Что такое неправильная пирамида

30.10.202318.04.2022 admin 0 Comments

Пирамида

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

Некоторые свойства пирамиды

1) Если все боковые ребра равны, то

– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Виды пирамид

Для правильной пирамиды справедливо:

– боковые ребра правильной пирамиды равны;

– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;

– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

Источник

Что такое неправильная пирамида. Пирамида

Здесь собраны основные сведения о пирамидах и связанных с ней формулах и понятиях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ.

Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

Комментарий репетитора :
Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение. Легко доказать, что из равенства следует совпадение центра P многоугольника с основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.

Свойство основания высоты пирамиды:

Точка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:
1) Все апофемы равны
2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию
3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды
4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням

Комментарий репетитора по математике : обратите внимание, что все пункты объединяет одно общее свойство: так или иначе везде участвуют боковые грани (апофемы — это их элементы). Поэтому репетитор может предложить менее точную, но более удобную для заучивания формулировку: точка P совпадает с центром вписанной окружности основание пирамиды, если имеется любая равная информация о ее боковых гранях. Для доказательства достаточно показать, что все апофемные треугольники равны.

Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий:
1) Все боковые ребра равны
2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию
3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте

Для начала вспомним определение:

Вершины четырехугольной пирамиды

Вводим систему координат с началом в точке A :

Рассмотрим треугольники ASH и ABH :

Итого координаты точки S :

В заключение, выпишем координаты всех вершин правильной прямоугольной пирамиды:

Что делать, когда ребра разные

А что, если боковые ребра пирамиды не равны ребрам основания? В этом случае рассмотрим треугольник AHS :

Координаты x и y этой точки мы уже знаем: x = y = 0,5. Это следует из двух фактов:

Итак, координаты точки S :

Свойства пирамиды.

1. Когда все боковые ребра имеют одинаковую величину, тогда:

2. Когда боковые грани имеют угол наклона к плоскости основания одной величины, тогда:

3. Около пирамиды можно описать сферу в том случае, если в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы станет точка пересечения плоскостей, которые проходят через середины ребер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы делаем вывод, что как около всякой треугольной, так и около всякой правильной пирамиды можно описать сферу.

4. В пирамиду можно вписать сферу в том случае, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в 1-ной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка станет центром сферы.

По количеству углов основания пирамиды делят на треугольные, четырехугольные и так далее.

Источник

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Пирамида – многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников

Основание пирамиды – грань пирамиды, являющаяся n-угольником

Вершина пирамиды – общая точка всех треугольников, лежащих в боковых гранях.

Боковая грань – грань пирамиды, являющаяся треугольником

Боковые ребра – общие отрезки боковых граней

Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды

Правильная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину и центр основания пирамиды, является высотой

Усеченная пирамида – многогранник, образованный двумя n-угольниками, расположенными в параллельных плоскостях (нижнее и верхнее основание) и n-четырехугольников (боковые грани).

Площадь полной поверхности пирамиды – сумма площадей всех граней пирамиды

Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей боковых граней пирамиды

Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. и профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений.. – М.: Дрофа, 2009. – 368 с.: ил. (117 с. – 121 с.)

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255 с. (65 с. – 68 с.)

Открытые электронные ресурсы:

Многогранники.ru – сайт о создании моделей многогранников из бумаги https://www.mnogogranniki.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим многоугольник A₁A₂. A_n и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника (рис.1). Соединив точку Р с вершинами многоугольника, получим n треугольников: PA₁A₂, PA₂A₃,…, PA_nA₁.

Многогранник, составленный из n-угольника A₁A₂. A_n и n треугольников, называется пирамидой. Многоугольник A₁A₂. A_n называется основанием, а треугольники PA₁A₂, PA₂A₃,…, PA_nA₁ – боковые грани пирамиды, отрезки PA₁, PA₂,…, PA_n – боковые ребра пирамиды, точка Р – вершина пирамиды. Пирамиду с основанием A₁A₂. A_n и вершиной Р называют n-угольной пирамидой и обозначают PA₁A₂. A_n.

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 1 PH является высотой. Обратите внимание, что высота может лежать и вне пирамиды (рис. 3) или быть одним из боковых ребер (рис. 4).

Рисунок 3 – высота вне пирамиды

Будем называть пирамиду правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. Напомним, что центром правильного многоугольника называется центр вписанной в него (или описанной около него) окружности (рис.5).

Рисунок 5 – Правильная пирамида

Правильная пирамида обладает несколькими хорошими свойствами. Давайте выясним, какими.

Рассмотрим правильную пирамиду PA₁A₂. A_n (рис. 5).

Пусть О – центр описанной около основания окружности, тогда РО – высота пирамиды, значит РО перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости основания. Таким образом, высота РО перпендикулярна радиусам А₁О, А₂О. А_nО.

