Что такое объем параллелепипеда 5 класс

Объем прямоугольного параллелепипеда

Всего получено оценок: 408.

Всего получено оценок: 408.

В школьном курсе математики за 5 класс, ученики знакомятся с темой прямоугольного параллелепипеда. Это одна из первых фигур курса, имеющих объем. Именно об объеме и формуле его нахождения пойдет речь сегодня.

Определения

Прямоугольным параллелепипедом называется фигура, все грани которого – прямоугольники. Фигура имеет шесть граней. Грани, пресекаясь, образовывают ребра, их 12.

Прямоугольный параллелепипед имеет четыре боковые грани и две грани оснований. В жизни мы часто сталкиваемся с данной фигурой: шкаф, холодильник, коробка – все они имеют форму прямоугольного параллелепипеда.

Рис. 1. Прямоугольный параллелепипед

Формула объема данной фигуры

Объем куба (фигуры, все грани которого квадраты) со стороной 1 единица называется 1 кубическая единица.

Рис. 2. Единичный куб

Если заложить такими кубиками дно фигуры (рис. 3), то в длину понадобится 4 куба, а в ширину 3.

Рис. 3. Прямоугольный параллелепипед, который заполнен шаром кубов

Таким образом, для заполнения основания необходимо:

3 х 4 =12 – так мы вычисляли площадь.

Чтобы заполнить всю фигуру и узнать объем, необходимо посчитать, сколько поместится в высоту таких слоев кубов, к примеру, если это будет 2, то объем составит:

3 х 4 х 2 = 24 кубов

Так, если учесть что длина основания фигуры 4 единицы, ширина – 3, высота – 2, то для того чтобы вычесть объем прямоугольного параллелепипеда необходимо найти произведение этих величин или измерений. Фигура, которая имеет три измерения, называется трехмерной либо объемной.

Для обозначения объема используют букву V.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда имеет вид:

При необходимости все данные в задании необходимо перевести в одни единицы измерения.

Английский иллюзионист провел 44 дня в стеклянном прямоугольном параллелепипеде, который был подвешен над рекой Темза. В его распоряжении была только вода, подушка, матрас и письменные принадлежности.

Задание: Вычислить объем фигуры, ширина которой 4 дм, длина 50 мм, а высота 10 см.

Решение: Для начала необходимо перевести все данные в одни единицы измерения.

$V = 40 • 5 • 10 = 200 см^3$

Для измерения объема жидкости используют особую единицу измерения – литр (1 л).

Древние измерения жидкости, например кор = 220 л, бат = 22 л.

Измерения объема:

$$1 л = 1 000 см^3 = 1 дм^3$$

$$1 км^3 = 1000 000 000 м^3$$

$$1 м^3 = 1 000 дм^3 = 1 000 000 см^3$$

Что мы узнали?

Мы узнали, что для того, чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда необходимо умножить произведение длины и ширины основания на высоту фигуры. А также мы познакомились с единицами измерения объема.

Источник

Математика. 5 класс

Конспект урока

Объём прямоугольного параллелепипеда

Перечень рассматриваемых вопросов:

– определение объёма прямоугольного параллелепипеда, если его стороны выражены обыкновенными дробями;

– выражение одних единиц измерения объёма через другие.

Прямоугольный параллелепипед – это многогранник, со всех сторон ограниченный прямоугольниками, которые называются гранями.

Ребро – это отрезок, общий для двух граней параллелепипеда.

Вершина – это точка, в которой сходятся три ребра параллелепипеда.

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра и грани равны.

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС//С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы с вами уже знакомы с некоторыми пространственными телами: прямоугольный параллелепипед, куб, сфера, шар.

Вспомним, как выглядит прямоугольный параллелепипед, и назовём его элементы.

Снизу, сверху и с боков он ограничен прямоугольниками, которые называются гранями.

Нижняя и верхняя грань – это основания.

Грани пересекаются по отрезкам – рёбрам.

Точки, в которых пересекаются рёбра, называют вершинами.

Три ребра, которые сходятся в одной вершине, называют длиной, шириной и высотой.

Их ещё называют измерениями.

У прямоугольного параллелепипеда шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин.

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра и грани равны.

Нам известно, что объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется, как произведение a на b и на c. При этом мы считаем, что длина, ширина и высота выражены натуральными числами и измерены в одинаковых линейных единицах.

Эта формула будет верна и при дробных a, b и c.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед со сторонами

а = см, b = см и c = см.

Мы видим, что в этом случае объём равен:

Достроим прямоугольный параллелепипед до куба со стороной 1 см. Площадь куба равна одному кубическому сантиметру.

Одно ребро куба разделено на 3 равные части, другое – на 2 и третье – на 5 равных частей.

