Что такое общий делитель 6 класс

Наибольший общий делитель (НОД), свойства и формулы

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие наибольшего общего делителя

Начнем с самого начала и вспомним, что такое общий делитель. У целого числа может быть несколько делителей. А сейчас нам особенно интересно, как обращаться с делителями сразу нескольких целых чисел.

Делитель натурального числа — это такое натуральное число, которое делит данное число без остатка. Если у натурального числа больше двух делителей, его называют составным.

Если b — делитель целого числа a, которое не равно нулю, то модуль числа b не может быть больше модуля числа a. Значит любое число, не равное 0, имеет конечное число делителей.

Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать вот так: НОД (a, b).

Проверить результаты вычислений можно с помощью онлайн-калькулятора НОД и НОК.

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Взаимно простые числа — это натуральные числа, у которых только один общий делитель — единица. Их НОД равен 1.

Помимо НОД есть еще и НОК, что расшифровывается, как наименьшее общее кратное и означает наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка.

Еще один пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.

Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.

Свойства наибольшего общего делителя

У наибольшего общего делителя есть ряд определенных свойств. Опишем их в виде теорем и сразу приведем доказательства.

Важно! Все свойства НОД будем формулировать для положительных целых чисел, при этом будем рассматривать делители только больше нуля.

Свойство 1. Наибольший общий делитель чисел а и b равен наибольшему общему делителю чисел b и а, то есть НОД (a, b) = НОД (b, a). Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.

Доказывать свойство не имеет смысла, так как оно напрямую исходит из самого определения НОД.

Свойство 2. Если а делится на b, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством делителей числа b, поэтому НОД (a, b) = b.

Доказательство

Любой общий делитель чисел а и b является делителем каждого из этих чисел, в том числе и числа b. Так как а кратно b, то любой делитель числа b является делителем и числа а, благодаря свойствам делимости. Из этого следует, что любой делитель числа b является общим делителем чисел а и b.

Значит, если а делится на b, то совокупность делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей одного числа b. А так как наибольшим делителем числа b является само число b, то наибольший общий делитель чисела и b также равен b, то есть НОД (а, b) = b.

В частности, если a = b, то НОД (a, b) = НОД (a, a) = НОД (b, b) = a = b.

Доказанное свойство наибольшего делителя можно использовать, чтобы найти НОД двух чисел, когда одно из них делится на другое. При этом НОД равен одному из этих чисел, на которое делится другое число.

Свойство 3. Если a = bq + c, где а, b, с и q — целые числа, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством общих делителей чисел b и с. Равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) справедливо.

Доказательство

Существует равенство a = bq + c, значит всякий общий делитель чисел а и b делит также и с, исходя из свойств делимости. По этой же причине, всякий общий делитель чисел b и с делит а. Поэтому совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и c.

Поэтому должны совпадать и наибольшие из этих общих делителей, и равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) можно считать справедливым.

Свойство 4. Если m — любое натуральное число, то НОД (mа, mb) = m * НОД(а, b).

Доказательство

Если умножить на m обе стороны каждого из равенств алгоритма Евклида, то получим, что НОД (mа, mb)= mr, где r — это НОД (а, b). На этом свойстве наибольшего общего делителя основан поиск НОД с помощью разложения на простые множители.

Свойство 5. Пусть р — любой общий делитель чисел а и b, тогда НОД (а : p, b : p) = НОД (а, b) : p. А именно, если p = НОД (a, b) имеем НОД (a : НОД (a, b), b: НОД (a, b)) = 1, то есть, числа a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.

Так как a = p(a : p) и b = p(b : p), и в силу предыдущего свойства, мы можем записать цепочку равенств вида НОД (a, b) = НОД (p(a : p), p(b : p)) = p * НОД (a : p, b : p), откуда и следует доказываемое равенство.

Способы нахождения наибольшего общего делителя

Найти наибольший общий делитель можно двумя способами. Рассмотрим оба, чтобы при решении задач выбирать самую оптимальную последовательность действий.

1. Разложение на множители

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно разложить их на простые множители и перемножить между собой общие множители для всех чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Ответ: НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найти НОД (15, 28).

Ответ: НОД (15, 28) = 1.

Пример 3. Найти НОД для 24 и 18.

Ответ: НОД (24, 18) = 6

2. Алгоритм Евклида

Способ Евклида помогает найти НОД через последовательное деление. Сначала посмотрим, как работает этот способ с двумя числами, а затем применим его к трем и более.

Алгоритм Евклида заключается в следующем: если большее из двух чисел делится на меньшее — наименьшее число и будет их наибольшим общим делителем. Использовать метод Евклида можно легко по формуле нахождения наибольшего общего делителя.

Формула НОД: НОД (a, b) = НОД (b, с), где с — остаток от деления a на b.

