Что такое несмежные отрезки

Урок в 8 классе по теме : «многоугольники» урок 1

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Урок 1 Содержание урока

Ввести понятия многоугольника и выпуклого многоугольника Рассмотреть четырехугольник как частный вид многоугольника Научить объяснять, какая фигура называется многоугольником, называть его элементы

Сформулируйте определение треугольника. Назовите элементы треугольника. сторона вершина угол

Что общего у этих фигур?

А В С D Е F это замкнутая ломаная без самопересечений

A C F G B ABCDEFG-многоугольник. Отрезки AB, BC, CD, DE, EF, FG, GA смежные не лежат на одной прямой. Отрезки несмежные не имеют общих точек. Назовите несколько пар несмежных отрезков. D E

A C F G B A, B, C, D, E, F, G- многоугольника. D E вершины

Многоугольник, имеющий n углов называется n-угольником. Сколько сторон имеет n–угольник? Как мы назовём многоугольник, имеющий n углов?

C F G B D E А AC, AD, AE, AF- диагонали многоугольника, проведённые из вершины А. Определение: Отрезок, соединяющий две несоседние вершины называется диагональю. Что такое диагональ многоугольника?

Внешняя область Внутренняя область Любой многоугольник разделяет плоскость на две области – внутреннюю и внешнюю. Заштрихуйте внутреннюю область невыпуклого многоугольника в тетради.

Задача 2. Сколько диагоналей имеет пятиугольник? 2+2+1=5

Задача. Сколько диагоналей имеет шестиугольник? 3+3+2+1=9

А Разделим этот многоугольник на несколько треугольников, проведя из вершины А все диагонали. Сколько получилось треугольников? Найти сумму углов многоугольника Кто быстрее вычислит сумму всех углов этого многоугольника

Чему равна сумма углов треугольника? Найдите сумму всех углов этого пятиугольника. А S=180°∙ 3 =540°

Зависит ли сумма углов пятиугольника от: Размера? Формы? Цвета? От чего зависит эта сумма?

Сумма углов n-угольника равна S=180°∙(n-2) Закрепление материала. Решение задач. (10 минут) 365(а,б,в) У доски решает сразу 1 ученик. Остальные учащиеся решают, советуются, помогают друг другу. Чему равна сумма углов выпуклого n-угольника?

7минут Вариант 1 Вариант 2 1. Найти количество диагоналей прямоугольника 1. Найти количество диагоналей квадрата 2. Вычисли сумму всех углов прямоугольника 2. Вычисли сумму всех углов квадрата 3. Найти сумму углов выпуклого 12-угольника 3. Найти сумму углов выпуклого 8-угольника 4. Укажи номера невыпуклых многоугольников 1 2 3 4 4. Укажи номера выпуклых многоугольников 1 2 3 4 5. Найти периметр прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см 5. Найти периметр квадрата со стороной 12 см

Вариант 1 Вариант 2 1. Найти количество диагоналей прямоугольника 2 1. Найти количество диагоналей квадрата 2 2. Вычисли сумму всех углов прямоугольника 360° 2. Вычисли сумму всех углов квадрата 360° 3. Найти сумму углов выпуклого 12-угольника 1800° 3. Найти сумму углов выпуклого 8-угольника 1080° 4. Укажи номера невыпуклых многоугольников 1 2 3 4 4. Укажи номера выпуклых многоугольников 1 2 3 4 5. Найти периметр прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см 22см 5. Найти периметр квадрата со стороной 12 см 48 см

Использованная литература: Л.С. Атанасян, Геометрия 7-9 (учебник для общеобразовательных учреждений). – М.: Просвещение, 2013 Картинки: http://www.gifzona.ru/pozd_1s.htm http://images-photo.ru/photo/7-2-0-0-2 http://www.webman.ru/animation/main.htm Помощь в создании презентации оказали учащиеся 8 класса и их родители.

1. Многоугольник 2. Выпуклый многоугольник 3. Решение задач 4. Работа лабораторий 5. Самостоятельная работа

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1316220

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Школьники из Москвы выступят на Международной олимпиаде мегаполисов

Время чтения: 3 минуты

Минпросвещения намерено расширить программу ускоренного обучения рабочим профессиям

Время чтения: 2 минуты

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Более 50 российских школ перешли на дистанционку из-за коронавируса

Время чтения: 1 минута

ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Многоугольник

Существуют разные точки зрения на то, что считать многоугольником. В школьном курсе геометрии используют одно из следующих определений.

Многоугольник

— это фигура, составленная из отрезков

так, что смежные отрезки (то есть соседние отрезки с общей вершиной, например, A1A2 и A2A3) не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.

