Что такое непозиционная система счисления в информатике
Какие системы счисления называются непозиционными
Что таоке непозиционная система счисления в информатике
В информатике используют позиционный и непозиционный метод записи чисел. Позиционный способ предполагает представление числовых обозначений в определенной последовательности для сохранения величины числа.
Непозиционная система счисления – это способ записи числа с помощью символов, в котором изменение положения знаков не влияет на значение величины числа.
Разновидности непозиционных систем счисления с примерами
Существует несколько видов непозиционной системы исчисления.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Биномиальная
В данном методе для записи чисел применяются биноминальные коэффициенты.
Биноминальные коэффициенты – это объединение количества сочетаний, определенное лишь для неотрицательных целых чисел. Такие обобщения зачастую возникают в задачах, требующих перебора всех возможных вариантов ответов, а также в теории вероятности.
Число x в рассматриваемой системе представляет собой сумму биноминальных коэффициентов:
Биноминальные числа бывают:
Пример преобразования матричной формы в линейную:
Каждой составляющей матрицы соответствует один биноминальный коэффициент. При сложении коэффициентов, соответствующих единицам в матрице, получится количественный эквивалент.
Применение биноминальных чисел:
Греческая
Греческая система счисления – это метод представления числа с помощью букв греческого алфавита и некоторых знаков доклассического периода. Другие названия данного способа – ионийская, новогреческая.
В Греции рассматриваемый алфавитный способ записи чисел стал применяться в III веке до н.э. Буквы греческого алфавита соответствуют следующим числам:
С помощью ионийской системы можно записать лишь числа от 1 до 999.
Римская
Римская система исчисления – это метод числовой записи посредством использования символов латинского алфавита.
Соответствие букв латиницы числовому значению:
Для представления чисел десятичной системы счисления в виде римских букв работают следующие правила:
При переводе числа 67 в римскую систему счисления получаем следующий набор латинских букв: LXVII = (50 + 10) + (5 + 2) = 60 + 7.
Применение данной системы исчисления:
Древнеегипетская
Способ записи чисел, используемый в Древнем Египте, основывался на иероглифах. С помощью этих символов записывались основные числа 1, 10, 100 и т.д. Другие числовые значения получались с помощью сложения ключевых чисел.
Действие производилось в следующей последовательности:
Вавилонская
Вавилонская система исчисления – это позиционный метод записи чисел с основанием 60, применявшийся в Древнем Вавилоне. Это первая известная шестидесятеричная система.
В данной системе счисления числа записываются справа налево в порядке убывания: сотни, десятки, единицы. Досчитав до 60, отмечают новый числовой ряд, запись чисел вновь начинается с 1.
Цифрами вавилонского числового метода считались клинья, разные для записи единиц, десятков и нуля.
В измерении времени: час состоит из 60 минут, а минуты – из 60 секунд.
В измерении углов: градус равен 60 минутам, а минута – 60 секундам.
Система счисления майя
Цифры майя – это позиционная запись чисел с основанием 20, используемая племенами майя.
Рассматриваемый способ исчисления состоял из нуля и 19 сложных цифр. Ноль имел обозначение пустой ракушки. Цифры составлялись из точки и горизонтальной черточки. Точка означала единицу, черта – пятерку.
Цифры майя применялась в календарных расчетах. В бытовых целях использовали непозиционный метод записи. Об этом свидетельствует то, что в позиционной системе счисления цивилизации майя имеется больше чисел, чем необходимые 12.
Непозиционные системы счисления
Здравствуйте, на этой странице рассмотрим одну из важных тем в информатике – а именно непозиционные системы счисления. Здесь вы узнаете, что является непозиционными системами, и познакомитесь с основными определениями, которые относятся к этой теме. Также затронем их отличия от позиционных нумераций и приведем достоинства и недостатки.
Определение непозиционной системы счисления
Непозиционными являются нумерации, где положение цифры в числе (разряд) не влияет на её значение.
Чтобы разобраться конкретно в том, что здесь написано, выберем самое популярное исчисление, которое называется десятичным. Вы все с ним знакомы. Им пользуются люди в большинстве стран мира. Алфавит десятичной нумерации состоит из арабских знаков – чисел от 0 до 9. Данный вид записи является позиционным. Почему, спросите вы? Всё просто. В качестве примера приведем два числа – 1000 и 10. Смотрите на цифру один – в зависимости от того, какое место она занимает в числе, меняется значение, которое она обозначает. В числе 1000 – тысячи, а 10 – десятки.
