Что такое обыкновенная дробь 5 класс правило

Обыкновенные дроби

теория по математике 📈 числа и вычисления

Обыкновенная дробь – это запись числа в виде:

где число a называют числителем, а число b – знаменателем дроби.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь.

Пример №1. У первой дроби можно разделить числитель и знаменатель на одно и то же число 14, и получится равная ей дробь. Или как у второй дроби можно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, допустим, на 5.

Сократить дробь – значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же число.

Пример №2. Чтобы сократить данную дробь надо вспомнить признаки делимости и увидеть, что числитель и знаменатель дроби — четные числа, значит, их можно разделить на 2, то есть дробь сокращается на 2:

Пример №3. По признаку делимости числитель и знаменатель делятся на 5, значит, сокращается данная дробь на 5.

Сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями

При сложении (вычитании) обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями нужно знаменатель оставить тем же, а числители сложить (вычесть). Если дроби смешанные, то отдельно складывают (вычитают) целые части.

Решения можно записывать короче, выполняя устно сложение или вычитание целых частей, а также – числителей.

Вычитание обыкновенной дроби из целого числа

Чтобы вычесть дробь из единицы, нужно единицу представить в виде неправильной дроби, числитель и знаменатель которой равны знаменателю вычитаемой дроби.

Пример №5. Представляем единицу в виде дроби и получаем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями (числители можно вычесть устно).

Вычитание обыкновенной дроби из бóльшего числа

Чтобы вычесть обыкновенную дробь из числа, большего 1, необходимо представить эту дробь в виде смешанного числа, числитель и знаменатель которой равны также знаменателю вычитаемой дроби.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями требует предварительного приведения дробей к общему знаменателю. Существуют несколько приемов, которыми можно воспользоваться для нахождения общего знаменателя.

Нахождение общего знаменателя

Наименьшее общее кратное (НОК) – это наименьшее число, которое делится без остатка на данные знаменатели одновременно. Обычно его находят устно при выполнении действий с дробями.

Правило нахождения НОК рассмотрим на примере чисел 12 и 15. Пример №7. 1. Нужно разложить на простые множители каждое число:

2. Затем найти одинаковые множители (подчеркиваем):

В данном случае это только множитель 3.

3. Взять одно из данных чисел и домножить на оставшиеся (не подчеркнутые) множители другого числа:

12 домножаем на 5: 12×5=60, или

15 домножаем на 2 и 2: 15×2×2=60

Таким образом, НОК =60. Обычно достаточно просто внимательно посмотреть на числа и в уме подобрать для них НОК.

Перемножение знаменателей. Приём №2.

Нам необходимо просто перемножить знаменатели. Обычно этот прием используется тогда, когда даны простые числа (которые делятся на 1 и на само себя) и на множители их не разложить.

Пример №8.

Для нахождения общего знаменателя в первом случае: 17×19=323, во втором: перемножаем 11 и 13, получаем 143.

Последовательный подбор. Приём №3.

Данный способ можно применить для небольших чисел устно: возьмем больший из знаменателей, умножим его на 2 и проверим, делится ли это число на второй знаменатель. Если нет, то умножим последовательно на 3, 4 и проверим аналогично.

Пример №9. Возьмем число 51, умножим на 2, получим 102 — видим, что 102 делится на 34, поэтому 102 и будет общий знаменатель.

После того, как мы научились находить общий знаменатель, приступаем непосредственно к алгоритму сложения (или вычитания) обыкновенных дробей с разными знаменателями.

Находим общий знаменатель. Можно использовать прием, когда умножаем 11 и 14, так как 11 — простое число. Следовательно, общий знаменатель равен 154. Находим дополнительный множитель к каждому числителю:

Выполняем умножение в числителе: Выполняем сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

Умножение обыкновенных дробей

При умножении обыкновенных дробей получают дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей.

При умножении обыкновенной дроби и целого числа необходимо целое число представить в виде дроби, числитель которой равен этому числу, а знаменатель равен 1 (что по сути означает перемножение числителя единственной первой дроби и целого числа, знаменатель же остается от первой дроби, так не меняется при умножении на единицу).

Если даны смешанные дроби, то необходимо сначала смешанную дробь перевести в неправильную, а затем выполнить умножение.

Пример №11. Здесь числитель 3 умножили на числитель 7, знаменатель 5 на знаменатель 10.

Пример №12. Случай, когда мы находим произведение дроби и целого числа. Целое число представили в виде дроби со знаменателем 1.

Пример №13. Нам даны смешанные дроби, переводим их в неправильные для выполнения умножения.

