Что такое неравенство треугольника определение
Неравенство треугольника
Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон. Неравенство треугольника включается как аксиома в определение метрического пространства, нормы и т.д.; также, часто является теоремой в различных теориях.
Содержание
Евклидова геометрия
Пусть дан треугольник 
Тогда 
причём равенство 
достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка 
лежит строго между 
и 
.
Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника.
Нормированное пространство
Пусть 
— нормированное векторное пространство, где 
— произвольное множество, а 
— определённая на норма. Тогда по определению последней справедливо:
Гильбертово пространство
Метрическое пространство
Пусть 
— метрическое пространство, где — произвольное множество, а 
— определённая на метрика. Тогда по определению последней
Вариации и обобщения
Обратное неравенство треугольника
Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:
Неравенство треугольника для трёхгранного угла
Каждый плоский угол выпуклого трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.
Полезное
Смотреть что такое «Неравенство треугольника» в других словарях:
Обратное неравенство треугольника — Неравенство треугольника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон.… … Википедия
Неравенство Птолемея — Неравенство Птолемея: Для любых точек плоскости выполнено неравенство причем равенство достигается тогда и только тогда, когда (выпуклый) вписанный четырехугольник или точки ABCD лежат на одной прямой. Содержание … Википедия
Неравенство Минковского — это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой ой степенью. Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство … Википедия
Неравенство Эрдёша — Неравенство Эрдёша Морделла (неравенство Эрдёша Морделла Барроу) устанавливает связь между расстояниями от точки внутри треугольника до его сторон с расстояниями от той же точки до вершин треугольника. Пусть точка лежит внутри… … Википедия
Неравенство Эрдёша — Морделла — Неравенство Эрдёша Морделла (неравенство Эрдёша Морделла Барроу) Пусть точка O лежит внутри треугольника ABC. Обозначим расстояния от точки O до сторон BC,CA,AB треугольника через da,db,dc, а расстояния от точки O до вершин… … Википедия
Неравенство Эрдеша — Морделла — Неравенство Эрдёша Морделла (неравенство Эрдёша Морделла Барроу) Пусть точка O лежит внутри треугольника ABC. Обозначим расстояния от точки O до сторон BC,CA,AB треугольника через da,db,dc, а расстояния от точки O до вершин A,B,C через… … Википедия
Неравенство Коши — Буняковского — Неравенство Коши Буняковского связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением. Неравенство Коши … … Википедия
Неравенство Коши — Неравенство Коши Буняковского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы. Неравенство Коши Буняковского иногда, особенно в иностранной… … Википедия
Содержание:
Неравенство треугольника:
Опыт нам подсказывает, что путь из точки А в точку С по прямой АС короче, чем по ломаной ABC (рис. 255), т. е. АС 12+21 (рис. 258).
Замечание. Из неравенств треугольника 
следует, что 
то есть любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон. Так, для стороны а справедливо 
Пример:
Внутри треугольника ABC взята точка М (рис. 259). Доказать, что периметр треугольника АМС меньше периметра треугольника ABC.
Решение:
Так как у треугольников ABC и АМС сторона АС — общая, то достаточно доказать, что AM + МС 
B (рис. 108, а).
2) Отложим на стороне АВ отрезок АF, равный стороне AC (рис. 108, б).
3) Так как АF 1.
4) Угол 2 является внешним углом треугольника ВFС, следовательно, 2 > B.
5) Так как треугольник FАС является равнобедренным, то 1 = 2.
Таким образом, BСА > 1, 1 = 2 и 2 > B.
Отсюда получаем, что ВСА > B.
Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
1) Пусть в треугольнике АBС С > B. Докажем, что АВ > АС (см. рис. 108, а). Доказательство проведем методом от противного.
2) Предположим, что это не так. Тогда: либо АВ = АС, либо АВ C.
В каждом из этих случаев получаем противоречие с условием: C > B. Таким образом, сделанное предположение неверно и, значит, АВ > АС.
Из данной теоремы следует утверждение: в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы.
Действительно, гипотенуза лежит против прямого угла, а катет — против острого. Поскольку прямой угол больше острого, то по теореме 2 получаем, что гипотенуза больше катета.
