Что такое ненулевой вектор

Что такое ненулевой вектор

Сформулируем ряд базовых определений.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.

то есть модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Обозначим углы между вектором и осями координат через α, β, γ соответственно. Косинусы этих углов называются для вектора направляющими, и для них выполняется соотношение: Верность данного равенства можно показать с помощью свойства проекции вектора на ось, которое будет рассмотрено в нижеследующем пункте 4.

Пусть в трехмерном пространстве заданы векторы своими координатами. Имеют место следующие операции над ними: линейные (сложение, вычитание, умножение на число и проектирование вектора на ось или другой вектор); не линейные – различные произведения векторов (скалярное, векторное, смешанное).

1. Сложение двух векторов производится покоординатно, то есть если

Геометрически два вектора складываются по двум правилам:

а) правило треугольника – результирующий вектор суммы двух векторов соединяет начало первого из них с концом второго при условии, что начало второго совпадает с концом первого вектора; для суммы векторов – результирующий вектор суммы соединяет начало первого из них с концом последнего вектора-слагаемого при условии, что начало последующего слагаемого совпадает с концом предыдущего;

б) правило параллелограмма (для двух векторов) – параллелограмм строится на векторах-слагаемых как на сторонах, приведенных к одному началу; диагональ параллелограмма исходящая из их общего начала, является суммой векторов.

Геометрически два вектора складываются по уже упомянутому правилу параллелограмма с учетом того, что разностью векторов является диагональ, соединяющая концы векторов, причем результирующий вектор направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.

При λ>0 – вектор сонаправлен ; λ противоположно направлен ; | λ|> 1 – длина вектора увеличивается в λ раз; | λ| 1 – длина вектора уменьшается в λ раз.

4. Пусть в пространстве задана направленная прямая (ось l ), вектор задан координатами конца и начала. Обозначим проекции точек A и B на ось l соответственно через A ’ и B ’.

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций:

1) проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, то есть ;

2.) проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол – прямой;

3) проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме проекций на эту ось.

Сформулируем определения и теоремы о произведениях векторов, представляющих нелинейные операции над векторами.

5. Скалярным произведением векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними, то есть

Теорема 2.2. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения

Следствие. Попарные скалярные произведения единичных орт равны нулю, то есть

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов и :

С помощью скалярного произведения векторов находят работу постоянной силы на прямолинейном участке пути.

Решение. Вычислим модули векторов и их скалярное произведение по теореме (2.3):

Пример 2.10. Затраты сырьевых и материальных ресурсов, используемых на производство одной тонны творога, заданы в таблице 2.2 (руб.).

Какова общая цена этих ресурсов, затрачиваемых на изготовление одной тонны творога?

Примечание. Действия с векторами, осуществленные в примере 2.10, можно выполнить на персональном компьютере. Для нахождения скалярного произведения векторов в MS Excel используют функцию СУММПРОИЗВ( ), где в качестве аргументов указываются адреса диапазонов элементов матриц, сумму произведений которых необходимо найти. В MathCAD скалярное произведение двух векторов выполняется при помощи соответствующего оператора панели инструментов Matrix

Решение. Находим вектор перемещения, вычитая из координат его конца координаты начала

Угол φ между и находим по формуле (2.29), то есть

– перпендикулярен векторам и ;

– векторы образуют правую тройку (рис. 2.15).

Примечание. Определитель (2.25) раскладывается по свойству 7 определителей

Следствие 1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их соответствующих координат

Следствие 2. Векторные произведения единичных орт равны

Следствие 3. Векторный квадрат любого вектора равен нулю

Также с помощью векторного произведения можно определить момент силы относительно точки и линейную скорость вращения.

— перпендикулярен плоскости, проходящей через точки O , A , B ;

Следовательно, момент силы относительно точки O представляет собой векторное произведение

Решение. Найдем векторное произведение заданных векторов по формуле (2.32).

Теорема 2.6. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения

Теорема 2.7. Если три вектора заданы своими координатами, то их смешанное произведение представляет собой определитель третьего порядка, составленный из координат векторов- сомножителей соответственно, то есть

Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен

Решение. Найдем координаты векторов

По формуле (2.36) объем пирамиды, построенной на векторах равен (единиц объема)

Рассмотрим очень важный вопрос о разложении вектора по базису. Приведем следующие определения.