Боковые ребра пирамиды равны, значит боковые грани – равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников равны друг другу, так как в основании лежит правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников.

Таким образом, верны следующие утверждения:

Введем еще одно определение. Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На рисунке 5 PE – одна из апофем.

Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу как высоты в равных треугольниках.

Возьмем произвольную пирамиду PA₁A₂. A_n и проведем секущую плоскость β, параллельную плоскости основания пирамиды α и пересекающую боковые ребра в точках В₁,В₂. В_n (рис. 6). Плоскость β разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются n-угольники A₁A₂. A_n и В₁В₂. В_n (нижнее и верхнее основания соответственно), расположенные в параллельных плоскостях и n четырехугольников A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂, … A₁A_nB_nB₁ (боковые грани), называется усеченной пирамидой.

Рисунок 6 – Усеченная пирамида

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания называется высотой усеченной пирамиды. На рисунке 7 отрезки HH₁ и В1O –высоты усеченной пирамиды.

Рисунок 7 – Высота усеченной пирамиды

Площадь поверхности пирамиды

Площадью полной поверхности пирамиды называются сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней.

Для пирамиды, верно равенство S_полн= S_бок+S_осн.

Докажем теорему для площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Для площади боковой поверхности усеченной пирамиды верна следующая теорема

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Задание 1. В пятиугольной пирамиде все боковые грани равны между собой. Площадь основания равна 42, а площадь боковой грани на 15 меньше. Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?

Поскольку в пирамиде все боковые грани равны, то и площади их будут равны. Знаем, что площадь боковой грани на 15 меньше площади основания, значит она равна 27. В пятиугольной пирамиде боковых граней 5. Таким образом площадь полной поверхности равна 27*5+42 = 177.

Задание 2. В правильной пирамиде высота боковой грани равна 10, а в основании лежит квадрат со стороной 4. Чему равна площадь боковой поверхности?

Боковая грань пирамиды – это треугольник. Все боковые грани этой пирамиды равны между собой, так как пирамида правильная. Вычислим площадь треугольника: ½*4*10=20. В основании пирамиды лежит квадрат, значит боковых граней будет 4. Таким образом, площадь боковой поверхности равна 4* 20=80.

Источник

Урок по математике для 10 класса по теме «Неправильные пирамиды»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Выбранный для просмотра документ пирамиды.doc

Нижегородская область Ветлужский район

Муниципальное образовательное учреждение

Белышевская средняя общеобразовательная школа

Проект изучения темы:

«Пирамида. Неправильные пирамиды»

Геометрия, 10 – 11: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов,

606860 Нижегородская область Ветлужский район

с. Белышево МОУ Белышевская средняя школа

1. Обзор математической и методической литературы по теме, сравнительный анализ содержания темы в различных школьных учебниках.

Всемирная история (энциклопедия для детей). – М.: “Аванта+”, 1993.

Геометрия, 10 – 11: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – 11-е изд. – М.: Просвещение.

Геометрия. 10 класс: поурочные планы по учебнику Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева и др. / авт.-сост. Г.И. Ковалева – Волгоград: Учитель. – 125с.

Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ.высш.пед.учеб.заведений /В.А.Гусев, В.В.Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В.А. Гусева. – М.: Издательский центр «Академия». – 368 с.

Математический энциклопедический словарь. А. М. Прохоров и др. – М.: Советская энциклопедия,

Современные проблемы теории и практики общеобразовательной и высшей педагогической школы: Информационный бюллетень науч.-метод. Отдела. Выпуск 7.-Н.Новгород: НГПУ, 2005.

(1) В данной книге в занимательной и доступной форме дается исторический материал для детей разных возрастов.

(2) Учебник Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева и др. для общеобразовательных учреждений.

(3) В данном пособии приводятся методические рекомендации к курсу геометрии по учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия 10-11». Пособие содержит поурочные планы, составленные в соответствии с программой и «Обязательным минимумом содержания образовательных программ по математике», снабжено достаточно большим количеством устных упражнений, задач по готовым чертежам. Описана методика введения отдельных понятий, даны рекомендации по изучению отдельных теорем.

(4) Осмысление огромного опыта теории и методики обучения геометрии в школе является целью данной книги: В ней условно последние десятилетия развития методики преподавания геометрии в школе разделены на следующие периоды.

Период использования в школе учебников А.П. Киселева – продолжался вплоть до начала 60-х годов 20 века.

Период внедрения в школьную геометрию новых разделов: элементов теории множеств, геометрических преобразований, векторной алгебры и т.д. – В.Г. Болтянский, А.И. Фетисов, И.М. Яглом и др.

