Что такое общий множитель числителя и знаменателя

Приведение дроби к наименьшему общему знаменателю: правило, примеры решений

В данной статье рассказывается, как привести дроби к общему знаменателю и как найти наименьший общий знаменатель. Приведены определения, дано правило приведения дробей к общему знаменателю и рассмотрены практические примеры.

Что такое приведение дроби к общему знаменателю?

Если же дроби имеют разные знаменатели, то их всегда можно привести к общему знаменателю при помощи нехитрых действий. Чтобы сделать это, нужно числитель и знаменатель умножить на определенные дополнительные множители.

Приведение дробей к общему знаменателю

Общий знаменатель: определение, примеры

Что такое общий знаменатель?

Другими словами, общим знаменателем какого-то набора дробей будет такое натуральное число, которое без остатка делится на все знаменатели этих дробей.

Ряд натуральных чисел бесконечен, и поэтому, согласно определению, каждый набор обыкновенных дробей имеет бесконечное множество общих знаменателей. Иначе говоря, существует бесконечно много общих кратных для всех знаменателей исходного набора дробей.

Пример 1. Общий знаменатель

Значит, 150 не является общим знаменателем указанных дробей.

Наименьший общий знаменатель

Наименьшее натуральное число из множества общих знаменателей какого-то набора дробей называется наименьшим общим знаменателем.

Наименьший общий знаменатель

Как найти наименьший общий знаменатель? Его нахождение сводится к нахождению наименьшего общего кратного дробей. Обратимся к примеру:

Пример 2. Найти наименьший общий знаменатель

Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю

Существует правило, которое объясняет, как привести дроби к общему знаменателю. Правило состоит из трех пунктов.

Правило приведения дробей к общему знаменателю

Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере.

Пример 3. Приведение дробей к общему знаменателю

По правилу, сначала найдем НОК знаменателей дробей.

Умножаем числитель и знаменатель дробей на дополнительные множители и получаем:

Приведение нескольких дробей к наименьшему общему знаменателю

По рассмотренному правилу к общему знаменателю можно приводить не только пары дробей, но и большее их количество.

Приведем еще один пример.

Пример 4. Приведение дробей к общему знаменателю

Вычислим НОК знаменателей. Находим НОК трех и большего количества чисел:

Далее вычислим дополнительные множители для каждой дроби.

Умножаем дроби на дополнительные множители и переходим к наименьшему общему знаменателю:

3 2 · 36 = 108 72 5 6 · 12 = 60 72 3 8 · 9 = 27 72 17 18 · 4 = 68 72

Источник

Как сокращать алгебраические дроби?

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение

Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и/или знаменателе которой стоят алгебраические выражения (буквенные множители). Вот так:

Алгебраическая дробь содержит буквенные множители и степени.

Необыкновенной алгебраическую дробь делают буквы. Если заменить их на цифры, то карета превратится в тыкву — алгебраическая дробь тут же станет обыкновенной.

Если вы засомневались, что должно быть сверху — числитель или знаменатель — переходите по ссылке и освежите знания по теме обыкновенных дробей.

Сокращение алгебраических дробей

Сократить алгебраическую дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Общий множитель числителя и знаменателя в алгебраической дроби — многочлен и одночлен.

Если в 7 классе только и разговоров, что об обыкновенных дробях, то 8 класс сокращает исключительно алгебраические дроби.

Сокращение дробей с буквами и степенями проходит в три этапа:

Для сокращения степеней в дробях применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

Пример сокращения дроби со степенями и буквами:

Получаем сокращенную дробь.

Запоминаем: сокращать можно только одинаковые буквенные множители. Иными словами, сокращать можно только дроби с одинаковыми буквами.

❌ Так нельзя	✅ Так можно

Примеры сокращения алгебраических дробей с одночленами:

Пример сокращения №1.

Получаем сокращенную алгебраическую дробь.

Пример сокращения №2.

Получаем сокращенную дробь.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Сокращение алгебраических дробей с многочленами

Чтобы верно сократить алгебраическую дробь с многочленами, придерживайтесь двух главных правил:

Запомните: многочлены в алгебраической дроби находятся в скобках. Между этими скобками вклиниться может только знак умножения. Всем остальным знакам там делать нечего.

Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами:

Последовательно сокращаем: сначала x, затем (x+c), далее сокращаем дробь на 6 (общий множитель).

Сокращаем многочлены a+b (в дроби их 3). Многочлен в числителе стоит в квадрате, поэтому мысленно оставляем его при сокращении.

