Что такое обл определения

Область определения функции

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие области определения функции

Впервые школьники знакомятся с термином «функция» на алгебре в 7 классе, и с каждой четвертью, с каждой новой темой это понятие раскрывается с новых сторон. И, конечно же, усложняются задачки. Сейчас дадим определения ключевым словам и будем находить область определения функции заданной формулой и по графику.

Если каждому значению x из некоторого множества соответствует число y, значит, на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией.

Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают так: y = f(x).

Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества.

Из понятия функции сформулируем определение области определения функции.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох.

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.

Чтобы обозначить область определения некоторой функции f, используют запись D(f). При этом нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения. Например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках можно встретить такие записи: D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус.

Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = X. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) = [-1, 1].

Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.

Если мы хотим указать на множество чисел, которые лежат в некотором промежутке, то делаем так:

Например, все действительные числа от 2 до 5 включительно можно записать так:

Все положительные числа можно описать так:

Ноль не положительное число, поэтому скобка возле него круглая.

Области определения основных элементарных функций

Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.

На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.

Рассмотрим области определения основных элементарных функций.

Область определения постоянной функции

Постоянная функция задается формулой y = C, то есть f(x) = C, где C — некоторое действительное число. Ее еще называют константа.

Смысл функции — в том, что каждому значению аргумента соответствует значение, которое равно C. Поэтому, область определения этой функции — множество всех действительных чисел R.

Константная функция — функция, которая для любого элемента из области определения возвращает одно и то же заданное значение. Множество значений такой функции состоит из одного единственного элемента.

Область определения функции с корнем

Функцию с корнем можно определить так: y = n √x, где n — натуральное число больше единицы.

Рассмотрим две вариации такой функции.

Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:

Значит, область определения каждой из функций y = √x, y = 4 √x, y = 6 √x,… есть числовое множество [0, +∞). А область определения функций y = 3 √x, y = 5 √x, y = 7 √x,… — множество (−∞, +∞).

Пример

Найти область определения функции:

Так как подкоренное выражение должно быть положительным, то решим неравенство x 2 + 4x + 3 > 0.

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

Дискриминант положительный. Ищем корни:

Значит парабола a(x) = x 2 + 4x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках. Часть параболы расположена ниже оси (неравенство x 2 + 4x + 3 2 + 4x + 3 > 0).

Область определения степенной функции

Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени.

Перечислим возможные случаи:

Рассмотрим несколько примеров.

Область определения показательной функции

Область определения показательной функции — это множество R.

Примеры показательных функций:

Область определения каждой из них (−∞, +∞).

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция выглядит так: y = log_ax, где где число a > 0 и a ≠ 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел.

Область определения логарифмической функции или область определения логарифма — это множество всех положительных действительных чисел. То есть, D (loga) = (0, +∞).
Например:

Рассмотрим примеры логарифмических функций:

Область определения этих функций есть множество (0, +∞).

Пример

Укажите, какова область определения функции:

Составим и решим систему:

Область определения тригонометрических функций

Сначала вспомним, как задавать тригонометрические функции и как увидеть их области определения.

Поэтому, если x — аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что и x ∈ r, x ≠ πk, k ∈ Z соответственно.

Пример

Найдите область определения функции f(x) = tg2x.

Так как a(x) = 2x, то в область определения не войдут следующие точки:

Перенесем 2 из левой части в знаменатель правой части:

В результате . Отразим графически:

Ответ: область определения: .

Область определения обратных тригонометрических функций

Вспомним обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Область определения арктангенса и арккотангенса — все множество действительных чисел R. То есть, D(arctg) = R и D(arcctg) = R.

Таблица областей определения функций

Области определения основных функций в табличном виде можно распечатать и использовать на уроках, чтобы быстрее решать задачки.

И, помните: чем чаще вы практикуетесь в решении задач — тем быстрее все запомните.

Функция

Область определения функции

Источник

Определение числовой функции. Область определения функции. Область значения функции.

Что такое область определения функции? что такое область значения функции? Давайте, в этой статье разберемся в понятиях числовой функции и ее характеристиках и свойствах.