«Колмогоровский период» (1965 – 1980) – характеризуется очень серьезным подходом к осмыслению всей структуры школьной математики в целом и геометрии в частности. А.Н. Колмогоров прежде всего хотел навести порядок с употребляемым в геометрии математическим языком и системой обозначений, кроме того, он пытался ввести разумную и понятную для школьников аксиоматику и многое другое. Однако были завышены некоторые представления о возможностях усвоения геометрических знаний массовым учеником. Многие очень важные и интересные понятия (конгруэнтность, отображение пространства на себя, трактовки понятия «вектор» и т. д.), попав в массовую школу, не приносили никакого эффекта, так как понимать их могли только учащиеся, имеющие определенный уровень математических способностей, а школа была массовой и учебник был один.

«Период традиционных современных учебников» для массовой школы – авторы Л.С. Атанасян и др., А.В. Погорелов, И.Ф. Шарыгин, А.Д. Александров и др. Появление этих учебников было связано с желанием авторов вернуться к более традиционному (чем у А.Н. Колмогорова) подходу к изучению школьного курса геометрии. Но перед данными учебниками появилась новая проблема, связанная с внедрением в систему образования дифференцированных методов обучения. Оказалось, что для современной школы нужна не только достаточно четкая и строгая система изложения геометрических знаний, но и мотивация учения, эстетическое воспитание, связь с окружающим миром, учет индивидуальных особенностей и способностей учащихся и т. д.

В течение последних лет ушедшего столетия в разных регионах России у разных авторов возникло желание изменить отношение к школьному учебнику вообще, продумать уровни и профили обучения, понять соотношение влияния математических знаний на развитие личности человека и много другое. Это привело к появлению достаточно большого количества новых авторских проектов: А. Л. Вернер и В. И. Рыжик, Т.Г. Ходот, В. А. Гусев, Г. А. Клековкин, В. В. Орлов, В. А. Панчищина, Н. С. Подходова, Л. И. Ерганжиева, В. А. Смирнов, И.М. Смирнова.

(5) В данной книге описываются интересные исторические события, связанные с пирамидами и другими монументами древности.

(6) В словаре даются статьи, где даны математические понятия.

(7) В журнале имеется статья, где приведены устные задачи по теме «Пирамида».

(8) В пособии содержится учебный материал для проведения уроков по геометрии в старших классах средней школы. Оно рассчитано на учебник геометрии И.М. Смирновой и В. А. Смирнова, но так же может быть использовано при обучении по любому другому учебнику геометрии, входящему в Федеральный перечень учебной литературы.

В пособии рассматриваются особенности преподавания геометрии в условиях модернизации школьного образования, содержатся конспекты уроков по по основным темам, включены математические диктанты, вопросы для учащихся, индивидуальные задания по карточкам, задачи для самостоятельной работы, устные упражнения, контрольные работы, а так же дополнительный учебный материал.

(9) В данной книге имеется статья Огурцовой О.К. «Методика изучения темы «Виды неправильных пирамид и наклонных призм» на практических занятиях учебного курса «Элементарная математика»», где описывается методика изучения данных тем в курсе математики для общеобразовательных школ.

Тема «Многогранники» одна из основных в традиционном курсе школьной геометрии. Они составляют центральный предмет стереометрии. Изучение параллельных и перпендикулярных прямых и плоскостей, двугранных углов и другое, так же как введение векторов и координат,- все это только начала стереометрии, подготовка средств для исследования ее более содержательных объектов – главным образом тел и поверхностей.

Центральная роль многогранников определяется прежде всего тем, что многие результаты, относящиеся к другим телам, получаются исходя из соответствующих результатов для многогранников.

Многогранники сами по себе представляют чрезвычайно содержательный предмет исследования, выделяясь среди всех тел многими интересными свойствами, специально к ним относящимися теоремами и задачами.

Многогранникам должно быть уделено в школьном курсе больше внимания еще и потому, что они дают особенно богатый материал для развития пространственных представлений, для развития того соединения живого пространственного воображения со строгой логикой, которое составляет сущность геометрии. Уже самые простые факты, касающиеся многогранников, требуют такого соединения, которое оказывается при этом не совсем легким делом.

Использование многогранников с самого начала изучения стереометрии служит различным дидактическим целям. На многогранниках удобно демонстрировать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, показывать применение признаков параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. Иллюстрация первых теорем стереометрии на конкретных моделях повышает интерес учащихся к предмету.

Одной из основных задач обучения математики является развитие у учащихся абстрактного мышления. Широкие возможности для реализации этой цели предоставляет тема «Многогранники».

Более сложными для школьников оказываются задачи, связанные с наклонными призмами и неправильными пирамидами. При решении таких задач перед учащимися, как правило, возникает необходимость самостоятельного выявления связей, существующих между элементами наклонной призмы и неправильной пирамиды. Анализ учебно-методической литературы показал, что виды неправильных пирамид и наклонных призм присутствуют в ней неявно, как определенные задачи. При этом отсутствует их чёткое описание, не указаны равносильные условия, которые их характеризуют.

