Что такое непозиционная система счисления в информатике

Какие системы счисления называются непозиционными

Что таоке непозиционная система счисления в информатике

В информатике используют позиционный и непозиционный метод записи чисел. Позиционный способ предполагает представление числовых обозначений в определенной последовательности для сохранения величины числа.

Непозиционная система счисления – это способ записи числа с помощью символов, в котором изменение положения знаков не влияет на значение величины числа.

Разновидности непозиционных систем счисления с примерами

Существует несколько видов непозиционной системы исчисления.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Биномиальная

В данном методе для записи чисел применяются биноминальные коэффициенты.

Биноминальные коэффициенты – это объединение количества сочетаний, определенное лишь для неотрицательных целых чисел. Такие обобщения зачастую возникают в задачах, требующих перебора всех возможных вариантов ответов, а также в теории вероятности.

Число x в рассматриваемой системе представляет собой сумму биноминальных коэффициентов:

Биноминальные числа бывают:

Пример преобразования матричной формы в линейную:

Каждой составляющей матрицы соответствует один биноминальный коэффициент. При сложении коэффициентов, соответствующих единицам в матрице, получится количественный эквивалент.

Применение биноминальных чисел:

Греческая

Греческая система счисления – это метод представления числа с помощью букв греческого алфавита и некоторых знаков доклассического периода. Другие названия данного способа – ионийская, новогреческая.

В Греции рассматриваемый алфавитный способ записи чисел стал применяться в III веке до н.э. Буквы греческого алфавита соответствуют следующим числам:

С помощью ионийской системы можно записать лишь числа от 1 до 999.

Римская

Римская система исчисления – это метод числовой записи посредством использования символов латинского алфавита.

Соответствие букв латиницы числовому значению:

Для представления чисел десятичной системы счисления в виде римских букв работают следующие правила:

При переводе числа 67 в римскую систему счисления получаем следующий набор латинских букв: LXVII = (50 + 10) + (5 + 2) = 60 + 7.

Применение данной системы исчисления:

Древнеегипетская

Способ записи чисел, используемый в Древнем Египте, основывался на иероглифах. С помощью этих символов записывались основные числа 1, 10, 100 и т.д. Другие числовые значения получались с помощью сложения ключевых чисел.

Действие производилось в следующей последовательности:

Вавилонская

Вавилонская система исчисления – это позиционный метод записи чисел с основанием 60, применявшийся в Древнем Вавилоне. Это первая известная шестидесятеричная система.

В данной системе счисления числа записываются справа налево в порядке убывания: сотни, десятки, единицы. Досчитав до 60, отмечают новый числовой ряд, запись чисел вновь начинается с 1.

Цифрами вавилонского числового метода считались клинья, разные для записи единиц, десятков и нуля.

В измерении времени: час состоит из 60 минут, а минуты – из 60 секунд.

В измерении углов: градус равен 60 минутам, а минута – 60 секундам.

Система счисления майя

Цифры майя – это позиционная запись чисел с основанием 20, используемая племенами майя.

Рассматриваемый способ исчисления состоял из нуля и 19 сложных цифр. Ноль имел обозначение пустой ракушки. Цифры составлялись из точки и горизонтальной черточки. Точка означала единицу, черта – пятерку.

Цифры майя применялась в календарных расчетах. В бытовых целях использовали непозиционный метод записи. Об этом свидетельствует то, что в позиционной системе счисления цивилизации майя имеется больше чисел, чем необходимые 12.

Источник

Непозиционные системы счисления

Здравствуйте, на этой странице рассмотрим одну из важных тем в информатике – а именно непозиционные системы счисления. Здесь вы узнаете, что является непозиционными системами, и познакомитесь с основными определениями, которые относятся к этой теме. Также затронем их отличия от позиционных нумераций и приведем достоинства и недостатки.

Определение непозиционной системы счисления

Непозиционными являются нумерации, где положение цифры в числе (разряд) не влияет на её значение.

