теорема 2.6. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения

Теорема 2.7. Если три вектора заданы своими координатами, то их смешанное произведение представляет собой определитель третьего порядка, составленный из координат векторов- сомножителей соответственно, то есть

Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен

Решение. Найдем координаты векторов

По формуле (2.36) объем пирамиды, построенной на векторах равен (единиц объема)

Рассмотрим очень важный вопрос о разложении вектора по базису. Приведем следующие определения.

получим выражение вектора через остальные векторы

Линейно независимыми называют векторы, если равенство (2.37) выполняется только тогда, когда все

Базисом n – мерного пространства E_n называют любую совокупность линейно независимых векторов n – мерного пространства.

Произвольный вектор n – мерного пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса таким образом:

Линейное пространство называется конечномерным и имеет размерность n , если в этом пространстве существует система из n линейно независимых векторов (базис) такая, что каждое ее расширение приводит к линейной зависимости системы.

Источник