Что такое нелинейное уравнение

НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ

ур-ние, в к-ром неизвестные величины (числа, ф-ции, векторы и т. д.) входят не только линейным образом; противопоставляется линейному уравнению. Примеры Н. у.:

Смотреть что такое «НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ» в других словарях:

нелинейное уравнение — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN nonlinear equation … Справочник технического переводчика

НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ — численные методы решения итерационные методы решения нелинейных уравнений. Под нелинейными уравнениями понимаются (см. [1] [3]) алгебраические и трансцендентные уравнения вида где х действительное число, нелинейная функция, а под системой… … Математическая энциклопедия

НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ — уравнение вида где есть мультииндекс с целыми неотрицательными где. Аналогично определяется Н. у … Математическая энциклопедия

Нелинейное уравнение Шрёдингера — Не следует путать с Уравнение Гросса Питаевского. Нелинейное или кубическое уравнение Шрёдингера (НУШ, англ. Nonlinear Schrödinger equation (NLS)) нелинейное уравнение в частных производных второго порядка, играющее важную роль в … Википедия

Уравнение Клейна — Гордона — Уравнение Клейна Гордона (Уравнение Клейна Гордона Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где … Википедия

Уравнение Клейна — Уравнение Клейна Гордона (Уравнение Клейна Гордона Фока, уравнение Клейна Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где оператор Д’Аламбера. явля … Википедия

Уравнение Клейна-Гордона — Уравнение Клейна Гордона (Уравнение Клейна Гордона Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где оператор Д’Аламбера. является релятивистской версией … Википедия

Уравнение Клейна-Гордона-Фока — Уравнение Клейна Гордона (Уравнение Клейна Гордона Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где оператор Д’Аламбера. является релятивистской версией … Википедия

Уравнение Клейна — Гордона — Фока — Уравнение Клейна Гордона (Уравнение Клейна Гордона Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где оператор Д’Аламбера. является релятивистской версией … Википедия

Уравнение Бюргерса — Уравнением Бюргерса называют уравнение в частных производных, используемое в гидродинамике. Это уравнение известно в различных областях прикладной математики. Уравнение названо в честь Иоганна Мартинуса Бюргерса (1895 1981). Является частным… … Википедия

Источник

Решение нелинейных уравнений

Уравнения, в которых содержатся неизвестные функции, произведенные в степень больше единицы, называются нелинейными.
Например, y=ax+b – линейное уравнение, х^3 – 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 – нелинейное (в общем виде записывается как F(x)=0).

Системой нелинейных уравнений считается одновременное решение нескольких нелинейных уравнений с одной или несколькими переменными.

Существует множество методов решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений, которые принято относить в 3 группы: численные, графические и аналитические. Аналитические методы позволяют определить точные значения решения уравнений. Графические методы наименее точны, но позволяют в сложных уравнениях определить наиболее приближенные значения, с которых в дальнейшем можно начинать находить более точные решения уравнений. Численное решение нелинейных уравнений предполагает прохождения двух этапов: отделение корня и его уточнение до определенно заданной точности.
Отделение корней осуществляется различными способами: графически, при помощи различных специализированных компьютерных программ и др.

Рассмотрим несколько методов уточнения корней с определенно заданной точностью.

Методы численного решения нелинейных уравнений

Метод половинного деления.

Суть метода половинного деления заключается в делении интервала [a,b] пополам (с=(a+b)/2) и отбрасывании той части интервала, в которой отсутствует корень, т.е. условие F(a)xF(b)

Рис.1. Использование метода половинного деления при решении нелинейных уравнений.

Рассмотрим пример. Необходимо решить уравнение х^3 – 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 с точностью до e 0, то начала отрезка a переносится в x (a=x), иначе, конец отрезка b переносится в точку x (b=x). Полученный отрезок делим опять пополам и т.д. Весь произведенный расчет отражен ниже в таблице.

Рис.2. Таблица результатов вычислений

В результате вычислений получаем значение с учетом требуемой точности, равной x=-0,946

При использовании метода хорд, задается отрезок [a,b], в котором есть только один корень с установленной точностью e. Через точки в отрезке a и b, которые имеют координаты (x(F(a);y(F(b)), проводится линия (хорда). Далее определяются точки пересечения этой линии с осью абсцисс (точка z).
Если F(a)xF(z)

Рис.3. Использование метода хорд при решении нелинейных уравнений.

Рассмотрим пример. Необходимо решить уравнение х^3 – 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 с точностью до e 0;

Определим вторую производную F’’(x) = 6x-0,4.

F’’(-1)=-6,4 0 соблюдается, поэтому для определения корня уравнения воспользуемся формулой:

, где x0=b, F(a)=F(-1)=-0,2

Весь произведенный расчет отражен ниже в таблице.

