Что такое общий множитель в математике
Вынесение общего множителя за скобки
5 класс, 6 класс, 7 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие вынесения множителя за скобки
Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, которое равно данному многочлену.
Есть несколько способов разложения многочлена на множители. Один из них — вынесение общего множителя за скобки.
Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, которые представляют из себя суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один одинаковый для всех множитель. Он так и называется — общий множитель.
Вынесение общего множителя за скобки — это преобразование многочлена в произведение с помощью распределительного свойства умножения. Только в случае вынесения множителя за скобки это свойство применяется справа налево.
Формула вынесения общего множителя за скобки:
Покажем метод вынесения общего множителя за скобки на примере с цифрами:
Определение общего множителя для всех членов многочлена производится пошагово:
Если нам дано произведение 6 * 2 и 6 * 5, то мы можем вынести за скобки общий множитель 5. В чем состоит данное преобразование? Мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, которое содержит сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.
Итак, вынесем общий множитель 5 в 6 * 2 и 6 * 5 и получим 6 * (2 + 5).
Итоговое выражение — это произведение общего множителя 6 на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без 6.
Так и получается: 6 * 2 + 6 * 5 = 6 * (2 + 5).
Правило вынесения общего множителя за скобки
Основное правило вынесения общего множителя за скобки
Чтобы вынести за скобки общий множитель, нужно записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.
Алгоритм вынесения общего множителя за скобки:
Важно! В скобках должно быть столько одночленов, сколько их было в многочлене.
Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так:
Определить сразу, какой множитель является общим, получается не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.
Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Вынесение минуса за скобки
Еще один случай, на котором следует обратить внимание — это вынесение за скобки минуса. Только мы выносим не сам знак, а минус единицу. Часто это помогает упростить выражение и сделать его проще.
Чтобы вынести минус за скобки, нужно записать перед скобками минус и в скобках записать все слагаемые с противоположными знаками:
Найдем решение для каждого выражения:
Поэтому между выражениями можно поставить знак равенства, потому что они равны одному и тому же значению:
Ставим минус и рядом в скобках записываем выражение с противоположным знаком у каждого слагаемого:
Как и в прошлом примере, здесь за скобки вынесен не минус, а минус единица.
Вынесение общего множителя за скобки
Основной принцип
Распределительный закон умножения позволяет умножить число на сумму (или сумму на число). Например, чтобы найти значение выражения 3 × (4 + 5) можно умножить число 3 на каждое слагаемое в скобках и сложить полученные результаты:
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15
Число 3 и выражение в скобках можно поменять местами (это следует из переместительного закона умножения). Тогда каждое слагаемое, которое в скобках, будет умножено на число 3
(4 + 5) × 3 = 4 × 3 + 5 × 3 = 12 + 15
Распределительный закон умножения иногда называют внесением множителя во внутрь скобок. В выражении 3 × (4 + 5) множитель 3 был за скобками. Умножив его на каждое слагаемое в скобках, мы по сути внесли его во внутрь скобок. Для наглядности можно так и записать, хоть и не принято так записывать:
3 (4 + 5) = ( 3 × 4 + 3 × 5)
Поскольку в выражении 3 × (4 + 5) число 3 умножается на каждое слагаемое в скобках, это число является общим множителем для слагаемых 4 и 5
3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Если вычислить обе части полученного равенства, то получим тождество:
3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Как происходит вынесение общего множителя за скобки
Вынесение общего множителя за скобки по сути является обратной операцией внесению общего множителя во внутрь скобок.
Если при внесении общего множителя внутрь скобок, мы умножаем этот множитель на каждое слагаемое в скобках, то при вынесении этого множителя обратно за скобки, мы должны разделить каждое слагаемое в скобках на этот множитель.
Теперь мы можем детально увидеть, как происходит вынесение общего множителя за скобки:
Видно, что общий множитель 3 сначала вынесен за скобки, затем в скобках происходит деление каждого слагаемого на этот общий множитель.