Деление обыкновенных дробей

При делении обыкновенных дробей необходимо делимое (то есть первую дробь) умножить на перевернутую вторую дробь, то есть дробь, обратную второй.

Если даны смешанные числа, то перед выполнением деления их необходимо перевести в обыкновенные неправильные дроби.

Если дробь нужно разделить на целое число, то его сначала нужно представить в виде дроби, а затем выполнить деление по правилу.

Пример №14. Делимое умножаем на число, обратное делителю. Пример №15. Смешанные дроби сначала переводим в неправильные, а затем выполняем деление.

Пример №16. Деление дроби на целое число, где целое число 7 представлено в виде обыкновенной дроби.

Найдите значение выражения:

Упрощение заданного выражения нужно начать с преобразований в скобках. Здесь следует привести дроби к общему знаменателю:

теперь переходим от деления дробей к их умножению:

затем 1) сокращаем дроби на 5ab; 2) в числителе первой дроби раскладываем выражение, используя формулу сокращенного умножения для разности квадратов:

сокращаем выражение на (a–5b): Представим числовые значения для a и b в виде неправильных дробей (для удобства вычислений): Подставим полученные значения в выражение и найдем конечный результат: Ответ: 39

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите значение выражения при x = 12:

Выполним тождественные преобразования выражения, чтобы упростить его. 1-й шаг – переход от деления дробей к их умножению:

далее в знаменателе второй дроби сворачиваем выражение по формуле сокращенного умножения (используем ф-лу для квадрата суммы):

теперь сокращаем выражение (в числителе первой дроби и в знаменателе второй) и приходим к окончательно упрощенному виду:

Подставляем числовое значение для х в полученное выражение и находим результат:

Ответ: 0,6

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите значение выражения

В первую очередь в заданиях такого типа необходимо упростить выражение, а затем подставить числа. Приведем выражение к общему знаменателю — это b, для этого умножим первое слагаемое на b, после этого получим в числителе:

Приведем подобные слагаемые — это 9b² и — 9b², в числителе остается 5a. Запишем конечную дробь:

Вычислим её значение, подставив числа из условия:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите значение выражения:

Итак, в данном задании при вычитании дробей нам необходимо привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это 15 x y, для этого необходимо первую дробь домножить на 5 y — и числитель и знаменатель, естественно:

Далее, после того как дроби приведены к общему знаменателю, можно производить вычисления. Вычислим числитель:

5 y — (3 x + 5 y) = 5 y — 3 x — 5 y = — 3 x

Тогда дробь примет вид:

Выполнив простые сокращения числителя и знаменателя на 3 и на x, получим: — 1/5 y

Подставим значение y = 0,5: — 1 / (5 • 0,5) = — 1 / 2,5 = — 0,4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите значение выражения:

В данном случае, в отличие от первого, мы будем упрощать выражение вынося за скобки, а не раскрывая их.

Сразу можно заметить, что b присутствует у первой дроби в числителе, а у второй — в знаменателе, поэтому можем их сократить. Семь и четырнадцать тоже сокращаются на семь:

Далее выносим из числителя второй дроби a:

Подставляем значение a = 13:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Какое из данных ниже чисел является значением выражения?

Заметим, что в знаменателе присутствует разность (4 — √14), от которой нам необходимо избавиться. Как же это сделать?

Для этого вспоминаем формулу сокращенного умножения, а именно разность квадратов! Чтобы правильно её применить в этом задании необходимо помнить правила обращения с дробями. В данном случае вспоминаем, что дробь не изменяется, если числитель и знаменатель домножить на одно и то же число или выражение. Для разности квадратов нам не хватает выражения (4 + √14), значит, домножим на него числитель и знаменатель.

После этого в числителе получим 4 + √14, а в знаменателе разность квадратов: 4² — (√14)². После этого знаменатель легко вычисляется:

Суммарно наши действия выглядят так:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Аналогично предыдущим заданиям вычисляем знаменатель: для этого приводим дроби к общему знаменателю — это 84. Для этого первую дробь умножаем на 4, а вторую на 3, получим:

1/21 + 1/28 = 4/84 + 3/84

Итак, мы получили в знаменателе 7/84, теперь делим числитель на знаменатель — это все равно что умножить 1 на обратную 7/84 дробь:

1 / ( 7 / 84 ) = 1 •84/7 = 84/7

Далее остается поделить 84 на 7:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Можно решать задачу напрямую — вычисляя значения последовательно, это не должно составить труда, однако решение будет долгим и с большими вычислениями. Здесь можно заметить, что 1/3 присутствует как в уменьшаемом — 6 • (1/3)², так и в вычитаемом — 17 • 1/3, поэтому её можно легко вынести за скобку.

