Что такое номинальное сопротивление двигателя постоянного тока
Большая Энциклопедия Нефти и Газа
Номинальное сопротивление
Номинальным сопротивлением двигателя постоянного тока называется такое сопротивление цепи якоря ( внешнее и внутреннее), которое при неподвижном двигателе и номинальном для двигателя напряжении сети Ua определяет номинальный ток якоря. [32]
Если номинальное сопротивление выражается целым числом, то обозначение единицы измерения ставят после числа. [34]
Измеряют номинальное сопротивление при температуре окружающей среды 20 1 С и при минимальной мощности рассеивания. Для отдельных типов терморезисторов, предназначаемых для измерения высоких температур, номинальное сопротивление нормируется при температуре 150 С. [35]
За номинальное сопротивление обмоток и катушек принимается сопротивление при 20 С. Измерение сопротивлений производится при практически холодном состоянии обмоток ( катушек), т.е. при температуре обмоток ( катушек), близкой к температуре окружающего воздуха. [39]
За номинальное сопротивление ТС принимается его сопротивление при 20 С. [41]
За номинальное сопротивление катушки считают фактическое сопротивление между потенциальными зажимами. В цепи переменного тока обмотка катушки обладает не только активным сопротивлением г, но и индуктивностью L, и межвитковой шунтирующей емкостью С. Поэтому с изменением частоты переменного тока несколько изменяется общее сопротивление катушки. [42]
Чтобы номинальные сопротивления резистивных элементов не превышали заданных допусков, их необходимо изготовлять с большой точностью или получать необходимую точность подгонкой. [43]
Определение номинальных сопротивлений для асинхронных двигателей с фазным ротором и номинальных сопротивлений в цепи двигателей постоянного тока даны выше. [45]
Электроника для всех
Блог о электронике
Двигатель постоянного тока. Характеристики и регулирование
После предыдущего поста о мотор-редукторе мне пришло несколько вопросов по регулированию двигателя постоянного тока. Так что пора написать очередной пост 🙂 
Двигатель постоянного тока (ДПТ) это один из самых привычных и понятных электродвигателей, он изучается даже в школе, на физике. Он используется практически везде, где нужен малогабаритный моторчик, а также не спешит сдавать своих позиций и там, где мощность измеряется десятками киловатт. О нем и поговорим.
▌Конструктив и базовый принцип
Не буду тут особо распинаться, покажу картинку из википедии и укажу ряд основных узлов. Все остальное вы и так знаете и трогали своими руками.
1. Статор состоит из источника магнитного поля. Далеко не всегда это постоянный магнит, более того, постоянный магнит это скорей исключение, чем правило. Обычно все же это обмотка возбуждения. По крайней мере на всем, что больше кулака по размерам.
Работает все очень и очень просто. Обмотка якоря отталкивается от магнитного поля статора силой Ампера и совершает пол оборота, стремясь вывести эту силу на ноль и таки вывела бы если бы не коллектор, который ловко всех обламывает переключает полярность катушки и сила вновь становится максимальной. И так по кругу. Т.е. коллектор служит механическим инвертором напряжения в якоре. Запомните этот момент, он нам еще пригодится 🙂
Обычно в мелких моторчиках всего два полюса обмотки возбуждения (одна пара) и трехзубцовый якорь. Три зуба это минимум для запуска из любого положения, но чем больше зубцов тем более эффективно используется обмотка, меньше токи и более плавный момент, т.к сила является проекцией на угол, а активный участок обмотки проворачивается на меньший угол
▌Происходящие в двигателе процессы
Думаю многие из вас кто баловался с движками могли заметить, что у них есть ярко выраженный пусковой ток, когда мотор на старте может рвануть стрелку амперметра, например, до ампера, а после разгона ток падает до каких-нибудь 200мА.
Почему это происходит? Это работает противоэдс. Когда двигатель стоит, то ток который через него может пройти зависит только лишь от двух параметров — напряжения питания и сопротивления якорной обмотки. Так что предельный ток который может развить движок и на который следует рассчитывать схему узнать несложно. Достаточно замерить сопротивление обмотки двигателя и поделить на это значение напряжение питания. Просто по закону Ома. Это и будет максимальный ток, пусковой.
Но по мере разгона начинается забавная вещь, обмотка якоря движется поперек магнитного поля статора и в ней наводится ЭДС, как в генераторе, но направлена она встречно той, что вращает двигатель. И в результате, ток через якорь резко снижается, тем больше, чем выше скорость.
А если движок дополнительно еще подкручивать по ходу, то противоэдс будет выше питания и движок начнет вкачивать энергию в систему, став генератором.
▌Немного формул
Не буду грузить никого выводами, их найдете сами если захотите. Чтобы было поменьше матана рекомендую найти учебник по электроприводу для средних учебных заведений и годом выпуска подревней. От 50х-60х годов самое то 🙂 Там и картинки винтажные и расписано для вчерашнего выпускника сельской семилетки. Много букв и никакого грузилова, все четко и по делу.
Самая главная формула коллекторного двигателя постоянного тока:
Ну и зависимость момента от тока и потока:
См — конструктивная констатнта.
Вот тут стоит обратить внимание, что зависимость момента от тока совершенно прямая. Т.е. просто замеряя ток, при неизменном потоке возбуждения, мы можем совершенно точно узнать величину момента. Это может быть важно, например, чтобы не сломать привод, когда двигло может развить такое усилие, что легко поломает то, что оно там вращает. Особенно с редуктором.
Ну и из этого же следует, что момент у машины постоянного тока зависит только от способности источника снабжать его током. Так что идеальный нерушимый сверхпроводящий движок вам на раз лом в узел завяжет, пусть даже он сам с ноготок будет. Только энергию подавай.
А теперь смешаем все это в кучу и получим зависимость оборотов от момента — механическую характеристику двигателя.
Если ее построить, то будет нечто следующее:
n0 — это обороты идеального холостого хода сферического двигателя в вакууме. Т.е. когда наш движок ну ваще халявит, момент равен нулю. Ток потребления тоже, естественно, ноль. Т.к. противоэдс равна напряжению. Чисто теоретический вариант. А вторая точка строится уже с каким-либо моментом на валу. Получается прямая зависимость оборотов от момента. А наклон характеристики определяется сопротивлением якорной цепи. Если никаких добавочных резисторов там нет, то это зовут естественной характеристикой.
Обороты идеального холостого хода зависят от напряжения и потока. Больше ни от чего. А если поток константа (постоянный магнит), то только от напряжения. Снижая напряжение вся наша характеристика параллельно смещается вниз. Уменьшили напряжение в два раза — скорость упала в два раза.
Если есть возможность менять поток возбуждения, то можно поднимать скорость выше номинальной. Тут зависимость обратная. Ослабляем поток — двигатель разгоняется, но либо падает момент, либо ему надо жрать больше тока.
Добавляя резисторы в якорную цепь мы можем увеличить наклон, т.е. чем больше грузим тем больше падает скорость. 
Метод плох тем, что резисторы в цепи якоря должны быть расчитаны на ток двигателя, т.е. быть мощными и будут греться зря. Ну и момент резко падает, что плохо.
Есть еще двигатели не независимого, а последовательного возбуждения. Это когда обмотка статора включена последовательно якорю. Не каждый двигатель так можно включить, обмотка возбуждения должна выдерживать ток якоря. Но у них возникает одно интересное свойство. При пуске возникает большой пусковой ток и этот пусковой ток является же током возбуждения, обеспечивая огромный пусковой момент. Механическая характеристика напоминает гиперболу с максимумом в районе нулевых оборотов.
А дальше, по мере разгона, момент падает, а обороты наоборот растут. И если нагрузку убрать с вала, то движок сразу же уходит в разнос. Такие движки ставят на тягловый привод в основном. По крайней мере ставили раньше, до развития силовой электроники. С места эта хрень рвет так, что все стритсракеры нервно закуривают.
▌Режимы работы двигателя постоянного тока
Направление вращения движка зависит от направления тока якоря или направления потока возбуждения. Так что если взять коллекторный двигатель и подключить обмотку возбуждения параллельно якорю, то он будет прекрасно вращаться и на переменном токе (универсальные двигатели, их в кухонную технику часто ставят). Т.к. ток будет одновременно меняться и в якоре и в возбуждении. Момент правда будет пульсирующим, но это мелочи. А для реверса там надо будет поменять полярность включения якоря или возбуждения.
Если нарисовать механическую характеристику в четырех квадрантах, то у нас будет нечто похожее на это:
Вот, например, характеристика 1 на I участке у нас машина работает как двигатель. Нагрузка растет и в определенный момент двигатель останавливается и начинает вращаться в обратную сторону, т.е. нагрузка обращает его вспять. Это тормозной режим, противовключение. Режим очень тяжелый, двигло греется просто зверски, но для торможения очень эффективный. Если же момент на валу сменит направление и пойдет вращать навстречу движку, то мотор сразу же выйдет на генерацию (IV участок).
Характеристика 2 это то же самое, только с обратной полярностью питающего напряжения двигателя.
А характеристика 3 это динамическое торможение. Оно же реостатное. Т.е. когда мы берем и просто коротим наш двигатель на резистор или сам на себя. Можете сами проверить, возьмите любой моторчик и покрутите его, а потом закоротите ему якорь и покрутите снова. На валу будет ощутимое усилие, тем больше, чем качественнее движок.
Кстати, драйвера двигателей вроде L293 или L297 имеют возможность включить реостатное торможение, подачей обоих ключей вверх или вниз. При этом якорь коротится через драйвер на шину земли или питания.
▌Бесколлекторные двигатели постоянного тока
Коллекторный движок он очень хорош. Он чертовски легко и гибко регулируется. Можно повышать обороты, понижать, механическая характеристика жесткая, момент он держит на ура. Зависимость прямая. Ну сказка, а не мотор. Если бы не одна ложка говна во всей этой вкусняшке — коллектор.
Это сложный, дорогой и очень ненадежный узел. Он искрит, создает помехи, забивается проводящей пылью от щеток. А при большой нагрузке может полыхнуть, образовав круговой огонь и тогда все, капец движку. Закоротит все дугой наглухо.
Но что такое коллектор вообще? Нафига он нужен? Выше я говорил, что коллектор это механический инвертор. Его задача переключать напряжение якоря туда сюда, подставляя обмотку под поток.
А на дворе то уже 21 век и дешевые и мощные полупроводники сейчас на каждом шагу. Так зачем нам нужен механический инвертор если мы можем сделать его электронным? Правильно, незачем! Так что берем и заменяем коллектор силовыми ключами, а еще добавляем датчики положения ротора, чтобы знать в какой момент переключать обмотки.
А для пущего удобства выворачиваем двигатель наизнанку — гораздо проще вращать магнит или простенькую обмотку возбуждения, чем якорь со всей этой тряхомудией на борту. В качестве ротора тут выступает либо мощный постоянный магнит, либо обмотка питаемая с контактных колец. Что хоть и смахивает на коллектор, но не в пример надежней его.
И получаем что? Правильно! Бесщеточный двигатель постоянного тока aka BLDC. Все те же няшные и удобные характеристики ДПТ, но без этого мерзкого коллектора. И не надо путать BLDC с синхронными двигателями. Это совсем разные машины и разным принципом действия и управления, хотя конструктивно они ОЧЕНЬ схожи и тот же синхронник вполне может работать как BLDC, добавить ему только датчиков да систему управления. Но это уже совсем другая история.
Спасибо. Вы потрясающие! Всего за месяц мы собрали нужную сумму в 500000 на хоккейную коробку для детского дома Аистенок. Из которых 125000+ было от вас, читателей EasyElectronics. Были даже переводы на 25000+ и просто поток платежей на 251 рубль. Это невероятно круто. Сейчас идет заключение договора и подготовка к строительству!
А я встрял на три года, как минимум, ежемесячной пахоты над статьями :)))))))))))) Спасибо вам за такой мощный пинок.
106 thoughts on “Двигатель постоянного тока. Характеристики и регулирование”
Я очень ждал статей про двигатели. Специалист по электроприводу научил нас как работать с AVR, а про моторчики нифига не написал. Еще будут статьи на эту тему?
Мне порвала шаблон обратная зависимость между магнитным потоком возбуждения и скоростью вращения. По формуле я вижу, что это так, но понять не могу. Особенно удивил уход вразнос при отключении обмотки возбуждения. Если нет магнитного потока статора, то от чего «отталкивается» ротор? Как двигатель может вообще работать в таком режиме?
Отталкивается от остаточного возбуждения. Намагниченности полюсов. Но ты обрати внимание, что момент там тоже уходит в ноль. Так что либо отталкиваться бешеным током, либо снижать момент до нуля.
Да, про момент я заметил. Понятно, что разгон будет происходить только без нагрузки и только, если источник питания способен выдать нужный ток.
Статьи может быть будут еще, не скажу. Я, на самом деле, за 7 лет изрядно эту тему подзабыл за неиспользованием. Особенно касаемо всякого продвинутого регулирования и динамики привода. Так что не такой я уж специалист по приводу 🙂
Можно и без продвинутого регулирования для начала. Меня совсем базовые вещи интересуют. Типа, какие бывают способы управления и, соответственно, какие драйверы их реализуют, чем отличаются, плюсы, минусы, подводные камни. Для коллекторных и бесколлекторных двигателей постоянного тока. На что следует обратить внимание при разработке схем с электродвигателями, чтобы не сжечь все нафиг. В общем, такая статья в раздел «Начинающим». Но и более емкие статьи я бы с удовольствием прочитал.
Ну базовые вещи я уже описал 🙂 А дальше додумываешь сам. Напряжение можно рулить ШИМом. Можно обратную связь по току-моменту замутить. Обращаться с ними также как с любой индуктивностью, о чем я тоже уже писал. Не расписывал только H-мосты самодельные. Но тут тема такая, на всех не угодишь, слишком они разные бывают.
Он используется практически везде, где нужен малогабаритный моторчик
Я БУДУ ЧИТАТЬ ДО КОНЦА, ПРЕЖДЕ ЧЕМ КОММЕНТИРОВАТЬ. Я БУДУ ЧИТАТЬ ДО КОНЦА, ПРЕЖДЕ ЧЕМ КОММЕНТИРОВАТЬ. Я БУДУ ЧИТАТЬ ДО КОНЦА, ПРЕЖДЕ ЧЕМ КОММЕНТИРОВАТЬ. Я БУДУ ЧИТАТЬ ДО КОНЦА, ПРЕЖДЕ ЧЕМ КОММЕНТИРОВАТЬ. Я БУДУ ЧИТАТЬ ДО КОНЦА, ПРЕЖДЕ ЧЕМ КОММЕНТИРОВАТЬ.
Модели — не игрушки. Совсем другие требования, и другие цены.
А в дешевых игрушках, — как правило, дешевые коллекторные движки с проволочными щетками. Да и в самых дешевых моделях вертолета с соосными винтами (по сути, те же игрушки) — тоже коллекторные.
Имеется двигатель постоянного тока мощностью 60Вт, напряжение питания 48В. Как его можно переделать чтобы питать от 12В не потеряв в мощности?
Измерение сопротивления и индуктивности двигателя постоянного тока
Есть двигатель постоянного тока. Задача — разработать, собрать и протестировать устройство, позволяющиее реализовать контур тока применительно к этому двигателю. Желаемое время переходного процесса на застопоренном двигателе (без противо-ЭДС) — не более 10мс. Интерфес связи с внешним управляющим контроллером — SPI.
Двигатель постоянного тока, коллекторный, максимальное напряжение 24В, рабочий ток до 5А.
Что значит — контур тока? Самые распространённые драйверы для управления двигателями это всякие вариации полумостов, которые усиливают напряжение. А мне хочется, чтобы драйвер брал на вход не напряжение, а силу тока. Сила, развиваемая электроприводом, прямо пропорциональна силе протекающего тока. А значит, и прямо пропорциональна ускорению на валу двигателя. Такой контур тока позволит избежать извращений, на которые нужно идти без него, как я это делал тут.
Я разбил этот текст на две статьи:
Железо
В состав системы будут входить:
Силовой драйвер
В качестве силового драйвера выбрана широкодоступная плата ($18) от Pololu на базе микросхемы Freescale MC33926, максимальная частота ШИМ 20кГц, 5А в пике, коммутируемое напряжение от 5 до 28 вольт.
Этот чип был взят за его возможность измерения абсолютной величины протекающего тока, которая в итоге не была использована. Таким образом, можно немного сэкономить, взяв более дешёвый драйвер со схожими характеристиками.
Датчик тока и его проверка
В качестве датчка тока выбран датчик Холла Allegro ACS714 ($3), выдающий аналоговый сигнал с центром в 2.5В и 185мВ/А, типичная ошибка 1.5%. На датчик была добавлена RC-цепочка в качестве фильтра низких частот с частотой среза 16кГц.
Эта проверка была необходима, т.к. я купил несколько макеток с ACS712 и ACS714 от разных производителей, и в параметры даташита попал только один!
Микроконтроллер
В качестве управляющего микроконтроллера выбран ATMega328p, работающий на частоте 16МГц. Обвязка микроконтроллера — китайский клон Arduino Nano v3 ($1.5).
Микроконтроллер генерирует ШИМ сигнал через восьмибитный счётчик с делителем 8, таким образом, частота ШИМ сигнала 16 * 10^6 /255 /8 = 7.8 кГц, что укладывается в максимально доступные для драйвера 20кГц.
Делитель АЦП микроконтроллера установлен на 128; поскольку каждое измерение требует примерно 13 тактов, максимальная частота измерений протекающего тока равна примерно 16 * 10^6 / 128 / 13 = 9.6 кГц. Измерения производятся в фоновом режиме, извещая основную программу об окончании при помощи вызова соответствующего прерывания.
Например, я подал синусоидальный сигнал (в ШИМ) на выход контроллера, и логический анализатор его прекрасно видит:
Всё это было соединено вместе, фотография дана в заголовке поста.
Лирическое отступление
Практически все статьи, что я размещаю здесь, являются моим рабочим дневником. Я чему-то учусь (в данном случае теории управления) и старательно записываю то, что узнал. Лучший способ записать — это написать объяснение того, как это всё работает. Затем статьи выкладываю на разных площадках, например тут.
Целей при написании текста у меня две:
а) получить обратную связь от людей, которые знают больше меня. Например, практически всё, что я узнал для данных двух статей, мне рассказал уважаемый Arastas, прошу любить и жаловать: человек, который тратит личное время на обучение таких оболтусов, как я.
Опять же, gbg, который написал мне линейную алгебру для моих лекций по компьютерной графике, а потом за много тысяч километров по телефону дебажил мне электронику.
б) просто записать: таким образом я получаю библиотеку личного опыта, к которой периодически возвращаюсь. Кстати, тематические медиа, какой процент авторов соглашаются на ваши условия программы поддержки?
Необходимый ликбез
Преобразование Фурье
Первое, что нужно понять, читая мои тексты: я считаю, что функция и вектор — это одно и то же. Все разговоры про бесконечности на меня навевают скуку и заслоняют суть происходящего. Обобщённые функции и тому подобное — это способ рассмотреть патологические случаи используя тот же самый язык, что и случаи, где никаких патологий нет. Вот только патологии меня не интересуют.
На эту тему хорошо высказался Валерий Иванович Опойцев (Босс):
В любой области полезно оказаться в подходящей среде устного общения, где осыпается книжная шелуха. Там иногда ничего не меняется по сути, зато возникает чувство попадания в колею и освобождения от догм. Для науки, которая всегда в маске, это особенно важно. Суть за кадром, перед глазами — кружева. И вечно чего-то не хватает. То простоты, то сложности, да точно и не определишь — чего. Что-то куда-то шагает, ты — на обочине, а время уходит в песок, не говоря о жизни.
Далее предпринимается попытка сдвинуть ситуацию с места, моделируя письменную среду, где «спадают покровы». Внешняя канва содержания более-менее неясна из оглавления, но главная цель — та, что за кадром. Снять вуаль, грим, убрать декорации. Переупростить, даже приврать слегка, ибо дозирование правды — краеугольный камень объяснения. Результаты, перегруженные деталями, не пролезают куда надо. Озарение случается, когда пухнущая голова проваливается на уровень «дважды два», в то время как счет идет на миллионы. Такая уж тут диалектика.
Если у нас есть вектор (7,12,18,-2), то его можно рассматривать как набор коэффициентов во взвешенной сумме. 7*(1,0,0,0) + 12*(0,1,0,0) + 18*(0,0,1,0) + (-2)*(0,0,0,1). Ровно так же можно считать этот вектор значениями функции в точках 0, 1, 2, 3, ведь наши векторы (0,1,0,0) и ему подобные можно рассматривать как сдвиг единичного импульса:
Если постоянно увеличивать количество векторов (сдвинутых единичных импуьсов) в базисе, то получим обычные функции.
К сожалению, с таким базисом бывает довольно неудобно работать. Давайте рассмотрим следующую функцию в качестве примера:
Мы уже беседовали о том, что такое преобразование Фурье. Если кратко, то это смена базиса.
В нашем случае преобразование Фурье — это функция из вещественных чисел в комплексные:
Аргумент функции (вещественное число) — это просто номер базисной функции или вектора (на самом деле, пары базисных функций), а её значение — это соответствующая (пара) координат в для этих двух векторов в базисе. Базис Фурье — это синусы и косинусы различных частот. Частота и является номером базисной функции.
Для нашей конкретной функции f(t), которая уже являетя взвешенной суммой синуса и косинуса, очень легко посчитать её разложение в базис Фурье:
То есть, наша функция f(t) имеет нулевые координаты для всех векторов базиса, кроме векторов номер 11 и 41.
Чем полезен базис Фурье? Например тем, что операция дифференцирования линейно преобразует этот базис. Допустим, мы хотим посчитать преобразование Фурье от производной f'(t). Как это сделать? Как вариант, в лоб: сначала посчитать производную, а затем посчитать преобразование Фурье:
Очевидно, что при дифференцировании sin(x) он станет sin(x+90°), то есть крайне легко найти соответствие разложение в базис Фурье исходной функции и её производной:
Умножение на i — это просто поворот комплексной плоскости, который соответствует +90° в аргументе нашей функции. То есть, операция дифференцирования, которую сложно делать в базисе единичных импульсов, в базисе Фурье — это просто масштабирование и поворот на 90 градусов. Красиво, правда?
Преобразование Лапласа
Примерно та же самая история происходит и с преобразованием Лапласа. К сожалению, в отличие от базиса Фурье, базис Лапласа неортогонален, поэтому для интуитивного понимания чуточку более сложен. Ну да не суть. Лаплас пошёл немного дальше. Если у Фурье в базисе были только синусоиды, то у Лапласа в базисе синусоиды с экспоненциальным затуханием. Откуда он их взял? Это крайне, крайне полезно при решении линейных дифференциальных уравнений. Давайте подумаем, какая функция преобразуется сама в себя при дифференцировании? Экспонента. А при дифференцировании два раза? Синус. А их комбинации дают все возможные функции, которые могут появиться при решении (линейных) диффуров, что и использовал маркиз дё Лаплас.
Не будем вдаваться в подробности того, как выводятся эти свойства (лучше рассмотрите внимательно свойства базиса Фурье, он проще), давайте просто отметим следующие факты:
1. Преобразование Лапласа линейно:
Переходим непосредственно к делу
Итак, если у нас есть двигатель постоянного тока, то протекающий ток I(t) и напряжение на клеммах U(t) связаны следующим дифференциальным уравнением, где w(t) — это скорость вращения вала двигателя:
Здесь L — это индуктивность, а R — сопротивление, которые мы и ищем. Я не буду повторять, откуда вылезает этот диффур, так как уже подробно и на пальцах его расписывал (см. «уравнения Максвелла на пальцах»).
Поскольку наша задача найти L и R, давайте жёстко зафиксируем вал двигателя, таким образом заставив w(t) быть нулевой:
По совету Arastas я подал два типа сигналов на мой двигатель: меандр и синусоиду. Затем я измерил протекающий ток, картинка получается примерно следующая:
Здесь синие кривые — это входное напряжение, котороя я контролирую, а зелёные — это измерения силы тока, полученные при помощи ACS714.
Мой микроконтроллерный код, который генерирует 11 экспериментов с меандром и синусоидами различных амплитуд и частот, можно посмотреть здесь.
Давайте решим наше дифференциальное уравнение для обоих типов сигнала напряжения, получим параметрический выходной сигнал силы тока, и подберём параметры, чтобы теоретическая кривая как можно лучше аппроксимировала реальные измерения.
Входной сигнал — функция Хэвисайда (полупериод меандра)
Итак, w(t) = 0, начальные условия I(0) = 0, ток в самом начале не течёт. Приложим постоянное напряжение U0 к клеммам мотора, как себя должен будет вести протекающий ток?
Давайте возьмём преобразование Лапласа от левой и правой частей дифференциального уравнения (1):
Для получения второй строчки я использовал линейность преобразования Лапласа, U0/s — взял из таблицы (обычно преобразования Лапласа вручную не считают, пользуются таблицами).
Для получения третьей строки использовано свойство производной.
Последняя строчка получается из предпоследней использованием метода неопределённых декомпозиций. Смысл этого перехода в том, чтобы опять получить табличную функцию. Разумеется, в двадцать первом веке руками это считать ни к чему.
Теперь осталось применить обратное преобразование Лапласа (для правой части мы смотрим таблицу) и мы решили наш диффур. Переход в базис Лапласа превратил дифференциальное уравнение в обычное алгебраическое!
Быстрая проверка результата: по истечении нескольких миллисекунд индуктивность уже не будет играть роли, и мы получим протекающий ток U_0 / R (закон Ома). В самом же начале протекающий ток равен нулю и экспоненциально возрастает, причём скорость возрастания напрямую зависит от индуктивности. Sanity check passed.
Файл с измерениями лежит здесь. Три колонки, секунды, приложенное напряжение (в вольтах), измеренная сила тока (в амперах).
Вот код, который подбирает параметры сопротивления и индуктивности для этого эксперимента:
Входной сигнал — синус
Повторим процедуру для синусоиды напряжения с амплитудой U0 и частотой F0. Применим преобразование Лапласа к уравнению (1), сначала к правой части:
Теперь обратное преобразование нам даст следующий закон протекания тока:
Опять быстрый sanity check: нулевой ток в самом начале, несколько миллисекунд переходных процессов (экспонента, напрямую зависящая от индуктивности). По истечению некоторого времени протекающий ток — это взвешенная сумма синуса и косинуса одной и той же частоты (частота равна входной, это хорошо). Эта сумма даёт синусоиду, чуть сдвинутую во времени. Отлично, результат правдоподобен.
Измерения лежат здесь, а код подбора параметров тут. Он даёт примерно такие же значения сопротивления и индуктивности, что нам и требовалось. Вот график:
Заключение
Почему не измерить параметры напрямую, зачем весь этот огород с микроконтроллерами? Во-первых, мне нечем измерять индуктивность. Да и измерение сопротивления двигателя омметром может иметь свои нюансы.
Далее, параметры, найденные при высокой амплитуде сигнала, не совсем совпадают с тем, что получается при низких напряжениях. Может быть интересно (тут не рассмотрено) делать модель не только двигателя, а всей системы в целом, включая нелинейность ШИМ-драйвера.
Ну а дальше осталось разработать регулятор, который будет на вход брать необходимую силу тока. Оставайтесь на связи!