Что такое невязки по какой формуле их можно подсчитать

Что такое невязки по какой формуле их можно подсчитать

Для вычисления невязки будем использовать функцию с двумя аргументами , где — некоторое выражение (формула), — желаемое значение. Ниже даны выражения вычисления функций невязки для множества операторов. С помощью этих функций рекурсивно можно вычислять невязку произвольного выражения, использующего эти операторы.

Чтобы отличать формулы от вычисляемых значений, будем через обозначать вычисленное значения выражения при заданных значениях переменных, входящих в . Еще потребуется обозначение — это количество переменных в выражении .

Задача формулируется в виде системы ограничений над переменными. Ограничение – это булево выражение, значение которого должно быть истинным. (Будем использовать 1 для истинного выражения и 0 для ложного). Таким образом, рекурсивное вычисление начинается с , где — это ограничение. Если для оператора указано выражение для вычисления , это значит что это глобальное ограничение, то есть оператор не может быть вложен в другие операторы или участвовать в выражение как его элемент. К таким операторам относятся операторы оптимизации и функциональные операторы.

Если вычисленное и желаемое значение совпадают, либо в выражении нет переменных, то невязка равна нулю:

Если некоторое булево выражение напрямую использовано в арифметическом выражении и желаемое значение отлично от нуля и единицы, то вычислении производятся следующим образом:

В качестве невязки используется оценка, на сколько минимально нужно изменить значение переменной, чтобы противоречивое ограничение стало бы истинным. Часто для «взвешивания» невязок нескольких переменных в одном выражении используется формула:

Для линейного ограничения использование такого взвешивания даст невязку как «среднее значение, на которое нужно изменить одну из переменных, чтобы ограничение стало бы истинным».

Невязка проектировалась таким образом, чтобы быть максимально инвариантной к форме записи, оставаясь при этом простой для вычисления для произвольных выражений.

Пример 1: линейное выражение.

Пусть для выражения невязка имеет значение 0.933. Если пользоваться классической невязкой для равенства , то для выражения невязка будет 9.33, то есть в 10 раз больше, хотя мы имеем тождественное выражение и невязка должна бы быть той же самой. В предлагаемом варианте вычисления невязки в обоих случаях будет одинаковой.

Пример 2: суммы с условиями.

Иногда условия могут находиться не непосредственно в корне ограничения, а быть вложенными внутрь выражения. Так, уравнение

эквивалентно множеству ограничений . Для классической формы вычисления невязка всегда будет 0 или 1. В предлагаемом варианте вычисления значения невязки для обоих случаев будут одинаковы.

Для некоторых выражений невязка не существует. Например, при использовании вещественной переменной для выражения теоретически невязку точно вычислить невозможно. Так при невязка будет числом, «бесконечно близким» к 2, но большим 2. Для таких случаев будем использовать малое число , отражающее используемую для ограничений точность. В этом случае невязка будет равно . Если мы имеет дело с целочисленными выражениями, то имеет смысл положить для них .

Источник

Уравнивание углов в теодолитных ходах — геодезия

Уравнивание углов в теодолитных ходах можно произвести достаточно точно и без составления нормальных уравнений, если диагональные ходы длинные и стороны их по длине близки к длине сторон основного опорного хода. В этом случае поступают следующим образом.

Подсчитывают угловую невязку в каждом из многоугольников. Сумма угловых невязок всех полигонов должна быть не больше допустимой угловой невязки для основного полигона.

Если невязки в отдельных полигонах одного знака и близки к предельным для каждого из них, то невязки распределяют в каждом многоугольнике преимущественно на стороны основного полигона, по возможности не исправляя углов диагональных ходов.

Если невязки хотя и одного знака, но в одних полигонах близки к предельным, а в других — малы, то большую невязку распределяют преимущественно на углы диагональных ходов.

Если невязки имеют в смежных полигонах различные знаки, то в первую очередь их распределяют по углам диагональных ходов.

После распределения угловых невязок подсчитывают дирекционные углы для каждой стороны хода.

Сначала вычисляют дирекционные углы внешнего полигона, затем переходят к вычислению дирекционных углов внутренних ходов.

Вычисление дирекционных углов T производится по общеизвестной формуле

Контроль

Контролем правильности вычислений дирекционных углов служит вторичное получение исходного дирекционного угла в замкнутом полигоне или значение дирекционного угла, полученного в результате привязки разомкнутого (вытянутого) хода ко второму (последующему) пункту государственной плановой сети.

Вычисление координат вершин теодолитных ходов (полигонов) ведется по формулам:

Координаты начальной точки получают обычно из каталога государственных геодезических координат или принимают условно, если теодолитные ходы не привязаны к пунктам государственной плановой сети.