Деление каждого слагаемого на общий множитель можно выполнять не только разделяя числитель на знаменатель, как это было показано выше, но и сокращая эти дроби. В обоих случаях получится один и тот же результат:
Мы рассмотрели простейший пример вынесения общего множителя за скобки, чтобы понять основной принцип.
Но не всё так просто, как кажется на первый взгляд. После того, как число умножено на каждое слагаемое в скобках, полученные результаты складывают, и общий множитель пропадает из виду.
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15
Обычно при решении задач встречаются именно такие выражения, в которых общий множитель сначала нужно найти, прежде чем его выносить.
Чтобы в выражении 12 + 15 вынести общий множитель за скобки, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) слагаемых 12 и 15. Найденный НОД и будет общим множителем.
Итак, найдём НОД слагаемых 12 и 15. Напомним, что для нахождения НОД необходимо разложить исходные числа на простые множители, затем выписать первое разложение и убрать из него множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся множители нужно перемножить и получить искомый НОД. Если испытываете затруднения на этом моменте, обязательно повторите этот урок.
НОД слагаемых 12 и 15 это число 3. Данное число является общим множителем слагаемых 12 и 15. Его и нужно выносить за скобки. Для этого сначала записываем сам множитель 3 и рядом в скобках записываем новое выражение, в котором каждое слагаемое выражения 12 + 15 разделено на общий множитель 3
Ну и дальнейшее вычисление не составляет особого труда. Выражение в скобках легко вычисляется — двенадцать разделить на три будет четыре, а пятнадцать разделить на три будет пять:
В коротком решении пропускают запись в которой показано, как каждое слагаемое разделено на общий множитель:
Пример 2. Вынести общий множитель за скобки в выражении 15 + 20
Наибольший общий делитель слагаемых 15 и 20 это число 5. Данное число является общим множителем слагаемых 15 и 20. Его и вынесем за скобки:
Получили выражение 5(3 + 4).
Получившееся выражение 5(3 + 4) можно проверить. Для этого достаточно умножить пятёрку на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 15 + 20
Пример 3. Вынести общий множитель за скобки в выражении 18 + 24 + 36
Найдём НОД слагаемых 18, 24 и 36. Чтобы найти НОД нескольких чисел, нужно разложить эти числа на простые множители, затем найти произведение общих множителей:
НОД слагаемых 18, 24 и 36 это число 6. Данное число является общим множителем слагаемых 18, 24 и 36. Его и вынесем за скобки:
Проверим получившееся выражение. Для этого умножим число 6 на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 18 + 24 + 36
Пример 4. Вынести общий множитель за скобки в выражении 13 + 5
Слагаемые 13 и 5 являются простыми числами. Они раскладываются только на единицу и самих себя:
Это значит, что у слагаемых 13 и 5 нет общих множителей, кроме единицы. Соответственно, нет смысла выносить эту единицу за скобки, поскольку это ничего не даст. Покажем это:
Пример 5. Вынести общий множитель за скобки в выражении 195 + 156 + 260
Найдём НОД слагаемых 195, 156 и 260
НОД слагаемых 195, 156 и 260 это число 13. Данное число является общим множителем для слагаемых 195, 156 и 260. Его и вынесем за скобки:
Проверим получившееся выражение. Для этого умножим 13 на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 195 + 156 + 260
Выражение, в котором требуется вынести общий множитель за скобки, может быть не только суммой чисел, но и разностью. Например, вынесем общий множитель за скобки в выражении 16 − 12 − 4. Наибольшим общим делителем чисел 16, 12 и 4 это число 4. Данное число и вынесем за скобки:
Проверим получившееся выражение. Для этого умножим четвёрку на каждое число в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 16 − 12 − 4
Пример 6. Вынести общий множитель за скобки в выражении 72 + 96 − 120
Найдём НОД чисел 72, 96 и 120
НОД для 72, 96 и 120 это число 24. Данное число является общим множителем слагаемых 195, 156 и 260. Его и вынесем за скобки:
Проверим получившееся выражение. Для этого умножим 24 на каждое число в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 72+96−120
Общий множитель, выносимый за скобки, может быть и отрицательным. Например, вынесем общий множитель за скобки в выражении −6 − 3. Вынести общий множитель за скобки в таком выражении можно двумя способами. Рассмотрим каждый из них.
