Что такое нулевая матрица
Матрицы. Виды матриц
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.
Матрица порядка m × n записывается в форме:
или 
(i=1,2. m; j=1,2. n).
Числа aij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j— номер столбца.
Матрица строка
Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:
Матрица столбец
Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например
Нулевая матрица
Квадратная матрица
Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:
Главная диагональ матрицы
Побочная диагональ матрицы
Диагональная матрица
Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:
Единичная матрица
След матрицы
Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:
Верхняя треугольная матрица
Нижняя треугольная матрица
Квадратная матрица порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i T ).
Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).
Ядро или нуль пространство матрицы
Противоположная матрица
Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.
Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица
Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:
В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.
Пример кососимметрической матрицы:
Разность матриц
Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством
Для обозначения разности двух матриц используется запись:
Степень матрицы
Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:
где E-единичная матрица.
Из сочетательного свойства умножения следует:
где p,q— произвольные целые неотрицательные числа.
Симметричная (Симметрическая) матрица
Матрица, удовлетворяющая условию A=A T называется симметричной матрицей.
Для симметричных матриц имеет место равенство:
От действий над матрицами к пониманию их сути…
Очень уважаю людей, которые имеют смелость заявить, что они что-то не понимают. Сам такой. То, что не понимаю, — обязательно должен изучить, осмыслить, понять. Статья «Математика на пальцах», и особенно матричная запись формул, заставили меня поделиться своим небольшим, но, кажется, немаловажным опытом работы с матрицами.
Лет эдак 20 назад довелось мне изучать высшую математику в вузе, и начинали мы с матриц (пожалуй, как и все студенты того времени). Почему-то считается, что матрицы — самая лёгкая тема в курсе высшей математики. Возможно — потому, что все действия с матрицами сводятся к знанию способов расчёта определителя и нескольких формул, построенных — опять же, на определителе. Казалось бы, всё просто. Но… Попробуйте ответить на элементарный вопрос — что такое определитель, что означает число, которое вы получаете при его расчёте? (подсказка: вариант типа «определитель — это число, которое находится по определённым правилам» не является правильным ответом, поскольку говорит о методе получения, а не о самой сути определителя). Сдаётесь? — тогда читаем дальше.
Сразу хочу сказать, что я не математик ни по образованию, ни по должности. Разве что мне интересна суть вещей, и я порой пытаюсь до них «докопаться». Так же было и с определителем: нужно было разобраться со множественной регрессией, а в этом разделе эконометрики практически всё делается через… матрицы, будь они неладны. Вот и пришлось мне самому провести небольшое исследование, поскольку ни один из знакомых математиков не дал внятного ответа на поставленный вопрос, изначально звучавший как «что такое определитель». Все утверждали, что определитель — это такое число, которое особым образом посчитано, и если оно равно нулю, то… В общем, как в любом учебнике по линейной алгебре. Спасибо, проходили.
Если какую-то идею придумал один человек, то другой человек должен быть в состоянии её понять (правда, для этого порой приходится вооружаться дополнительными знаниями). Обращение к «великому и могучему» поисковику показало, что «площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами — сторонами параллелограмма». Говоря простым языком, если матрица — это способ записи системы уравнений, то каждое уравнение в отдельности описывает вектор. Построив из точки начала координат векторы, заданные в матрице, мы таким образом зададим в пространстве некоторую фигуру. Если наше пространство одномерное, то фигура — это отрезок; если двумерное — то фигура — параллелограмм, и так далее.
Получается, что для одномерного пространства определитель — это длина отрезка, для плоскости — площадь фигуры, для трёхмерной фигуры — её объём… дальше идут n-мерные пространства, вообразить которые нам не дано. Если объём фигуры (то есть определитель для матрицы 3*3) равен нулю, то это означает, что сама фигура не является трёхмерной (она может быть при этом двухмерной, одномерной или вообще представлять собой точку). Ранг матрицы — это истинная (максимальная) размерность пространства, для которого определитель не равен нулю.