Для подсчета приращений координат от каждой стороны хода пользуются формулами:

Если плановое положение вершин полигонов определяется по требованию Госгеонадзора в системе плоских прямоугольных зональных координат, длины d сторон хода в формулах (II.22) и (II. 23) приводятся к плоскости в равноугольной поперечно-цилиндрической проекции.

С этой целью в длину каждой стороны хода вводят всегда со знаком плюс поправку, величина которой определяется по формуле:

После подсчета приращений координат находят их сумму, отдельно по оси X и оси У, и определяют величину невязки с пунктами государственной основы.

Если обозначить координаты начального пункта этой основы черезX₁ Y₁ а конечного — черезX₂ Y₂, величина невязок по направлениям осей координат определится как:

где P — периметр (длина) хода между двумя пунктами государственной основы или длина замкнутого полигона.

Уравнивание приращений и вычисление координат

Убедившись в том, что невязка АР допустима, производят увязку (уравнивание) приращений и вычисление координат.

Простейший способ уравнивания приращений состоит в том, что полученные невязки f_x и f_y распределяют на все вычисленные приращения пропорционально длинам сторон сомкнутого (без диагональных ходов) или разомкнутого полигона.

Соответствующие поправки вводят в приращения со знаком, обратным знаку невязки. Если опорная сеть представляет собой серию взаимосвязанных замкнутых полигонов, уравнивание приращений ведется также по методу акад. B. В. Попова, как указано выше.

Координаты вершин полигона вычисляют по увязанным приращениям, пользуясь формулами равенства (II.21).

Накладка на план точек опорной сети и подробностей ситуации производится в масштабе 1 : 5000. Контроль за правильностью нанесения каждой точки на план осуществляется по расстояниям между точками, которые известны из измерений в натуре.

После нанесения на план опорных пунктов производят накладку ситуации по данным полевых журналов.

На план полосы отвода наносят:

оси главных путей с показанием километров, пикетов и элементов кривых;

контуры насыпей и выемок, водоотводных устройств, банкетов и кавальеров;

сооружений раздельных пунктов и жилых поселков, прилегающих к ним; линейно-путевых зданий;

снегозащитных полос (естественных) и искусственных посадок, постоянных снегозащитных заборов и т.д.;

контуры пашни, лугов, заболоченных мест и др.;

границы смежных землепользований, административно-территориального деления, полосы отвода, особых зон и места установки межевых столбов.

Отделка плана производится тушью. Общий вид плана полосы отвода приведен на рис. 29:

Источник

Тема: Основы математической обработки результатов теодолитной съёмки. Вычисление координат вершин теодолитного хода. Составление плана

1. Проверка полевых вычислений и определение поправок в измерения длин линий

_______ Далее вычисляются средние значения длин линии:

_______ В каждую длину линии вводятся поправки по формуле:

_______ Поправки вводятся при:

_______ После уравнивания углов производится вычисление дирекционных углов всех сторон теодолитного хода. _______ Вычисленные дирекционные углы переводятся в румбы.

2. Связь между дирекционными углами и горизонтальными углами теодолитного хода

_______ Дирекционный угол линии последующей равен дирекционному углу линии предыдущей плюс 180 0 минус угол вправо по ходу лежащий.

3. Обработка угловых измерений замкнутого теодолитного хода

_______ где f_β – угловая невязка.

_______ где n –вершина углов, следовательно:

4. Угловая невязка разомкнутого теодолитного хода

Для вычисления ∑β _теор. найдем дирекционные углы всех сторон хода:

_______ где α_нач. и α_кон. – дирекционные углы сторон опорной сети, тогда:

5. Невязки в диагональном ходе

_______ После обработки угловых измерений вычисляются дирекционные углы и румбы всех сторон хода.

6. Прямая и обратная геодезические задачи

6.1. Прямая геодезическая задача: по координатам отрезка прямой (начала), его длине и направлению определить координаты конца отрезка

_______ Прямая геодезическая задача применяется при вычислении координатных точек теодолитного хода.

6.2. Обратная геодезическая задача: по координатам начала и конца отрезка прямой найти его длину и направление

_______ Далее вычисляют arctg и находят числовое значение румба. Название румба определяют по знакам приращений координат, от румба переходят к дирекционному углу.
Длина линии может быть найдена по следующим формулам:

_______ Обратная геодезическая задача применяется при подготовке данных для перенесения проектов сооружений в натуру.

7. Уравнивание приращений координат

_______ Уравниванием называется совокупность математических операций, выполняемых для получения вероятнейшего значения геодезических координат точек земной поверхности и для оценки точности результатов измерений.

