Что такое обратный элемент
Слово «обратный» происходит от латинского : inversus, что означает «перевернутый вверх ногами», «перевернутый».
СОДЕРЖАНИЕ
Формальные определения
В единой магме
| * | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 2 | 1 | 1 |
| 3 | 3 | 1 | 1 |
элементы 2 и 3 имеют по две двусторонние перевернутые.
| * | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 2 | 1 | 2 |
| 3 | 3 | 2 | 1 |
Точно так же петля не обязательно должна иметь двусторонние перевернутые. Например, в цикле таблицы Кэли
| * | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 2 | 3 | 1 | 5 | 4 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 5 | 2 | 3 | 1 |
| 5 | 5 | 1 | 4 | 2 | 3 |
В полугруппе
Кольца и полукольца
Примеры
Все примеры в этом разделе включают ассоциативные операторы, поэтому мы будем использовать термины, обратные слева / справа для определения, основанного на единичной магме, и квазиобратные для его более общей версии.
Действительные числа
Функции и частичные функции
Связи Галуа
Матрицы
Неквадратные матрицы полного ранга имеют несколько односторонних обратных:
В качестве примера обратных матриц рассмотрим:
Левая инверсия не существует, потому что
А Т А знак равно [ 1 4 2 5 3 6 ] ⋅ [ 1 2 3 4 5 6 ] знак равно [ 17 22 27 22 29 36 27 36 45 ] <\ displaystyle A ^ <\ text
которая является сингулярной матрицей и не может быть обращена.
Слово «обратный» происходит от латинский: обратный это означает «перевернутый», «перевернутый».
Содержание
Формальные определения
В единой магме
В полугруппе
Определение в предыдущем разделе обобщает понятие инверсии в группе относительно понятия идентичности. Также возможно, хотя и менее очевидно, обобщить понятие обратного, отбросив элемент идентичности, но сохранив ассоциативность, т.е. полугруппа.
В полугруппе S элемент Икс называется (фон Нейман) обычный если существует какой-то элемент z в S такой, что xzx = Икс; z иногда называют псевдообратный. Элемент у называется (просто) обратный из Икс если xyx = Икс и у = yxy. Каждый регулярный элемент имеет хотя бы один обратный: если Икс = xzx то легко проверить, что у = zxz является инверсией Икс как определено в этом разделе. Еще один факт, который легко доказать: если у является инверсией Икс тогда е = ху и ж = yx находятся идемпотенты, это ее = е и ff = ж. Таким образом, каждая пара (взаимно) обратных элементов порождает два идемпотента, и бывший = xf = Икс, вы = фу = у, и е действует как левая личность на Икс, в то время как ж действует как правая личность, а роли левых и правых меняются местами для у. Это простое наблюдение можно обобщить, используя Отношения Грина: каждый идемпотент е в произвольной полугруппе является левым тождеством для ре и правильная идентичность для Lе. [1] Интуитивно понятное описание этого факта состоит в том, что каждая пара взаимно обратных элементов порождает локальную левую идентичность и, соответственно, локальную правую идентичность.
Вне теории полугрупп, единственный обратный, как определено в этом разделе, иногда называют квазиобратный. Обычно это оправдано, потому что в большинстве приложений (например, во всех примерах в этой статье) ассоциативность сохраняется, что делает это понятие обобщением левого / правого обратного по отношению к идентичности.
U-полугруппы
Естественным обобщением обратной полугруппы является определение (произвольной) унарной операции ° такой, что (а°)° = а для всех а в S; это дает S с алгеброй типа ⟨2,1⟩. Полугруппа, снабженная такой операцией, называется U-полугруппа. Хотя может показаться, что а° будет обратным а, Это не обязательный случай. Для получения интересных понятий, унарная операция должна каким-то образом взаимодействовать с полугрупповой операцией. Два класса U-полугруппы были изучены: [2]
Кольца и полукольца
Примеры
Все примеры в этом разделе включают ассоциативные операторы, поэтому мы будем использовать термины, обратные слева и справа для определения, основанного на единичной магме, и квазиобратные для его более общей версии.
Действительные числа
Функции и частичные функции
Связи Галуа
Нижний и верхний сопряжения в (монотонном) Связь Галуа, L и г являются квазиобратными друг другу, т.е. LGL = L и GLG = г и одно однозначно определяет другое. Однако они не противоположны друг другу слева или справа.
Матрицы
Неквадратные матрицы полный ранг имеют несколько односторонних инверсий: [3]
Нет не имеющий ранга матрица имеет любую (даже одностороннюю) инверсию. Однако Обратное преобразование Мура – Пенроуза существует для всех матриц и совпадает с левым или правым (или истинным) обратным, если оно существует.
В качестве примера обратных матриц рассмотрим:
Левая инверсия не существует, потому что
А Т А = [ 1 4 2 5 3 6 ] ⋅ [ 1 2 3 4 5 6 ] = [ 17 22 27 22 29 36 27 36 45 ] < displaystyle A ^ < text
который является сингулярная матрица, и не может быть инвертирован.
Слово «обратный» происходит от латинского : inversus, что означает «перевернутый вверх ногами», «перевернутый».