Многоугольником называется простая замкнутая ломаная.

Точки

называются вершинами многоугольника, отрезки

Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника.

Многоугольник, который имеет n вершин (а значит, и n сторон) называется n — угольником.

Многоугольник, который лежит в одной плоскости, называется плоским. Когда говорят о многоугольнике, если не сказано иначе, подразумевается, что речь идёт о плоском многоугольнике.

Две вершины, принадлежащие одной стороне многоугольника, называются соседними. Например, A1 и A2, A5 и A6 — соседние вершины.

Отрезок, который соединяет две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.

Выясним, сколько диагоналей имеет многоугольник.

Из каждой из n вершин многоугольника исходит n-3 диагонали

(всего вершин n. Не считаем саму вершину и две соседние, которые не образуют с данной вершиной диагонали. Для вершины A1, например, не учитываем саму A1 и соседние вершины A2 и A3).

Таким образом, каждой из n вершин соответствует n-3 диагонали. Поскольку одна диагональ относится сразу к двум вершинам, чтобы найти количество диагоналей многоугольника, надо произведение n(n-3) разделить пополам.

Следовательно, n — угольник имеет

Любой многоугольник делит плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю области многоугольника. Фигуру, состоящую из многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.

Источник

Основы геометрии

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Идеальные объекты

Геометрия — раздел математики, который изучает пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Основные геометрические объекты: окружность, квадрат, ромб, прямоугольник, равносторонний треугольник, равнобедренный треугольник, правильный многоугольник, эллипс и другие.

Все эти фигуры обладают двумя свойствами:

Равенство частей можно заметить у квадрата, ромба или равностороннего треугольника — равенство сторон. Также у них есть одна или несколько линий симметрии.

У шара бесконечное количество осей симметрии и плоскостей симметрии, но отсутствует равенство или подобие составных частей.

Все типы правильных многогранников обладают симметрией, при этом составлены из некоторого количества одинаковых фигур (треугольников, квадратов, пятиугольников).

Из всего этого можно сделать вывод, что отличить правильную геометрическую фигуру от произвольной совсем не сложно. Достаточно выяснить, имеет ли данная фигура оси или плоскости симметрии, а также из каких повторяющихся частей она состоит.

Таким образом, именно по наличию или отсутствию симметрии и равенства или подобия составных частей можно оценивать различные объекты окружающего мира на соответствие правильному геометрическому виду.

Например, возьмем два треугольника. На первый взгляд, они похожи, но у одного из них одна сторона вогнутая, вторая — выпуклая. А у другого наоборот.

Математика занимается идеальными объектами и делает о них некие заключения, которые называют теоремами. Эти треугольники похожи, и о них можно сделать близкое заключение, которое будет описывать свойства обоих.

Например, теорема Пифагора звучит так: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. А затем это свойство можно применять при решении задач и составлении чертежей.

Базовые геометрические объекты

Базовые геометрические фигуры — это точки, отрезки, лучи, прямые, плоскости.

Точка — это идеальный математический объект, у которого нет длины и ширины.

Отрезок — это часть прямой, у которого есть начало и конец.

Смежные отрезки — это отрезки, которые не лежат на одной прямой и имеют один общий конец. На рисунке изобразили смежные отрезки АВ и АС, где точка А — общий конец.

Прямая — это «не кривая». Более точное определение вряд ли можно сформулировать.

Когда мы рисуем прямую на листе бумаги, мы изображаем только ее часть, потому что прямая не имеет начала и конца.

Обозначать прямые принято малыми латинскими буквами (a, b,c), но можно и большими латинскими буквами (АВ, CD, MN). Точки всегда обозначают большими латинскими буквами (А, В, С).

Два варианта расположения точек относительно прямой:

Если рассмотреть две прямые, то возможны два варианта их расположения:

Для записи не пересекающихся прямых используют специальный знак — ,
то есть m n (читают: прямая m не пересекает прямую n).

Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны. Луч имеет начало, но не имеет конца.

На рисунке точка О разбивает прямую АВ на две части:

Каждая из этих частей называется лучом, а точка О является началом одного и другого луча.

Назовем получившиеся лучи:

Лучи ОА и ОВ принадлежат одной прямой АВ. Лучи ОА и ОВ имеют общее начало (точка О). Лучи ОА и ОВ противоположно направлены. При таких условиях лучи ОА и ОВ называются дополнительными.