Рис.4. Таблица результатов вычислений

В результате вычислений получаем значение с учетом требуемой точности, равной x=-0,946

Метод касательных (Ньютона)

Данный метод основывается на построении касательных к графику, которые проводятся на одном из концов интервала [a,b]. В точке пересечения с осью X (z1) строится новая касательная. Данная процедура продолжается до тех пор, пока полученное значение не будет сравним с нужным параметром точности e (F(zi)

Рис.5. Использование метода касательных (Ньютона) при решении нелинейных уравнений.

Рассмотрим пример. Необходимо решить уравнение х^3 – 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 с точностью до e 0 выполняется, поэтому расчеты производим по формуле:

Весь произведенный расчет отражен ниже в таблице.

Рис.6. Таблица результатов вычислений

В результате вычислений получаем значение с учетом требуемой точности, равной x=-0,946

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №43.Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Все уравнения, которые не являются линейными называются нелинейными.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Все неравенства, которые не являются линейными называются нелинейными.

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

Все системы неравенств, которые не являются линейными называются нелинейными.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учебник: Алгебра 9 кл с углубленным изучением математики Мнемозина, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня на уроке мы вспомним нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными; системы линейный уравнений и неравенств, а также научимся изображать множество на плоскости, задаваемое нелинейным уравнением и неравенством.

1.Линейные уравнения с двумя переменными.

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Все уравнения, которые не являются линейными называются нелинейными.

Например, нелинейные уравнения с двумя переменными. Уравнение с двумя переменными можно заменить равносильным уравнением, в котором правая часть будет нулем, а левая многочленом стандартного вида:

Нелинейные уравнения с двумя переменными изображаются на координатной плоскости различными фигурами, каждое уравнение нужно рассматривать индивидуально.

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению:

Уравнение запишем в виде (х-у)(х+у) = 0, значит либо х-у=0, либо х

+у=0. Поэтому множество точек удовлетворяющих уравнению – пара пересекающихся прямых.

Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:

Сумма неотрицательных слагаемых равна 0 только в одном случае, когда оба слагаемых одновременно равны 0.

Это уравнение имеет единственное решение: х=2; у=-3. Поэтому множество точек удовлетворяющих уравнению – точка (2;-3).

Пусть на координатной плоскости Оху выбрана точка А(а;b), М(х;у) – произвольная точка этой плоскости, R- расстояние от точки М до точки А. Тогда , где R>0. Уравнение окружности с радиусом R и с центром в точке А(а;b).

Запишем уравнение в виде Множеством решения данного уравнения является окружность центром в точке (-1;4) и радиусом 3 единичных отрезка.

Рассмотрим примеры уравнений с двумя переменными, содержащих знак модуля:

Если то х+у=2 Множество решений этого уравнения часть прямой (отрезок АВ), где А(2;0), В(0;2)

Аналогично строятся отрезки в трех оставшихся координатных углах. (рисунок 1)

Рисунок 1 – графика

2.Нелинейные неравенства с двумя переменными.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Все неравенства, которые не являются линейными называются нелинейными.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное равенство.

Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой.

Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства .

3. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными.

Система вида , где а,b,с,d,e,f – некоторые числа, называется линейной системой с двумя переменными х и у.

Все системы уравнений, которые не являются линейными называются нелинейными.

Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство называют решением системы.

Решить систему – значит найти множество ее решений.

Каждое решение уравнения с двумя переменными представляет координаты некоторой его точки его графика. Каждое решение системы есть координаты общих точек графиков уравнений системы. Построим графики этих уравнений и найдем координаты точек пересечения.
Например.

Решить систему уравнений

Первое уравнение системы задает параболу, второе – окружность с центром (-1;3) и радиусом . Окружность и парабола имеют две общие точки (0;1) (-1,3;5,3). Координаты второй точки приближенные (рисунок 2).

Рисунок 2 – решение системы

4. Системы нелинейных неравенств с двумя переменными.

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

Все системы неравенств, которые не являются линейными называются нелинейными.

Рассмотрим систему нелинейных неравенств с двумя переменными на примере:

Изобразить на координатной плоскости Оху фигуру Ф, заданную системой неравенств, и найти площадь фигуры:

Неравенство заменим равносильной системой которая задает множество точек, лежащих на полуокружности и вне ее. А неравенство заменим равносильной совокупностью систем или (рисунок 3)

Рисунок 3 – решение системы

График уравнения х^2 можно получить из окружности сжатием к оси х в 2 раза.

Рисунок 4 – график уравнения

Заметим, что фигуру, которая получается сжатием окружности к одному из ее диаметров, называют эллипсом.

Рассмотрим частный случай:

Если k=m, то диагонали ромба будут равны, значит заданная фигура – квадрат.

Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля

Графиком данного уравнения является парабола, показанная на рисунке.(рисунок 5)

Рисунок 5 – график

Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства (рисунок 6)

Начертим график уравнения . Графиком данного уравнения является парабола. Нижняя из образовавшихся областей является графиком неравенства