Что такое неопределенный интеграл в математике

Что такое Интеграл

Интеграл — это математическая концепция, которая может быть двух типов:

Определённый интеграл выражает область под кривой графика неотрицательной функции f между любыми двумя значениями a и b, как показано на этом рисунке:

Интеграл, определённый между a и b, представлен как: f(x) dx

Неопределённый интеграл функции f — это другая функция F, полученная процессом, противоположным дифференцированию.

Дифференцирование в математике — это процесс, который превращает функцию f в другую функцию f’, называемую производной от f.

Например, нужно найти производную функции f(x) = cos x:

Обозначение интеграла

Знак определённого интеграла:

Знак неопределённого интеграла: ∫

Основные свойства интегралов

Решение интегралов

Первообразная функция

Это функция, у которой производная функция равна исходной.

Функция F(x) является первообразной для производной функции f(x), если выполняется равенство F'(x) = f(x) (в диапазоне I).

Важная деталь, о которой нужно помнить: первообразные функции не являются единственными! В предыдущем примере первообразная функции 3x² равна x³, но x³ + 1 также является первообразной той же функции (3x²), потому что (x³ + 1)’= 3x².

Это означает, что неопределённый интеграл функции f является множеством всех её первообразных функций и представлен так:

где С — произвольная постоянная.

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл выглядит примерно так ∫ f(x) d(x) и обозначает множество всех первообразных некоторой функции f(x).

Если F — некоторая частная первообразная, то:

где С — произвольная постоянная.

Например, нужно вычислить неопределённый интеграл:

∫ (2x – 1) dx = ∫2x dx – ∫1dx = 2 (x²/2) – x + C = x² – x + C.

Определённый интеграл

Определённый интеграл выглядит примерно так: f(x) d(x).

С помощью определённого интеграла можно вычислить площадь геометрической фигуры, которая находится под кривой. Отрезок [a;b] называется отрезком интегрирования. Вместо a и b подставляются значения X (минимального и максимального). Например, как на этом рисунке:

Решение определённого интеграла (формула Ньютона-Лейбница):

f(x) dx = F(b) – F(a)

Например, нужно вычислить определённый интеграл:

(2 – x – x²) dx

1) Вычислить первообразную функцию

∫ (2 – x – x²) dx = 2x – x²/2 – x³/3 + C

2) Рассчитать верхний и нижний пределы (разницу между максимальным и минимальным значениями):

(2 – x – x²) dx = [2x – x²/2 – x³/3 + C] = [2(1) – 1²/2 – 1³/3 + C] – [2(-2) – (-2)²/2 – (-2)³/3 + C] = (2 – 1/2 – 1/3) – (-4 –2 + 8/3) = 2 – 1/2 – 1/3 + 4 + 2 – 8/3 = 9/2 = 4,5.

Значит, площадь того, что закрашено на рисунке (под графиком), будет равна 4,5.

Источник

Первообразная

Определение. Непрерывная функция F(x) называется первообразной функции f(x), если на промежутке X, если для каждого .

Операция нахождения первообразной функции f(x), называется интегрированием.

Неопределенный интеграл

Неопределённый интеграл-это совокупность всех первообразных функции f(x). В общем случае, нахождение неопределённого интеграла выглядит следующим образом:

,

где f(x)-подынтегральная функция, F(x)-первообразная функция функции f(x), dx-дифференциал, C-константа интегрирования. Неопределённый интеграл представляет собой, как бы, «пучок» первообразных, из-за наличия постоянной интегрирования.

Дифференциал-произвольное, бесконечно малое приращение переменной величины.

Свойства неопределённого интеграла

Таблица основных неопределённых интегралов

В виде

,

где f(x)-подынтегральная функция, F(x)-первообразная функция функции f(x), dx-дифференциал, C-константа интегрирования.

Определённый интеграл

Определенный интеграл— Приращение одной из первообразных функции f(x) на отрезке [a;b].

Общий вид определённого интеграла:

где f(x)–подынтегральная функция, a и b-пределы интегрирования, dx-дифференциал

Свойства определённого интеграла: см. св-ва определённого интеграла.

Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона –Лейбница:

Применение определённого интеграла:

1. Нахождение площади криволинейной трапеции

2. Нахождение величины скорости v по заданному закону ускорения a(t) за промежуток времени [t1;t2], т.е

Пример: Точка движется по закону ускорения a(t)=t+1. Найти величину ее скорости за промежуток времени [2;4] секунд.