СОДЕРЖАНИЕ
Формальные определения
В единой магме
| * | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 2 | 1 | 1 |
| 3 | 3 | 1 | 1 |
элементы 2 и 3 имеют по две двусторонние перевернутые.
| * | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 2 | 1 | 2 |
| 3 | 3 | 2 | 1 |
Точно так же петля не обязательно должна иметь двусторонние перевернутые. Например, в цикле таблицы Кэли
| * | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 2 | 3 | 1 | 5 | 4 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 5 | 2 | 3 | 1 |
| 5 | 5 | 1 | 4 | 2 | 3 |
В полугруппе
Кольца и полукольца
Примеры
Все примеры в этом разделе включают ассоциативные операторы, поэтому мы будем использовать термины, обратные слева / справа для определения, основанного на единичной магме, и квазиобратные для его более общей версии.
Действительные числа
Функции и частичные функции
Связи Галуа
Матрицы
Неквадратные матрицы полного ранга имеют несколько односторонних обратных:
В качестве примера обратных матриц рассмотрим:
Левая инверсия не существует, потому что
А Т А знак равно [ 1 4 2 5 3 6 ] ⋅ [ 1 2 3 4 5 6 ] знак равно [ 17 22 27 22 29 36 27 36 45 ] <\ displaystyle A ^ <\ text
которая является сингулярной матрицей и не может быть обращена.
Обратный элемент
Слово «обратный» происходит от латинского : inversus, что означает «перевернутый вверх ногами», «перевернутый».
В единой магме
| * | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 2 | 1 | 1 |
| 3 | 3 | 1 | 1 |
элементы 2 и 3 имеют по две двусторонние перевернутые.
| * | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 2 | 1 | 2 |
| 3 | 3 | 2 | 1 |
Точно так же петля не обязательно должна иметь двусторонние перевернутые. Например, в цикле таблицы Кэли
| * | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 2 | 3 | 1 | 5 | 4 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 5 | 2 | 3 | 1 |
| 5 | 5 | 1 | 4 | 2 | 3 |
В полугруппе
Кольца и полукольца
Все примеры в этом разделе включают ассоциативные операторы, поэтому мы будем использовать термины, обратные слева / справа для определения, основанного на единичной магме, и квазиобратные для его более общей версии.
Вещественные числа
Функции и частичные функции
Связи Галуа
Матрицы
Неквадратные матрицы полного ранга имеют несколько односторонних обратных: [3]
В качестве примера обратной матрицы рассмотрим:
Левая инверсия не существует, потому что
А Т А знак равно [ 1 4 2 5 3 6 ] ⋅ [ 1 2 3 4 5 6 ] знак равно [ 17 22 27 22 29 36 27 36 45 ] <\ displaystyle A ^ <\ text
которая является сингулярной матрицей и не может быть обращена.
Противоположный элемент
Обра́тный элеме́нт — одно из понятий абстрактной алгебры.
Содержание
Определения
Замечания
Свойства
Примеры
| Множество | Бинарная операция | Обратный элемент |
|---|---|---|
| Вещественные числа | + (сложение) | — x |
| Вещественные числа не равные нулю |  (умножение) | 1 / x |
Функции вида  |  (композиция функций) | f − 1 (обратная функция) |
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Противоположный элемент» в других словарях:
Векторное пространство — У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство. Векторное (линейное) пространство основной объект изучения линейной алгебры. Содержание 1 Определение 2 Простейшие свойства … Википедия
Линейное пространство — Линейное пространство, или векторное пространство основной объект изучения линейной алгебры. Содержание 1 Определение 2 Простейшие свойства 3 Связанные определения и свойства … Википедия
Вектор (алгебра) — Линейное пространство, или векторное пространство основной объект изучения линейной алгебры. Содержание 1 Определение 2 Простейшие свойства 3 Связанные определения и свойства … Википедия
Линейная зависимость — Линейное пространство, или векторное пространство основной объект изучения линейной алгебры. Содержание 1 Определение 2 Простейшие свойства 3 Связанные определения и свойства … Википедия
Линейная комбинация — Линейное пространство, или векторное пространство основной объект изучения линейной алгебры. Содержание 1 Определение 2 Простейшие свойства 3 Связанные определения и свойства … Википедия
Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. — Линейное пространство, или векторное пространство основной объект изучения линейной алгебры. Содержание 1 Определение 2 Простейшие свойства 3 Связанные определения и свойства … Википедия
Линейное подпространство — Линейное пространство, или векторное пространство основной объект изучения линейной алгебры. Содержание 1 Определение 2 Простейшие свойства 3 Связанные определения и свойства … Википедия
Размерность векторного пространства — Линейное пространство, или векторное пространство основной объект изучения линейной алгебры. Содержание 1 Определение 2 Простейшие свойства 3 Связанные определения и свойства … Википедия
Размерность линейного пространства — Линейное пространство, или векторное пространство основной объект изучения линейной алгебры. Содержание 1 Определение 2 Простейшие свойства 3 Связанные определения и свойства … Википедия
КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — множества с двумя бинарными операциями, к рые обычно принято наз. сложением и умножением. Кольцом наз. множество: 1) являющееся абелевой группой относительно сложения (в частности, в кольце существует нулевой элемент, обозначаемый 0, и… … Математическая энциклопедия