Способ 1.
Заменим вычитание сложением:
Теперь находим общий множитель. Общим множителем данного выражения будет наибольший общий делитель модулей слагаемых −6 и −3.
Модуль первого слагаемого это 6. А модуль второго слагаемого это 3. НОД(6 и 3) равен 3. Данное число является общим множителем слагаемых 6 и 3. Его и вынесем за скобки:
Выражение полученное таким способом получилось не очень аккуратным. Много скобок и отрицательных чисел не придают выражению простоту. Поэтому можно воспользоваться вторым способом, суть которого заключается в том, чтобы вынести за скобки не 3, а −3.
Способ 2.
Как и в прошлый раз заменяем вычитание сложением
В этот раз мы вынесем за скобки не 3, а −3
Выражение полученное в этот раз выглядит намного проще. Запишем решение покороче, чтобы сделать его ещё проще:
Разрешать выносить отрицательный множитель за скобки связано с тем, что разложение чисел −6 и (−3) можно записать двумя видами: сначала сделать множимое отрицательным, а множитель положительным:
во втором случае множимое можно сделать положительным, а множитель отрицательным:
А значит мы вольны выносить за скобки тот сомножитель, который захотим.
Пример 8. Вынести общий множитель за скобки в выражении −20 − 16 − 2
Заменим вычитание сложением
−20 − 16 − 2 = −20 + (−16) + (−2)
Наибольшим общим делителем слагаемых −20, −16 и −2 является число 2. Это число является общим множителем этих слагаемых. Посмотрим, как это выглядит:
Запишем приведенное решение покороче:
Пример 9. Вынести общий множитель за скобки в выражении −30 − 36 − 42
Заменим вычитание сложением:
Наибольшим общим делителем слагаемых −30, −36 и −42 это число 6. Данное число является общим множителем для этих слагаемых. Но за скобки мы вынесем не 6, а −6 поскольку числа −30, −36 и −42 можно представить так:
Вынесение минуса за скобки
При решении задач иногда может быть полезным вынесение минуса за скобки. Это позволяет упростить выражение и сделать его проще.
Рассмотрим следующий пример. Вынести минус за скобки в выражении −15 + (−5) + (−3)
Для наглядности заключим данное выражение в скобки, ведь речь идёт о том, чтобы вынести минус за эти скобки
Итак, чтобы вынести минус за скобки, нужно записать перед скобками минус и в скобках записать все слагаемые, но с противоположными знаками. Знаки операций (то есть плюсы) оставляем без изменений:
Поэтому между выражениями −15 + (−5) + (−3) и −(15 + 5 + 3) можно поставить знак равенства, потому что они равны одному и тому же значению:
−15 + (−5) + (−3) = −(15 + 5 + 3)
На самом деле при вынесении минуса за скобки опять же срабатывает распределительный закон умножения:
Если поменять местами левую и правую часть этого тождества, то получится, что сомножитель a вынесен за скобки
Тоже самое происходит, когда мы выносим общий множитель в других выражениях и когда выносим минус за скобки.
Очевидно, что при вынесении минуса за скобки, выносится не минус, а минус единица. Ранее мы говорили, что коэффициент 1 принято не записывать.
Поэтому и образуется перед скобками минус, а знаки слагаемых которые были в скобках меняют свой знак на противоположный, поскольку каждое слагаемое разделено на минус единицу.