Особое внимание выделению видов таких пространственных фигур, как неправильная пирамида и наклонная призма, уделила кандидат педагогических наук, старший преподаватель кафедры теории и методики обучения математике, О.К. Огурцова в своей работе « Методика изучения темы «Виды неправильных пирамид и наклонных призм» на практических занятиях учебного курса «Элементарная математика». Выделение возможных зависимостей между элементами наклонных призм и неправильных пирамид, а именно рассмотрение видов неправильных пирамид и наклонных призм, поможет учащимся в школе решать задачи на нахождение объемов указанных фигур.

Среди неправильных пирамид выделены следующие виды и условия, характеризующие эти виды:

высота пирамиды проходит через центр описанной окружности основания;

боковые ребра пирамиды равны;

боковые ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания;

.боковые ребра пирамиды равнонаклонены к высоте пирамиды.

высота пирамиды принадлежит плоскости боковой грани;

вершина пирамиды проектируется на прямую, содержащую сторону основания;

двугранный угол при стороне основания пирамиды прямой

высота пирамиды проходит через центр вписанной окружности основания;

вершина пирамиды равноудалена от сторон основания;

каждое боковое ребро пирамиды образует равные углы со смежными сторонами основания;

боковые грани пирамиды равнонаклонены к основанию;

боковые грани пирамиды равнонаклонены к высоте пирамиды.

1 случай: смежные боковые грани

боковое ребро пирамиды перпендикулярно к плоскости основания;

высота пирамиды совпадает с боковым ребром;

вершина пирамиды проектируется в вершину основания;

угол основания является линейным углом двугранного угла при боковом ребре пирамиды.

2 случай: несмежные боковые грани

высота пирамиды принадлежит линии пересечения плоскостей двух несмежных боковых граней

2. Общая характеристика темы

А) Особенности и роль темы в математике и в школьном курсе математики

Подходы к определению многогранника.

Выделяют два основных способа введения понятия многогранника в школьном курсе стереометрии:

многогранник как поверхность (например, в учебниках А.Д. Александрова и др. и Погорелова А.В.);

многогранник как тело.

Чаще используется второй путь.

Дать строгое определение понятию многогранника в школе трудно, так как в определение входят такие понятия как поверхность, ограниченность, внутренние точки и др. Такая попытка была сделана в книге В.М. Клопского, З.А. Скопеца, М.И. Ягодовского «Геометрия 9-10».

Наиболее целесообразно дать описание на основе наглядных представлений школьника. Проще и короче всего определить многогранник как тело, поверхность которого состоит из многоугольников. При этом «тело» и «поверхность» можно понимать в наглядном смысле, как понимают обычно. Тело в отвлечении его от материальности – это часть пространства. Поэтому данное определение можно пересказать и так: многогранник – это часть пространства, ограниченная конечным числом многоугольников.

Например, у Погорелова А.В.: «Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников»; У Атанасяна Л.С.: «Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело».

Рассмотрим изучение темы «Многогранники» в школьных учебниках. Для примера возьмем учебники разного уровня изложения материала: предназначенные для общеобразовательной школы, для гуманитарных классов, для классов с математическим уклоном.

Сравнительный анализ содержания темы в различных учебниках.

Учебник Атанасяна Л.С.

Рассмотрим изучение темы «Многогранники» по учебнику Атанасяна. Этот учебник предназначен для общеобразовательной школы. Данная тема изучается в главе 3. На изучение ее отводится 12 уроков. Ниже приведено поурочное планирование в таблице.

Содержание учебного материала

§1. Понятие многогранника. Призма.

Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы. ( п.25-27)

Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Площадь поверхности пирамиды. (п.28-30)

§3. Правильные многогранники.

Симметрия в пространстве. Понятие правильного многогранника. Элементы симметрии правильных многогранников. (п. 31-33)

Еще до изучения темы «Многогранники» учащиеся знакомятся с их простейшими видами в главе 1 §4 «Тетраэдр и параллелепипед». На их изучение отводится 5 часов. Понятия тетраэдра и параллелепипеда вводятся в данной главе для того, чтобы рассмотрение их свойств, построение сечений способствовали углублению понимания вопросов взаимного расположения прямых и плоскостей, поэтому необходимо, чтобы решение задач сопровождалось ссылками на аксиомы, определения и теоремы.

Учащиеся уже знакомы с такими понятиями, как тетраэдр и параллелепипед, и теперь им предстоит расширить представления о многогранниках и их свойствах. В учебнике нет строгого математического определения многогранника, а приводится лишь некоторое описание, так как строгое определение громоздко и трудно не только для понимания учащимися, но и для его применения.