Решение:

3. Нахождение пути S по закону изменения скорости v(t) за промежуток времени [t1;t2], т.е.

Пример: Найти путь, который проделала материальная точка за промежуток времени [2;4], двигаясь со скоростью, которая изменялась по закону: v(t)=2t+2.

Решение:

Стоит отметить, что, на сегодняшний день, интегральное и дифференциальное исчисление занимают лидирующие позиции в математике. Советую вам ознакомиться, более подробно, с широким применением интегралов в естествознании.

Источник

Неопределённый интеграл

Неопределённый интегра́л для функции — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция определена и непрерывна на промежутке и — её первообразная, то есть при , то

,

где С — произвольная постоянная.

Если , то и , где — произвольная функция, имеющая непрерывную производную

Содержание

Подведение под знак дифференциала

При подведении под знак дифференциала используются следующие свойства:

Основные методы интегрирования

1. Метод введения нового аргумента. Если

где — непрерывно дифференцируемая функция.

2. Метод разложения. Если

3. Метод подстановки. Если — непрерывна, то, полагая

где непрерывна вместе со своей производной , получим

4. Метод интегрирования по частям. Если и — некоторые дифференцируемые функции от , то

Таблица основных неопределённых интегралов

Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определённая) первообразная функция для соответствующей подынтегральной функции, справа же — одна определённая первообразная, к которой ещё прибавляется константа такая, чтобы выполнялось равенство между этими функциями.

Первообразные функции в этих формулах определены и непрерывны на тех интервалах, на которых определены и непрерывны соответствующие подынтегральные функции. Эта закономерность не случайна: как отмечено выше, всякая непрерывная на интервале функция имеет на нем непрерывную первообразную.

См. также

Литература

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Неопределённый интеграл» в других словарях:

неопределённый интеграл — см. Интегральное исчисление. * * * НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, см. Интегральное исчисление (см. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ) … Энциклопедический словарь

Неопределённый интеграл — общее выражение первообразной для подынтегральной функции f (x); обозначается Например, См. Интегральное исчисление … Большая советская энциклопедия

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ — см. Интегральное исчисление … Естествознание. Энциклопедический словарь

Определённый интеграл — Определённый интеграл аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая область в множестве задания этой функции (функционала).… … Википедия

Интеграл (значения) — Интеграл (см. также Первообразная, Численное интегрирование, Интегрирование по частям) математический оператор: Определённый интеграл Неопределённый интеграл различные определения интегралов: Интеграл расширение понятия суммы Интеграл Ито… … Википедия

Интеграл — (от лат. integer целый) одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости… … Большая советская энциклопедия

Интеграл — Определённый интеграл как площадь фигуры У этого термина существуют и другие значения, см. Интеграл (значения). Интеграл функции … Википедия

Определенный интеграл — Определённый интеграл как площадь фигуры В математическом анализе интегралом функции называют расширение понятия суммы. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием. Этот процесс обычно используется при нахождений таких величин как… … Википедия

Интегральное исчисление — раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. И. и. тесно связано с дифференциальным исчислением (См. Дифференциальное исчисление) и составляет вместе с ним одну из основных частей… … Большая советская энциклопедия

Исчисление — У этого термина существуют и другие значения, см. Исчисление (значения) … Википедия

Источник

Первообразная функция и неопределенный интеграл

Первообразная

Определение первообразной функции

Можно прочесть двумя способами:

Правила вычисления первообразных

Запомни!

Любая функция F(x) = х 2 + С, где С — произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х.

Связь между графиками функции и ее первообразной:

Неопределенный интеграл

Определение:

Свойства неопределённого интеграла

Таблица первообразных и неопределенных интегралов

Функция

Первообразная

F(x) + C

Неопределенные интегралы

\int f(x) dx = F(x) + C

Формула Ньютона–Лейбница

Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.

То есть, интеграл функции f (x) на интервале [a;b] равен разности первообразных в точках b и a.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b.

Площадь криволинейной трапеции находят по формуле Ньютона-Лейбница:

Источник

Как вычислить интеграл для чайников?

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Изучаем понятие «интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x). Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции.

Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры.

Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

Свойства определенного интеграла

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в х.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Интегралы – что это, как решать, примеры решений и объяснение для чайников

За 4 минуты вы узнаете, что такое интегрирование. Как интеграл связан с производными. Чем отличается определенный интеграл от неопределенного. 5 примеров вычисления интегралов

Почему вы не знаете, как решать интегралы

А для чего нужны интегралы? Попробуйте сами себе ответить на этот вопрос. Объясняя тему интегралов, учителя перечисляют малополезные школьным умам области применения. Среди них:

Связать все эти процессы не всегда получается, поэтому многие ученики путаются, даже при наличии всех базовых знаний для понимания интеграла.

Главная причина незнания – отсутствие понимания практической значимости интегралов.

Интеграл – что это?

Предпосылки. Потребность в интегрировании возникла в Древней Греции. В то время Архимед начал применять для нахождения площади окружности методы, похожие по сути на современные интегральные исчисления. Основным подходом для определения площади неровных фигур тогда был «Метод исчерпывания», который достаточно лёгок для понимания.

Суть метода. В данную фигуру вписывается монотонная последовательность других фигур, а затем вычисляется предел последовательности их площадей. Этот предел и принимался за площадь данной фигуры.

В этом методе легко прослеживается идея интегрального исчисления, которая заключается в нахождении предела бесконечной суммы. В дальнейшем эта идея применялась учёными для решения прикладных задач астронавтики, экономики, механики и др.

Современный интеграл. Классическая теория интегрирования была сформулирована в общем виде Ньютоном и Лейбницем. Она опиралась на существовавшие тогда законы дифференциального исчисления. Для её понимания, необходимо иметь некоторые базовые знания, которые помогут математическим языком описать визуальные и интуитивные представления об интегралах.

Объясняем понятие «Интеграл»

Процесс нахождения производной называется дифференцированием, а нахождение первообразной – интегрированием. Интеграл математическим языком – это первообразная функции (то, что было до производной) + константа «C».

Интеграл простыми словами – это площадь криволинейной фигуры. Неопределенный интеграл – вся площадь. Определенный интеграл – площадь в заданном участке.

Интеграл записывается так:

Каждая подынтегральная функция умножается на компонент «dx». Он показывает, по какой переменной осуществляется интегрирование. «dx» – это приращение аргумента. Вместо X может быть любой другой аргумент, например t (время).

Неопределённый интеграл

Определённый интеграл

В определенном интеграле на знаке интегрирования пишут ограничения «a» и «b». Они указаны на оси X в графике ниже.

Для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную, подставить в неё значения «a» и «b» и найти разность. В математике это называется формулой Ньютона-Лейбница:

Таблица интегралов для студентов (основные формулы)

Как вычислять интеграл правильно

Существует несколько простейших операций для преобразования интегралов. Вот основные из них:

Вынесение константы из-под знака интеграла

Разложение интеграла суммы на сумму интегралов

Если поменять местами a и b, знак изменится

Можно разбить интеграл на промежутки следующим образом

Это простейшие свойства, на основе которых потом будут формулироваться более сложные теоремы и методы исчисления.

Примеры вычисления интегралов

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Решение неопределенного интеграла

Решение определенного интеграла

Базовые понятия для понимания темы

Чтобы вы поняли суть интегрирования и не закрыли страницу от непонимания, мы объясним ряд базовых понятий. Что такое функция, производная, предел и первообразная.

Функция – правило, по которому все элементы из одного множества соотносятся со всеми элементами из другого.

Производная – функция, описывающая скорость изменения другой функции в каждой конкретной точке. Если говорить строгим языком, – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Он вычисляется вручную, но проще использовать таблицу производных, в которой собрано большинство стандартных функций.

Приращение – количественное изменение функции при некотором изменении аргумента.

Предел – величина, к которой стремиться значение функции, при стремлении аргумента к определённому значению.

Пример предела: допустим при X равном 1, Y будет равно 2. Но что, если X не равен 1, а стремится к 1, то есть никогда её не достигает? В этом случае y никогда не достигнет 2, а будет только стремиться к этой величине. На математическом языке это записывается так: limY(X), при X –> 1 = 2. Читается: предел функции Y(X), при x стремящемся к 1, равен 2.

Как уже было сказано, производная – это функция, описывающая другую функцию. Изначальная функция может быть производной для какой-либо другой функции. Эта другая функция называется первообразной.

Заключение

Найти интегралы не трудно. Если вы не поняли, как это делать, прочитайте статью еще раз. Со второго раза становится понятнее. Запомните! Решение интегралов сводится к простым преобразованиям подынтегральной функции и поиска её в таблице интегралов.

Источник

• ← Что такое стезя определение
• Что такое блок srs в автомобиле →