Вернёмся к предыдущему примеру и детально увидим, как на самом деле выносился минус за скобки
Пример 2. Вынести минус за скобки в выражении −3 + 5 + 11
Ставим минус и рядом в скобках записываем выражение −3 + 5 + 11 с противоположным знаком у каждого слагаемого:
−3 + 5 + 11 = −(3 − 5 − 11)
Как и в прошлом примере, здесь за скобки вынесен не минус, а минус единица. Подробное решение выглядит следующим образом:
Вынесение общего множителя за скобки в буквенном выражении
Выносить общий множитель за скобки в буквенном выражении намного интереснее.
Как и в случае с числовым выражением, здесь происходит деление каждого слагаемого на вынесенный общий множитель. Выглядит это так:
Например, если вместо переменной a подставить число 4, то конструкция 
примет следующий вид: 
. Тогда четвёрки в обеих дробях можно будет сократить на 4:
Поэтому не следует пугаться при виде сокращения переменных. Переменная это полноправный множитель, пусть даже выраженный буквой. Такой множитель можно выносить за скобки, сокращать и выполнять другие действия, которые допустимы к обычным числам.
Буквенное выражение содержит не только числа, но и буквы (переменные). Поэтому общий множитель, который выносится за скобки часто бывает буквенным множителем, состоящим из числа и буквы (коэффициента и переменной). К примеру, следующие выражения являются буквенными множителями:
Прежде чем выносить такой множитель за скобки, нужно определиться, какое число будет в числовой части общего множителя и какая переменная будет в буквенной части общего множителя. Другими словами, нужно узнать какой коэффициент будет у общего множителя и какая переменная будет в него входить.
Проверим получившееся выражение. Для этого умножим 5a на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то получим выражение 10a + 15a
Буквенный множитель не всегда можно вынести за скобки. Иногда общий множитель состоит только из числа, поскольку ничего подходящего для буквенной части в выражении не находится.
Пример 2. Вынести общий множитель выражении 3x + 9y + 12
Коэффициентами данного выражения являются числа 3, 9 и 12, их НОД равен 3. Значит коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки, будет число 3. А среди буквенных сомножителей (переменных) нет общего множителя. Поэтому окончательный общий множитель это 3
Пример 3. Вынести общий множитель за скобки в выражении 8x + 6y + 4z + 10 + 2
Коэффициентами данного выражения являются числа 8, 6, 4, 10 и 2, их НОД равен 2. Значит коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки, будет число 2. А среди буквенных сомножителей нет общего множителя. Поэтому окончательный общий множитель это 2
Пример 4. Вынести общий множитель 6ab + 18ab + 3abc
Коэффициентами данного выражения являются числа 6, 18 и 3, их НОД равен 3. Значит коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки, будет число 3. В буквенную часть общего множителя будут входить переменные a и b, поскольку в выражении 6ab + 18ab + 3abc эти две переменные входят в каждое слагаемое. Поэтому окончательный общий множитель это 3ab
При подробном решении выражение становится громоздким и даже непонятным. В данном примере это более чем заметно. Это связано с тем, что мы сокращаем множители в числителе и в знаменателе. Лучше всего делать это в уме и сразу записывать результаты деления. Тогда выражение станет коротким и аккуратным:
Как и в случае с числовым выражением в буквенном выражении общий множитель может быть и отрицательным.
Для удобства заменим вычитание сложением
−3 a − 2 a = −3 a + (−2 a )
Пример 6. Вынести общий множитель за скобки в выражении −6x − 6y
Заменим вычитание сложением
Вынесем за скобки −6
Запишем решение покороче:
Пример 7. Вынести общий множитель за скобки в выражении −2a − 4b − 6c
Заменим вычитание сложением
Вынесем за скобки −2
Запишем решение покороче:
−2a − 4b − 6c = −2(a + 2b + 3c)
Вынесение общего множителя за скобки это очень важная тема. В данном уроке рассмотрены только азы и простейшие примеры. Мы ещё вернемся к этой теме, когда будем изучать многочлены.
Обязательно изучите данный урок, поскольку при изучении многочленов потребуется выносить за скобки сложный множитель, состоящий из степеней.