В непозиционных представлениях все обстоит совсем иначе. Давайте приведем в пример Римскую нотацию. Её вы тоже видели и с ней знакомы. Вспомните – в книгах по истории с помощью неё представляются века и номера монархов. Как пример, Петр I или Иван IV Грозный. Обратите внимание на I и IV, которые в арабском виде запишутся как 1 и 4. Здесь значение единицы не изменяется от того, какое место она занимает. На первом месте она стоит или на втором – неважно.
Историками считается, что исчисления, которые называются непозиционными, ведут свои корни от глубокой древности – это первые формы для счета, которые использовал человек. Поговорим дальше про их виды и разберем недостатки.
Примеры непозиционных систем счисления
Унарная непозиционная
Еще называется непозиционной единичной. Скорее всего, вы уже догадались, почему она так называется. Дело в том, что в этой форме записи используется только один знак. Это представление применяли древнейшие люди. Для записи значений использовались насечки на костях животных или стенах пещеры. Также в обиходе были зарубки на дереве. Используется до сих пор. Вспомните сериалы, где заключенные отсчитывают свои дни в неволе. Также применяется для обучения детей счету – так называемый пальцевый метод.
Унарная сс – отметки на кости
Римская непозиционная
Её мы уже привели выше. Используется до сих пор. В качестве алфавита здесь применяются латинские буквы, такие как V, I, D, M, C, X, L. Всё остальное же получается с помощью различного написания этих символов – здесь используются принципы вычитания и сложения. Так если младший разряд записывается перед старшим, то он вычитается. Если же наоборот, то складывается. Есть у неё и еще одна особенность – нет 0, который является отсутствием числа. Ниже приведена небольшая табличка с расшифровкой римских цифр.
Римское непозиционное счисление появилось в Риме на самом пике процветания империи. Однако и после того как империя распалась этим счислением пользовались еще очень долго. Она использовалась в Европе до 1200х годов, пока великий математик Леонардо Фибоначчи не издал трактат – “Книга Абака”. В нем ученый показывал превосходство позиционных систем над непозиционными.
Египетская непозиционная
Возникла в третьем тысячелетии до нашей эры. Все значения записывались здесь с помощью иероглифов. Каких-то особых правил здесь не существовало – все числовые значения просто складывались. Также не было и правил, которые относятся к записи – последовательность могла быть записана, как слева на право, так и справа налево. Иероглифы могли занимать любой разряд. Ниже приведена табличка со значениями некоторых из них.
Алфавитные системы счисления
Стоит отметить эти формы записи. Здесь все очень просто – каждой букве алфавита сопоставлялась цифра. Стоит отметить, что эти непозиционные системы являются более совершенными, чем все предыдущие, поскольку имелись обозначения десятков и сотен. К недостаткам можно отнести их сложность. Здесь можно выбрать два популярных примера.
Славянская
Использовалась нашими предками во времена древней Руси. Первые записи о ней в летописи временных лет появляются с начала десятого века. Каждой букве глаголицы соответствовало некоторое число. Полностью вышла из использования во времена Российской Империи в восемнадцатом веке, её место заняло десятичное исчисление. Пользуемся мы им, и посей день.
Греческая
Она же называется непозиционной новогреческой или ионийской. Упоминания о ней датируются третьим веком до нашей эры. Здесь счет велся буквами, которые употреблялись в римской письменности. Пришла на смену старогреческому формату. По сути, непозиционное кириллическое представление является её копией.
Достоинства и недостатки. Возможность использования в информатике и других науках.
К достоинствам можно отнести только их простоту. Как мы уже говорили выше, та же унарная непозиционная система применяется для обучения детей. Однако недостатков у них гораздо больше и они очень существенные:
Всё эти недостатки делают их использование в математике и информатике непрактичным.
Заключение
В качестве итогов можно сказать, что после прочтения этого материала вы имеете полное представление о том, что называется непозиционными системами счисления, овладели нужным определением. Знаете виды, которые использовали разные народы в различных частях земного шара. Теперь вы имеете представление о том, как считали люди в Риме, Египте, Греции и древней Руси. Знаете их плюсы и минусы. Понимаете, почему нельзя использовать их в информатике. Как по мне тема достаточно легкая, но очень интересная. При возникновении вопросов задайте их в комментариях к этой записи. Буду рад на них ответить. Также вы можете почитать другие материалы, которые затрагивают информатику на нашем сайте.
Что такое непозиционная система счисления в информатике
Любой вид информации можно представить в виде чисел. Кодирование информации с помощью чисел осуществляется по определённым правилам. Для понимания этих правил, разберём логику образования любого числа.
| Система счисления – это правила записи чисел с помощью знаков – цифр и операций над ними.