Так, с определителем почти всё понятно: он определяет «объёмность» фигуры, образованной описанными системой уравнений векторами (хотя непонятно, почему его значение не зависит от того, имеем мы дело с исходной матрицей, или с транспонированной — возможно, транспонирование — это вид аффинного преобразования?). Теперь нужно разобраться с действиями над матрицами…
Если матрица — это система уравнений (а иначе зачем нам таблица каких-то цифр, не имеющих к реальности никакого отношения?), то мы можем с ней делать разные вещи. Например, можем сложить две строки одной и той же матрицы, или умножить строку на число (то есть каждый коэффициент строки умножаем на одно и то же число). Если у нас есть две матрицы с одинаковыми размерностями, то мы их можем сложить (главное, чтобы при этом мы не сложили бульдога с носорогом — но разве математики, разрабатывая теорию матриц, думали о таком варианте развития событий?). Интуитивно понятно, тем более что в линейной алгебре иллюстрациями подобных операций являются системы уравнений.
Однако в чём смысл умножения матриц? Как я могу умножить одну систему уравнений на другую? Какой смысл будет иметь то, что я получу в этом случае? Почему для умножения матриц неприменимо переместительное правило (то есть произведение матриц В*А не то что не равно произведению А*В, но и не всегда осуществимо)? Почему, если мы перемножим матрицу на вектор-столбец, то получим вектор-столбец, а если перемножим вектор-строку на матрицу, то получим вектор-строку?
Ну, тут уж не то что Википедия, — тут даже современные учебники по линейной алгебре бессильны дать какое-либо внятное объяснение. Поскольку изучение чего-либо по принципу «вы сначала поверьте — а поймёте потом» — не для меня, копаю в глубь веков (точнее — читаю учебники первой половины XX века) и нахожу интересную фразу…
Если совокупность обычных векторов, т.е. направленных геометрических отрезков, является трёхмерным пространством, то часть этого пространства, состоящая из векторов, параллельных некоторой плоскости, является двумерным пространством, а все векторы, параллельные некоторой прямой, образуют одномерное векторное пространство.
В книгах об этом напрямую не говорится, но получается, что векторам, параллельным некоторой плоскости, необязательно лежать на этой плоскости. То есть они могут находиться в трёхмерном пространстве где угодно, но если они параллельны именно этой плоскости, то они образуют двумерное пространство… Из приходящих мне на ум аналогий — фотография: трёхмерный мир представлен на плоскости, при этом вектору, параллельному матрице (или плёнке) фотоаппарата, будет соответствовать такой же вектор на картинке (при условии соблюдении масштаба 1:1). Отображение трёхмерного мира на плоскости «убирает» одно измерение («глубину» картинки). Если я правильно понял сложные математические концепции, перемножение двух матриц как раз и представляет собой подобное отражение одного пространства в другом. Поэтому, если отражение пространства А в пространстве В возможно, то допустимость отражения пространства В в пространстве А — не гарантируется.
Любая статья заканчивается в тот момент, когда автору надоедает её писать. Поскольку я не ставил перед собой цели объять необъятное, а исключительно хотел понять суть описанных операций над матрицами и то, как именно матрицы связаны с решаемыми мной системами уравнений, я не полез в дальнейшие дебри линейной алгебры, а вернулся к эконометрике и множественной регрессии, но сделал это уже более осознанно. Понимая, что и зачем я делаю и почему только так, а не иначе. То, что у меня получилось в этом материале, можно озаглавить как «глава о сути основных операций линейной алгебры, которую почему-то забыли напечатать в учебниках». Но ведь мы же не читаем учебников, правда? Если честно, когда я учился в университете, мне очень не хватало именно понимания затронутых здесь вопросов, поэтому я надеюсь, что, изложив этот непростой материал по возможности простыми словами, я делаю доброе дело и помогаю кому-то вникнуть в саму суть матричной алгебры, переведя операции над матрицами из раздела «камлание с бубном» в раздел «практические инструменты, применяемые осознанно».
Виды матриц и для чего они нужны простыми словами
Обновлено: 12 Августа 2021
При решении алгебраических или дифференциальных уравнений студенты сталкиваются с понятием матрицы. Этот термин используется в программировании, электронике, фотоискусстве, но основная область применения — математика. Рассмотрим, что это такое, как применяется и какие операции позволяет осуществить.