Теорема 3 (признак равнобедренного треугольника). Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Пусть в треугольнике два угла равны. Тогда равны стороны, лежащие против этих углов. В самом деле, если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то по теореме 1 угол, лежащий против этой стороны, будет больше угла, лежащего против другой стороны, что противоречит условию равенства углов.
Значит, наше предположение неверно и в треугольнике две стороны равны, т. е. треугольник является равнобедренным.
Неравенство треугольника
Докажем, что длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.
Теорема 4. Длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон.
1) Пусть ABC — произвольный треугольник. Докажем, например, что выполняется неравенство АВ l, следовательно, верно неравенство АВF > 2.
4) Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона (теорема 2), то АВ
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Неравенство треугольника
Неравенство треугольника описывает зависимость между длинами сторон любого треугольника.
Теорема (неравенство треугольника):
Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки.
Для трех точек A, B и C это означает, что
Равенство в этих соотношениях может быть только в том случае, когда все три точки лежат на одной прямой.
Отсюда следует, что длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.
Например, неравенство треугольника для треугольника ABC записывается так
Как неравенство треугольника используется в решении задач, мы рассмотрим позже.
Неравенство треугольника
с равенством только в вырожденном случае треугольника нулевой площади. В евклидовой геометрии и некоторых других геометриях неравенство треугольника является теоремой о расстояниях, и оно записывается с использованием векторов и векторных длин ( норм ):
СОДЕРЖАНИЕ
Евклидова геометрия [ править ]
Математическое выражение ограничения на сторонах треугольника [ править ]
Более сжатая форма этой системы неравенств может быть представлена следующим образом:
В терминах любого выражения площади неравенство треугольника, наложенное со всех сторон, эквивалентно условию, что выражение под знаком квадратного корня является действительным и больше нуля (так что выражение площади является действительным и больше нуля).
Правый треугольник [ править ]
В случае прямоугольных треугольников неравенство треугольника специализируется на утверждении, что гипотенуза больше любой из двух сторон и меньше их суммы. [9]
Точно так же в равнобедренном треугольнике ABC углы удовлетворяют следующим условиям:
Эта теорема, устанавливающая неравенства, уточняется теоремой Пифагора до равенства, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.
Примеры использования [ править ]
Для удовлетворения всех этих неравенств требуется
Обобщение на любой многоугольник [ править ]
Неравенство треугольника может быть расширено математической индукцией на произвольные многоугольные пути, показывая, что общая длина такого пути не меньше, чем длина прямой линии между его конечными точками. Следовательно, длина любой стороны многоугольника всегда меньше суммы длин сторон других многоугольников.
Пример обобщенного неравенства многоугольника для четырехугольника [ править ]
Эти неравенства при a > 0 сводятся к следующему
0>»> r 3 + r 2 + r − 1 > 0 <\displaystyle r^<3>+r^<2>+r-1>0> 0>» data-src=»https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb6a6872f3f738c8720148a82957e5a52702461″ gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7″> r 3 − r 2 − r − 1 0. <\displaystyle r^<3>-r^<2>-r-1 
[13]
Связь с кратчайшими путями [ править ]
Это обобщение можно использовать, чтобы доказать, что кратчайшая кривая между двумя точками в евклидовой геометрии является прямой линией.
Converse [ править ]
Верно и обратное утверждение теоремы о неравенстве треугольника: если три действительных числа таковы, что каждое меньше суммы других, то существует треугольник с этими числами в качестве длин сторон и с положительной площадью; и если одно число равно сумме двух других, существует вырожденный треугольник (то есть с нулевой площадью) с этими числами в качестве длин сторон.
Чтобы действительное число h удовлетворяло этому, должно быть неотрицательным: h 2 <\displaystyle h^<2>>
Обобщение на более высокие измерения [ править ]
Нормированное векторное пространство [ править ]
В нормированном векторном пространстве V одним из определяющих свойств нормы является неравенство треугольника:
Примеры норм [ править ]
Неравенство треугольника полезно в математическом анализе для определения наилучшей верхней оценки размера суммы двух чисел с точки зрения размеров отдельных чисел.