Вынесение общего множителя при сокращении дробей

При сокращении алгебраических дробей иногда не хватает одинаковых многочленов. Для того, чтобы они появились, вынесите общий множитель за скобки.

Чтобы легко и непринужденно выносить множитель за скобки, пошагово выполняйте 4 правила:

Алгебра не терпит неточность. Всегда проверяйте, верно ли вынесен множитель за скобки — сделать это можно по правилу умножения многочлена на одночлен.

Пример 1.

Пример 2.

Как решаем: выносим общий множитель a за скобки и сокращаем оставшиеся в скобках многочлены.

Сокращение дробей. Формулы сокращенного умножения

Перед формулами сокращенного умножения не устоит ни одна дробь — даже алгебраическая.

Чтобы легко ориентироваться в формулах сокращенного умножения, сохраняйте и заучивайте таблицу. Формулы подскажут вам, как решать алгебраические дроби.

Примеры сокращения дробей с помощью формул сокращенного умножения:

Чтобы раскрыть тему сокращения алгебраических дробей и полностью погрузиться в мир числителей и знаменателей, решите следующие примеры для самопроверки.

Примеры сокращения дробей за 7 и 8 классы

Тема сокращения алгебраических дробей достаточно обширна, и требует к себе особого внимания. Чтобы знания задержалась в голове хотя бы до ЕГЭ, сохраните себе памятку по сокращению дробей. Этот алгоритм поможет не растеряться при встрече с алгебраическими дробями лицом к лицу.

Источник

как найти общий знаменатель

Как найти общий знаменатель, что такое общий знаменатель и конечно же нахождение общего знаменателя онлайн на нашем калькуляторе. И если вам требуется наименьший общий знаменатель, то он тут.

Находим общий знаменатель

Что такое общий знаменатель?

Количество чисел, которые могут быть общим знаменателем стремится к бесконечности, но обычно общим знаменателем принимают НОЗ

Пример общего знаменателя :

Т.е. 6 делится на 2 без остатка 6 : 2 = 3, и 6 делится на 3 без остатка 6 : 3 = 2.

А вторую дробь нужно умножить на 2, чтобы привести и её к общему знаменатель 6, 1*2/3*2 = 2/6.

Когда мы нашли «общий знаменатель» мы смогли выполнить необходимое действие с дробями.

В каком случае ноз двух дробей будет являться произведением знаменателей?

Когда ноз двух дробей равен произведению знаменателей?

Как минимум, когда знаменатели будут простыми числами, т.е. в качестве примера, это выше приведенные дроби со знаменателями 2 и 3. Эти числа являются простыми, т.е. делятся на себя и на 1.

И общий знаменатель двух чисел 2 и 3 будет равен произведению 2 * 3 = 6.

Формула общего знаменателя

Как вы знаете. что если умножить и числитель и знаменатель на одно число, то результат дроби не изменится! Поэтому мы можем вывести формулу общего знаменателя буквами :

Первую дробь умножаем на знаменатель второй дроби.

А вторую дробь умножаем на знаменатель первой дроби

Нахождение общего знаменателя с помощью нок.

Если вы не сходили по ссылке, то давайте вкратце попробуем разобраться в формуле подбора общего знаменателя.

Пример нахождения общего знаменателя методом разложения на множители

Этот способ может называться как «нахождение общего знаменателя методом разложения на множители»

Либо «метод нахождения наименьшего общего знаменателя» или просто «НОЗ»

Рассмотрим два знаменателя 8 и 6, к примеру это могут быть две дроби 1/8 и 1/6 и нам нужно найти их общий знаменатель.

Ниже раскладываем меньший знаменатель :

Далее нам нужно исключить все множители, которые повторяются в меньшем знаменателе. это 2 и у нас остается 3. далее эту тройку надо умножить на больший знаменатель :

Итого получаем общий знаменатель = 24.

Пример номер 2 подбора общего знаменателя

Чтобы у вас не возникало сомнений, давайте разберем второй пример подбора общего знаменателя, пусть это будут 4 и 10.

Берем больший знаменатель раскладываем его на множители :

Раскладываем меньший знаменатель :

Итого получаем общий знаменатель 20, двух чисел 4 и 10.

Как найти общий знаменатель дробей онлайн

У нас есть калькулятор, который в том числе умеет находить общий знаменатель дробей онлайн!

Прежде чем приступать к поиску общего знаменателя, давайте найдем общий знаменатель для двух знаменателей, а потом проверим данное решение на калькуляторе.

