Что такое нулевой многочлен в алгебре
Многочлен. Упрощение, степень, стандартный вид, нуль-многочлены
Содержание
Мы с вами уже разобрали, чем являются одночлены, и выяснили, что при произведении одночленов также получится одночлен. Однако совсем иная ситуация обстоит с суммой одночленов. Давайте рассмотрим на примере:
Если данные выражения не являются одночленами, то какое название мы можем им дать? Все просто – такие примеры называют многочленами.
Многочлены – это выражения, которые являются суммой нескольких одночленов.
Упрощение многочленов
Многочлены могут быть как небольшими, так и состоящими из нескольких частей. Давайте рассмотрим несколько примеров таких выражений:
В выражениях может находиться несколько подобных членов, что позволяет упростить само выражение. В данном выражении мы можем увидеть подобные одночлены, которые закрашены одинаковыми цветами:
Для упрощения такого многочлена нам нужно использовать правило подобных слагаемых, т.е. произвести отдельные арифметические действия над каждой подобной частью. В конце у нас получится такое выражение:
Такое упрощение называют приведением подобных членов многочлена. Это преобразование позволяет заменить многочлен на тождественно равный ему, но более простой – с меньшим количество членов.
Стандартный вид многочленов
Многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, расположенных в порядке убывания степеней и среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида.
Одночлены в многочлене стандартного вида располагают в порядке убывания их степени, а свободный одночлен записывают в самом конце. Для примера можно привести следующие выражения:
Стоит отметить, что любой многочлен можно привести к стандартному виду, если привести подобные. То есть из выражения нестандартного вида:
Мы можем получить выражение стандартного вида:
Степень многочлена
Рассмотрим многочлен стандартного вида:
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых этот многочлен составлен.
Давайте рассмотрим еще несколько примеров многочленов с их степенями:
$\color
$\color
$\color
Коэффициенты многочленов
Выделенные числа и будут являться коэффициентами переменных множителей.
Нуль-многочлены
Число 0, а также многочлены, которые тождественно равны нулю, называют нуль-многочленами. Примеры таких выражений:
Их не относят к многочленам стандартного вида и считается, что нуль-многочлены не имеют степени.
Что такое многочлен
Часто путают понятия одночлена и многочлена.
Давайте разберемся, что называют одночленом, а что многочленом. Прежде всего, вспомним, что называли одночленом в уроке «Одночлены».
Обратите внимание, что «внутри» одночлена (между буквами и числовым коэффициентом) есть только знак умножения. Например, в одночлене: 3ab = 3 · a · b
Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.
Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена.
Примеры многочленов: a + 2b 2 − c; 3t 5 − 4b; 4 − 6xy
Несложно заметить, что любой многочлен состоит из нескольких одночленов.
Рассмотрим многочлен подробнее.
Возникает вопрос, почему многочленом называют алгебраическую сумму одночленов, если в многочлене присутствует знак минуса.
Это объясняется тем, что на самом деле знак « − » относится к числовому коэффициенту одночлена, который стоит справа от знака.
Любой многочлен можно записать по правилу знаков как сумму одночленов.
В многочлене знак, который стоит слева от одночлена относится к числовому коэффициенту самого одночлена.
Как найти степень многочлена
Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.
То есть, чтобы найти степень многочлена, нужно сначала найти
степень каждого одночлена, который входит в состав многочлена.
Степени многочленов
| Многочлен | Степень многочлена | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| a 2 − 3a 2 b + x = a 2 (степень одночлена 2) − 3a 2 b(степень одночлена 3 ) + x(степень одночлена 1) | 3 | ||||
x 2 y 2 + 4x 2 =
x 2 y 2 (степень одночлена 4 ) + 4x 2 (степень одночлена 2) | 4 | ||||
| 8x 2 − 3a + 4 = 8x 2 (степень одночлена 2 ) − 3a(степень одночлена 1) + 4(степень одночлена 0) | 2 |
Любой одночлен является многочленом. В самом деле, любой одночлен, по сути, является многочленом, который состоит всего из одного одночлена.
Примеры таких многочленов: 2a 2 b; −3d 3 ; a.
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Понятие многочлена. Свойства многочленов
Перечень рассматриваемых вопросов:
Многочлен – сумма одночленов.
Каждый одночлен, входящий в многочлен, называют членом многочлена.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Мы уже знаем, что в математике приходится решать очень много прикладных задач, некоторые из них достаточно сложные. И чтобы научится делать такие сложные задания, порой приходится выполнять несколько более простых действий. Так было с одночленами. Они подвели нас к более сложному понятию – многочлены, о которых сегодня пойдёт речь.
Начнём с того, что введём новое понятие – многочлен.
Многочлен – это сумма одночленов.