Любое число, в данной системе счисления, образуется путём повторения одинаковых элементов (палочка, камешек, ракушка и т.д.).
Данная система счисления позволяет записывать только натуральные числа и запись «большого» числа получается очень громоздкой.
В дальнейшем, у человечества возникла необходимость производить серьёзные подсчёты. Для этого были придуманы непозиционные системы счисления.
| Непозиционная система счисления – это система счисления, в которой цифра не изменяет своего значения, от изменения позиции в числе.
Египетская система счисления 
Кириллическая система счисления 
Римская система счисления 
| Позиционная система счисления – это система счисления, в которой цифра изменяет своё значения, при изменении позиции в числе.
Вспомним, что любое число в десятичной (арабской) системе счисления можно разложить на разряды. Например, в числе 753 цифра 7 обозначает сотни (700), цифра 5 – десятки (50), цифра 3 – единицы. Таким образом, число можно представить, как:
753 = 7 * 100 + 5 * 10 + 3 * 1
| Алфавит системы счисления – совокупность всех её цифр.
| Основание системы счисления – указывает на количество цифр в данной системе счисления.
Алфавит десятичной системы счисления состоит из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Следовательно, основанием данной системы счисления является 10.
Тогда, любое число будем записывать по правилу, с указанием основания данной системы счисления:
Число читается, как «семьсот пятьдесят три по основанию десять» или «семьсот пятьдесят три в десятичной системе счисления».
| Разряд – это позиция цифры в числе (нумерация в целых числах производится с права налево, начиная с нуля).
Укажем разряд каждой цифры в числе 753:
Развёрнутая форма представления чисел
В результате разбиения числа на разряды, любое такое число можно представить в развёрнутой форме.
Формула развёрнутой формы представления чисел:
q – основание системы счисления;
a – цифра данного числа;
n – число разрядов в числе.
Представим число 75310 в развёрнутой форме.
1) Определим позиции каждой цифры в числе:
Каждую цифру в числе, умножим в соответствии занимаемой позицией:
Для упрощения данной записи, представим данное число, как основание 10 в степени n:
Запишем полученный результат.
Обратите внимание, что степень основания числа совпадает с позицией каждой цифры в числе!
Перевод числа в десятичную систему счисления
С помощью развёрнутой формы представления чисел можно перевести число из любой системы счисления в десятичную.
✒ Определение: каждую цифру числа нужно умножить на его основание, возведённое в степень, равную позиции цифры в числе.
Двоичная система счисления
Алфавит системы счисления: 0, 1.
Перевод десятичного числа в двоичную систему счисления методом подбора степеней числа 2
Для перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления, используют метод подбора степеней двойки.
Пусть дано десятичное число 2110.
1) Подберём ближайшую наименьшую степень числа 2 к данному числу: 2 4 = 16;
3) Повторить, пока не достигнем нуля.
В результате, мы получим следующие степени:
Найденные нами степени – это позиции цифры 1 в двоичном числе, а отсутствующие степени – это нули:
Перевод целого десятичного числа в другую систему счисления методом деления на новое основание
✒ Определение: Для перевода целого десятичного числа в другую систему счисления, необходимо делить данное число на новое основание (той системы счисления, в которую необходимо осуществить перевод). Ответ складывается из остатков от деления.
Переведите число 1310 в двоичную систему счисления.
Перевод целого десятичного числа в другую систему счисления методом деления на новое основание
✒ Определение: Для перевода целого десятичного числа в другую систему счисления, необходимо делить данное число на новое основание (той системы счисления, в которую необходимо осуществить перевод). Ответ складывается из остатков от деления.
Переведите число 9710 в четверичную систему счисления.
Перевод методом триад и тетрад
✒ Определение: Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмеричную, его необходимо разбить на триады. Если не хватает цифр до полной триады, её дополняют незначащими нулями.
Число 11001001102 перевести в восьмеричную систему счисления.
| Незначащий нуль – это нули перед или после числа, дополнение которыми никак не изменяет значение самого числа.
Дополним число 112 до триады:
Дополним число 11,012 до двух триад:
✒ Определение: Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, его необходимо разбить на тетрады. Если не хватает цифр до полной тетрады, её дополняют незначащими нулями.
Число 11001011002 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.
Непозиционные системы счисления
1. Вычислите десятичное число, записанное в римской системе счисления:
| а) XVII | д) DCCCXLVI | з) DCCXCV |
| б) LXXII | е) CCXLVIII | к) CCCLXXII |
| в) CXXIX | ж) DXCIX | л) DCCLXXVII |
| г) XCIX | з) DCCXCV | м) MMCMXCIX |
2. Представьте данное десятичное число в римской системе счисления:
| а) 42 | д) 426 | з) 925 |
| б) 76 | е) 267 | к) 2019 |
| в) 132 | ж) 142 | л) 1744 |
| г) 198 | з) 530 | м) 3333 |
Позиционные системы счисления
3. Определите вес (позицию) цифры 3 в числе 8736.