Чтобы разобраться конкретно в том, что здесь написано, выберем самое популярное исчисление, которое называется десятичным. Вы все с ним знакомы. Им пользуются люди в большинстве стран мира. Алфавит десятичной нумерации состоит из арабских знаков – чисел от 0 до 9. Данный вид записи является позиционным. Почему, спросите вы? Всё просто. В качестве примера приведем два числа – 1000 и 10. Смотрите на цифру один – в зависимости от того, какое место она занимает в числе, меняется значение, которое она обозначает. В числе 1000 – тысячи, а 10 – десятки.

В непозиционных представлениях все обстоит совсем иначе. Давайте приведем в пример Римскую нотацию. Её вы тоже видели и с ней знакомы. Вспомните – в книгах по истории с помощью неё представляются века и номера монархов. Как пример, Петр I или Иван IV Грозный. Обратите внимание на I и IV, которые в арабском виде запишутся как 1 и 4. Здесь значение единицы не изменяется от того, какое место она занимает. На первом месте она стоит или на втором – неважно.

Историками считается, что исчисления, которые называются непозиционными, ведут свои корни от глубокой древности – это первые формы для счета, которые использовал человек. Поговорим дальше про их виды и разберем недостатки.

Примеры непозиционных систем счисления

Унарная непозиционная

Еще называется непозиционной единичной. Скорее всего, вы уже догадались, почему она так называется. Дело в том, что в этой форме записи используется только один знак. Это представление применяли древнейшие люди. Для записи значений использовались насечки на костях животных или стенах пещеры. Также в обиходе были зарубки на дереве. Используется до сих пор. Вспомните сериалы, где заключенные отсчитывают свои дни в неволе. Также применяется для обучения детей счету – так называемый пальцевый метод.

Унарная сс – отметки на кости

Римская непозиционная

Её мы уже привели выше. Используется до сих пор. В качестве алфавита здесь применяются латинские буквы, такие как V, I, D, M, C, X, L. Всё остальное же получается с помощью различного написания этих символов – здесь используются принципы вычитания и сложения. Так если младший разряд записывается перед старшим, то он вычитается. Если же наоборот, то складывается. Есть у неё и еще одна особенность – нет 0, который является отсутствием числа. Ниже приведена небольшая табличка с расшифровкой римских цифр.

Римское непозиционное счисление появилось в Риме на самом пике процветания империи. Однако и после того как империя распалась этим счислением пользовались еще очень долго. Она использовалась в Европе до 1200х годов, пока великий математик Леонардо Фибоначчи не издал трактат – “Книга Абака”. В нем ученый показывал превосходство позиционных систем над непозиционными.

Египетская непозиционная

Возникла в третьем тысячелетии до нашей эры. Все значения записывались здесь с помощью иероглифов. Каких-то особых правил здесь не существовало – все числовые значения просто складывались. Также не было и правил, которые относятся к записи – последовательность могла быть записана, как слева на право, так и справа налево. Иероглифы могли занимать любой разряд. Ниже приведена табличка со значениями некоторых из них.

Алфавитные системы счисления

Стоит отметить эти формы записи. Здесь все очень просто – каждой букве алфавита сопоставлялась цифра. Стоит отметить, что эти непозиционные системы являются более совершенными, чем все предыдущие, поскольку имелись обозначения десятков и сотен. К недостаткам можно отнести их сложность. Здесь можно выбрать два популярных примера.

Славянская

Использовалась нашими предками во времена древней Руси. Первые записи о ней в летописи временных лет появляются с начала десятого века. Каждой букве глаголицы соответствовало некоторое число. Полностью вышла из использования во времена Российской Империи в восемнадцатом веке, её место заняло десятичное исчисление. Пользуемся мы им, и посей день.

Греческая

Она же называется непозиционной новогреческой или ионийской. Упоминания о ней датируются третьим веком до нашей эры. Здесь счет велся буквами, которые употреблялись в римской письменности. Пришла на смену старогреческому формату. По сути, непозиционное кириллическое представление является её копией.

Достоинства и недостатки. Возможность использования в информатике и других науках.

К достоинствам можно отнести только их простоту. Как мы уже говорили выше, та же унарная непозиционная система применяется для обучения детей. Однако недостатков у них гораздо больше и они очень существенные:

Всё эти недостатки делают их использование в математике и информатике непрактичным.