Что такое матрицы в математике
Матрица в математике — это абстрактный объект, имеющий вид таблицы чисел или других математических величин. Чаще таблица прямоугольная, но встречаются и другие виды (квадратные, треугольные).
Обычно матрица называется заглавной буквой латинского алфавита: матрица A, матрица B. В таблице есть строки (их количество называется m) и столбцы (их количество называется n). Количество строк и столбцов определяет размер матрицы и может называться порядком. Матрицы такого типа называются матрицами строения m×n, или размера m×n, или порядка m×n.
Элементы матрицы, т.е. числа или остальные величины, называются строчной буквой. Они имеют 2 нижних индекса, необходимых для определения их положения в матрице. Например, элемент a13 располагается на пересечении 2 строки и 3 столбца. Значения элемента а13 читаются по-отдельности, не как целое число: «а один-три».
Откуда они взялись и чем полезны
Первые упоминания матрицы появились в Древнем Китае. Это была квадратная таблица, получившая название магического или волшебного квадрата. Самым древним и известным считается квадрат 3×3, датируемый около 2200 г до н.э. Он был высечен на панцире черепахи. В Китае его называют квадрат Ло Шу, а в Западной Европе — «Печать Сатурна».
Таким же древним является квадрат, найденный в Кхаджурахо, столице средневекового государства Чандела (IX–XIII вв.) в Центральной Индии. Это первый из «дьявольских квадратов». Также он называется пандиагональным.
В древности матрицы были необходимы преимущественно для решения линейных уравнений. Когда матрицы появились в арабских странах, стали разрабатываться принципы работы с ними, в том числе, принцип сложения. В XVIII веке швейцарский математик, «отец линейной алгебры» Габриэль Крамер опубликовал правило Крамера. Это способ решения систем линейных уравнений с помощью матрицы.
Способ Крамера не подходит для решения тех систем линейных уравнений, в которых может быть бесконечное множество решений.
В следующем веке появляется метод немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Этот способ решения алгебраических уравнений не является открытием ученого. Впервые о методе Гаусса написали в китайском трактате «Математика в девяти книгах», а сам он только привел способ в удобную форму.
Для решения уравнений таким способом необходимо записать расширенную матрицу системы.
В отличие от метода Крамера, правило Гаусса можно использовать для решения любых систем линейных уравнений.
Детальная разработка теории матриц активно продолжилась с середины XIX века. Наиболее значимые ученые: Уильям Гамильтон, Артур Кэли, Карл Вейерштрасс, Мари Энмон Камиль Жордан, Фердинанд Георг Фробениус.
Сам термин «матрица» предложил английский математик Джеймс Сильвестр в 1850 г.
В наше время матрицы используются не только для записи и решения систем линейных уравнений. Списки, статистические данные, табеля с информацией — все это в какой-то степени матрица. Их применяют для упрощения подачи и работы с информацией в любой сфере. Например, таблица продаж, где указан год (первый столбец), вид продукции (первая строка), а остальные значения — количество проданных единиц.
Обозначения матриц
Помимо самого термина «матрицы», при их решении нужно знать и другие обозначения.
Элементы матрицы — любые математические объекты: числа, переменные, другие матрицы. Элемент обозначается как aab, где a — номер строки расположения элемента, b — номер столбца.
Главная диагональ матрицы — диагональ, пересекающая квадратную матрицу из верхнего левого угла в нижний правый угол (квадратные матрицы имеют одинаковое количество строк и столбцов). Прямоугольные матрицы также могут иметь диагонали: они пересекают элементы с одинаковыми индексами.
Побочная диагональ матрицы — диагональ, пересекающая верхний правый и нижний левый углы. Для прямоугольного вида матриц понятие «побочные диагонали» не используется.
Диагональные элементы — числа и другие математические величины матрицы, расположенные на главной диагонали.
Размер (порядок) матрицы — произведение количества строк на количество столбцов: m×n. Например, если матрица содержит 2 строки и 3 столбца, то ее обозначают матрицей 2×3.
След матрицы — сумма элементов матрицы, расположенных на главной диагонали. Обозначается как Sp (А) или Tr (A), где A — название матрицы.