4. Определите вес (позицию) цифры 4 в числе 4865.
5. Определите вес (позицию) цифры 2 в числе 112358.
6. Определите вес (позицию) цифры 9 в числе 9631.
7. Определите вес (позицию) цифры 5 в числе 835776.
8. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1.
9. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1; 2; 3.
10. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.
11. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1; 2; 3; 4.
12. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; А; В.
13. Некоторое число представлено в развёрнутой форме. Запишите это число в свёрнутой форме представления и укажите основание системы счисления, в которой записано это число:
14. Запишите число в развёрнутой форме представления:
Переводы методом развёрнутой формы представления
15. Выполните перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему методом развёрнутой формы представления числа:
| а) 1100 | д) 1100011 | з) 1001110111000 |
| б) 11000 | е) 100101101 | к) 1001000010111 |
| в) 101010 | ж) 101110110 | л) 101110101111 |
| г) 1100011 | з) 111111 | м) 1111111 |
16. Даны числа в различных системах счисления. Выполните перевод в десятичную систему методом развёрнутой формы представления числа:
17. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом подбора степеней числа 2:
| а) 42 | д) 232 | з) 400 |
| б) 97 | е) 286 | к) 405 |
| в) 111 | ж) 309 | л) 528 |
18. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом деления на новое основание:
| а) 20 | д) 100 | з) 568 |
| б) 31 | е) 102 | к) 443 |
| в) 49 | ж) 127 | л) 500 |
| г) 96 | з) 269 | м) 600 |
19. Сравните числа, записанные в двоичной системе счисления:
20. Выполните перевод из десятичной системы счисления в восьмеричную методом деления на новое основание:
| а) 29 | д) 189 | з) 247 |
| б) 46 | е) 154 | к) 549 |
| в) 99 | ж) 177 | л) 627 |
| г) 110 | з) 133 | м) 633 |
21. Выполните перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную методом деления на новое основание:
| а) 118 | д) 248 | з) 511 |
| б) 126 | е) 216 | к) 918 |
| в) 149 | ж) 299 | л) 1200 |
| г) 113 | з) 303 | м) 1346 |
22. Выполните перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную методом разбиения числа на триады и тетрады:
Непозиционные системы счисления
Непозиционной называется система, в которой число представляется совокупностью узловых и алгебраических чисел. Положение цифры в записи при этом не имеет значения.
Немного истории
Непозиционная система была одной из первых, которую стали использовать люди. Самой древней из них является египетская (2,5-3 тыс. лет до нашей эры). Числа в ней записывались с помощью иероглифов, которые подчинялись «принципу сложения». Аналогичный принцип был у греческой, римской и других систем счисления древности.
Древнеегипетская система
В древнеегипетской системе счисления в качестве цифр использовались единица и десятичные разряды: 10, 100, 1000 и так далее.
Поэтому запись чисел в данной системе была еще более длинной, по сравнению с римской:
Римская система
Римские числа знакомы всем еще со школы. Алфавит этой системы счисления состоит из цифр 1, 5 и ряда десятичных разрядов:
| 1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
| I | V | X | L | C | D | M |
Данные основные (узловые) числа используются для записи других чисел путем сложения ли вычитания меньшего числа из большего. При этом числа I, X, C, M не повторяются более трех раз, а V, L, D не могут идти друг за другом вовсе.
Запись больших чисел в такой системе выглядит громоздко:
2589 = 2000 + 500 + 80 + 9 = MM + D + LXXX + IX = MMDLXXXIX
И правильно прочитать его, следует мысленно разбить его на разряды.
Древнегреческая система
В основе данного вида счисления Древней Греции лежал алфавит, схожий с римским:
| 1 | 5 | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
| I | Г | Δ | H | X | M |
Затем ему на смену пришел ионийский, который предполагал использование букв греческого алфавита.
Чтобы записать какое-либо число, греки использовали принцип совокупности используемых цифр. Из прочих непозиционных систем греческая является наиболее упрощенной.
Минусы непозиционных систем
Основная сложность работы с данными системами счисления состоит в записи больших чисел. Их написание может быть слишком объемным и сложным для чтения. Если же упрощать запись за счет введения новых цифр, как в греческой системе, требуется создавать большой алфавит, что тоже неудобно.