Пример 1. Найти НОД для 24 и 8.

Так как 24 делится на 8 и 8 тоже делится на 8, значит, 8 — общий делитель этих чисел. Этот делитель является наибольшим, потому что 8 не может делиться ни на какое число, большее его самого. Поэтому: НОД (24, 8) = 8.

В остальных случаях для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел нужно соблюдать такой порядок действий:

Пример 2. Найти наибольший общий делитель чисел 140 и 96:

Последний делитель равен 4 — это значит: НОД (140, 96) = 4.

Ответ: НОД (140, 96) = 4

Пошаговое деление можно записать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трех и более чисел, делаем в такой последовательности:

Знакомство с темой наибольшего общего делителя начинается в 5 классе с теории и закрепляется в 6 классе на практике. В этой статье мы узнали все основные определения, свойства и их доказательства, а также как найти НОД.

Источник

Наибольший общий делитель (НОД): определение, примеры и свойства

Что такое общие делители

Чтобы понять, что из себя представляет наибольший общий делитель, сначала сформулируем, что вообще такое общий делитель для целых чисел.

В статье о кратных и делителях мы говорили, что у целого числа всегда есть несколько делителей. Здесь же нас интересуют делители сразу некоторого количества целых чисел, особенно общие (одинаковые) для всех. Запишем основное определение.

Общим делителем нескольких целых чисел будет такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества.

Зная свойства делимости, мы можем утверждать, что любое целое число можно разделить на единицу и минус единицу, значит, у любого набора целых чисел уже будет как минимум два общих делителя.

Что такое наибольший общий делитель (НОД)

Переходим к формулировке основного определения.

Наибольшим общим делителем нескольких чисел является самое большое целое число, которое делит все эти числа.

Для трех и более чисел определение наибольшего общего делителя будет почти таким же.

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Проверить правильность данного утверждения можно с помощью записи всех делителей этих чисел и последующего выбора наибольшего из них.

На практике часто встречаются случаи, когда наибольший общий делитель равен одному из чисел. Это происходит тогда, когда на данное число можно разделить все остальные числа (в первом пункте статьи мы привели доказательство этого утверждения).

Основные свойства НОД и алгоритм Евклида

У наибольшего общего делителя есть некоторые характерные свойства. Сформулируем их в виде теорем и докажем каждое из них.

Отметим, что данные свойства сформулированы для целых чисел больше нуля, а делители мы рассмотрим только положительные.

Данное свойство следует из самого определения НОД и не нуждается в доказательствах.

Докажем это утверждение.

Следующее свойство получило название алгоритма Евклида. С его помощью можно вычислить наибольший общий делитель двух чисел, а также доказать другие свойства НОД.

Рассмотрев данное свойство, заключаем, что множество общих делителей a и b аналогично множеству делителей НОД этих чисел. Это утверждение, которое является следствием из алгоритма Евклида, позволит нам вычислить все общие делители двух заданных чисел.

Перейдем к другим свойствам.

Докажем данное свойство. Запишем последовательность равенств по алгоритму Евклида:

Это все, что мы хотели бы рассказать о свойствах наибольшего общего делителя.

Источник

Нахождение НОД по алгоритму Евклида и с помощью разложения на простые множители

Рассмотрим два основных метода нахождения НОД двумя основными способами: с использованием алгоритма Евклида и путем разложения на простые множители. Применим оба метода для двух, трех и большего количества чисел.

Алгоритм Евклида для нахождения НОД

Алгоритм Евклида позволяет с легкостью вычислить наибольший общий делитель для двух положительных чисел. Формулировки и доказательство алгоритма Евклида мы привели в разделе «Наибольший общий делитель: определитель, примеры».

Суть алгоритма заключается в том, чтобы последовательно проводить деление с остатком, в ходе которого получается ряд равенств вида:

Решение

Решение

Решение

Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители

Для того, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел методом разложения на множители, необходимо перемножить все простые множители, которые получаются при разложении этих двух чисел и являются для них общими.

Решение

Найдем все простые множители чисел 72 и 96 :

72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3

96 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 2 3

Нахождение НОД трех и большего количества чисел

Решение

А теперь давайте рассмотрим еще один способ вычисления НОД для тех и большего количества чисел. Мы можем найти НОД, перемножив все общие простые множители чисел.

Решение

Нахождение НОД отрицательных чисел

Если нам приходится иметь дело с отрицательными числами, то для нахождения наибольшего общего делителя мы можем воспользоваться модулями этих чисел. Мы можем так поступить, зная свойство чисел с противоположными знаками: числа n и — n имеют одинаковые делители.

Решение

Решение

Источник

Мерзляк 6 класс — § 5. Наибольший общий делитель

Вопросы к параграфу

1. Какое число называют наибольшим общим делителем двух чисел?

Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое нацело делятся оба этих числа.

2. Как можно найти НОД двух натуральных чисел, используя их разложения на простые множители?

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) надо:

Полученное число и будет НОД двух данных чисел.

Например найдём наибольший общий множитель для чисел 18 и 24, используя данное правило:

1. Разложим оба числа на простые множители и записать их в виде произведения степеней.

2. Определим степени, основания которых являются одинаковыми в обоих произведениях (соответствующие одинаковые основания степеней подчёркнуты линиями зелёного и фиолетового цвета).

3. Выберем из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями степень с меньшим показателем.

4. Перемножить выбранные степени.

Значит набольший общий делитель чисел 18 и 24 равен 6.

Ответ: НОД (18, 24) = 6

3. Какие числа называют взаимно простыми?

Взаимно простые — это числа, у которых наибольший общий делитель равен 1.

4. Чему равен наибольший общий делитель двух чисел, одно из которых кратно другому?

Если одно из чисел кратно другому, то наибольшим общим делителем будет меньшее из этих чисел.

Решаем устно

1. Какие из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 14, 15, 17, 31, 32, 33 являются простыми, а какие — составными?

4, 6, 10, 14, 15, 32, 33.

2. Назовите все простые значения х, при которых будет верным неравенство 40 41, 43, 47, 49.

3. Назовите все составные значения у, при которых будет верным неравенство 15 19, 18, 20, 21, 22, 24.

4. Какие одинаковые цифры надо поставить вместо звёздочек, чтобы было верным равенство 2,* + 4,* = 7,6?

Надо поставить цифры 8, так как 2, 8 + 4, 8 = 7,6.

5. Является ли данное разложение на множители разложением на простые множители:

1) 120 = 2 • 3 • 4 • 5

Нет, так как разложение на простые множители записывается в виде степеней, основаниями у которых являются простые числа, а число 4 — составное число.

2) 567 = 7 • 9

Нет, так как разложение на простые множители записывается в виде степеней, основаниями у которых являются простые числа, а число 9 — составное число.

3) 180 = 3 • 6 • 10

Нет, так как разложение на простые множители записывается в виде степеней, основаниями у которых являются простые числа, а числа 6 и 10 — составные.

6. Сколько всего делителей у числа а, если а = 3 • 5 • 19?

Делителями числа являются все возможные произведения его простых делителей, а также единицы:

Ответ: у этого числа всего 7 делителей.

Упражнения

138. Найдите наибольший общий делитель чисел:

139. Найдите наибольший общий делитель чисел:

140. Найдите наибольший общий делитель чисел а и b:

1) а = 2 • 2 • 3 • 5 • 7 • 19 и b = 2 • 3 • 3 • 7 • 11 • 13;

НОД(a, b) = 2 • 3 • 7 = 42

2) и

НОД(a, b) = 2² • 3² • 11² • 19 = 4 • 9 • 121 • 19 = 82 764

141. Найдите наибольший общий делитель чисел:

142. Найдите наибольший общий делитель чисел:

143. Среди данных пар чисел выберите пары взаимно простых чисел. Для пар чисел, не являющихся взаимно простыми, укажите наибольший общий делитель.

144. Составьте все пары взаимно простых чисел из чисел 12, 14, 33, 25.

Разложим числа на простые множители:

Взаимно простыми называются числа, у которых наибольший общий множитель равен 1. Значит взаимно простыми будут следующие пары чисел:

145. Составьте все пары взаимно простых чисел из чисел 15, 16, 21, 77.

Разложим числа на простые множители:

Взаимно простыми называются числа, у которых наибольший общий множитель равен 1. Значит взаимно простыми будут следующие пары чисел:

146. Запишите все правильные дроби со знаменателем 15, у которых числитель и знаменатель — взаимно простые числа.

147. Запишите все неправильные дроби с числителем 16, у которых числитель и знаменатель — взаимно простые числа.

148. Докажите, что:

1) числа 364 и 495 — взаимно простые

Числа 364 и 495 не имеют общих множителей, больших 1.

2) числа 380 и 399 не являются взаимно простыми

Числа 380 и 399 имеют общий множитель больший, чем 1. Это число 19. Значит они не являются взаимно простыми числами.

149. Докажите, что:

1) числа 945 и 572 — взаимно простые

Числа 945 и 572 не имеют общих множителей, больших 1.

2) числа 1 095 и 738 не являются взаимно простыми

Числа 1 095 и 738 имеют общий множитель больший, чем 1. Это число 3. Значит они не являются взаимно простыми числами.

150. Используя цифры 2, 3, 4, запишите все возможные двузначные числа (цифры в каждом двузначном числе должны быть различными). Из полученных чисел выпишите пары взаимно простых чисел.