Плоскость — это бесконечная поверхность, к которой принадлежат все прямые, которые проходят через какие-либо две точки плоскости

Комбинации простейших объектов

Поговорим про комбинации простейших объектов. Например, две прямые, которые мы уже разглядели — либо пересекаются на плоскости, либо нет (тогда они параллельны).

Когда прямые пересекаются, можно ввести понятие отношения между двумя прямыми. Аналогично мы поступали с числами: ввели натуральные числа — количество предметов в множестве. А после этого изучали отношения между этими числами: дроби, возведение в степень.

Точно так же мы изучали множества, а после — отношения между множествами, функции.

Две прямые образуют углы. По сути, угол — это отношение между прямыми. Если один из них нулевой, то прямые параллельны. Если нет — прямые пересекаются.

Максимальный угол – это полный оборот, он составляет 360 градусов.

Угол — это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Углы измеряются в градусах. Углов бесконечно много, так как от 0° до 360° угол может принимать бесконечное множество значений.

Есть разные виды углов, выделим самые часто встречающиеся:

Точка называется вершиной угла, а лучи — сторонами угла.

Два угла называются вертикальными, если их стороны являются дополнительными лучами. Свойство вертикальных углов звучит так: вертикальные углы равны.

Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными лучами. Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180°.

Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, который делит угол на две равные части.

А теперь посмотрим на взаимное расположение трех прямых.

Первый случай: все три прямые параллельны.

Второй случай: две прямые параллельны, а третья их пересекает.

Третий случай: если провести три прямые на плоскости случайным образом, велика вероятность образования треугольника. Поэтому этой фигуре мы уделяем так много времени в школе на уроках геометрии.

Треугольник

Треугольник образуют три прямые. Но на треугольник также можно посмотреть, как на фигуру, которая состоит из трех отрезков.

Из треугольников можно получить остальные многоугольники и к треугольникам можно приближать другие фигуры. Например, пятиугольник состоит из трех треугольников.

Треугольник можно использовать для измерения расстояний. А еще треугольник можно рассматривать в отношениях с окружностью, которая тоже является элементарной конструкцией. Читайте про вписанные и описанные углы.

Треугольник можно легко вычислить, то есть найти его площадь по трем элементам:

Приходи на наши онлайн уроки по математике с лучшими препадавателями! Для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства треугольников

Раз треугольник можно задать тремя элементами, значит их можно классифицировать. Если два треугольника похожи, значит у них есть общие свойства.

Треугольник можно составить совсем не из любых трех отрезков: они должны удовлетворять важному свойству — неравенству треугольника.

Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка, который их соединяет. Из этого следует, что любой другой путь между двумя точками будет длиннее, чем этот отрезок.

Сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны.

Еще одно свойство верное для всех треугольников: сумма всех углов треугольника составляет половину полного оборота. Или по-другому: сумма углов треугольника — два прямых угла.

Мы знаем, что две геометрические фигуры считают равными, если их можно совместить наложением. Это справедливо и для треугольников. Равные фигуры имеют равные размеры и формы. Значит, если два треугольника равны — элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

Равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁ обозначается так: ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Есть даже специальные теоремы про равенство треугольников.

Первый признак равенства треугольников звучит так:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Из теоремы следует, что треугольник — жесткая фигура, то есть фигура, которую невозможно деформировать.

Подобные треугольники

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Треугольники АВС и A₁B₁C₁ будут подобны, если

Число k, которое равно отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.

Подобие треугольников обозначают специальным символом — ∾. На рисунке треугольники АВС и A₁B₁C₁ подобны, это можно записать так: ΔАВС ∾ ΔA₁B₁C₁.

Теорема о первом признаке подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такое треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны — такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его сторон. В каждом треугольнике можно провести три средних линии, при пересечении которых получается четыре равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом подобия 1/2.

На рисунке изображен треугольник АВС. Отрезки МЕ, МК и КЕ — средние линии данного треугольника, ΔВМЕ = ΔАМК = ΔСЕК = ΔМЕК.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Важно понимать, что подобие в математике — это то, что в обычной жизни мы называем схожестью. Нарисовали треугольники или прямоугольники и говорим, что они похожи потому, что их стороны пропорциональны.

Пример подобия — карта. Она подобна местности, которую отражает. А масштаб — это и есть коэффициент подобия. С треугольниками или другими фигурами точно также.

Классификация треугольников по их сторонам

Для классификации треугольников можно использовать их типологию.

Один из распространенных типов — прямоугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это накладывает определенные свойства на треугольник. Прямоугольный треугольник — это также половина прямоугольника.

Свойства прямоугольного треугольника

С прямоугольных треугольников начинается изучение тригонометрии. Можно измерять углы с помощью отношений, использовать понятия синуса, косинуса. Помним, что угол можно задать двумя числами, их отношением.

