Что такое объем в геометрии

Объём (геометрия)

Объём — это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства. Первые точные определения были даны Пеано (1887) и Жордан (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

Содержание

Подходы к определению

Для определения объёма существует несколько существенно различных подходов, которые дополняют друг друга и согласованы по конечному результату на «хороших множествах». Обычно под понятием объёма понимается мера Жордана, но иногда мера Лебега. Для римановых многообразий, понятие объёма вводится аналогично понятию площади поверхности.

Понятие объёма допускает естественное обобщения до понятия Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии-мерного объёма в Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии-мерном пространстве, также на случай римановых и псевдоримановых пространств произвольной размерности.

Объёмы простейших тел

ФигураФормулаОбозначения
КубЧто такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии— ребро куба
ПризмаЧто такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии— площадь основания, Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии— высота призмы
ЦилиндрЧто такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии— радиус, Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии— высота цилиндра
ШарЧто такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии— радиус
ЭллипсоидЧто такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии— главные оси
ПирамидаЧто такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии— площадь основания, Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии— высота пирамиды
КонусЧто такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии— радиус основания, Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии— высота конуса

Архимед сумел установить, что сфера и конусы с общей вершиной, вписанные в цилиндр, соотносятся следующим образом: два конуса : сфера : цилиндр как 1:2:3. Архимед просил выбить на своей могиле шар, вписанный в цилиндр. [1]

Интегральная формула

Объём тела в трехмерном пространстве вычисляется как определённый интеграл:

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии,

где Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии— характеристическая функция геометрического образа тела.

Литература

Примечания

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Объём (геометрия)» в других словарях:

Объём (значения) — Объём вообще величина, количество[1] Объём количественная характеристика пространства В математике: Объём (геометрия) Мера Жордана Мера Лебега Ориентированный объём Смешанный объём Объём торгов число акций, переходящее от продавцов к покупателям… … Википедия

Объём — У этого термина существуют и другие значения, см. Объём (значения). Объём Размерность L3 Единицы измерения СИ … Википедия

Геометрия — (от др. греч. γῆ Земля и μετρέω «мерю») раздел математики, изучающий пространственные структуры, отношения и их обобщения[1]. Содержание … Википедия

геометрия — и; ж. [греч. gē Земля и metreō измеряю]. Раздел математики, изучающий пространственные формы и отношения. // Учебный предмет, излагающий этот раздел математики. Урок геометрии. Преподаватель геометрии. // Разг. Учебник по этому предмету. * * *… … Энциклопедический словарь

Объём жёсткого диска — Динамика роста ёмкости жёстких дисков с 1980 года. Ось Y в логарифмическом масштабе, поэтому аппроксимирующая линия соответствует … Википедия

Геометрия — (гр. Земля измеряю) раздел математики, в котором изучаются пространственные отношения и формы и их обобщения. Возникновение геометрии обусловлено практическими потребностями измерения земельных участков, объёмов и др. Строгое построение геометрии … Концепции современного естествознания. Словарь основных терминов

Тело (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Тело. Тело геометрическое «то, что имеет длину, ширину и глубину» в «Началах» Евклида, в учебниках элементарной геометрии ко всему «часть пространства, ограниченное своей образуемой формой» … Википедия

Объем (геометрия) — Объём это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении трёхмерных тел трёхмерного евклидова пространства.… … Википедия

Источник

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

Объём прямоугольного параллелепипеда.

Формула объёма прямоугольного параллелепипеда.

Объём тела– величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и определяемая формой и линейными размерами этого тела.

Основные свойства объёма:

— равные тела имеют равные объёмы;

— если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Атанасян Л. С. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы [текст]: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. С. 130–133.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

С понятием объёмного тела, отличающегося от плоской фигуры, мы познакомились ещё в начальной школе.

Объёмом принято называть положительную величину, характеризующую часть пространства, занимаемую телом, и определяемую формой и линейными размерами этого тела.

Мы можем вычислить объём тела точно так же, как ранее находили площадь фигуры. Объём принято измерять в единицах измерения объёма (единицах измерения размера пространства, занимаемого телом), то есть в кубических метрах, сантиметрах, миллиметрах и так далее. За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (обозначение: см 3 ). По аналогии, можно за единицу измерения объёма принять кубический миллиметр (1 мм 3 ), кубический метр (1 м 3 ) и тому подобное.