Например, так могут выглядеть многочлены:
Посмотрим, как ещё могут выглядеть многочлены. Например, многочленом можно назвать и любой одночлен, в том числе и нулевой.
0 – нулевой одночлен (или нулевой многочлен).
А теперь рассмотрим свойства многочленов.
1) Члены многочлена можно менять местами. Т. е. если многочлены отличаются друг от друга только порядком членов, то такие многочлены равны.
данные многочлены равны, т. к. отличаются друг от друга только порядком членов.
2) Если прибавить к многочлену ноль, то он не изменится. Т. е., если многочлены отличаются друг от друга только слагаемым ноль, то многочлены равны.
данные многочлены равны, т. к. отличаются друг от друга только нулём.
3) В многочлене можно приводить подобные члены. Т. е., если один из многочленов получен из другого заменой подобных членов суммой, то такие многочлены равны.
многочлены равны, т. к. один многочлен получен из другого заменой подобных членов с буквенными множителями ас и кх суммой. При этом для подобных действий для наглядности лучше подчёркивать подобные члены многочлена.
А теперь применим свойства многочлена для преобразования выражения.
Выполним такое задание.
Итак, сегодня мы получили представление о многочленах, рассмотрели их свойства и научились применять свойства для преобразования выражений.
Переходим к тренировочным заданиям.
Применение свойств многочлена
Давайте рассмотрим, как применяются свойства многочлена на следующем задании. Упростите выражение и найдите его значение при а = 3.
Для того чтобы выполнить задание, нужно некоторые одночлены, входящие в состав данного многочлена, привести к стандартному виду. Для этого мы должны воспользоваться свойствами степеней и свойствами одночленов, рассмотренными ранее.
Остаётся найти значение многочлена при а = 3. Подставим в полученный многочлен вместо, а число 3 и вычислим.
Разбор заданий тренировочного модуля.
2. В комнате было три полки с книгами. На первой полке лежало 4а книг, на второй с книг, на третьей в 2 раза больше, чем на второй. Сколько книг лежало на трёх полках?
Решение: Для решения данного задания составим следующую схему
Чтобы найти, сколько книг на всех полках, надо сложить все книги на полках. Но сначала найти количество книг на третьей полке, по условию их 2с, т. к. в 2 раза больше, чем на второй полке.
Теперь найдём общее количество книг и преобразуем многочлен, используя его свойства.
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Многочлены стандартного вида
Перечень рассматриваемых вопросов:
Многочлен стандартного вида – это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.
Многочлен, состоящий из двух членов, называется двучленом.
Многочлен, состоящий из трёх членов, называется трёхчленом.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, входящих в этот многочлен.
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
«Единственный путь, ведущий к знанию, – это деятельность», – сказал однажды ирландский драматург Джордж Бернард Шоу.
Сегодня наша деятельность будет заключаться в том, чтобы привести многочлен к стандартному виду.
Начнём с того, что вспомним, что такое многочлен.
Многочлен – это сумма одночленов.
Многочлен стандартного вида – это многочлен, каждый член которого является одночленом стандартного вида и который не содержит подобных членов.
Например, так могут выглядеть многочлены, приведённые к стандартному виду:
12a 2 bc 3 + ху 4 + 1,2ср 8 (трёхчлен)
2,5ас – 3к 2 х 5 (двучлен)
В них каждый член многочлена записан в стандартном виде, и ему нет подобных.
Стоит отметить, что многочлены могут иметь свои названия.
Например, многочлен, состоящий из двух членов, называется двучленом, из трёх членов – трёхчленом и т.д.
А так могут выглядеть многочлены нестандартного вида:
2abаc 3 + хху 4 + 1,2ср 8
2,5аса – 3к 2 х 5 к + 16
В этом случае некоторые члены многочленов находятся не в стандартном виде.
Рассмотрим правило приведения многочлена к стандартному виду:
1)каждый член многочлена нужно привести к стандартному виду;
2)привести подобные члены.
Пример:
Приведите к стандартному виду многочлен:
Следуя 1 пункту правила, приведём все члены многочлена к стандартному виду, но в данном задании все члены уже записаны в стандартном виде, т.е. вначале стоит число, а затем буквы в алфавитном порядке.
Следуя 2 пункту правила, приведём подобные члены. В данном многочлене они есть, выделим их.
В результате преобразования получается многочлен, записанный в стандартном виде.
Следуя данному правилу, любой многочлен можно привести к стандартному виду.
Рассмотрим ещё одно подобное задание.
Приведём к стандартному виду многочлен:
Решение: 3ab + 7c 2 –3ab – 7сс = 3ab + 7c 2 – 3ab – 7с 2 = 0
Следуя 1 пункту правила, приведём все члены многочлена к стандартному виду, в задании один член записан не в стандартном виде.