S _бок= n ∙ S _∆, S _бок= n ∙ ad , S _бок= ( n ∙ a )∙ d , S _бок= Pd , где P – периметр основания пирамиды.

Далее вводится понятие усеченной пирамиды. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, разбивает ее на два многогранника: один из них является пирамидой, а другой называется усеченной пирамидой. Усеченная пирамида – это часть полной пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию данной пирамиды. При выполнении рисунков к задачам на усеченную пирамиду удобно вначале начертить полную пирамиду, а затем выделить усеченную пирамиду.

При введении понятия правильной усеченной пирамиды надо отметить, что ее основания – правильные многоугольники, а боковые грани – равные равнобедренные трапеции; высоты этих трапеций называются апофемами усеченной пирамиды. Также выводится формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды.

Последнее, что изучается в теме «Многогранники» в учебнике, это симметрия в пространстве и понятие правильного многогранника. Основными понятиями здесь являются понятия симметричных точек относительно точки, прямой, плоскости; понятия центра, оси, плоскости симметрии фигуры. Таким образом, в данном учебнике многогранники изучаются с опорой на наглядность, предметы окружающей действительности.

Учебник Смирновой И.М.

Данный учебник предназначен для преподавания геометрии 10-11 классах гуманитарного профиля. По сравнению с традиционным изложением в учебнике несколько сокращен теоретический материал, больше внимания уделяется вопросам исторического, мировоззренческого и прикладного характера.

Особенностью учебника является раннее введение пространственных фигур, в том числе многогранников, в п.3 «Основные пространственные фигуры». Цель – сформировать представления учащихся об основных понятиях стереометрии, ознакомить с пространственными фигурами и моделированием многогранников. Вводиться понятие многогранника как пространственной фигуры, поверхность которой состоит из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны этих многоугольников называются ребрами многогранника, а вершины многоугольников – вершинами многогранника.

Учащимся демонстрируются следующие многогранники:

— куб – многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов;

— параллелепипед – многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов;

— прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого грани – прямоугольники;

— призма – многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, называемых боковыми гранями (причем у каждого параллелограмма два противоположных ребра лежат на основаниях призмы);

— пирамида – многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников с общей вершиной, называемых боковыми гранями пирамиды;

— правильная пирамида – пирамида, в основании которой правильный многоугольник, и все боковые ребра равны.

Показываются более сложные многогранники, в том числе правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Рассматривается несколько способов изготовления моделей многогранников из разверток и геометрического конструктора. Моделирование многогранников служит важным фактором развития пространственных представлений учащихся.

Таким образом, к началу непосредственного изучения темы «Многогранники» учащиеся уже знакомы (на доступном для них уровне) с традиционным материалом по этой теме. Появляется возможность расширить представления учащихся о многогранниках, рассмотрев с ними более подробно правильные, полуправильные и звездчатые многогранники.

Основная цель данного раздела – ознакомить учащихся с понятием выпуклости и свойствами выпуклых многогранников, рассмотреть теорему Эйлера и ее приложения к решению задач, сформировать представления о правильных, полуправильных и звездчатых многогранниках.

Можно привести примерное тематическое планирование данной темы.

Приложения теоремы Эйлера

Топологически правильные многогранники

Учебник Александрова А.Д.

Данный учебник предназначен для классов и школ с математической специализацией, он дает богатую математическую информацию, развивает ученика, но является достаточно трудно усваиваемым. В учебнике рассматриваются такие темы, которые в основной школе не доступны даже для «сильных» учеников, например, сферическая геометрия.

Отметим особенности изучения многогранников в данном учебнике. Во-первых, многогранники изучаются после круглых тел. Во-вторых, при изучении многогранника и его элементов прослеживается связь с многоугольником. Вследствие чего возможны две последовательности изложения темы: 1) обобщить понятие многоугольника, затем разобрать аналогичные вопросы в пространстве; 2) пользуясь §21 учебника, дать сначала определение многогранника, далее обобщить понятие многоугольника. Особенностью является введение двух определений призмы (как в учебниках, рассмотренных выше, и как цилиндр, в основании которого лежит многоугольник), причем доказывается равносильность этих определений. Аналогично дается другое определение пирамиде: как конус с многоугольником в основании. Пункт 23.6 содержит раздел о триангулировании многогранника, и в нем дается другое, конструктивное определение многогранника. §24 «Выпуклые многогранники» впервые излагается в столь серьезном виде, рассматривается вопрос равносильности двух определений выпуклого многогранника. Изложение темы «Правильные многогранники» также отличается от ее изложения в учебниках по геометрии других авторских коллективов: сначала показываются пять типов правильных многогранников, построением доказывается, что все пять типов правильных многогранников существуют, и только после этого доказывается, что других правильных выпуклых многогранников быть не может. Обычно же после определения сразу доказывалась теорема, а существование показывалось позже, что усложняло методику рассказа.