Проведя вычисления в скобках, получим:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

ОБЫКНОВЕННАЯ ДРОБЬ

Ключевые слова конспекта: дроби, обыкновенная дробь, правильные и неправильные дроби, основное свойство дроби, сравнение дробей, арифметические действия с дробями, нахождение части от целого и целого по его части.

Одна или несколько равных частей единицы называются обыкновенной дробью. Дробь 3/4 означает, что единицу разделили на 4 части и взяли 3 таких части.

Дробь можно рассматривать и как результат деления натуральных чисел. Частное от деления натуральных чисел а и b можно записать в виде дроби a/b — где делимое а — числитель, а делитель b — знаменатель.

Правильная и неправильная дробь

Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной, а дробь, где числитель больше или равен знаменателю, — неправильной.

Число, состоящее из целой и дробной частей, можно обратить в неправильную дробь. Для этого нужно умножить целую часть на знаменатель и к произведению прибавить числитель данной дроби. Полученная сумма будет числителем дроби, а знаменателем остается знаменатель дробной части.

Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть. Для этого нужно разделить с остатком числитель на знаменатель. Частное от деления — это целая часть, остаток — это числитель, делитель — это знаменатель.

Основное свойство дроби

Определение. Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной.

Основное свойство дроби используют при сокращении дробей. Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дробей.

Сравнение дробей

Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:

Арифметические действия с обыкновенными дробями

Сложение и вычитание дробей

При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель. Полученную дробь, если возможно, сокращают и выделяют целую часть.

При сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями нужно предварительно привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) полученные дроби, используя правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.

Особенно надо быть внимательным при сложении (вычитании) с участием смешанных чисел!

Общий случай сложения (вычитания) дробей.

Умножение дробей

Деление дробей

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1, то есть дроби вида a/b и b/a являются взаимно обратными. Например 1/3 и 3. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное к делителю.

При делении чисел, состоящих из целой и дробной части, нужно предварительно представить их в виде неправильной дроби.

Нахождение части от целого (дроби от числа)

Чтобы найти часть от целого, нужно число, соответствующее целому, разделить на знаменатель дроби, выражающей эту часть, и результат умножить на числитель той же дроби.

Задача нахождения части от целого по существу является задачей нахождения дроби от числа. Чтобы найти дробь (часть) от числа, необходимо число умножить на эту дробь.

Нахождение целого по его части (числа по его дроби)

Чтобы найти целое по его части, нужно число, соответствующее этой части, разделить на числитель дроби, выражающей эту часть, и результат умножить на знаменатель той же дроби.

Задача нахождения целого по его части по существу является задачей нахождения числа по его дроби. Чтобы найти число по его дроби, необходимо данное значение разделить на эту дробь.

Это конспект по теме «Обыкновенная дробь». Выберите дальнейшие действия:

Источник

Обыкновенные дроби простое объяснение для 5 класса: виды, сравнение, сложение, вычитание, умножение, деление.

Каждый школьник, перешагнув первую школьную ступеньку из начальной школы, начинает изучать новый для него материал — дроби. Не смотря на то, что на первый взгляд тема кажется не простой, на самом деле ничего сложного в ней нет, мы постарались ее объяснить доступным языком. Опытные педагоги рекомендуют объяснять ребенку тему дробей и в более раннем возрасте, так как, в повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с дроблением, делением предметов на доли — режем арбуз, торт, пиццу на определенное количество частей, каждая из которых будет частью целого, что и можно записать в виде дроби.

Обыкновенные дроби 5 класс объяснение темы

Если ваш ребенок не понимает тему дробей, очень важно объяснить ему так же, как объясняют в классе и учитывать требования учителя. Детям самим не так просто самостоятельно понять все действия с дробями, задача родителей помочь и привести примеры, которые встречаются каждый день в повседневной жизни. Дайте ребенку шоколадку и попросите отломить от нее часть: целая — это единица, половина — одна вторая, а если плитку разломить на три части, это будет одна треть.

Чтобы лучше понять что такое дробь, нужно запомнить, что это значит — дробить. Когда мы режем торт, каждый кусок будет частью целого торта или очищаем мандарин, каждая долька — это часть целого мандарина. В обоих случаях, это доли целого. Не сложно привести и другие примеры, каждый день мы что-то режем, отделяем.