Пусть это будут два знаменателя 20 и 6.

Раскладываем больший знаменатель на множители :

Раскладываем на множители второй знаменатель :

Исключаем повторяющиеся множители во втором знаменателе и у нас остается одна двойка.

Умножаем больший знаменатель на 2 :

Итого получаем их общий знаменатель 40.

Переходим к нахождению общего знаменателя онлайн

Вводим первый знаменатель 20.

Набираем второй знаменатель 8.

Получаем результат нахождения общего знаменателя онлайн :

Далее вы можете сравнить два результата нахождения общего знаменателя.

Что такое наименьший общий знаменатель?

Разница между «общим знаменателем«(1) и «наименьшим общим знаменателем«(2) в том, что первое может быть бесконечное количество. а второе «НОЗ», только один!

Но, что же такое «наименьший общий знаменатель»

Определение, что же такое «наименьший общий знаменатель»

Формула наименьшего общего кратного

Для нахождения «наименьшего общего знаменателя» двух знаменателей, нужно эти два знаменателя разложить на множители. Больший знаменатель записываем в первую строчку, второй знаменатель раскладываем на множители и записываем во вторую строчку.
Сравниваем две строки и удаляем из второй все цифры, которые повторяются в первой строчке.
То число(если больше 1, то перемножаем между собой) умножаем на большее число.

Для понимания формулы наименьшего общего кратного нам нужен пример!

Предположим, что у нас есть два знаменателя 10 и 6 и нужно найти наименьший общий знаменатель :

Разложим больший знаменатель на множители :

Разложим второй знаменатель на множители :

Теперь, нам нужно исключить повторяющеюся цифру 2 из второй строчки, остается цифра 3.

Умножаем больший знаменатель на 3.

Итого получаем, что наименьший общий знаменатель двух знаменателей 10 и 5 равно 30.

Как найти наименьший общий знаменатель на калькуляторе

Для понимания процесса получения наименьшего общего знаменателя на калькуляторе нам потребуются два знаменателя, например 18 и 12 из дробей 1/18 и 1/12

Прежде чем приступать к нахождению «нок» двух чисел на калькуляторе, давайте найдем наименьшее общее кратное, как мы делали это выше :

Раскладываем большее число на множители :

Раскладываем меньшее число на множители :

Умножаем большее число на 2.

Итого получаем, что наименьшее общее кратное двух чисел 18 и 12 = 36.

Теперь проверим правильность нахождения «нок» на калькуляторе.

Набираем первое число – пусть это будет число 12

Нажимаем «нок» на калькуляторе – для этого есть специальная кнопка.

После нажатия на кнопку нок – нам нужно добавить втрое число –пусть это будет 18.

И нам отсеется нажать кнопку равно!

И видим результат нахождения наименьшего общего кратного на калькуляторе…

Как найти общий знаменатель трех дробей

Для того чтобы найти общий знаменатель сразу трех дробей нужно подряд найти нок между этими тремя знаменателями!

Задача/пример найдите общий знаменатель для трех дробей.

У нас даны три дроби и у них у всех три разных знаменателя :

Для такой простой задачи можно в уме посчитать. перебором. а потом подтвердим наше решение через «НОК».

Найдем общий знаменатель для трех дробей на калькуляторе через НОК.

Получаем общий знаменатель для трех дробей посчитанный онлайн на калькуляторе.

Как найти общий знаменатель дробей с разными знаменателями

Вариант разложения знаменателей на множители.

Вариант нахождения общего знаменателя с помощью НОК и т.д

Источник

Сокращение обыкновенных дробей

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Что такое «сокращение дробей»

Математика любит точность и краткость: лохматыми громоздкими числами ее расположение не заслужить. Поэтому, следуя негласному правилу, сокращайте все, что можно сократить.

Сократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на их общий делитель. Общий делитель должен быть положительным и не равен нулю и единице.

В результате сокращения вы получаете новую дробь, равную исходной дроби. Такие дроби равны по основному свойству:

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число — получится дробь, равная данной.

С основным свойством дроби знакомятся в 5 классе, но встречаться оно будет до самого окончания школы. Поэтому запоминаем, как выглядит основное свойство дроби в виде буквенных выражений:

=

=

где a, b, m — натуральные числа.

Графически сокращение дробей обычно записывается вот так:

Числитель и знаменатель зачеркиваются черточками. В этом примере числитель — 8, знаменатель — 36. Справа над ними записывают результаты деления числителя и знаменателя на их общий делитель. Общий делить 8 и 36 — 4. Это число не нужно записывать.