Прямоугольный параллелепипед состоит из четырёх таких частей, значит его объём будет равен:

Итак, мы доказали, что если три ребра (а, b и c)прямоугольного параллелепипеда выражены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями, то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Давайте теперь вспомним, как можно выразить одни единицы измерения объёма через другие.

1 км 3 = 1 000 000 000 м 3

Для измерения объёмов жидкостей и сыпучих веществ используют литры

Меры объёма на Руси

На Руси использовали свои меры объёма

Ведро = бочки = 10 кружек = 100 чарок = 200 шкаликов = 12 литров

Кадь (кадка, какова) = 20 вёдер

В эпоху Киевской Руси везде употребляли кадь и ее доли.

В быту и торговле использовали различные хозяйственные сосуды: котлы, корчаги, ендовы, жбаны, братины.

При этом значение таких мер было различным в разных местах. Например, ёмкость котлов колебалась от полуведра до 20 вёдер.

В XVII в. была введена система кубических единиц, определяющая 7-футовую сажень, а также введён термин кубический (или «кубичный»).

Самые распространённые современные меры объёмов это:

1 миллилитр = 1 см 3

№ 1. Разместите нужные подписи под изображениями.

Правильный ответ: при выполнении данного задания нужно внимательно посмотреть на изображения. На верхнем рисунке мы видим многогранник, у которого все измерения равны. Значит, делаем вывод, что это куб. На нижнем изображении представлен многогранник, со всех сторон ограниченный прямоугольниками. Следовательно, это прямоугольный параллелепипед

№ 2. Вычислите объём куба, если его ребро равно м.

Источник

Объём прямоугольного параллелепипеда

Урок 23. Математика 5 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Объём прямоугольного параллелепипеда»

Представим себе такую историю…

– Паша, а ты когда-нибудь собирал кубик Рубика? – спросил Саша.

– Конечно! И не один раз, – ответил Паша. – Кстати, кубик Рубика отличная игрушка-головоломка, которая развивает логическое мышление.

– Да, мне тоже он очень нравится! – продолжил Саша. – Я вот сегодня собрал кубик Рубика за 15 минут. Пока собирал, задумался, а сколько всего маленьких кубиков в нём?

– И в правду, – задумался Паша, – и сколько же их там?

– Не знаю! – ответил Саша. – Сколько ни пытался их пересчитать, всё сбивался. В общем, так и не получилось у меня их сосчитать.

– А давай спросим у Электроши! – предложил Паша. – Он точно знает, как их посчитать.

– Ребята, прежде чем я вам расскажу о прямоугольном параллелепипеде, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Электроша.

– Давайте сверимся! Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А теперь вернёмся к вашему вопросу, – продолжил Электроша. – Только сначала ответьте мне на вопрос: какую форму имеет кубик Рубика?

– Кубик Рубика имеет форму прямоугольного параллелепипеда, а точнее – форму куба, – ответили мальчишки.

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – Важным свойством любого геометрического тела является его вместимость, то есть объём фигуры. Величина объёма даёт нам представление о том, какую часть пространства занимает интересующий нас объект.

Кстати, с такой величиной, как объём, мы очень часто встречаемся в нашей жизни. Может, вы сможете привести примеры, когда мы интересуемся объёмом? – спросил у ребят Электроша.

– Например, объём коробки с соком, объём бассейна, объём школьного кабинета, – начал Саша.

– Ещё нам нужно знать объём топливного бака машины, показатели потребления газа или воды на счётчиках, – продолжил Паша.

– Хорошие примеры! – похвалил ребят Электроша. – А как вы думаете, что нужно знать для того, чтобы измерить объём? – спросил у ребят Электроша.

– Наверное, нужно знать единицу измерения объёмов, – предположили мальчишки.

– Правильно! – подтвердил Электроша. – Напомню, что для измерения отрезков мы вводили единичный отрезок, для измерения углов – единичный угол, а для измерения площадей фигур – единичный квадрат.

Для измерения объёмов также вводятся единицы измерения. За единицу измерения объёма выбирают куб, ребро которого равно единичному отрезку. Такой куб называют единичным.

Например, объём куба с ребром 1 миллиметр называют кубическим миллиметром. Пишут так: .

Объём куба с ребром 1 сантиметр называют кубическим сантиметром. Пишут так: .

Объём куба с ребром 1 дециметр называют кубическим дециметром. Пишут так: .

Всем хорошо известна и такая единица объёма, как 1 литр. Пишут так дм 3 л. Это другое название кубического дециметра.

Объём куба с ребром 1 метр называют кубическим метром. Пишут так: .

Объём куба с ребром 1 километр называют кубическим километром. Пишут так: .

Легко заметить, что название единицы объёма получается из названия единицы длины присоединением прилагательного «кубический».

– Как вы думаете, что значит измерить объём фигуры? – спросил у ребят Электроша.

– Измерить объём фигуры – значит подсчитать, сколько единичных кубов в ней помещается, – сказали мальчишки.