Заключение

В качестве итогов можно сказать, что после прочтения этого материала вы имеете полное представление о том, что называется непозиционными системами счисления, овладели нужным определением. Знаете виды, которые использовали разные народы в различных частях земного шара. Теперь вы имеете представление о том, как считали люди в Риме, Египте, Греции и древней Руси. Знаете их плюсы и минусы. Понимаете, почему нельзя использовать их в информатике. Как по мне тема достаточно легкая, но очень интересная. При возникновении вопросов задайте их в комментариях к этой записи. Буду рад на них ответить. Также вы можете почитать другие материалы, которые затрагивают информатику на нашем сайте.

Источник

Что такое непозиционная система счисления в информатике

Любой вид информации можно представить в виде чисел. Кодирование информации с помощью чисел осуществляется по определённым правилам. Для понимания этих правил, разберём логику образования любого числа.

| Система счисления – это правила записи чисел с помощью знаков – цифр и операций над ними.

Любое число, в данной системе счисления, образуется путём повторения одинаковых элементов (палочка, камешек, ракушка и т.д.).

Данная система счисления позволяет записывать только натуральные числа и запись «большого» числа получается очень громоздкой.

В дальнейшем, у человечества возникла необходимость производить серьёзные подсчёты. Для этого были придуманы непозиционные системы счисления.

| Непозиционная система счисления – это система счисления, в которой цифра не изменяет своего значения, от изменения позиции в числе.

Египетская система счисления
Кириллическая система счисления
Римская система счисления
| Позиционная система счисления – это система счисления, в которой цифра изменяет своё значения, при изменении позиции в числе.

Вспомним, что любое число в десятичной (арабской) системе счисления можно разложить на разряды. Например, в числе 753 цифра 7 обозначает сотни (700), цифра 5 – десятки (50), цифра 3 – единицы. Таким образом, число можно представить, как:

753 = 7 * 100 + 5 * 10 + 3 * 1
| Алфавит системы счисления – совокупность всех её цифр.

| Основание системы счисления – указывает на количество цифр в данной системе счисления.

Алфавит десятичной системы счисления состоит из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Следовательно, основанием данной системы счисления является 10.

Тогда, любое число будем записывать по правилу, с указанием основания данной системы счисления:

Число читается, как «семьсот пятьдесят три по основанию десять» или «семьсот пятьдесят три в десятичной системе счисления».

| Разряд – это позиция цифры в числе (нумерация в целых числах производится с права налево, начиная с нуля).

Укажем разряд каждой цифры в числе 753:

Развёрнутая форма представления чисел

В результате разбиения числа на разряды, любое такое число можно представить в развёрнутой форме.

Формула развёрнутой формы представления чисел:

q – основание системы счисления;

a – цифра данного числа;

n – число разрядов в числе.

Представим число 75310 в развёрнутой форме.

1) Определим позиции каждой цифры в числе:

Каждую цифру в числе, умножим в соответствии занимаемой позицией:

Для упрощения данной записи, представим данное число, как основание 10 в степени n:

Запишем полученный результат.

Обратите внимание, что степень основания числа совпадает с позицией каждой цифры в числе!

Перевод числа в десятичную систему счисления

С помощью развёрнутой формы представления чисел можно перевести число из любой системы счисления в десятичную.

✒ Определение: каждую цифру числа нужно умножить на его основание, возведённое в степень, равную позиции цифры в числе.

Двоичная система счисления

Алфавит системы счисления: 0, 1.

Перевод десятичного числа в двоичную систему счисления методом подбора степеней числа 2

Для перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления, используют метод подбора степеней двойки.

Пусть дано десятичное число 21_10.

1) Подберём ближайшую наименьшую степень числа 2 к данному числу: 2 4 = 16;

3) Повторить, пока не достигнем нуля.

В результате, мы получим следующие степени:

Найденные нами степени – это позиции цифры 1 в двоичном числе, а отсутствующие степени – это нули:

Перевод целого десятичного числа в другую систему счисления методом деления на новое основание

✒ Определение: Для перевода целого десятичного числа в другую систему счисления, необходимо делить данное число на новое основание (той системы счисления, в которую необходимо осуществить перевод). Ответ складывается из остатков от деления.

Переведите число 13₁₀ в двоичную систему счисления.