Арбуз разрезали на 6 частей, каждая часть (доля), это одна шестая от целого плода.

На этой картинке два мандарина. В одном оказалось 6 долек, в другом — 9.

На картинке ниже наглядно видно, как прописываются дроби:

Вот еще пример, желтый круг разрезали на 2 части, это будет одна вторая доли (1/2), зеленый — на 3 (1/3), синий — на 4 (1/4).

Итак, что нужно знать ребенку о дробях?

Чем на меньшее число поделено что-то целое, тем долей больше, а если на большее число, значит они меньше.

Виды обыкновенных дробей

Доли в математике обозначают дробями, называются они — обыкновенные. Для записи используют горизонтальную (-) или наклонную черту (/), например:

Далее, нужно понять, сколько кусочков осталось: 6-2=4. Осталось 4 куска, в этом случае дробь выглядит так — 4/6 четыре шестых.

Обыкновенная дробь правильная неправильная

Еще дроби бывают правильными, например те, которые имеют такой вид — 2/8 и неправильными — 8/2 или 8/8. Возьмем неправильную дробь 41/5, читать ее следует так — восемь целых, одна пятая: 8 1/5. Это число называют смешанным, так как в нем отделяются целая часть и дробная. Другими словами мы наглядно видим сколько взяли целых тортов и сколько его частей. Чтобы ребенок осмысленно сокращал дроби, нужно показать ему это на практике и тогда он не будет ошибаться, сокращая дроби.

Для понимания: неправильная дробь трансформируется в целое число, сначала числитель делиться на знаменатель, в результате получается целое число (записывается, как целая часть) и остаток (записывается над чертой) в числитель. Знаменатель, при этом, не меняется.

К неправильным относят и те дроби, числитель и знаменатель которых, имеют одинаковое число, а при делении получается единица — 2/2, 3/3, 4/4 и т.д. Т.е., было взято столько кусков торта, на сколько его поделили.

Наглядно вы можете посмотреть на картинке:

Умножение и деление обыкновенных дробей

Для того, чтобы совершить действие умножения, нужно умножить числитель одной дроби на числитель другой и, соответственно, перемножить знаменатели. Что у нас получается? В результате вычисления (умножения) мы получаем дробь с числителем, который равен произведению числителей в дробях, и со знаменателем, равным произведению в дробях знаменателей.

Пример:

Умножается число 3 на число 7 (числители). Умножаются знаменатель 5 на знаменатель 10. Записать данное действие можно двумя способами, это вы видите на картинке.

Пример умножения целого числа и дроби:

Целое число (2) записывается в виде дроби (2/1), в которой знаменателем будет единица (1).

Если нужно произвести деление дробей, поступают следующим образом: умножают первую дробь на перевернутую вторую.

Для простоты восприятия воспользуемся правилом сокращения: делим делитель и знаменатель на одинаковое число, например, дробь 21/63 выглядит не очень хорошо для восприятия, гораздо понятнее будет так — 1/3.

Делим смешанные числа:

Сначала их нужно представить неправильными дробями, затем, разделить друг на друга, вот, что получилось:

Пример:

Обыкновенные дроби сложение вычитание

Правила сложения

Начнем с дробей, у которых одинаковые знаменатели, это самое простое вычисление — высчитывается сумма только числителей — тех чисел, которые находятся над черточкой.

Например:

Можно записать и так:

Немного сложней выполнить действие сложения, если знаменатели разные. В этом случае необходимо сначала:

Пример:

Далее:

Затем, каждую часть дроби, знаменатель и числитель, нужно умножить на свой множитель, который мы определили:

Далее производим сложение дробей:

Правила вычитания

Действие производится аналогичным образом, если у дроби знаменатели одинаковые, необходимо найти разность числителей.

Если у дроби знаменатели разные, Так же, как и при сложении, находим наименьшее кратное число.

Сравнение дробей 5 класс

Прежде всего необходимо обратить внимание на их знаменатели, если они одинаковые, меньше будет та, чей числитель больше.

Пример:

А если числительные одинаковые, меньше та, чей знаменатель больше.

Пример:

Сложнее обстоит дело, если знаменатели разные. В этом случае сначала определяем общий знаменатель (под чертой) и приводим к нему обе дроби.

Пример:

Далее получаем:

Сравниваем:

Запомните!

P.S. Итак, мы рассмотрели одну из тем по математики для 5 класса. Ее необходимо знать, чтобы ребенок смог двигаться дальше и изучать более сложный материал.

Для лучшего понимания покажите ребенку видео.

Источник