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – Проще всего измерить объём прямоугольного параллелепипеда. Чем мы сейчас и займёмся.

– Посмотрите: на листке бумаги изображён прямоугольный параллелепипед со следующими измерениями: длина 5 сантиметров, ширина 2 сантиметра и высота 3 сантиметра. Давайте посчитаем, сколько единичных кубов может в нём поместиться.

– Начнём укладывать кубики на дно прямоугольного параллелепипеда, – предложили мальчишки. – Итак, сначала положим на дно ряд единичных кубиков со стороной 1 сантиметр вдоль длинной стены. Видим: поместилось 5 таких кубиков. Затем вдоль этих кубиков уложим ещё 1 ряд. Тоже получим ещё пять кубиков.

– Хорошо! – сказал Электроша. – Тогда сколько всего кубиков у вас поместилось на дне прямоугольного параллелепипеда?

– На дне параллелепипеда помещается слой из единичных кубиков, то есть слой из 10 кубов.

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – А чтобы заполнить весь прямоугольный параллелепипед, сколько в него нужно вложить таких слоёв?

– Так как высота нашего параллелепипеда 3 сантиметра, то в него вместится 3 слоя кубиков, в каждом из которых будет по 10 кубиков. Тогда получается, что весь прямоугольный параллелепипед можно заполнить 30 кубиками.

– Всё правильно! – согласился Электроша. – Мы получили, что всего в нашем параллелепипеде помещается единичных кубов. Поэтому объём нашего параллелепипеда равен (см 3 ).

– Электроша, получается, что три измерения прямоугольного параллелепипеда позволяют посчитать, сколько всего кубиков в нём поместится? – спросил Паша.

– Да, – ответил Электроша. – Запомните! Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Формулу для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда в буквенном виде можно записать следующим образом: , где – объём, , и – измерения прямоугольного параллелепипеда. При вычислениях обязательно нужно обращать внимание, чтобы все измерения прямоугольного параллелепипеда были выражены в одинаковых единицах.

– А теперь давайте решим одну задачку, – предложил Электроша. – Определите объём блока бумаги, если длина одного листа 20 миллиметров, ширина – 15 миллиметров, а всего в блоке помещается 500 таких листов (считать толщину листа равной 1 миллиметру).

– Сначала вычислим площадь одного листа, – сказал Паша, – она будет равна (мм 2 ).

– А потом площадь этого листа умножим на количество листов, помещающихся в блоке, – продолжил Саша, – то есть (мм 3 ).

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – Обратите внимание: блок бумаги имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Значит, мы с вами сейчас нашли объём параллелепипеда, но с помощью другой формулы. Запомните! Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

В буквенном виде эту формулу записывают так: , где – площадь основания прямоугольного параллелепипеда, – его высота.

– А теперь давайте всё же вернёмся к вашему первоначальному вопросу, – продолжил Электроша. – Вы хотели выяснить, сколько кубиков содержится в кубике Рубика. Мы с вами уже определили, что эта замечательная игрушка имеет форму прямоугольного параллелепипеда, а если быть точнее, то форму куба. Может, вы уже сможете посчитать количество маленьких кубиков, из которых состоит кубик Рубика?

– Так, – начал рассуждать Саша, – длина нашего кубика Рубика состоит из 3 маленьких кубиков, точно такие же ширина и высота. Значит, в нашем кубике Рубика помещается маленьких кубиков.

– Всё правильно! – сказал Электроша. – Изначально кубик Рубика состоял из 27 связных между собой разноцветных кубиков, но затем его конструкция упростилась до набора из 26 маленьких кубиков, а вместо внутреннего кубика разместился хитроумный скрепляющий механизм. Кстати, а вы знаете кем, как и когда была придумана эта замечательная игрушка? – спросил Электроша.

– Не знаем, – ответили мальчишки.

– Скажу вам только, что знаменитый кубик Рубика придумал венгерский преподаватель архитектуры Эрно Рубик в 1974 году.

А вот уже историю его создания и усовершенствования вы можете изучить на досуге.

– А теперь смотрите, мы с вами определили, что наш кубик Рубика имеет форму куба. Поскольку у куба все рёбра равны, то его объём вычисляют по формуле: , где – длина ребра куба. Именно поэтому третью степень числа называют кубом числа.

А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько заданий.

Задание первое: объём класса 96 кубических метров. Найдите высоту стены, если площадь пола 32 квадратных метра.

Решение: класс имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Нам известна площадь пола, то есть площадь основания прямоугольного параллелепипеда. Значит, можем воспользоваться формулой для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда через площадь основания и высоту: . Выразим из этой формулы высоту: . И подставим в получившуюся формулу объём класса и площадь пола: (м). Получаем, что высота стены равна 3 метрам.

Следующее задание: длина аквариума 80 сантиметров, ширина 45 сантиметров, высота 65 сантиметров. Сколько литров воды нужно налить, чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 5 сантиметров?

Источник