Объём выражается в положительных числах. Это число показывает, сколько единиц измерения содержится в теле. Например, сколько кубических миллиметров в аквариуме, сколько кубических метровв бассейне и так далее.

Объём обозначается заглавной латинской буквой V.

Рассмотрим свойства объёмов.

Свойство № 1. Равные тела имеют равные объёмы. Это означает, что если два тела идентичны, то есть имеют равное количество единиц измерения и частей, то равны и их объёмы. Например, 2 одинаковых пакета молока равны в объёме.

Свойство № 2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Следствие из основных свойств объёмов.

Объём куба с ребром 1/n равен 1/n 3

Доказательство. Рассмотрим куб, объём которого принят за единицу измерения объёмов, тоесть равный некоторому числукубических сантиметров. Его ребро равно единице измерения отрезков. Разобьём каждое ребро этого куба на произвольное количество частей – nтак, чтобы провести плоскости, перпендикулярные к этому ребру.

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

По второму свойству объёмов, сумма объёмов всех кубиков равна объёму всего куба (1 см 3 ). Следовательно, поскольку мы разбили каждое ребро на n частей, то каждый маленький куб внутри большого куба будет иметь ребро

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объём прямоугольного параллелепипеда

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Обозначимизмеренияпрямоугольного параллелепипеда P буквами a,b,c, его объём буквой V, и докажем, что V = a ∙ b ∙ c.

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Рассмотрим два возможных случая.

По доказанному в первом случае, левая часть неравенства представляет собой объём Vn прямоугольного параллелепипеда Pn с измерениями an, bn, cn, а правая часть – это объём Vn’ прямоугольного параллелепипеда Pn’ с измерениями an’, bn’, cn’. Так как параллелепипед P содержит в себе параллелепипед Pn, а сам содержится в параллелепипеде Pn’, то объём V параллелепипеда P заключён между Vn, = anbncn и Vn’= an’bn’cn’. Будем неограниченно увеличивать n. Тогда 1/10 n будет становиться сколь угодно малым, и поэтому произведение an’bn’cn’ будет сколь угодно мало отличаться от числа, выраженного произведением anbncn. Отсюда следует, что число V сколь угодно мало отличается от числа, выраженного произведением anbncn, а значит, они равны.V = abc, что и требовалось доказать.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля.

№1.Длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда равны 15 см и 20 см. Высота параллелепипеда равна диагонали основания. Найдите объём этого параллелепипеда.

Найдём длину диагонали основания, для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

А теперь найдём объём параллелепипеда:

V = 15 ∙ 20 ∙ 25 = 7500 см 3

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии№2.

AD = 960 : 8 : 20 = 6 см

Найдём АС, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Источник

Объемы геометрических тел

Объемы геометрических тел

Раньше для определения объемов геометрических тел традиционно использовались интегралы. Сегодня есть и другие подходы, которые подробно представлены в учебниках нашей корпорации. В одном из вебинаров «Российского учебника» учитель высшей категории Алексей Доронин рассказал о методах определения объема разных геометрических тел с помощью принципа Кавальери и других аксиом.

Определение объема

Объем можно определить как функцию V на множестве многогранников, удовлетворяющую следующим аксиомам:

Принцип Кавальери (итальянского математика, ученика Галилея). Если при пересечении двух тел плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечениях этих тел любой из плоскостей получаются фигуры, площади которых относятся как m : n, то объемы данных тел относятся как m : n.

В открытом банке заданий ЕГЭ есть много задач для отработки этого способа определения объема.

Примеры

Задача 1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Задача 2. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Задача 3. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Разберем, как можно вычислять объемы изучаемых в школе фигур.

Объем призмы

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

В представленном случае известны площадь основания и высота призмы. Чтобы найти объем, используем принцип Кавальери. Рядом с призмой (Ф2) поместим прямоугольный параллелепипед (Ф1), в основании которого — прямоугольник с такой же площадью, как у основания призмы. Высота у параллелепипеда такая же, как у наклонного ребра призмы. Обозначим третью плоскость (α) и рассмотрим сечение. В сечении виден прямоугольник с площадью S и, во втором случае, многоугольник тоже с площадью S. Далее вычисляем по формуле:

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем пирамиды

Лемма: две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики. Докажем это, используя принцип Кавальери.