получим выражение вектора через остальные векторы

Линейно независимыми называют векторы, если равенство (2.37) выполняется только тогда, когда все

Базисом n – мерного пространства E_n называют любую совокупность линейно независимых векторов n – мерного пространства.

Произвольный вектор n – мерного пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса таким образом:

Линейное пространство называется конечномерным и имеет размерность n , если в этом пространстве существует система из n линейно независимых векторов (базис) такая, что каждое ее расширение приводит к линейной зависимости системы.

Источник

Определение вектора

В статье пойдет речь о том, что такое вектор, что он из себя представляет в геометрическом смысле, введем вытекающие понятия.

Для начала дадим определение:

Вектор – это направленный отрезок прямой.

Исходя из определения, под вектором в геометрии отрезок на плоскости или в пространстве, который имеет направление, и это направление задается началом и концом.

Нулевой вектор

Под нулевым вектором 0 → будем понимать любую точку плоскости или пространства.

Из определения становится очевидным, что нулевой вектор может иметь любое направление на плоскости и в пространстве.

Длина вектора

Под длиной вектора A B → понимается число, большее либо равное 0, и равное длине отрезка АВ.

Понятия модуль вектора и длина вектора равносильны, потому что его обозначение совпадает со знаком модуля. Поэтому длину вектора также называют его модулем. Однако грамотнее использовать термин «длина вектора». Очевидно, что длина нулевого вектора принимает значение ноль.

Коллинеарность векторов

Два вектора лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными.

Два вектора не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются неколлинеарными.

Следует запомнить, что Нулевой вектор всегда коллинеарен любому другому вектору, так как он может принимать любое направление.

Коллиниарные векторы в свою очередь тоже можно разделить на два класса: сонаправленные и противоположно направленные.

Направление векторов

Считается, что нулевой вектор является сонаправленым к любым другим векторам.

Равные и противоположные векторы

Равными называются сонаправленные вектора, у которых длины равны.

Противопожными называются противоположно направленные вектора, у которых их длины равны.

Введенные выше понятия позволяют нам рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Иначе говоря, можно заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.

Углы между векторами

Угол φ = ∠ A O B называется углом между векторами a → = O A → и b → = O B → .

Очевидно, что угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), так как сонаправленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых и имеют одинаковое направление, а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или π радиан), так как противоположно направленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых, но имеют противоположные направления.

Перпендикулярными называются два вектора, угол между которыми равен 90 градусам (или π 2 радиан).

Источник

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №17. Вектор в пространстве

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

знакомство с правилами действий с векторами в пространстве.

— познакомиться с основными понятиями, используемыми в данной теме;

— сформировать представление о векторных и скалярных величинах;

— научиться выполнять действия с векторами, преобразовывать векторные выражения.

учащиеся научатся различать векторные и скалярные величины, выполнять действия с векторами в пространстве и применять законы действий с векторами для преобразования и упрощения векторных выражений.

Сортировка по категориям скалярных и векторных величин. Отличительные особенности векторных величин. Повторяется определение вектора из курса планиметрии.

Ершова А.П., Голобородько В.В., Крижановский А.Ф. Тетрадь-конспект по геометрии для 10 класса2016. С.88-93.

Теоретический материал для самостоятельного изучения:

2)Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Пусть два ненулевых вектора и коллинеарные. Если при этом лучи АВ и СD сонаправлены, то и называются сонаправленными, а если эти лучи не являются сонаправленными, то векторы и называются противоположно направленными.
Нулевой вектор условимся считать сонаправленным с любым вектором. Запись означает, что векторы и сонаправлены, а запись — что векторы с и d противоположно направлены.

3)Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Интерактивная модель «Равные, противоположные, нулевые, сонаправленные, противоположно направленные векторы «.

4)Действия над векторами. Сложение векторов по правилу треугольника.

Для этого нужно от произвольной точки пространства отложить вектор , равный , затем от точки В отложить вектор , равный . Вектор называется суммой и . Для любых трех точек А, В и С имеет место равенство +=

5)Сложение векторов по правилу параллелограмма:

Для этого векторы откладывают от одной точки. Это правило пояснено на рисунке.

Интерактивная модель «Законы действия с векторами».

Сумма нескольких векторов в пространстве находится так же, как и на плоскости и не зависит от порядка слагаемых.

Интерактивная модель «Правило многоугольника».

6)Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены.

Источник