Больше наглядных примеров и понятных объяснений — на курсах обучения математике в онлайн-школе Skysmart.

Пример 1. Сократим обыкновенную дробь

Разделим числитель и знаменатель на общий делитель 3.

= =

Сокращение выполнено: =

Пример 2. Сократим обыкновенную дробь

Разделим числитель и знаменатель на общий делитель 2.

= =

Сокращение выполнено: =

Приведение дробей к несократимому виду

Смысл сокращения дробей в том, чтобы в результате сокращения в числителе и знаменателе оказались наименьшие из возможных чисел.

Так, в результате сокращения в примере 2, мы из дроби получили дробь

Выходит, что дробь выдержит еще одно сокращение и придет к виду

Сокращая дробь, стремитесь в итоге получить несократимую дробь.

Разделите числитель и знаменатель дроби на их НОД (наибольший общий делитель). Так вы приведете дробь к несократимому виду.

— несократимая дробь, так как по свойствам НОД мы знаем, что:

a : НОД(a, b) и b : НОД(a, b) — взаимно простые числа.

Два целых числа a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице, НОД(a, b) = 1.

Пример 3. Приведите обыкновенную дробь к несократимому виду

Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 12

Найдем частное: 12 : 12 = 1

= =

Сокращение выполнено: =

Пример 4. Приведите обыкновенную дробь к несократимому виду

Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 5

Найдем частное: 15 : 5 = 3

= =

Сокращение выполнено: =

Правило сокращения дробей

Чтобы без труда сокращать любую обыкновенную дробь, запомните правило.

Выполняйте сокращение дробей по следующему алгоритму:

В 6 классе каждая вторая задачка — с дробями. Чтобы легко управляться с ними и уметь сокращать любые числа, нужно хорошо потренироваться. Давайте разберем еще несколько примеров сокращения обыкновенных дробей.

Чтобы легко сокращать дроби, нужно уметь быстро находить НОД числителя и знаменателя. Для этого неплохо бы знать таблицу умножения и уметь раскладывать числа на простые множители.

Чтобы найти НОД числителя и знаменателя, разложим числа на простые множители.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
84 = 2 * 2 * 3 * 7

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 = 12.
НОД 36 и 84 = 12.

Пример 5. Сократите дробь

Разложим числа в числителе и знаменателе на множители.
135 = 9 * 3 * 5
180 = 9 * 2 * 2 * 5

Мысленно убираем все общие множители и перемножаем оставшиеся.

= =

Сокращение выполнено: =

Пример 6. Сократите обыкновенную дробь

Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 9

= =

Сокращение выполнено: =

Дробь можно сократить, последовательно сокращая числитель и знаменатель на общий делитель. Такой способ подходит, если в числителе и знаменателе стоят крупные числа, и вы не уверены в подобранном НОД.

Пример 6. Сократите дробь:

= = =

Сокращение выполнено: =

Пример 7. Сократите дробь

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

168 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7

240 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 2 * 3 = 24

НОД 168 и 240 равен 24

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 168 : 24 = 7

= =

Сокращение выполнено: =

Пример 8. Сократите дробь

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

360 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5

540 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 5

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 180

НОД 360 и 540 равен 180

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 360 : 180 = 2

= =

Сокращение выполнено: =

Пример 8. Сократите дробь

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

420 = 2 * 2 * 3 * 5 * 7

2520 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 * 5 * 7 = 420

НОД 420 и 2520 равен 420

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 420 : 420 = 1

= =

Сокращение выполнено. Дробь приведена к несократимому виду: =

Пример 9. Сократите дробь

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

1575 = 3 * 3 * 5 * 5 * 7

3450 = 2 * 3 * 5 * 5 * 23

Перемножаем все общие множители между собой 3 * 5 * 5 = 75

НОД 1575 и 3450 равен 72

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 1575 : 75 = 21

= =

Сокращение выполнено. Дробь приведена к несократимому виду: =

Иногда разложение на простые множители занимает немало времени, особенно если раскладываемые числа большие, как в двух предыдущих примерах. Чтобы быстро разложить любое число на простые множители, можно обратиться к онлайн-калькулятору — в интернете их много. Воспользуйтесь одним из них.

Если времени совсем не хватает — можно использовать онлайн-калькулятор и для нахождения НОД. Однако не стоит постоянно прибегать к калькулятору для решения задач, пока вы не научитесь уверенно и быстро вычислять сами.

Источник