Таким образом, учебник содержит очень богатый теоретический материал по многогранникам, которого нет в других учебниках по геометрии, также он может быть использован как учебник для дополнительного изучения в основной школе. Ниже в таблице приведено примерное поурочное планирование материала.

Содержание учебного материала

Обобщение понятие многоугольника. Многогранник.

Призма, параллелепипед. Упражнения.

Пирамида. Виды пирамид. Упражнения.

Теорема Эйлера. Развертка выпуклого многогранника.

Во всех учебниках при изучении многогранников рассматривается практически одни и те же основные темы: определение многогранника, выпуклые многогранники, призма, пирамида, правильные многогранники.

Б) Историческая справка

Древнегреческий математик, автор дошедших до нас теоретических трактатов по математике Евклид, пирамиду определяет как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости сходятся к одной точке.

Но это определение подвергалось критике уже в древности. Так Герон предложил следующее определение пирамиды: “Это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке и основанием которой служит многоугольник”.

Оопределение Адриена Мари Лежандра, который в 1794 году в своем труде “Элементы геометрии” пирамиду определяет так: “Пирамида – телесная фигура, образованная треугольниками, сходящимися в одной точке и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания”.

В учебнике 19 века фигурировало еще одно определение пирамиды: “пирамида – телесный угол, пересеченный плоскостью”.

Пирамидами называли гробницы древнеегипетских фараонов 3-го – 2-го тысячелетий до н. э., а так же постаменты храмов в Центральной и Южной Америке, связанные с космологическими культами.

Пирамиды строили не только в Египте. Они вырастали и по другую сторону океана, в древних государствах Центральной Америки. К северу от Мехико ученые открыли обширный город Теотиукан, ошеломляющий пирамидами гигантских размеров. Самая большая – пирамида Солнца, периметр ее основания равен 1000 метров, а напротив нее возвышается пирамида Луны.

Вокруг пирамид в течение многих веков складывалось множество легенд. В средневековье бытовали легенды, что эти постройки представляли собой нечто вроде камер хранения для фараонов или житниц, сооружённых библейским Иосифом. Эти сооружения считали и древними архивами жрецов Египта, и старинными обсерваториями, и заграждениями, противостоящими пескам.

Если соединить мексиканские пирамиды и египетские, то мы увидим два равных треугольника. Если найти их площади, то их сумма равна одной четвертой площади земного шара.

Большой интерес представляет энергия, неразрывно связанная с пирамидами. Как сейчас установлено, энергия пирамиды впервые была открыта во время Второй Мировой Войны. Когда немецкие самолёты пролетали над пирамидами, то приборы самолётов неожиданно отказывались работать. Следует заметить, что египетские лётчики, по каким-то соображениям культурного характера или из страха, старались никогда не летать над пирамидами. Между тем указанный феномен никого тогда не заинтересовал и никто его не стал изучать.

Однако спустя некоторое время этот феномен принялся исследовать француз Антуан Бови. Его изучение пирамид началось с того, что однажды он нашёл в царской камере одной из пирамид трупы кошек, крыс, мышей и других мелких животных, которые были совершено не подвергнуты гниению! А между тем условия в погребальных камерах таковы, что они очень способствуют процессу разложения. Действительно, в этих камерах царят высокие влажность и температура (около 30 градусов по Цельсию).

Французский исследователь принялся за разгадку этого явления. В качестве версии он предположил, что указанный феномен каким-то образом связан с формой пирамиды. Для подтверждения своей версии сделал точный макет пирамиды Хеопса и расположил его по оси север-юг. Кроме того, внутрь пирамиды, на уровне трети её высоты он положил дохлую кошку.

Пирамида способна выставлять защитный барьер против геопатогенных излучений, оказывая влияние не только на предметы, помещённые вовнутрь её, но и на окружающее пространство. Причём радиус воздействия прямо пропорционален величине пирамиды.

Стеф Бьеркинс, известный бельгийский радиометрист, также проводил исследования с энергией пирамид. Учёный положил непосредственно на основание пирамиды два голубиных яйца. Каждый день он переворачивал яйца. А через 21 день он добавил к первым яйцам ещё и недавно снесённые. Ещё через 18 дней из первых двух яиц вылупились 2 птенца. Уникальность этого в том, что голубиные яйца очень недолго остаются живыми после прекращения инкубации. Таким образом, поместив яйца в пирамиду, можно сохранять жизнеспособность голубиных эмбрионов, кстати, оба голубка были здоровыми и сильными в момент рождения. Так древняя пирамида приходит нам на помощь в совершенно неожиданных областях.

Однако и с точки зрения архитектуры, и дизайнерского искусства пирамиды представляют большой интерес. Элементы пирамид применяют в строительстве. Сейчас это очень модно и придаёт зданию некоторый шик.