Следуя 2 пункту правила, приведём подобные члены. В многочлене они есть, выделим их.
В результате преобразования получается многочлен, записанный в стандартном виде, равный нулю. Такие многочлены называются нулевыми.
Введём ещё одно понятие, связанное с многочленами в стандартном виде – это степень многочлена.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, входящих в этот многочлен.
12a 2 bc 3 + 7кх – многочлен 6 степени,
у данных многочленов степень соответственно шесть и семь. Т. к. у первого многочлена степени одночленов 6 и 2. А у второго многочлена степени одночленов 7, 1, 0. Выбираем большую степень и получаем степень многочлена.
Про первый многочлен говорят, что это многочлен шестой степени.
А про второй многочлен можно сказать – многочлен седьмой степени.
Если при выполнении заданий встретится многочлен с одинаковыми степенями слагаемых, например:
а + с
говорят, «это многочлен первой степени относительно а и с».
Стоит отметить, что, если все члены многочлена стандартного вида содержат одну и ту же букву, их принято располагать в многочлене от большей степени к меньшей, при этом свободный член ставится на последнее место.
Например, так будет выглядеть запись многочлена в стандартном виде:
2а 3 + 3а 2 – 6а + 12.
Итак, сегодня мы получили представление о том, как приводить многочлен в стандартный вид.
Это интересно!
Мы уже знаем, что многочлен – это сумма одночленов, которые, в свою очередь, представляют собой произведение числовых и буквенных множителей.
Самое интересное заключается в том, что многочлены иногда имеют специфические названия. Например, многочлен, состоящий из одного одночлена, можно назвать моном. Мономом можно назвать такие многочлены: 7 или а.
Если многочлен состоит из двух слагаемых, т.е. двух одночленов, то мы знаем, что это двучлен, но его ещё можно назвать бином, например, 12а + 5 – есть бином.
Если многочлен состоит из трёх слагаемых, т.е. трёх одночленов, то мы знаем, что это трёхчлен, но его ещё можно назвать трином, например, 12а 2 + а + 5.
Если слагаемых в многочлене больше трёх, то говорят просто – многочлен.
Кстати, при записи многочлен обозначают буквой «Р», от греческого слова «poly» – «многий», «многочисленный», поэтому многочлены в математике называют также полиномами.
Разбор заданий тренировочного модуля.
1. Найдите степень многочлена 5ах + 2а
Решение: сначала нужно посмотреть степень каждого члена многочлена.
У одночлена 5ах степень 2
У одночлена 2а степень 1. Так как наибольшая степень 2, то она и будет являться степенью данного многочлена.
2) Выберите и подставьте вместо * такой одночлен, чтобы многочлен получился 5 степени
7x 4 + 12x 3 – 3x 2 + 1 + *
Для начала нужно определить исходные степени всех членов многочлена.
У одночлена 7x 4 степень 4.
У одночлена 12x 3 степень 3.
У одночлена – 3x 2 степень 2.
У одночлена 1 степень 0. Следовательно, в данном случае нет одночлена со степенью 5. Посмотрим варианты ответа и выберем ответ с нужной нам степенью 5.
У одночлена 5х степень 1
У одночлена 2асх степень 3
У одночлена а 2 ск 2 степень 5. Это и есть верный ответ.
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Деление многочлена на многочлен (двучлен) столбиком (уголком)
С помощью данной математической программы вы можете поделить многочлены столбиком.
Программа деления многочлена на многочлен не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вам нужно или упростить многочлен или умножить многочлены, то для этого у нас есть отдельная программа Упрощение (умножение) многочлена
Немного теории.
Деление многочлена на многочлен (двучлен) столбиком (уголком)
В алгебре деление многочленов столбиком (уголком) — алгоритм деления многочлена f(x) на многочлен (двучлен) g(x), степень которого меньше или равна степени многочлена f(x).
Алгоритм деления многочлена на многочлен представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.
Для любых многочленов \( f(x) \) и \( g(x) \), \( g(x) \neq 0 \), существуют единственные полиномы \( q(x) \) и \( r(x) \), такие что
$$ \frac
причем \( r(x) \) имеет более низкую степень, чем \( g(x) \).
Целью алгоритма деления многочленов в столбик (уголком) является нахождение частного \( q(x) \) и остатка \( r(x) \) для заданных делимого \( f(x) \) и ненулевого делителя \( g(x) \)
Пример
Разделим один многочлен на другой многочлен (двучлен) столбиком (уголком):
$$ \frac
6. Конец алгоритма.
Таким образом, многочлен \( q(x)=x^2-9x-27 \) — частное деления многочленов, а \( r(x)=-123 \) — остаток от деления многочленов.
Результат деления многочленов можно записать в виде двух равенств:
\( x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123 \)
или
$$ \frac