Если две стороны треугольника равны, то это равнобедренный треугольник — и тогда у него есть ось симметрии. Если нарисовать такой треугольник и сложить лист пополам, то две части треугольника совпадут. Эта особенность дает треугольнику определенные свойства.

Симметричный треугольник, у которого все углы и стороны равны — это равносторонний треугольник. У таких треугольников три оси симметрии. Это значит, что если мы повернем треугольник на 60 градусов, то получим точно такой же треугольник.

Такой треугольник задается одним параметром — длиной стороны. Она полностью определяет все другие значения и размеры в этом треугольнике.

От правильного треугольника может плавно перейти к правильным многоугольникам. У треугольника 3 угла, у четырехугольника — 4, а у пятиугольника — 5 углов. У многоугольника много углов🙃

Четырехугольники

Про четырехугольники мы много говорим на уроках в школе: прямоугольник, квадрат, ромб.

Но говорим о них не в общем случае, как для треугольников (такие вещи, как теорема синусов, косинусов), а можем формулировать только какие-то свойства для определенных видов четырехугольников.

Четырехугольникам лучше уделить побольше времени — у каждого из них есть особые свойства, которые не пригодятся для других фигур. Поэтому каждый четырехугольник лучше внимательно изучить на уроке или почитать в наших материалах:

Окружность

Окружность — это еще один объект, который полезно изучить. Ее легко описать, она задается одним параметром — радиусом. А еще часто встречается в физике и в обычной жизни. Например, когда капля падает в воду, от нее остаются следы — маленткие окружности.

Взаимодействие объектов

Следующий уровень — это взаимодействие всех-всех объектов, о которых мы говорили раньше.

Например, окружность и прямая. Прямая может находиться где-то в стороне от окружности, может ее пересекать, а может касаться, то есть пересекать в одной точке.

Если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух точках — концах диаметра, который лежит на на этой прямой.

На рисунке прямая a проходит через центр окружности (точку О) и пересекает ее в двух точках А и В, которые являются концами диаметра АВ данной окружности.

Если прямая a не проходит через центр О окружности радиуса r, то возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности — в зависимости от соотношения между радиусом r этой окружности и расстоянием d от центра окружности до прямой a. Вот эти случаи:

Окружность вписанная в многоугольник — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника, в который она вписана. Описанный около окружности многоугольник — это многоугольник, в который вписана окружность.

На рисунке четырехугольник АВСD описан около окружности с центром О, а четырехугольник АЕКD не является описанным около этой окружности, так как сторона ЕК не касается окружности.

В любой треугольник можно вписать только одну окружность, и вокруг любого ее можно описать.

Все это верно только для треугольников. Не в любой четырехугольник можно вписать окружность, и не вокруг любого можно описать. Более подробно эту тему можно изучить на уроках математики: признаки, теоремы и правила.

Практическая сторона геометрии

Название «геометрия» переводится с греческого, как «гео» — земля и «метрео» — мерить. Изначально геометрию использовали для разметки земли и других работ с землей. Но, оказалось, что сфера ее влияния безгранична.

Чтобы понять, зачем нам нужны знания по геометрии, просто оглянитесь вокруг: геометрия окружает нас в предметах разных форм. Взять хотя бы круг: его используют в искусстве, строительстве, технике. То же самое и с другими фигурами: чтобы сконструировать автомобиль или айфон, сшить одежду или построить дом — не обойтись без геометрии.

А еще геометрия помогает научиться рассуждать логически, искать связи и противоречия — полезный навык в диджитал-мире, когда информация окружает нас повсюду.

Вот, в каких профессиях пригодится геометрия: архитектор, айтишник, дизайнер, инженер, конструктор, строитель, smm-менеджер, декоратор, летчик, водитель, художник, проектировщик, астроном, спортсмен, музыкант и другие.

Почему изучать геометрию просто: мы видим объемный мир каждый день и регулярно прикасаемся к предметам, строим планы, размышляем и считаем в уме. В геометрии все знания подкреплены научными теориями — это помогает взаимодействовать с пространством по-другому, более осознанно.

Почему изучать геометрию сложно: некоторые правила придется учить наизусть.

Чтобы понять геометрию, двигайтесь от простого к сложному. Многие теоремы могут показаться очевидными. Но эта видимость может быть верной только для одного рисунка. Невозможно нарисовать все ситуации, ведь их их бесконечное множество. Именно поэтому важно доказать истину, чтобы никогда не сомневаться в ней.

Источник