_______ Уравнивание проводится для устранения невязок, обусловленных наличием ошибок в избыточно измеренных величинах, и для определения вероятнейших значений искомых неизвестных или их значений, близких к вероятнейшим. В процессе уравнвиания это достигается путём определения поправок к измеренным величинам (углам, направлениям, длинам линий или превышениям).

7.1. Вычисление координат точек теодолитного хода

_______ Из решения прямой геодезической задачи по известным длинам сторон и румбам вычисляются приращения координат для каждой стороны хода по формулам:

_______ Далее вычисляются невязки в приращениях координат замкнутого хода.

7.2. Вычисление невязок в приращениях координат замкнутого хода

_______ Из геометрии известно, что сумма проекций сторон многоугольника на любую ось равна нулю, следовательно:

_______ Под влиянием ошибок измерений замкнутый полигон будет разомкнутым на величину f_р – абсолютная невязка в периметре полигона.

_______ Если полученная невязка недопустима, то необходимо произвести повторное измерение длин линий.

_______ Если невязки допустимы, то они распределяются на приращения координат пропорционально длинам сторон с противоположным знаком, то есть сумма исправленных приращений должна быть точно равна теоретической сумме – в данном случае равна нулю.

7.3. Вычисление невязок в приращениях координат разомкнутого теодолитного хода

_______ Определение допустимости невязок и их распределения производится так же, как для замкнутого теодолитного хода.

Для диагонального хода, например:

_______ По исправленным значениям приращений координат вычисляются координаты всех точек хода по формулам:

8. Построение плана

_______ Построение плана выполняются в следующей последовательности :
1) построение координатной сетки,
2) нанесение вершин теодолитного хода по координатам,
3) нанесение на план контуров местности,
4) оформление плана.

8.1. Построение координатной сетки

_______ 1) построение сетки с помощью линейки Дробышева:

_______ Построение сетки основано на построении прямоугольного треугольника с катетами 50×50 см и гипотенузой 70,711 см ;

2) построение сетки с помощью циркуля, измерителя и масштабной линейки:

_______ Вершины теодолитного хода наносятся на план по координатам относительно сетки с помощью измерителя и поперечного масштаба.

_______ Контроль правильности построения точек выполняется по известным расстояниям между точками. Допустимое расхождение – 0,3 мм в масштабе плана.

_______ Контуры местности наносятся на план в соответствии с абрисами.

_______ Оформление плана выполняется в строгом соответствии с условными знаками, установленными для данного масштаба.

Источник

Невязки в нивелирных ходах, их допустимость и распределение

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НИВЕЛИРОВАНИЯ. НИВЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ

6.1. Постраничный контроль

6.2. Невязки в нивелирных ходах, их допустимость и распределение

6.3. Вычисление отметок связующих и промежуточных точек. Способ превышений, способ горизонта

6.4. Построение продольного профиля трассы

6.5. Проектирование линейного сооружения

6.6. Нивелирование поверхности по квадратам

6.7. Обработка результатов нивелирования поверхности

6.8. Проведение горизонталей на плане

6.9. Точное и высокоточное нивелирование

Результаты измерения превышений методом геометрического нивелирования фиксируются в журнале технического нивелирования (табл. 6.1.). Целью обработки журнала технического нивелирования является вычисление высот определяемых точек по значениям высот исходных точек и результатам измерения превышений.

Постраничный контроль

Обработка результатов нивелирования начинается с проверки всех полевых вычислений в журнале путем постраничного контроля. Постраничный контроль заключается в выполнении следующих действий:

— вычисления суммы всех отсчетов на странице по задней рейке ;

— вычисления суммы всех отсчетов на странице по передней рейке ;

— вычисления алгебраической суммы всех средних превышений на странице ;

— проверки выполнения равенства

.

Допустимое отклонение от указанного равенства составляет 1-2 мм, которое может возникнуть вследствие накопления ошибок округлений при вычислениях средних превышений на станциях.

Перечисленные операции должны выполняться на каждой странице журнала технического нивелирования, в связи с чем такой контроль и называется постраничным. При проведении постраничного контроля проверяются только результаты полевых вычислений (отсутствие в них арифметических ошибок), качество измерений при этом не может быть проверено.

Невязки в нивелирных ходах, их допустимость и распределение

Рассмотрим разомкнутый ход нивелирования (рис.6.1). Измеренное превышение между начальной и конечной точками хода равно сумме превышений, измеренных на каждой станции, то есть

,

где — превышение, измеренное на i-ой станции. Полученное таким образом превышение между начальной и конечной точками хода называют измеренной, или практической, суммой превышений. С другой стороны, если высота H₀ начальной точки хода и высота конечной точки хода известны, то в соответствии с определением превышения превышение между ними может быть определено как разность их высот:

.

Рис. 6.1. Сумма превышений

Данное значение превышения между точками A и B называют теоретической суммой превышений. Очевидно, что измеренная сумма превышений должна равняться теоретической

.

