Что такое невырожденное преобразование

Невырожденные линейные преобразования

Невырожденные линейные преобразования

Число является произведением этого числа и изображения элемента. Людмила Фирмаль

Если det A / 0, это называется невырожденным5). Обратите внимание на следующие важные характеристики невырожденных Groove: каждый такой оператор отображает пространство V на себя Один в один То есть, если A невырожденный оператор, Элемент x∈V соответствует только одному элементу y∈V, Можно найти в формуле Y = x, (9.10)

Если у является фиксированным элементом в пространстве V, Существует только один элемент x такой, что y = Ax. Для доказательства второй части утверждения: Посмотрите на матричную запись действий линейного оператора. Следовательно, A = (a ^) является матрицей базового оператора A, Координаты полицейского x и y равны x1, …, xn и y1, …, yn соответственно.

Следовательно, результат действия невырожденного линейного оператора Можно рассматривать как отображение линейного пространства V Самостоятельно Таким образом, для конкретного невырожденного оператора вы можете: Чтобы говорить о невырожденном линейном преобразовании пространства V, Или вкратце о линейном преобразовании В.

Неизвестный HK. Это для каждого фиксированного элемента Для y E V существует только один элемент x такой, что y = Ax. Людмила Фирмаль

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Что такое невырожденное преобразование

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии Группы преобразований Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com

§ 2. Группы преобразований

В этом параграфе изучаются группы невырожденных линейных преобразований линейного, и в частности евклидова, пространства.
1. Невырожденные линейные преобразования. В п. 1 § 1 гл. 5 было введено понятие линейного оператора. Напомним, что линейным оператором А называлось такое отображение линейного пространства V в линейное пространство W, при котором образ суммы элементов равен сумме их образов и образ произведения элемента на число равен произведению этого числа на образ элемента.
Мы будем рассматривать так называемые невырожденные линей н ые операторы, отображающие данное конечномерное линейное пространство V в это же пространство. При этом линейный оператор А называется невырожденным, если det А ≠ 0 ( н апомним, что det А был введен в п. 2 § 2 гл. 5 как определитель матрицы линейного оператора в данном базисе. Там же было доказано, что значение det А не зависит от выбора базиса).
Отметим следующее важное свойство невырожденных операторов: каждый такой оператор отображает пространство V на себя взаимно однозначно.
Иными словами, если А — невырожденный оператор, то каждому элементу х Î V соответствует только один элемент у Î V, который может быть найден по формуле

Отметим, что, вообще говоря, АВ ≠ ВА.
Для того чтобы указанное произведение действительно было законом композиции (см. п. 1 § 1 этой главы), достаточно доказать, что преобразование АВ является невырожденным, а это следует из того, что матрица линейного преобразования АВ равна произведению матриц преобразований А и В, а следовательно, det (АВ) = det A ´ det B ≠ 0, ибо det А ≠ 0 и det В ≠ 0.
Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 9.8. Множество GL(n) невырожденных линейных преобразований линейного n-мерного пространства V с введенной выше операцией умножения представляет собой группу (называемую группой линейных преобразований линейного пространства V).
Доказательство. Проверим требования 1°, 2°, 3° определения 2 группы (см. п. 2 § 1 этой главы).
1°. Ассоциативность умножения, т.е. равенство

т.е. det P ≠ 0. Следовательно, ортогональное преобразование Р невырожденное.
Отметим следующее важное свойство ортогональных преобразований.
Теорема 9.9. Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства V с обычной операцией умножения линейных преобразований образует группу, называемую ортогональной группой и обозначаемую символом О(n).
Доказательство. Достаточно доказать, что произведение ортогональных преобразований представляет собой ортогональное преобразование. Существование обратного преобразования (обратного элемента) для данного ортогонального преобразования доказано в теореме 5.36 (см. также только что сделанное замечание).
Итак, пусть P₁ и P₂ — ортогональные преобразования. Рассмотрим произведение P₁P₂. Согласно теореме 5.36 нам достаточно доказать соотношение

В п. 1 §5 гл.5 (см. свойство 5° сопряженных операторов) мы установили, что (P₁P₂)* = P*₂P*₁. Используя это соотношение и ортогональность преобразований P₁ и P₂, получим

Таким образом, соотношение (9.15) доказано. Теорема доказана.
Замечание 1. Очевидно, ортогональная группа является подгруппой группы GL(n).
Замечание 2. Значение определителя det P ортогонального преобразования Р удовлетворяет соотношению

Для доказательства (9.16) заметим, что для матрицы Р преобразования Р справедливо соотношение

(эти соотношения показывают, что левый и правый смежные классы подгруппы совпадают, что является признаком нормального делителя).
Первое из соотношений (9.20) очевидно.
Для доказательства второго соотношения воспользуемся следующими очевидными свойствами отражения Р:

PP = I, РаР = а, a Î O(3).

Умножая соотношение РаР слева на Р и пользуясь равенством РР = I, получим второе соотношение (9.20).
Докажем теперь следующее утверждение.
Подгруппа SO(3) собственных ортогональных преобразований группы O(3) изоморфна фактор-группе группы O(3) по нормальному делителю .
Доказательство. Смежный класс элемента а Î SO(3) по подгруппе имеет вид <а, Ра>, причем Ра — несобственное преобразование (произведение собственного преобразования а и несобственного преобразования Р дает несобственное преобразование).
Если а’ — несобственное преобразование, то смежный класс <а', Ра'>приводится к виду <а, Ра>, где а = Ра’ — собственное преобразование и Ра = Р(Ра’) = (РР)а’ = а’.
Таким образом, фактор-группа O(3 / ) состоит из смежных классов вида <а, Ра>, где а — собственное преобразование. Очевидно, что соответствие а ↔ <а, Ра>есть изоморфизм между группами SO(3) и O(3 / . Утверждение доказано.
6. Группа Лоренца. В п. 1 §4 гл.8 мы ввели понятие псевдоевклидова пространства Е n _{(p, q)}, т.е. линейного пространства, в котором задано скалярное произведение (х, у), равное невырожденной симметричной билинейной форме A(х, у), полярной знакопеременной квадратичной форме A(х, х):

В п.2 §4 гл.8 было отмечено, что в так называемой галилеевой системе координат квадрат интервала

Введем понятие преобразования Лоренца псевдоевклидова пространства Е n _{(p, q)}.
Определение. Линейное преобразование Р псевдоевклидова пространства Е n _{(p, q)} называется преобразованием Лоренца, если для любых х и у из Е n _{(p, q)} справедливо соотношение

то преобразования Лоренца из группы пространства Е 2 _{(1, 1)} задаются формулами

Рассмотрим в плоскости (х, у) вектор х с координатами (0, 1). По формуле (9.26) этот вектор перейдет в вектор х _β с координатами

Обратимся теперь к последовательности преобразований Лоренца (9.26), определяемой значениями β_n из соотношения

Согласно (9.27) и (9.28) вектор х перейдет при действии указанной последовательности преобразований Лоренца в следующую последовательность векторов <х_n> с координатами

Источник

Невырожденные матрицы

Невырожденные матрицы

Основные понятия

Пусть — квадратная матрица -го порядка

Квадратная матрица называется невырожденной, если определитель не равен нулю: . В противном случае () матрица называется вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице , называется матрица

Матрица называется обратной матрице , если выполняется условие

где — единичная матрица того же порядка, что и матрица . Матрица имеет те же размеры, что и матрица .

Обратная матрица

Теорема 3.1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть

, причем .

Составим союзную матрицу

и найдем произведение матриц и :

Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2).

Аналогично убеждаемся, что

Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде

Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем

т. е.

Отметим свойства обратной матрицы:

Пример №3.1.

Найти если .

Решение:

1) Находим : .

2) Находим : поэтому .

3) Находим : .

Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу размера .

Выделим в ней строк и столбцов . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель -го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим, что таких миноров можно составить штук, где — число сочетаний из элементов по .)

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается или .

Очевидно, что , где — меньшее из чисел и .

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример №3.4.

Найти ранг матрицы:

Решение:

Вес миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля . Значит, . Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.

Отметим свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы (см. с. 18).

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Невырожденное преобразование

Последний раз редактировалось Braga 06.12.2014, 21:29, всего редактировалось 1 раз.

Последний раз редактировалось VanD 06.12.2014, 21:43, всего редактировалось 2 раз(а).

Последний раз редактировалось Braga 06.12.2014, 21:47, всего редактировалось 1 раз.

Понятно, то есть, если это отображение вдобавок простое, то мы всегда сможем найти обратное(по крайней мере в окрестностях, покрывающих данное множество) с абсолютно теми же свойствами.

Заслуженный участник

Спасибо. Но развивая тему: как это поняли? Что именно это обозначает якобиан

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось VanD 06.12.2014, 22:43, всего редактировалось 2 раз(а).

Последний раз редактировалось VanD 06.12.2014, 23:08, всего редактировалось 1 раз.

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

НЕВЫРОЖДЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

— линейное представление группы (кольца, алгебры, полугруппы) Xв векторном пространстве Е такое, что из равенства для нек-рого и всех следует .

Смотреть что такое «НЕВЫРОЖДЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ» в других словарях:

Представление группы — У этого термина существуют и другие значения, см. Представление. Не следует путать с заданием группы. Представление группы (точнее, линейное представление группы) гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований… … Википедия

БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — группы Ли представление группы Ли в бесконечномерном векторном пространстве. Теория представлений групп Ли есть часть общей теории, представлений то пологич. групп. Специфика групп Ли позволяет использовать в этой теории средства анализа (в… … Математическая энциклопедия

ГИЛЬБЕРТОВА АЛГЕБРА — алгебра Ас инволюцией над полем комплексных чисел, снабженная невырожденным скалярным произведением (|), причем выполняются следующие аксиомы: 1) для всех для всех 3) для всех отображение пространства Ав Анепрерывно; 4) множество элементов вида … Математическая энциклопедия

Векторное произведение — в трёхмерном пространстве. Векторное произведение это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум … Википедия

Источник