Из цифр 2, 3, 4 можно записать двузначные числа (если цифры ы каждом различны):

Из них взаимно простыми будут пары чисел:

Так как 223 и 43 — простые числа, а остальные числа чётные — значит между собой не могут быть взаимно простыми.

151. Напишите три нары составных чисел такие, что в парах числа являются взаимно простыми.

Например, такими числами могут быть:

152. Между учениками 6 класса поделили поровну 155 тетрадей и 62 ручки. Сколько в этом классе учеников?

Разложим числа 155 и 62 на простые множители:

Наибольший общий делитель для этих чисел равен 31: НОД (155, 62) = 31.

Значит в классе 31 ученик.

153. На автомобили погрузили 96 контейнеров с картофелем и 64 контейнера с капустой. Сколько было автомобилей, если известно, что их не меньше 20 и на всех автомобилях было одинаковое количество контейнеров с картофелем и одинаковое количество контейнеров с капустой?

1) Найдём все общие делители для чисел 96 и 64:

2) Значит общими делителями для чисел 96 и 64 могут быть числа:

3) Из чисел 2, 4, 8, 16 и 32 только число 32 > 20. Значит всего могло быть только 32 автомобиля.

Ответ: 32 автомобиля.

154. Между школьными библиотеками разделили 92 толковых и 138 орфографических словарей русского языка. Сколько было школ, если известно, что их не менее 25 и все школы получили одинаковые комплекты, состоящие из словарей двух видов?

1) Найдём все общие делители для чисел 92 и 138:

2) Значит общими делителями для чисел 92 и 138 могут быть числа:

3) Из чисел 2, 23 и 46 только число 46 > 25. Значит всего могло быть только 46 школ.

155. Для новогодних подарков приобрели 96 шоколадок, 72 апельсина и 84 банана. Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно из них составить, если необходимо использовать все продукты? Сколько в отдельности шоколадок, апельсинов и бананов будет в каждом подарке?

1) Найдём наибольший общий делитель (НОД) для чисел 96, 72 и 84:

Значит наибольшее количество подарков, которые можно сформировать из всех продуктов, будет 12 штук.

2) Посчитаем, сколько шоколадок, апельсинов и бананов будет в каждом подарке:

Ответ: Всего получиться 12 подарков, в каждом подарке будет по: 8 шоколадок, 6 апельсинов и 7 бананов.

156. Из 156 жёлтых, 234 белых и 390 красных роз составляли букеты. Какое наибольшее количество одинаковых букетов можно составить, если необходимо использовать все цветы?

Найдём наибольший общий делитель (НОД) для чисел 156, 234 и 390:

Значит наибольшее количество букетов, которые можно составить, если необходимо использовать все цветы — 78 штук.

Упражнения для повторения

157. Используя цифры 2, 5 и 9 (цифры не могут повторяться), запишите трехзначное число, которое:

1) кратно 2

952 или 892 — чтобы число было кратно 2, на конце должна быть чётная цифра.

2) кратно 5

295 или 925 — чтобы число было кратно 5, а конце должна быть цифра 5 или 0, но среди заданных цифр нуля нет.

Можно ли с помощью этих цифр записать число, кратное 3

Чтобы число делилось на 3 надо, чтобы сумма его цифр делилась на 3.

2 + 5 + 9 = 7 + 9 = 16 — не делится на 3, значит ни одно трёхзначное число, составленное из этих цифр, не будет делится на 3.

158. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 1*8, чтобы полученное число делилось нацело на 18?

Чтобы число делилось на 18 надо, чтобы число было чётным и сумма его цифр делилась на 9. Проверим последовательно все возможные варианты цифр на месте звёздочки:

Ответ: вместо звездочки можно поставить цифру 0 или 9.

159. Запишите число 19 в виде суммы трёх простых чисел.

160. Если к некоторому двузначному числу справа дописать нуль, то данное число увеличится на 432. Найдите это число.

Пусть х — искомое двузначное число, тогда 10х — число, которое получиться из искомого, если справа к нему дописать нуль. Мы знаем, что 10х на 432 больше, чем х. Можем составить уравнение:

Значит искомое число равно 48.

161. Найдите числа, которых недостаёт в цепочке вычислений:

Составим уравнения и решим их:

Ответ: a = 0,05; b = 0,34; c = 0,04.

Составим уравнения и решим их:

Ответ: a = 1,5; x = 0,4; y = 0,05.

Задача от мудрой совы

162. Барон Мюнхгаузен рассказывал, что он разрезал арбуз на четыре части, а после того, как его съели, осталось пять корок. Может ли такое быть, если корки не ломать?

Да, это возможно. Для того, чтобы разрезать арбуз на 4 части, а потом получить 5 корок, надо:

Источник