Определение функции.

Функция y=f(x) — это когда каждому допустимому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y или другими словами такая зависимость переменной y от переменной x.

х — называется независимой переменной или аргументом.

y – называется зависимой переменной или значением функции.

Множество чисел, где x∈X или D(f) — называется областью определения функции. Это множество всех допустимых значений переменной х.

Область значений функций, когда задаем правило или функцию, которая позволяет по произвольно выбранному значению x∈D(f) вычислить соответствующее значение y.

Переменную х или аргумент мы придумываем сами и подставляем в правило, которое задали или функцию. Далее рассчитываем переменную y или значение функции.

В тех диапазонах в которых существует переменная х называется областью определения функции.

В тех диапазонах в которых существует переменная y называется областью значения функции.

Графиком функции y=f(x), x∈X называется множество точек (x; f(x)) координатной плоскости.

Разберём пример №1:

Найдите область определения и область значения числовой функции y=x 2

Вместо переменной x мы можем брать любые числа и просчитать переменную y.

По графику также видно, что сколько бы угодно мы не проводили линий через ось х, мы найдем пересечение с графиком.

А теперь рассмотрим переменную у. В таблице мы видим, что переменная y принимает положительные значение, так как и самое минимальное значение 0. Следовательно, y∈[0; +∞).

Если посмотрим на график, то увидим, что графика ниже нуля нет. Следовательно, область значения функции E(f) = [0; +∞).

Разберём пример №2:

Найдите область определения и область значения числовой функции y=x+1?

Вместо переменной x мы можем брать любые числа и просчитать переменную y.

По графику также видно, что сколько бы угодно мы не проводили линий через ось х, мы найдем пересечение с графиком.

Рассмотрим переменную у. В таблице мы видим, что переменная y также принимает значения как в положительном, так и в отрицательном направлении. Следовательно, ограничений у переменной y нет, y∈(−∞; +∞). Область значения функции E(f) = (−∞; +∞).

Источник

Область определения

В данной статье приведено общее определение математической функции. В средних школах и на нематематических специальностях высших учебных заведениях изучают более простое понятие числовой функции, являющееся частным случаем математической функции.

Содержание

Определения

Обозначения

Связанные определения

Свойства

Свойства прообразов и образов

Классы функций

Вариации и обобщения

Функции нескольких аргументов

Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.

Примечания

См. также

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Область определения» в других словарях:

область определения — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN range of definition … Справочник технического переводчика

Область определения функции — Область определения функции множество, на котором задаётся функция. Содержание 1 Определение 2 Примеры 2.1 Числовые функции … Википедия

область определения данных — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN data domain … Справочник технического переводчика

область определения канала — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN channel definition area … Справочник технического переводчика

область определения функции — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN domain of function … Справочник технического переводчика

Естественная область определения функции — множество тех значений ее аргумента, при которых формула имеет смысл … Википедия

Естественная область определения — Определения Полная аналитическая функция это совокупность всех канонических элементов, получаемых из какого либо первоначального элемента P методом аналитического продолжения относительно всех возможных жордановых кривых, допускающих такое… … Википедия

Область значений функции — Область значений функции множество значений, которые принимает функция в результате ее применения. Содержание 1 Определение 2 Примеры 2.1 Числовые функции … Википедия

Область аккредитации испытательной лаборатории — совокупность работ по испытаниям, которые компетентна проводить лаборатория в зависимости от видов технических устройств, здании и сооружении и (или) видов испытаний. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Источник

Что такое функция?

7 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.

1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.

Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.

2. Функция — это определенное действие над переменной.

Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.

В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:

В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.

3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.

Например, в функции у = 2х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в два раза большее, чем х.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида

область определения выглядит так:

И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.

Источник

Что такое функция

Все точные науки предоставляют нам множество примеров, когда рассматриваемые переменные каким-то образом зависят одна от другой. Например, плотность вещества полностью определяется его массой и объемом. Давление идеального газа при постоянном объеме варьируется вместе с температурой. Эти примеры объединяет тот факт, что все формулы имеют зависимости между переменными, которые и называются функциональными.