Но также очевидно, что вследствие ошибок измерений такое равенство будет выполняться только тогда, когда ошибки измерений полностью компенсируются. За крайне редкими исключениями такой компенсации ошибок не будет, и сумма измеренных превышений будет отличаться от теоретической суммы превышений, то есть будет иметь место соотношение

.

Разность между измеренной суммой превышений и ее теоретическим значением называется невязкой превышений

.

(В общем случае разность между результатом измерений некоторой величины и ее теоретическим значением называется невязкой: . Пример: угловая невязка в треугольнике на плоскости есть разность между суммой его измеренных углов и 180°.)

В замкнутом нивелирном ходе отметка начальной точки равна отметке конечной точки, то есть H₀=H_n. Следовательно, теоретическая сумма превышений в замкнутом ходе равна

.

Тогда невязка в замкнутом нивелирном ходе будет равна измеренной сумме превышений, то есть

.

Очевидно, что величина невязки в нивелирном ходе будет зависеть от использованных приборов, тщательности выполненных измерений, внешних условий и ряда других факторов. При техническом нивелировании для оценки качества выполненных измерений превышений служит величина допустимой невязки, вычисляемая по эмпирической формуле

,

где L – число километров в ходе; говорят также, что L – длина хода, выраженная в километрах.

Если на каждый километр нивелирного хода приходится большое число станций (более 25), то рекомендуется использовать другую формулу:

,

Если полученная невязка превышений по модулю больше допустимой невязки, то есть имеет место соотношение , то результаты измерений превышений не могут быть признаны удовлетворительными, и полевые измерения должны быть выполнены повторно. Если выполняется условие , то результаты измерений считаются доброкачественными, выполненными надлежащим образом, и обработка хода может быть продолжена.

Таблица 6.1. Пример обработки журнала технического нивелирования

№ станции	№ пикетов	Отсчеты по рейкам	Превышения	Горизонт прибора	Отметки
Задняя	Перед.	Промеж.	Черн.	Красн.	Средн.	Испр.
-3
Рп. 1	+1208	+1210	+1209	+1206	123.456
Х1
-3
Х1	+1596	+1595	+1596	+1593	124.662
ПК0
-3
ПК0	-0534	-0537	-0536	-0539	126.255
ПК1
-3
ПК1	-0089	-0088	-0088	-0091	126.716	125.716
ПК2
+25	124.928
+41	-3	125.993
ПК2	-1134	-1136	-1135	-1138	125.625
ПК3
-3
ПК3	+2294	+2296	+2295	+2292	124.487
Рп.2	126.779
S		+3341	+3323
	+3340		+3323 +18	=30 мм

Но если невязка превышений допустима и не равна нулю ( ), то мы имеем определенное противоречие: измеренная сумма превышений не равна теоретической сумме превышений, чего не может быть. Поэтому полученные результаты измерения превышений нужно привести в соответствие с требованиями геометрии и здравым смыслом, “исправить” их определенным образом. В таких случаях говорят, что нужно распределить невязку, ввести в измеренные значения некоторые поправки. При этом поправки должны вводиться таким образом, чтобы сумма исправленных превышений равнялась теоретической.

Существует бесконечное число вариантов распределения поправок. При выборе такого варианта можно рассуждать следующим образом. Полевые измерения выполнялись одним и тем же прибором, по одной и той же методике, при одной и той же погоде и прочих равных условиях, поэтому у нас нет оснований одним измерениям доверять меньше и вводить в них большие поправки, а другим измерениям доверять больше и вводить в них меньшие поправки. Представляется разумным и достаточно обоснованным считать результаты наших измерений равноточными и руководствоваться при этом принципом равенства поправок. Тогда во все измерения необходимо вводить одну и ту же поправку δ, которая может быть вычислена по формуле

,

где n – число станций в ходе. При этом говорят, что поправка в превышения равна невязке с противоположным знаком, деленной на число станций. Значения поправок округляются до 1 мм.

После вычисления поправок в превышения выполняется их контроль, который сводится к проверке выполнения соотношения

,

то есть сумма поправок в превышения должна равняться невязке, взятой с противоположным знаком.

Так как при обработке результатов технического нивелирования значения превышений и поправки в превышения округляются до 1 мм, может случиться так, что вследствие ошибок округления последнее соотношение не выполняется, тогда некоторые поправки увеличивают или уменьшают на 1 мм так, чтобы выполнялось равенство . Желательно, чтобы превышения с такими поправками располагались примерно равномерно по всему ходу нивелирования.

Таким образом, можно считать, что в отдельном ходе поправки вводятся поровну во все измеренные превышения с округлением до 1 мм.

Источник