Равные матрицы — матрицы, у которых соответствующие элементы равны.
Виды матриц, какие бывают
В математике существует несколько видов матриц в зависимости от их размера.
Также различают матрицы по значениям их элементов.
Треугольная матрица всегда квадратная: m=n.
Кососимметрическая матрица всегда квадратная.
Применение матриц в математико-экономическом моделировании
С древности и по настоящее время матрицы используются для решения и удобной записи системы линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. Но их также применяют в математико-экономическом моделировании для структурирования данных и комфортной работы с ними.
Наиболее популярной является матричная модель экономики «затраты–выпуск». Ее внедрил Василий Леонтьев — американский экономист. За развитие этого метода он получил нобелевскую премию: матричная модель упростила решение некоторых экономических проблем. В последствии Леонтьева стали называть «апостолом планирования».
Суть модели «затраты–выпуск» в том, что экономист разделил производственный сектор экономики на отрасли, число которых обозначается n. 1 отрасль — 1 вид продукции. Значит, n количество отраслей выпускает n количество продуктов. Это приводит к появлению межотраслевых связей: одна отрасль заимствует у другой продукт и использует в процессе производства своей продукции. Данная балансовая модель представлена в виде системы линейных уравнений, решаемых с помощью матрицы.
Какие операции можно производить с матрицами
С матрицами можно проводить несколько операций.
При умножении матрицы нельзя менять местами.
Примеры решения задач на матрицы
Пример решения задачи на умножение.
Найдем значение каждого элемента:
Пример решения задачи на умножение матрицы на число 5.
Учитесь работать с матрицами и продолжайте осваивать математику, а если задач накопилось слишком много и «горят» сроки, вам поможет сервис Феникс.Хелп. Обращайтесь!
Какие бывают матрицы? Виды матриц.
Для начала неплохо бы знать, что такое матрица вообще. Об этом подробно изложено в предыдущем материале.
А какие же матрицы в природе бывают? Об этом мы поговорим прямо здесь и сейчас.
Матрицы бывают разные. Чёрные, белые, красные…) Ээээ… Ну, извините, не удержался… Всякие матрицы бывают.) Принципов классификации матриц великое множество. Но основных принципов, с которыми нам предстоит работать в линейной алгебре, совсем немного. Всего два. Это классификация матриц по размерности и по условиям, налагаемым на их элементы.
Будьте готовы к тому, что в этом уроке, помимо собственно матриц, будет и немного геометрии. Самой примитивной. Для наглядности.) Итак, начнём с классификации матриц по размерности.
Классификация матриц по размерности
Например, даны вот такие четыре матрицы:
Какая размерность будет у каждой из них? Ну, с первыми двумя вопросов нет: в матрице A две строки и три столбца, а в матрице B — три строки и три столбца.
А какая размерность будет у матрицы С? Не всех осеняет сразу…) Очень простая: одна строка и три столбца! Или 1х3. Каждый столбец матрицы С содержит всего по одному элементу. Так бывает.) С последней матрицей D всё аналогично, только наоборот — три строки и один столбец (3x1).
Насочинять можно ещё много чего, но общая суть классификации любых матриц по размерности очень простая. До ужаса.)
Смотрим на картинку:
А теперь вникаем и фиксируем в памяти:
Если в матрице размерности m x n число строк НЕ равно числу столбцов (m≠n), то такая матрица называется ПРЯМОУГОЛЬНОЙ матрицей размерности m x n.
Если же количество строк и столбцов совпадает (m=n), то такую матрицу называют КВАДРАТНОЙ матрицей размерности n x n. Или, по-другому, квадратной матрицей n-го порядка.
Всё элементарно. Совпадает число строк и столбцов — матрица квадратная, не совпадает — прямоугольная.
В нашем случае матрицы A, C и D — прямоугольные, а вот B — квадратная. Размерности «три на три». Или, по-научному, квадратная матрица третьего порядка.