Перевод целого десятичного числа в другую систему счисления методом деления на новое основание

✒ Определение: Для перевода целого десятичного числа в другую систему счисления, необходимо делить данное число на новое основание (той системы счисления, в которую необходимо осуществить перевод). Ответ складывается из остатков от деления.

Переведите число 97₁₀ в четверичную систему счисления.

Перевод методом триад и тетрад

✒ Определение: Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмеричную, его необходимо разбить на триады. Если не хватает цифр до полной триады, её дополняют незначащими нулями.

Число 1100100110₂ перевести в восьмеричную систему счисления.

| Незначащий нуль – это нули перед или после числа, дополнение которыми никак не изменяет значение самого числа.

Дополним число 11₂ до триады:

Дополним число 11,01₂ до двух триад:

✒ Определение: Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, его необходимо разбить на тетрады. Если не хватает цифр до полной тетрады, её дополняют незначащими нулями.

Число 1100101100₂ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Непозиционные системы счисления

1. Вычислите десятичное число, записанное в римской системе счисления:

2. Представьте данное десятичное число в римской системе счисления:

Позиционные системы счисления

3. Определите вес (позицию) цифры 3 в числе 8736.

4. Определите вес (позицию) цифры 4 в числе 4865.

5. Определите вес (позицию) цифры 2 в числе 112358.

6. Определите вес (позицию) цифры 9 в числе 9631.

7. Определите вес (позицию) цифры 5 в числе 835776.

8. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1.

9. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1; 2; 3.

10. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.

11. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1; 2; 3; 4.

12. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; А; В.

13. Некоторое число представлено в развёрнутой форме. Запишите это число в свёрнутой форме представления и укажите основание системы счисления, в которой записано это число:

14. Запишите число в развёрнутой форме представления:

Переводы методом развёрнутой формы представления

15. Выполните перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему методом развёрнутой формы представления числа:

16. Даны числа в различных системах счисления. Выполните перевод в десятичную систему методом развёрнутой формы представления числа:

17. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом подбора степеней числа 2:

18. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом деления на новое основание:

19. Сравните числа, записанные в двоичной системе счисления:

20. Выполните перевод из десятичной системы счисления в восьмеричную методом деления на новое основание:

21. Выполните перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную методом деления на новое основание:

22. Выполните перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную методом разбиения числа на триады и тетрады:

Источник

Непозиционные системы счисления

Непозиционной называется система, в которой число представляется совокупностью узловых и алгебраических чисел. Положение цифры в записи при этом не имеет значения.

Немного истории

Непозиционная система была одной из первых, которую стали использовать люди. Самой древней из них является египетская (2,5-3 тыс. лет до нашей эры). Числа в ней записывались с помощью иероглифов, которые подчинялись «принципу сложения». Аналогичный принцип был у греческой, римской и других систем счисления древности.

Древнеегипетская система

В древнеегипетской системе счисления в качестве цифр использовались единица и десятичные разряды: 10, 100, 1000 и так далее.

Поэтому запись чисел в данной системе была еще более длинной, по сравнению с римской:

Римская система

Римские числа знакомы всем еще со школы. Алфавит этой системы счисления состоит из цифр 1, 5 и ряда десятичных разрядов:

Данные основные (узловые) числа используются для записи других чисел путем сложения ли вычитания меньшего числа из большего. При этом числа I, X, C, M не повторяются более трех раз, а V, L, D не могут идти друг за другом вовсе.

Запись больших чисел в такой системе выглядит громоздко:

2589 = 2000 + 500 + 80 + 9 = MM + D + LXXX + IX = MMDLXXXIX

И правильно прочитать его, следует мысленно разбить его на разряды.

Древнегреческая система

В основе данного вида счисления Древней Греции лежал алфавит, схожий с римским:

Затем ему на смену пришел ионийский, который предполагал использование букв греческого алфавита.

Чтобы записать какое-либо число, греки использовали принцип совокупности используемых цифр. Из прочих непозиционных систем греческая является наиболее упрощенной.

Минусы непозиционных систем

Основная сложность работы с данными системами счисления состоит в записи больших чисел. Их написание может быть слишком объемным и сложным для чтения. Если же упрощать запись за счет введения новых цифр, как в греческой системе, требуется создавать большой алфавит, что тоже неудобно.

Источник