Вам будет интересно: Лопухина Евдокия Федоровна, первая супруга Петра I: биография, семья, постриг

Вам будет интересно: Мария Медичи: биография, личная жизнь, годы правления, политика, фото

Есть совпадающие или равные функции. Это две функции, у которых равны области допустимых значений, а также значения самой функции равны при всех одинаковых аргументах.

Историческая справка о функции

Вам будет интересно: Химический элемент висмут: температура плавления и другие свойства

Понятие функции не сразу стало окончательным и точным, оно претерпело длинный путь становления. Сначала в работе Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест», которую опубликовали в конце 17-го века, говорилось следующее:

Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место.

В целом этот труд говорит о функциональной зависимости и ее материальном изображении (место = линия).

Также приблизительно в это же время Рене Декарт изучал линии по их уравнениям в своей работе «Геометрия» (1637 год), где опять же прослеживался факт зависимости двух величин друг от друга.

Но вот уже в 18-м веке функцию начали определять более верно. Бернулли писал следующее:

Функция — это величина, составленная из переменной и постоянной.

Размышления Эйлера были также близки к этому:

Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств.

Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых.

График функции

График функции составляют все точки, принадлежащие осям координатной плоскости, абсциссы которых принимают значения аргумента, а значения функции в этих точках являются ординатами.

Область определения функции напрямую связана с ее графиком, потому что если какие-либо абсциссы исключаются областью допустимых значений, то нужно рисовать пустые точки на графике или же рисовать график в определенных пределах. Например, если берется график вида y = tgx, то из области определения исключается значение x = pi/2 +pi*n, n∉R, в случае с графиком тангенса нужно нарисовать вертикальные линии параллельно оси Оу (они называются асимптоты), проходящие через точки ±pi/2.

Любые основательные и тщательные исследования функций составляют большой раздел математики, который называется математическим анализом. В простейшей математике тоже затрагивают элементарные вопросы, касающиеся функций, например построение простого графика и установление некоторых основных свойств функции.

Чем может быть задана функция

Будьте внимательны при решении некоторых заданий высокого уровня, практически любое выражение можно рассматривать как функцию относительно какого-либо аргумента для значения функции y (x). Найти область определения в таких заданиях может стать ключом к решению.

Для чего нужна область определения?

Чтобы правильно и быстро построить график функций, вам необходимо знать область определения данной функции, потому что от нее зависит внешний вид графика и верность построения. Например, для построения функции y = √x нужно знать, что х может принимать только положительные значения. Поэтому строится только в первой координатной четверти.

Область определения на примере элементарных функций

В своем арсенале математика имеет малое количество простых, определенных функций. У них ограниченная область определения. Решение этого вопроса не вызовет сложностей даже в том случае, если перед вами оказалась так называемая сложная функция. Это всего лишь комбинация из нескольких простых.

Чем отличается работа со сложными функциями

Помните несколько основных правил. Если работаем со сложной функцией, то не нужно что-то решать, упрощать, складывать дроби, приводить к наименьшему общему знаменателю и извлекать корни. Мы должны исследовать данную функцию, потому что различные (даже тождественные) операции могут изменить область определения функции, что приведет к получению неверного ответа.

Взаимно-обратные функции

Для начала стоит сказать, что функция может стать обратимой только на промежутке возрастания или убывания. Для того чтобы найти обратную функцию, нужно в записи поменять местами х и у и решить уравнение относительно х. Области определения и области значения просто меняются местами.

Например, для экспоненциальной функции y = ex взаимно-обратной будет натуральная логарифмическая y = logea = lna. Для тригонометрических это будут функции с приставкой arc-: y = sinx и y = arcsinx и так далее. Графики будут располагаться симметрично по отношению к некоторым осям или асимптотам.

Выводы

Поиск области допустимых значений сводится к исследованию графика функций (если он есть), записи и решению необходимой конкретной системы неравенств.

Так, эта статья вам помогла понять, для чего нужна область определения функции и как ее найти. Надеемся, что она поможет вам хорошо разбираться в базовом школьном курсе.

Источник