Зачем я вообще рисую картинки, пояснения и так подробно всё расписываю? Да затем, что эти простые понятия надо усвоить железно! До автоматизма. Сами же потом спасибо скажете. На зачёте или экзамене…)
Например, квадратная матрица — важная птица в линейной алгебре! Почему? А потому, что такие важные для высшей математики операции, как, скажем, вычисление определителя и нахождение обратной матрицы возможны только для квадратных матриц! И ни для каких других. Это так, забегая вперёд.)
Отдельные названия заслужили такие прямоугольные матрицы, у которых количество строк или столбцов (или того и другого сразу) равно единичке.
Матрица, состоящая из одной строки, так и называется — матрица-строка.
это матрица-строка размерности 1х3.
Если же матрица состоит только из одного столбца, то, вы удивитесь, она называется… как? Правильно! Матрица-столбец!)
это матрица-столбец. Размерности 3х1.
По-другому матрицу-строку и матрицу-столбец называют ещё вектор-строка и вектор-столбец соответственно. А бывает и совсем коротко — просто «вектор». Именно в виде вот таких вот матриц-векторов принято записывать решения систем линейных (а иногда и дифференциальных!) уравнений. Привыкаем.)
Переходим к типам матриц по элементам.
Классификация матриц по их элементам
А вот с элементами матриц вопрос поинтереснее будет.) Ведь элементы матриц могут быть любыми действительными числами — положительными, отрицательными, целыми, дробными, иррациональными — любыми! Здесь простора для фантазии куда больше будет.
Но, так уж сложилось в процессе развития математики (и линейной алгебры — в частности), что удобнее всего людям работать с самыми простыми числами. Как можно проще! Либо с нулём, либо с единичкой. Проще чисел не найти, правда ведь? Информатика — та вообще только с нулями и единичками работает. Неспроста поди…:)
Поэтому общая идея работы с матрицами (любыми!) у нас будет такая: чем больше в матрице нулей и единичек, тем лучше! И мы в процессе изучения линейной алгебры и решения задач будем неотступно следовать этой идее настолько, насколько это возможно.)
Что такое нулевая матрица?
Запоминаем:
Нулевая матрица — это просто матрица, ВСЕ элементы которой равны нулю. Причём это может быть матрица любой размерности!
Это всё нулевые матрицы. Намёк понятен?) Любая нулевая матрица кратко обозначается буквой «О». Почти как число 0 в обычной арифметике.
Сами по себе нулевые матрицы не так интересны с практической точки зрения. Но для общей эрудиции знать не помешает. Зато следующий зверь в нашем зоопарке — единичная матрица — поинтереснее будет! К ней и переходим.)
Что такое единичная матрица?
Нет, вы не угадали.) Это вовсе не матрица, все элементы которой равны единичке. Здесь всё немножко похитрее будет.)
Хитрость номер один касается размерности единичной матрицы. Здесь всё очень жёстко. Дело в том, что любая единичная матрица, в отличие от нулевой, всегда квадратная. Скажем, два на два. Или пять на пять… И только такая! Это самое главное. Прямоугольных единичных матриц в высшей математике просто не бывает.
Хитрость номер два касается элементов единичной матрицы.
Итак, вникаем и запоминаем:
Единичная матрица — это КВАДРАТНАЯ матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы (вне главной диагонали) — нули.
Что такое главная диагональ? Это воображаемая линия, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний. И только так! Как при чтении книги.)
Смотрим на примере единичной матрицы «три на три»:
Что мы видим? Видим, что три элемента главной диагонали a11, a22 и a33 равны по единичке. А все остальные элементы, не стоящие на главной диагонали, — нули. Всё легко и просто.)
Почему, вдруг, именно эта диагональ матрицы заслужила гордое звание главной? А давайте-ка присмотримся к нумерации её элементов:
a11, a22, a33
Ну и как, просекли фишку? Да! Для всех элементов главной диагонали соответствующие номера строки и столбца совпадают! Или, что то же самое, i = j.
И так будет всегда. Для любой квадратной матрицы любого размера. В отличие от второй диагонали, для элементов которой такого удобного и красивого совпадения индексов просто-напросто не получается. Именно поэтому эта второстепенная диагональ и носит название побочной диагонали.
Как занумерованы элементы побочной диагонали? А вот как:
a13, a22, a31
Единичная матрица в математике обозначается заглавной буковкой «Е».