Существует также нижняя оценка, которую можно найти с помощью неравенства обратного треугольника, которое гласит, что для любых действительных чисел x и y :
Метрическое пространство [ править ]
В метрическом пространстве M с метрикой d неравенство треугольника является требованием для расстояния :
Неравенство обратного треугольника [ править ]
В случае нормированного векторного пространства утверждение таково:
Доказательство обратного треугольника использует неравенство правильного треугольника и : ‖ y − x ‖ = ‖ − 1 ( x − y ) ‖ = | − 1 | ⋅ ‖ x − y ‖ = ‖ x − y ‖ <\displaystyle \|y-x\|=\|<->1(x-y)\|=|<->1|\cdot \|x-y\|=\|x-y\|>
Объединение этих двух утверждений дает:
Инверсия в пространстве Минковского [ править ]
Неравенство треугольника
с равенством только в вырожденном случае треугольника нулевой площади. В евклидовой геометрии и некоторых других геометриях неравенство треугольника является теоремой о расстояниях, и оно записывается с использованием векторов и векторных длин ( норм ):
СОДЕРЖАНИЕ
Евклидова геометрия [ править ]
Математическое выражение ограничения на сторонах треугольника [ править ]
Более сжатая форма этой системы неравенств может быть представлена следующим образом:
В терминах любого выражения площади неравенство треугольника, наложенное со всех сторон, эквивалентно условию, что выражение под знаком квадратного корня является действительным и больше нуля (так что выражение площади является действительным и больше нуля).
Правый треугольник [ править ]
В случае прямоугольных треугольников неравенство треугольника специализируется на утверждении, что гипотенуза больше любой из двух сторон и меньше их суммы. [9]
Точно так же в равнобедренном треугольнике ABC углы удовлетворяют следующим условиям:
Эта теорема, устанавливающая неравенства, уточняется теоремой Пифагора до равенства, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.
Примеры использования [ править ]
Для удовлетворения всех этих неравенств требуется
0\\r^<2>-r-1&<> r 2 + r − 1 > 0 r 2 − r − 1 0. <\displaystyle <\begin0 \\ r ^ <2>-r-1 & <>
Обобщение на любой многоугольник [ править ]
Неравенство треугольника может быть расширено математической индукцией на произвольные многоугольные пути, показывая, что общая длина такого пути не меньше, чем длина прямой линии между его конечными точками. Следовательно, длина любой стороны многоугольника всегда меньше суммы длин сторон других многоугольников.
Пример обобщенного неравенства многоугольника для четырехугольника [ править ]
Эти неравенства при a > 0 сводятся к следующему
0>»> r 3 + r 2 + r − 1 > 0 <\displaystyle r^<3>+r^<2>+r-1>0> 0>»> r 3 − r 2 − r − 1 0. <\displaystyle r^<3>-r^<2>-r-1 [13]
Связь с кратчайшими путями [ править ]
Это обобщение можно использовать, чтобы доказать, что кратчайшая кривая между двумя точками в евклидовой геометрии является прямой линией.
Converse [ править ]
Верно и обратное утверждение теоремы о неравенстве треугольника: если три действительных числа таковы, что каждое меньше суммы других, то существует треугольник с этими числами в качестве длин сторон и с положительной площадью; и если одно число равно сумме двух других, существует вырожденный треугольник (то есть с нулевой площадью) с этими числами в качестве длин сторон.
Чтобы действительное число h удовлетворяло этому, должно быть неотрицательным: h 2 <\displaystyle h^<2>>
Обобщение на более высокие измерения [ править ]
Нормированное векторное пространство [ править ]
В нормированном векторном пространстве V одним из определяющих свойств нормы является неравенство треугольника:
Примеры норм [ править ]
Неравенство треугольника полезно в математическом анализе для определения наилучшей верхней оценки размера суммы двух чисел с точки зрения размеров отдельных чисел.
Существует также нижняя оценка, которую можно найти с помощью неравенства обратного треугольника, которое гласит, что для любых действительных чисел x и y :
Метрическое пространство [ править ]
В метрическом пространстве M с метрикой d неравенство треугольника является требованием для расстояния :
Неравенство обратного треугольника [ править ]
В случае нормированного векторного пространства утверждение таково:
Доказательство обратного треугольника использует неравенство правильного треугольника и : ‖ y − x ‖ = ‖ − 1 ( x − y ) ‖ = | − 1 | ⋅ ‖ x − y ‖ = ‖ x − y ‖ <\displaystyle \|y-x\|=\|<->1(x-y)\|=|<->1|\cdot \|x-y\|=\|x-y\|>
Объединение этих двух утверждений дает: