Что такое нормальные координаты
Главные (нормальные) координаты.
Изменение каждой обобщенной координаты во времени представляет собой наложение двух простых гармонических колебаний с произвольными амплитудами и фазами, определяемыми из начальных условий, но имеющими определенные частоты и коэффициенты форм, которые зависят только от инерционно-жесткостных характеристик. Изменение координат в общем случае будет негармоническим. Возникает естественный вопрос: нельзя ли выбрать обобщенные координаты 
так, чтобы каждая из них изменялась по гармоническому закону
Формулы (3.6) и (3.7) можно рассматривать как формулы линейного преобразования координат 
и 
в координаты 
и 
; 
(3.19)
и 
,
Тогда линейное преобразование (3.19) можно записать в матричной форме
,
где 
-транспонированная матрица матрицы линейных преобразований 
, строки матрицы 
представляют собой формы собственных колебаний. Справедливо соотношение
В старых обобщенных координатах кинетическая и потенциальная энергии записываются так
,
.
Кинетическая и потенциальная энергии, записанные в новых координатах, содержат лишь квадраты обобщенных скоростей и координат
,
.
Введем новые определения для обобщенных масс и жесткостей
— новые обобщенные массы,
— новые обобщенные жесткости.
Кинетическая и потенциальная энергии в новых координатах запишутся в виде
, 
.
Установленная связь между матрицами обобщенных коэффициентов инерции и жесткости
,
,
позволяет получить очень важные формулы для вычисления этих коэффициентов в новых координатах
; 
;
; 
;
; 
.
Последние два выражения позволяют вычислить формы собственных колебаний
Таким образом, мы показали, что существуют такие координаты 
, в которых дифференциальные уравнения колебаний разделяются:
, 
.
Каждое уравнение выглядит так, как уравнение колебаний механической системы с одной степенью свободы. Эти координаты называются главными. Если есть произвольный набор координат, для которых найдены формы и частоты свободных колебаний, то можно построить матрицу преобразования . Строки этой матрицы состоят из коэффициентов форм колебаний. Сами главные координаты находятся по правилу
.
Матрица жесткости в главных координатах является диагональной:
.
Матрица масс в главных координатах, также является диагональной:
.
Если речь идет о вычислении амплитуд установившихся вынужденных колебаний, то матрица правых частей (возмущающих сил) строится по правилу
.
При этом система уравнений, описывающая вынужденные колебания, распадается на отдельные независимые уравнения:
, .
ПРИМЕР 6. Найти закон вынужденных колебаний механической системы, представленной на рис.3.14, используя главные координаты. Все необходимые величины указаны на рисунке.
Для получения матриц инерции, жесткости и возмущающего силового воздействия используем решение примера 1:
; 
; 
.
Для этой задачи ранее были вычислены формы собственных колебаний:
— первая форма, соответствующая частоте 
;
— вторая форма, соответствующая частоте 
.
Используя формы собственных колебаний, записываем матрицу преобразований
.
Переходим к главным координатам 
; 
.
Строим матрицы для новых обобщенных коэффициентов инерции и жесткости
;
.
Строим новую матрицу – столбец возмущающих сил
.
Записываем уравнения движения в главных координатах:
.
Решение этого уравнения разыскиваем в виде
После подстановки решения в уравнение движения имеем
.
В результате приходим к двум независимым алгебраическим уравнениям:
,
Отсюда находим амплитуды установившихся вынужденных колебаний:
; 
.
Решение для установившихся колебаний в главных координатах записывается в виде
.