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Возьмем две пирамиды одинаковой высоты и заключим их между двумя параллельными плоскостями α и β. Обозначим также секущую плоскость и треугольники в сечениях. Заметим, что отношения площадей этих треугольников связаны непосредственно с отношением оснований.

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Известно, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Данной теоремой апеллируют довольно часто. Однако откуда в формуле объема пирамиды появляется коэффициент 1/3? Чтобы понять это, возьмем призму и разобьем ее на 3 треугольные пирамиды:

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем цилиндра

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Возьмем прямой круговой цилиндр, в котором известны радиус основания и высота. Рядом поместим прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат. Рассмотрим:

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем конуса

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Конус лучше всего сравнивать с пирамидой. Например, с правильной четырехугольной пирамидой с квадратом в основании. Две фигуры с равными высотами заключаем в две параллельные плоскости. Обозначив третью плоскость, в сечении получаем круг и квадрат. Представления о подобиях приводят к числу π.

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем шара

Объем шара — одна из наиболее сложных тем. Если предыдущие фигуры можно продуктивно разобрать за один урок, то шар лучше отложить на последующее занятие.

Итак, чтобы найти объем нового, не изученного геометрического тела, нужно сравнить его с тем телом, которое наиболее на него похоже. Многочисленные примеры заданий из открытого банка задач показывают, что в работе с фигурами имеет смысл использовать представленные формулы и аксиомы.

Источник

Формула объема.

Формула объема необходима для вычисления параметров и характеристик геометрической фигуры.

Объемы геометрических фигур.

Параллелепипед.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Цилиндр.

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Объем цилиндра равен произведению числа пи (3.1415) на квадрат радиуса основания на высоту.

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Пирамида.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS).

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Правильная пирамида — это пирамида, в основании, которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр вписанной окружности в основание.

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Правильная треугольная пирамида — это пирамида, у которой основанием является равносторонний треугольник и грани равные равнобедренные треугольники.

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Правильная четырехугольная пирамида — это пирамида, у которой основанием является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники.

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Тетраэдр — это пирамида, у которой все грани — равносторонние треугольники.

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Усеченная пирамида.

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1(abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Конус — это тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию.

V = 1/3 πh (R 2 + Rr + r 2 )

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем шара в полтора раза меньше, чем объем описанного вокруг него цилиндра.

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Призма.

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Сектор шара.

Объем шарового сектора равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и вырезаемая сектором часть шаровой поверхности, а высота равна радиусу шара.

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Шаровой слой — это часть шара, заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями.

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Источник

Формулы вычисления объема всех геометрических фигур

Объём — это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства. Первые точные определения были даны Пеано (1887) и Жорданом (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

Для определения объёма существует несколько существенно различных подходов, которые дополняют друг друга и согласованы по конечному результату на «хороших множествах». Обычно под понятием объёма понимается мера Жордана, но иногда мера Лебега. Для римановых многообразий понятие объёма вводится аналогично понятию площади поверхности.

Все формулы объема геометрических тел

Объем куба

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба:

Объем призмы

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы:

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем параллелепипеда

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда:

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем пирамиды

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS).

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем усеченной пирамиды

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1(abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

Формула объема усеченной пирамиды:

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем цилиндра

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Объем правильной треугольной пирамиды

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Формула объема правильной треугольной пирамиды:

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем конуса

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем круглого конуса равен трети произведения площади основания S на высоту H.

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем усеченного конуса

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем усеченного конуса равен разности объемов двух полных конусов.

Формула объема усеченного конуса:

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем тетраэдра

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем шара

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем шара равен четырем третьим от его радиуса в кубе перемноженного на число пи.

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем шарового сегмента и сектора

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Формула объема шарового сегмента:

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Формула объема шарового сектора:

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем прямоугольного параллелепипеда

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда:

Что такое объем в геометрии. Смотреть фото Что такое объем в геометрии. Смотреть картинку Что такое объем в геометрии. Картинка про Что такое объем в геометрии. Фото Что такое объем в геометрии

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

ФигураФормулаЧертеж