Вот и в матрицах то же самое! Один в один. Ну… почти.) Например, от умножения матрицы А на единичную Е исходная матрица А не меняется. Об этом в теме про умножение матриц и про обратную матрицу будет.)
Ну а коли уж мы затронули такую фишку, как главную диагональ, то переходим к ещё трём типам матриц, с которыми нам предстоит встретиться на просторах линейной алгебры.
Диагональные, треугольные и трапециевидные матрицы.
Эти матрицы — важные персоны при определении таких важных вещей, как ранг матрицы и (особенно!) при решении систем линейных алгебраических уравнений. С такими матрицами в процессе этих двух увлекательных занятий мы с вами будем сталкиваться регулярно.
Что такое диагональная матрица?
Диагональная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали — нулевые.
И всё! Есть, правда, и неквадратные матрицы, также называемые диагональными, но в 99% случаев под такой матрицей понимают всё же квадратную.
Смотрим на рисунок и всё видим:
Кстати, прошу заметить одну маленькую, но очень важную деталь. Сами диагональные элементы имеют полное право быть какими угодно — и нулевыми и ненулевыми! Например, нулевая (квадратная) и любая единичная матрица — это всё частные случаи диагональных матриц.
Чем полезна диагональная матрица? Да хотя бы тем, что такая трудоёмкая операция, как вычисление определителя, для такой матрицы осуществляется всего-навсего в одно действие! Да-да! Сами увидите.)
А определитель — очень важная штука в линейной алгебре, между прочим. Да и в аналитической геометрии, в дифференциальных уравнениях и прочих крутых разделах высшей математики тоже.)
А есть ещё такие суперкрутые штучки, как собственные векторы и собственные значения! Та ещё головная боль… Там такая матрица также будет возникать постоянно. Об этих штучках тоже в соответствующей теме подробненько будет.
Что такое треугольная матрица? Что такое трапециевидная матрица?
А такие матрицы у нас постоянно будут возникать при решении систем линейных уравнений методом Гаусса. Возможно, новичкам сейчас не очень понятно, о чём это я вообще, но если вы просто повторяете материал, то этим видам матриц здесь самое место.)
Треугольной матрицей называется любая КВАДРАТНАЯ матрица, все элементы которой над (или под) главной диагональю равны нулю.
Если нулевые элементы находятся под главной диагональю, то такая матрица называется верхней треугольной матрицей. Если же нулевые элементы стоят над главной диагональю, то, соответственно, нижней треугольной.
Матрица А — верхняя треугольная. Матрица В — нижняя треугольная.
Трапециевидная матрица чуть похитрее устроена, но ненамного. Формальное математическое описание такой матрицы (через символы и индексы) в общем виде довольно занудно, а вот конкретные примеры куда нагляднее будут.
Например, такая матрица 6х6:
Видно, что по размерности трапециевидная матрица может быть как квадратной, так и прямоугольной. Но все такие матрицы объединяет одна очень важная отличительная черта. Она заключается в следующем:
1. Число столбцов всегда либо БОЛЬШЕ числа строк (для прямоугольных матриц), либо РАВНО ему (для квадратных).
2. Все элементы, стоящие на главной диагонали, НЕНУЛЕВЫЕ.
3. Все элементы, стоящие НИЖЕ главной диагонали, равны нулю. При этом в матрице могут быть нулевые строки. А могут и не быть. Но, если они есть, то такие строки всегда находятся В САМОМ НИЗУ матрицы.
Зачем всё это добро нам нужно? Треугольные матрицы, трапециевидные… Ещё раз. Новичкам — пока особо незачем. Если вы только-только начинаете изучать матрицы и пока не слишком врубились — не беда. Но вот когда мы с вами дойдём до систем линейных уравнений, то с такими матрицами столкнёмся лицом к лицу. Неизбежно. И вот там я обязательно препровожу вас к изучению этого параграфа, уж будьте готовы.)
Итак, про разнообразные виды матриц поговорили. Как видим, тоже не так уж сложно. А теперь будем потихоньку учиться собственно работать с матрицами — транспонировать, складывать, перемножать, обращать и т.д. Эти темы повеселее будут.)