Ярким представителями в этой области являются:

Торговый центр в Илинге (Лондон) – образец постмодернизма. Одна из его башен имеет форму пирамиды и придаёт зданию величавый вид;

Здание книжной ярмарки во Франкфурте (Германия) – крыша здания украшена стеклянной пирамидой;

Вход в Лувр (Париж) – это не обычная дверь, а пирамида, сделанная из стекла, имеющая высоту 21,65 метра.

Арабский писатель XIII века сказал: “Все на свете боится времени, а время боится пирамид”. Эти слова, как нельзя, кстати. Дело в том, что пирамиды – это единственное из семи чудес света чудо, дожившее до нашего времени, до эпохи телевидения и компьютерных технологий.

В) Программа по математике: инвариантное содержание темы.

Цель изучения курса геометрии в 10-11 классах – систематическое изучение свойств геометрических тел в пространстве, развитие пространственных представлений учащихся, освоение способов вычисления практически важных геометрических величин и дальнейшее развитие логического мышления учащихся.

Высокий уровень абстрактности изучаемого материала, логическая строгость систематического изложения соединяются с привлечением наглядности на всех этапах учебного процесса и постоянным обращением к опыту учащегося. Умения изображать важнейшие геометрические тела, вычислять их объемы имеют большую практическую значимость.

Содержание действующего школьного курса математики группируется вокруг нескольких стержневых линий: «Числа и вычисления», «Выражения и их преобразования», «Уравнения», «Функции», «Геометрические фигуры. Измерение геометрических величин». Этот перечень отражает длительный опыт обучения математике и в настоящее время практически полностью соответствует мировой практике.

Центральными линиями курса с точки зрения общего образования являются числовая, функциональная и геометрическая, концентрирующие в себе математические знания, необходимые прежде всего в повседневной жизни – для решения возникающих на практике расчетных задач, для ориентации в окружающем пространстве, для коммуникации в ближайшей среде и в обществе в целом.

Ниже раскрыто наполнение содержательных линий курса и описано распределение материала по ступеням обучения.

Геометрические фигуры. Измерение геометрических величин.

Геометрические фигуры и их свойства (точки, прямые, плоскости, плоские и пространственные углы, многоугольники, окружность и круг, многогранники, тела вращения), геометрические отношения (принадлежность, пересечение, скрещивание, касание, параллельность и перпендикулярность, равенство и подобие, симметрия), геометрические величины (длины линий, величины углов, площади и объемы, применение алгебраического и аналитического аппарата в геометрии.

В начальной школе учащиеся на опытно-наглядной основе знакомятся с простейшими геометрическими формами, приобретают начальные навыки изображения геометрических фигур, овладевают единицами измерения длин и площадей. В среднем звене приобретают систематизированные сведения об основных геометрических фигурах и связанных с ними геометрических величинах, об основных геометрических отношениях на плоскости; приобретают опыт применения аналитического аппарата в решении геометрических проблем. На старшей ступени обучения расширяются сведения о планиметрии. Однако основное внимание уделяется изучению пространственных конфигураций и тел, геометрических величин и отношений в пространстве.

Изучение программного материала дает возможность учащимся:

получить представления о широте применения геометрии в различных областях человеческой деятельности;

познакомиться с некоторыми фактами истории геометрии;

решать задачи на вычисление линейных и угловых элементов пространственных конфигураций, на нахождение площадей поверхностей и объемов тел;

решать задачи на доказательство, овладеть набором приемов, часто применяемых для решения стереометрических задач на вычисление и доказательство ( вычленение ключевой фигуры или тела, проведение стандартных дополнительных построений, нахождение геометрических мест точек в пространстве и др.)

Согласно программам для общеобразовательных учреждений, уровень обязательной подготовки определяется следующими требованиями:

уметь распознавать на моделях и по описанию основные пространственные тела (призма, пирамида, цилиндр, конус, шар), указывать их основные элементы, узнавать эти формы в окружающих предметах;

уметь иллюстрировать чертежом либо моделью условие стереометрической задачи;

уметь вычислять значения геометрических величин (длин, площадей, объемов), применяя изученные формулы;

уметь решать несложные задачи на вычисление с использованием изученных свойств и формул.

3. Логико-математический анализ содержания темы. Постановка учебных задач.

Анализ теоретического материала.

Глава III Многогранники.

— основная формула для вычисления полной поверхности пирамиды:

Способ вычисления полной поверхности пирамиды не является для учащихся новым, т.к. из курса планиметрии они знают свойство многоугольников: если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Это свойство распространяется и на многогранники, т.к. пирамида – это многогранник, состоящий из многоугольников. Понятие площадей различных многоугольников следует повторить из курса планиметрии на мотивационно-ориентировочном этапе.

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей всех ее граней (т.е. основания и боковых граней).

Доказательства этой формулы не дается, способ не является новым, так как учащиеся встречались с аналогичным способом доказательства при нахождении полной поверхности призмы. Доказательство несложное, можно предложить для самостоятельного доказательства учащимся.

1) изучение темы нужно вести на наглядной основе, необходимо использовать учебные наглядные средства: графические модели, натуральные модели многогранников.

2) следует повторить из курса планиметрии формулу нахождения площади треугольника и площади четырехугольника, т.к. с ними связана основная формула для вычисления площади полной поверхности пирамиды.

3) теоремы о вычисления площади полной поверхности пирамиды не очень сложные и учащиеся с помощью наводящих вопросов сами смогут их доказать

Анализ задачного материала

Среди задач можно выделить следующие ключевые задачи.

В пирамиде все боковые ребра равны между собой. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основании; б) все боковые ребра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основании.

Пирамида в данной задаче относится к I виду пирамид, вершина которой проектируется в центр описанной окружности основания.

Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. Боковые ребра пирамиды равны друг другу, а ее высота равна 12 см. Найдите боковое ребро пирамиды, если ВС=10 см.

Ответ: DA = DB = DC =13 см

Высота треугольной пирамиды равна 40 см. а высота каждой боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, равна 41 см. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в ее основание, б) Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 42 см.

Данная пирамида относится к III виду пирамид, вершина которой проектируется в центр вписанной окружности основания.

Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы 30° и 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды.

, , см, т.е. AB см, BC = 4 см.

S _ABS = см 2

S _BCS = см 2

S _ADS = A С *AD = см 2

S _DCS = см 2

S _ABCD = см 2

S _полн _. _пов = см 2

Пирамида в данной задаче относится к IV виду пирамид, две боковые грани которой перпендикулярны к плоскости основания.

Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC , у которого AB = AC =13 см, BC =10 см, ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано: ABCD – пирамида, AB = AC =13 см, BC =10 см, AD ┴( ABC ), AD = 9 см.

S _ADC = см 2

см.

S _CDB ₌ см 2 S _{бок. пов}=58,5*2+75=192 см 2

Ответ: S _{бок. пов}=192 см 2

Пирамида в данной задаче относится к II виду пирамид, одна боковая грань которой перпендикулярна к плоскости основания.

Основанием пирамиды D АВС является прямоугольный треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ равна 29 см, катет АС равен 21 см. Ребро D А перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

все грани прямоугольные треугольники =210 см 2 ;

=290 см 2 ;

=290 см 2

А D С: D С=см. АВС: СВ=20см

Двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание; б) высоты всех боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, равны; в) площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведенную из вершины.

а) О-центр окружности вписанной в АВС

S NО= S КО= S МО (условие) => S МО = SN О = S КО

2) S _бок = , ч.т.д.

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

2) АСК подобенАОМ (по 2 углам); ; АС=10,

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120°. Боковые ребра образуют с ее высотой, равной 16 см, углы в 45°. Найдите площадь основания пирамиды.

2) АВС-вписанный и АВС=120° отсюда АОС=АВС=360°-240°; АОС=120°; АО=ОС=О D =16 см по т. синусов в АОС:

т. к. в АВС АВ=ВС и В=120°, то АВ=ВС=16см, отсюда S _ABC = S _ABC = см 2

Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и 4 л/6 см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите ее высоту.

R 2 = МС 2 +МО 2 ; R 2 = ND 2 +О N 2 ; MC 2 +МО 2 = ND 2 + ON 2 ; 3 2 + МО 2 =(2 ) 2 +(5- МО) 2 ; 9+ МО 2 =

24+25-10МО+МО 2 ; МО=4 см, отсюда R = = 5 см

2) S ОА: O =90°; АО=5см; А S =13см => SO = S О = 12 см

Задачный материал многообразен, отражает все выделенные дидактические единицы. Особенно часто повторяются задачи с использованием пирамид 1, 2 и 3 вида. Всего одна задача с использованием пирамиды 4 вида, у которой две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания. Поэтому приходится давать задачи из различной математической литературы, а не только из учебника.

Учебные задачи изучения темы

— формировать у учащихся представление о способе вычисления полной и боковой поверхности пирамиды

— формировать у учащихся умение решать задачи на доказательство и на нахождение полной и боковой поверхности пирамиды

Основную формулу для вычисления полной и боковой поверхности пирамиды

Основные формулы для вычисления площадей геометрических фигур, изучаемых в планиметрии

Выполнять чертеж по условию стереометрической задачи;

Решать задачи на нахождение полной и боковой поверхности пирамиды и на вычисление геометрических величин;

И спользовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

Проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

Понимать стереометрические чертежи;

Формулы нахождения полной и боковой поверхности пирамиды